1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
ESCUELA 47 – ING. DE SISTEMAS
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS
EXTENSIÓN – PORLAMAR
Autor:
Javier Pérez
CI: 18865345
Porlamar, 15 de Marzo 2017
2. INTRODUCCIÓN
La programación no lineal es uno de los temas más investigados desde la
optimización dado que muchos de los problemas que se presenta en la realidad son no
lineales
La programación no lineal se encarga de optimizar una determinada función objetivo
que está sujeta a restricciones de igualdad o desigualdad, cuando nos encontramos con un
problema donde todas sus funciones son lineales se puede determinar que es un problema
lineal en caso contrario el problema es no lineal, y es por esto, el porqué de este trabajo,
donde se desglosan alguno de los métodos de la programación no lineal.
Uno de los principales campos de la programación no lineal es el de la optimización
no restringida u optimización libre, que trata el problema de minimizar o maximizar una
función en ausencia de cualquier restricción, existen métodos de búsqueda que optimizan
una función f(x) que pueden ser aplicados para funciones de una o varias variables.
3. Programación no lineal
Es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un
conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una
función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no
son lineales, la finalidad de la programación no lineal es conocer el valor de las variables y
optimizar sus recursos.
Algoritmo no lineal restringido
Es un proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un
conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una
función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no
son lineales.
Esto sucede cuando todas nuestras restricciones son lineales por lo tanto no estarán
elevada a alguna potencia, y se puede definir de la siguiente manera: Maximizar: [ ]
Sujeta a: ( ) , lo que quiere decir que las que las condiciones de no
negatividad forman parte de las restricciones, donde por lo menos una de las funciones
( ) y ( ) es no lineal y todas las funciones son continuamente diferenciales, debido al
comportamiento de las funciones no lineales no se dispone de un algoritmo que resuelva
estos tipos especiales de problemas.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias
para que una solución sea óptima.
Método de programación separable
Una función separable es una función en la que cada término incluye una sola
variable, por lo que la función se puede separar en una suma de funciones de variables
individuales, La programación separable es un caso especial de programación convexa, en
donde la suposición adicional es todas las funciones f(x) y g(x) son funciones separables.
4. Ejemplo: si f(x), es una función separable puede ser expresada de la siguiente manera,
Ejercicio:
Si tomamos en consideración la fórmula: ( ) ∑ ( ) para el siguiente
ejercicio tenemos que existe una función separable, a partir de la ecuación siguiente:
( )
Esta puede ser separada mediante el siguiente criterio; y obtener dos funciones
separadas:
( ) ( ) ( )
,
No existe un algoritmo único para solucionar problemas de este tipo por tanto se
menciona una variación de los algoritmos que pueden ser aplicados a estos:
Algoritmo de gradiente
Algoritmo de secuencia restringida
Algoritmo de aproximación lineal y cuadrática.
Método de programación cuadrática
La programación cuadrática es aplicable a problemas específicos donde las función
de variables está sujeta a ciertas restricciones lineales de desigualdad que demandan
optimización una función cuadrática se denota de la siguiente forma en una notación
matricial ( ) ⁄
5. Existen diferentes problemas de programación cuadrática los cuales pueden
clasificarse de la forma siguiente:
1. Problemas cuadráticos de Minimización sin restricciones que requieren
minimizar la función cuadrática ( ).
2. Problemas cuadráticos de Minimización sujeto a restricciones de desigualdad,
requieren minimizar la función objetivo ( ) sujeto a restricciones lineales de
igualdad .
3. Problemas cuadráticos de Minimización sujeto a restricciones de desigualdad,
requieren minimizar la función objetivo ( ) sujeto a restricciones lineales de
desigualdad.
4. Problemas de optimización de redes cuadráticas
5. Problemas convexo y no convexo.
Ejercicio:
Max ( )
1. Sujeta:
2. [ ] [ ]
[ ] [ ]
3. [ ] { } [ ]
[ ) ( )] [ ]
*(-1/2)
6. Método de programación Geométrica
Es el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones sujetas a un conjunto de
restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo o
f(x) Max, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.
Este método es aplicable y resulta eficiente para la solución de problemas donde la
función objetivo y sus restricciones se presentan de la manera siguiente:
Ejercicio: encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa fija de superficie
que tenga volumen máximo.
Volume = ( )
Superficie:
Maximizar: ( )
Sujeto a:
Solución:
( )
Se aplica desigualdad
( ) (( ) ( ) ( ))
( )
Teorema: =
7. Tenemos que la dimensión es: √ √
Volumen máximo:
Método de programación estocástica
La idea de la programación estocástica e convertir la naturaleza probabilística del
problema en una situación determinística equivalente, también se puede decir que la
programación estocástica trata situaciones en lo la que algunos parámetro son variables
aleatorias o imprecisas, este método permite manejar parámetros en restricciones donde sus
variables se presentan de manera aleatoria y la restricciones se llevan a cabo por
probabilidad mínima.
Un problema de este tipo w expresa de la siguiente manera:
∑
{∑ }
8. CONCLUSIÓN
La programación no lineal ha aportado un sin número de opciones para la resolución
de problemas en la optimización, en la que dichos problemas son imposible de resolver
mediante la programación lineal, cabe destacar que si bien la programación no lineal ha
resueltos muchos problemas no existe un método especifico.
