1. ESTADO DE ESFUERZOS
Julio Vergara Aimone
ICM 2312

2. INTRODUCCION
El mercado demanda sistemas más seguros, y a
la vez más económicos, compactos, versátiles,
rápidos, limpios, simples de mantener, etc.
Uno de los problemas del ingeniero es anticipar el
instante en que un componente se hace suscepti-
ble de fallar por un contexto de cargas externas.
Las cargas externas inducen esfuerzos en el com-
ponente. Si estos superan un valor de capacidad
propia del material, el componente fallará, lo cual
tendrá consecuencias en la seguridad, la econo-
mía y la utilidad de éste.
J.Vergara ICM2312

3. INTRODUCCION
Para conocer ese valor en forma cercana, el inge-
niero de materiales debiera intentar probar la falla
de un componente real, sujeto al rango esperado
de cargas que conducen a la falla (sin personas).
Eso es caro, absurdo y no necesariamente predi-
ce la falla con certeza (puede haberse fabricado
con tratamiento térmico levemente diferente, pue-
de adquirir un defecto en la manufactura o ser in-
ducido en la operación). Entonces, se debe encon-
trar algún modelo que permita predecir el desem-
peño mecánico a partir de ensayos simples.
J.Vergara ICM2312

4. INTRODUCCION
¿Puede utilizarse un ensayo simple (probetas de
escala pequeña) para predecir la falla de un com-
ponente mayor sujeto a esfuerzos multiaxiales?
La respuesta no es definitiva ni única. Los ensa-
yos tampoco son decisivos. El ambiente del ensa-
yo difícilmente emulará el de operación real.
El desempeño de los materiales dependerá de su
historia previa (manufactura, acabado superficial,
etc., y una secuencia de distintos tipos de carga).
Según la complejidad del sistema y el impacto de
una falla, requerirá ensayos de varios tipos.
J.Vergara ICM2312

5. INTRODUCCION
Por ejemplo, ¿puede una probeta de
acero, emular el desempeño de esta
vasija?. Es un cilindro de acero, en-
vainado con acero inoxidable some-12 m
tido a ciclos térmicos, a una presión
de trabajo de 15.5 MPa.
Para soportar esa presión, la vasija
tiene un espesor medio de ~0.2 m
(0.3 m en flanges). La pared está so-
metida a un haz neutrónico y agua
ligeramente oxidante por radiólisis.
5m f
J.Vergara ICM2312

6. INTRODUCCION
Cada reactor mantiene en su interior
una columna de testigos de la opera-
ción, con distintas orientaciones de
forja, que reciben una dosis neutróni-
ca y gama similar a la vasija, que re-
plican el ambiente real.
Cada X número de años se retira un
testigo y se somete a ensayos para
determinar los efectos de su historial
de operación, que incluirán una baja
de tenacidad y corrimiento del NDTT.
J.Vergara ICM2312

7. INTRODUCCION
Hay sistemas complejos que requie-
ren ser calificados con ensayos de
tracción, fatiga, fractura, creep, etc.,
en distintos ambientes de operación
(cargas, temperatura, medio, dósis),
independientes y combinados.
Persiste, no obstante, la dificultad de
replicar eficazmente el estado real de
esfuerzos con un arreglo de ensayos
tradicionales, para lo cual se deberá
validar con algún modelo.
J.Vergara ICM2312

8. INTRODUCCION
La Resistencia de los Materiales estudia el desem-
peño de los componentes de sistemas mecánicos
mediante un análisis geométrico y de sus cargas.
El comportamiento real se deduce al contrastar la
geometría de los componentes con sus materiales
previamente caracterizados experimentalmente en
el ambiente de operación.
Su resultado define las relaciones de esfuerzo y
deformación de los componentes y en definitiva
las cargas mecánicas que éstos resistirán y con-
tribuye al estudio de fallas de materiales.
J.Vergara ICM2312

9. INTRODUCCION
El objetivo del diseño es lograr que el componen-
te mecánico sirva a la aplicación sin fallar.
Para esto se requiere un modelo que se pueda re-
lacionar físicamente al modo de falla, de manera
que ésta se pueda predecir con adecuada certeza
cuando un módulo mecánico sobrepasa un valor
crítico (criterio de falla). Los módulos más usados
son el esfuerzo, la deformación y la energía.
Muchas veces basta el esfuerzo para dimensionar
un componente. Veremos el concepto de estado
general de esfuerzo en un punto geométrico.
J.Vergara ICM2312

10. CLASIFICACIÓN DE CARGAS
En análisis de resistencia de materiales depende
de las cargas a las cuales se somete. El material
no tiene la misma tolerancia a una carga de corte
(cizalle) que a una carga de tracción o de impacto.
Más allá a lo anterior, el proceso de manufactura
impone una anisotropía que importa al momento
de diseñar los componentes (planos y defectos).
Las cargas se pueden clasificar según el área y
dirección donde se aplican, según el tiempo de
aplicación, y según el modo de aplicación.
J.Vergara ICM2312

11. CLASIFICACIÓN DE CARGAS
Clasificación según el Área y Dirección.
 Cargas Concentradas: las que se aplican en
pocos puntos del componente.
 Cargas Distribuidas: las que se aplican en
forma repartida a lo largo de toda el área.
 Cargas de Tensión y Compresión: las que
traccionan o presionan el componente.
 Cargas de Torsión o Flexión: las que tienden a
torcer o combar un elemento.
J.Vergara ICM2312

12. CLASIFICACIÓN DE CARGAS
Clasificación según el Tiempo de aplicación.
 Cargas Estáticas: las que se aplican en forma
gradual por un tiempo relativamente corto.
 Cargas Permanentes: las que se aplican en for-
ma constante por un período largo de tiempo.
 Cargas Variables: las que se varían con el
tiempo en ciclos largos y cortos.
 Cargas de Impacto: las que se aplican rápida y
bruscamente.
J.Vergara ICM2312

13. ESTADO DE ESFUERZOS
Aplicación
Ambiente
Cargas
T
Geometría
E+ SP, Q, M, I, Pb, kt, kf,
n s 1, s 2, s 3, e i, …
Comportamiento
f (si, ej,...) < sADM
Desarrollo
J.Vergara ICM2312

14. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos
Fuerzas sobre un cuerpo: F1
Las fuerzas externas, Si la microestructura
momentos e inercia a es homogénea (masa,
las que se somete el dA defectos, orientación
cuerpo son resisti- de granos, etc.), estas
das por fuerzas in- fuerzas resistivas esta-
ternas (i.e. en dA). rán distribuidas.
F2 M1 F3
J.Vergara ICM2312

15. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos
Esfuerzos en el cuerpo: n F1
dFn Un componente
En coordenadas dF normal (s) )a: dA:
(sZ
cartesianas: dF
Z
dA dFtY sZ==dFnn
s dA
dF dA
s= Y dFtX dFt 2 componentes tan-
dA Un componente t ):
X genciales (tZX y tan-
gencial (t) a dA: ZY
dFtX
tZX =
dFt
F2 M1 F3 t = dA
dF
tZY =dA tY
dA
J.Vergara ICM2312

16. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos
Esfuerzos en el cuerpo:
Tres esfuerzos
Un componente
Si reemplazamos sZ en el plano :
normal (sZ) Z:
dA por dV: dF
dF
dA sZ = nn
Z
tZX tZY dA
dA
Y 2 componentes tan-
dFtX
X
dV tZX = (t
gencialesdAZX y tZY):
dFtX
dFtY
tZX =
tZY = dA
Y además se puede adoptar un estado dA
de esfuerzos general, en cada una de dF
tZY = tY
las caras de dV, i.e. en dX, dY y dZ. dA
J.Vergara ICM2312

17. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos
Con 3 planos y 3 vectores y un tensor de esfuerzos, se define el
estado general de sZ esfuerzos en el punto (dV).
sZ
dA tZY
s
Z
tt
ZX
tZY X
ZX
Y sY tYX tXY tYZ
X
tXZ
dV
tXZ
tYZ
sY
tYX
tXY
tZX
Se muestra la sX tZY
dZ
Los esfuerzos de corte
notación positiva son tij (i:plano y j:dirección)
sZ
J.Vergara ICM2312

18. ESTADO DE ESFUERZOS
Z sZ
Esfuerzos X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Estado general de esfuerzos:
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
sX = sX eX + tXY eY + tXZ eZ sZ
sY = tYX eX + sXeY + tYZ eZ Ecuaciones = 3
Incognitas = 9
sZ = tZX eX + tZY eY + sZeZ
sX tXY tXZ
S = tYX sY tYZ S = sij ej
tZX tZY sZ
J.Vergara ICM2312

19. ESTADO DE ESFUERZOS
Z sZ
Esfuerzos X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Tensor de Esfuerzos: es un objeto que incluye la
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
noción de escalar, vector y matriz, que en mecá-
nica describe los esfuerzos o deformaciones de un punto en
cuyas caras actúan hasta 9 entidades. Se le llama tensor de
segundo orden (tipo 2.0) por su arreglo de 3x3 en la forma
cartesiana que aparece en la figura.
sX tXY tXZ
S = tYX sY tYZ S = sij ej notación de índices
tZX tZY sZ
J.Vergara ICM2312

20. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos
Estado general de esfuerzos:
sZ
tZY
Z
tZX sX
Y sY tYX tXY tYZ
X
tXZ
tXZ
tYZ
sY
tYX
tXY
tZX
sX tZY
dZ
sZ
J.Vergara ICM2312

21. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos
Momentum (fuerzas) en : dFtY·dz – dFtZ·dy = 0
sZ
tZY·(dAZ)·dz = tYZ ·(dAY)·dy
dAZ tZY
Z tZY·(dy·dx)·dz = tYZ ·(dz·dx)·dy
dY tYZ
Y
sY sY
M tZY = tYZ
dZ
tYZ M
dAY
M tXZ = tZX
tZY
M tXY = tYX
sZ
J.Vergara ICM2312

22. ESTADO DE ESFUERZOS
Z sZ
Esfuerzos X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Estado general de esfuerzos:
tXZ
tXZ sY
tYZ tXY tYX
sX tYX tXY
sX = sX eX + tXY eY + tXZ eZ sZ
sY = tYX eX + sXeY + tYZ eZ Ecuaciones = 3
Incognitas = 9 6
sZ = tZX eX + tZY eY + sZeZ
sX tXY tXZ tZY = tYZ
S = tYX sY tYZ Por EQM: tXZ = tZX
tZX tZY sZ tXY = tYX
J.Vergara ICM2312

23. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 1D
Estado de esfuerzo lineal (sZ = 0, sY = 0, i.e. solo sX). Es lo
que experimentará una probeta de ensayo de tracción. Lo
cruza un plano inclinado en f y revisamos las reacciones.
sn
Z sX
f tnt
X
Y
sX f sn
tnt
X
Y
sX dA
J.Vergara ICM2312

24. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 1D principales y cortantes máximos
Estado de esfuerzo lineal (balance de fuerzas)
en eje n; SFn=0 en eje t; SFt=0
sndA = sXdAcos2f tntdA = -sXdAsenfcosf
sn = sXcos2f tnt = -sXsenfcosf tnt
f sn
sn = ½sX(1+cos2f) tnt = -½sXsen2f sX
  X
MAX MAX Y
s sX sX dA
sP1, P2 = 2X tm =
2  2 
MIN MIN
J.Vergara ICM2312

25. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D
Estado de esfuerzo plano (sZ = 0, i.e. solo s en planos X e Y)
Lo cruza un plano inclinado en f y revisamos las reacciones.
sn Desde Z:
Z
f tnt
X
Y
sX f sn
tnt
sY tXY
X
tXY tYX tYX Y
sX dA
sY
J.Vergara ICM2312

26. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D
Estado de esfuerzo plano (balance de fuerzas en eje n; SFn=0)
sndA = sXdAcos2f+sYdAsen2f+tXYdAsenfcosf+tXYdAsenfcosf
sn = sXcos2f+sYsen2f+tXYsenfcosf+tXYsenfcosf
sn = ½sX(1+cos2f)+ ½sY(1-cos2f)+tXYsen2f tnt
sX f sn
sn = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2f+tXYsen2f  t X
XY
tYX Y
dA
sY
J.Vergara ICM2312

27. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D
Estado de esfuerzo plano (balance de fuerzas en eje t; SFt=0)
tntdA = sYdAsenfcosf-sXdAsenfcosf+tXYcos2fdA-tXYdAsen2f
tnt = -(sX-sY)senfcosf+tXYcos2f-tXYsen2f
tnt
sX f sn
tnt = -½(sX-sY)sen2f +tXYcos2f  t X
XY
tYX Y
dA
sY
J.Vergara ICM2312

28. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D
Estas ecuaciones dan sn y tnt sobre el plano inclinado. Éstas
fueron deducidas con la notación antes indicada, por lo tanto
cada sX, sY, tXY y f, tiene su propio signo.
sn = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2f+tXYsen2f  tnt
sX f sn
tnt = -½(sX-sY)sen2f +tXYcos2f  t X
XY
tYX Y
dA
sY
J.Vergara ICM2312

29. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D
Cualquier conjunto de esfuerzos sX, sY, tXY inducirá valores
de sn y tnt rotando el plano hasta un cierto valor de f.
Hay un par de planos f que son de más interés
en diseño mecánico, y que son aquellos en los
cuales se obtiene el máximo y mínimo valor de tnt
sn y los que dan origen al máximo valor de tnt. s f sn
X
X
Los primeros son los planos normales principa- tXY
les (fP), y los segundos son los planos cortan- tYX Y
dA
tes principales (ft).
sY
J.Vergara ICM2312

30. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D principales
El máximo y mínimo valor de sn son los Esfuerzos Normales
Principales (sP), que actúan en los citados planos normales
principales (fP). Estos se encuentran anulando la 1a derivada
de sn en f y substituyendo los planos fP en .
P
sn = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2f+tXYsen2f  tnt
tnt
sX f sn
dsn sX fP P
= -½(sX-sY)(2)sen2f +tXY(2)cos2f = 0 tXY
X
df
tYX Y
2tXY dA
tan2fP = 
sX-sY sY
J.Vergara ICM2312

31. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D principales
Luego, existen dos valores de 2fP (separados en 180 ) o de
fP (separados en 90 ). Uno de estos valores define el plano
de esfuerzo máximo y el otro el plano de esfuerzo mínimo.
Por ende, los sP son perpendiculares entre sí.
P
Además, se puede apreciar lo siguiente: tnt =0
fP sP
dsn sX
= 2·tnt = 0 tXY
X
df
tYX Y
Por lo tanto, se demuestra que en estos planos dA
principales fP no hay esfuerzo cortante tnt. sY
J.Vergara ICM2312

32. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D principales
Podremos lograr expresiones más simples para los sP de estas
ecuaciones:
2tXY
 tan2fP = y
s -s X Y
P sP = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2fP+tXYsen2fP
tXY sX-sY
2
tXY
2fP sX-sY 2 sX-sY 2
sX-sY 2
+ t2 XY 2
+ t2XY
2
J.Vergara ICM2312

33. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D principales
De este modo: sP = ½(sX+sY) + ½(sX-sY)cos2fP+tXYsen2fP
sX-sY 2
sX+sY 2
+ t2XY
Es: sP = 2 +
sX-sY 2
2
+ t2XY
MAX
sX+sY sX-sY 2
tXY sP1, P2 = 2
+ t2XY 
2
MIN
2fP
sX-sY
2
J.Vergara ICM2312

34. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D principales
La segunda derivada define los Planos Principales (fP), en
los cuales actúan los Esfuerzos Principales.
d2sn
= -2(sX-sY)cos2f -4tXYsen2f
df2 P
tnt=0
Si esta segunda derivada es menor que 0, sP
tendremos el plano del esfuerzo máximo. sX fP
X
tXY
tYX Y
dA
sY
J.Vergara ICM2312

35. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D cortantes máximo y mínimo
Ahora, anulando la 1a derivada de tnt en f se encontrarán
los planos cortantes principales (ft) en los cuales actúan
los Esfuerzos Cortantes máximo y mínimo.
t
tnt = -½(sX-sY)sen2f +tXYcos2f  tnt
m
sX ft
f ssn
dtnt sX n
= -½(sX-sY)(2)cos2f -tXY(2)sen2f = 0 tXY X
df tXY
tYX Y
sX-sY dA
tan2ft = - 
2tXY sY
J.Vergara ICM2312

36. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D cortantes máximo y mínimo
Expresiones para los tm a partir de estas ecuaciones:
fP y ft son
s -s
tangentes tan2ft = - X Y y
2tXY
recíprocos
tm = -½(sX-sY)sen2ft +tXYcos2ft
2ft
tXY sX-sY
-
2
tXY
sX-sY 2 sX-sY 2
sX-sY + t2 XY + t2XY
- 2
2 2
J.Vergara ICM2312

37. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 2D cortantes máximo y mínimo
De este modo: tm = -½(sX-sY)sen2ft +tXYcos2ft
sX-sY 2
2
+ t2XY
Es: tm =
sX-sY 2
2
+ t2XY
MAX
2ft sX-sY 2
tm1, m2 = + t2XY 
tXY MIN
2
sX-sY
- 2
J.Vergara ICM2312

38. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 3D
Estado de esfuerzos tridimensional: Lo definen los siguientes:
A = área plano bcd sX tXY
Z
AY sY tYZ
dZ
Y
Usamos cosenos
X
sX sZ tZX
tYX tXY
directores: l, m, n sY g AX Si se conocen estos 6
(con a, b, g) b tXZ
tYZ a componentes en ese
l = cos a AX = Al tZX
tZY “punto” (dV), se podrán
m = cos b AY = Am
n = cos g AZ = An
estimar los esfuerzos
AZ
sZ en cualquier plano.
J.Vergara ICM2312

39. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 3D
Estado de esfuerzos tridimensional:
A = área plano bcd FX FX·l
Z sX = =
AY A AX
dZ
Y FZ
X
sX FY FY·m
tYX tXY sY = =
sY A AY
g F Y AX
FX
b tXZ FZ FZ·n
l = cos a AX = Al
tYZ a
tZX sZ = =
tZY A AZ
m = cos b AY = Am
n = cos g AZ = An
AZ
sZ
J.Vergara ICM2312

40. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
Componentes del esfuerzo s, normal a bcd:
g
FY AX
FX b tXZ
a
tYZ tZX
tZY
AZ
FX FY FZ sZ
sX = sY = sZ = AX = A·l; AY = A·m; AZ = A·n
A A A
Haciendo un balance de fuerzas en los ejes x, y, z, queda:
FX = AX·sX + AY·tYX + AZ·tXZ sX = l·sX + m·tYX + n·tXZ
FY = AX·tXY + AY·sY + AZ·tZY sY = l·tXY + m·sY + n·tZY 
FZ = AX·tXZ + AY·tYZ + AZ·sZ sZ = l·tXZ + m·tYZ + n·sZ
J.Vergara ICM2312

41. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
El esfuerzo normal al plano bcd es el siguiente: FX
tYZ
a
tZY
b
tZX
tXZ
AZ
sZ
sn = sXn + sYn + sZn
Con sXn, sYn, sZn componentes normales a bdc de cada uno
de los esfuerzos sX, sY, sZ, dados por:
sXn = l·sX sXn = l2·sX + l·m·tYX + l·n·tXZ
sYn = m·sY sYn = m·l·tXY + m2·sY + m·n·tZY
sZn = n·sZ sZn = n·l·tXZ + n·m·tYZ + n2·sZ
J.Vergara ICM2312

42. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
El esfuerzo normal al plano bcd es el siguiente: FX
tYZ
a
tZY
b
tZX
tXZ
AZ
sZ
sn = sXn + sYn + sZn
Con la forma de sXn, sYn, sZn, da lugar a:
sn = l2·sX + m2·sY + n2·sZ + 2·(l·m·tYX + l·n·tXZ + n·m·tYZ)
La expresión anterior refleja la magnitud del esfuerzo normal
(sn) en cualquier plano –definido por los cosenos directores
l, m, n– en términos de sX, sY, sZ, tYX, tXZ, tYZ.
J.Vergara ICM2312

43. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D Principales
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
Los Esfuerzos Normales Principales representan FX
tYZ
a
tZY
b
los tZX
tXZ
esfuerzos extremos que experimenta un punto. AZ
sZ
Ocurrirán en los planos principales, i.e. con esfuerzos cortan-
tes nulos. Se postula un plano efg, principal, en el cual los
componentes de esfuerzo cortante son nulos. Por geometría:
FXn = l·Fn FXn = l·sP·A
FYn = m·Fn Si Fn = sP·A FYn = m·sP·A
FZn = n·Fn FZn = n·sP·A
J.Vergara ICM2312

44. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D Principales
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
Entonces: FXn = l·sP·A Además: FXn = A·sX FX
tYZ
a
tZY
b
tZX
tXZ
AZ
FYn = m·sP·A FYn = A·sY
sZ
FZn = n·sP·A FZn = A·sZ
De :
sX = l·sX + m·tYX + n·tXZ sX = l·sP l·sP = l·sX + m·tYX + n·tXZ
sY = l·tXY + m·sY + n·tZY sY = m·sP m·sP = l·tXY + m·sY + n·tZY
sZ = l·tXZ + m·tYZ + n·sZ sZ = n·sP n·sP = l·tXZ + m·tYZ + n·sZ
J.Vergara ICM2312

45. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D Principales
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
De este modo: l·(sP - sX) - m·tYX - n·tXZ = 0 FX
tYZ
a
tZY
b
tZX
tXZ
AZ
- l·tXY + m·(sP - sY) - n·tZY = 0
sZ
- l·tXZ - m·tYZ + n·(sP - sZ) = 0
Si sP es un esfuerzo principal, entonces debe satisfacer las
ecuaciones. Pero, éstas no son independientes ya que l, m, n
están relacionadas geométricamente por una ecuación de
compatibilidad : l2 + m2 + n2 = 1
Esta señala que los cosenos directores no pueden cero en
forma simultánea y la definición de dos determina el tercero.
J.Vergara ICM2312

46. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D Principales
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
Como las ecuaciones no son independientes, el FX
tYZ
a
tZY
b
tZX
tXZ
determinante de coeficientes debe anularse. AZ
sZ
(sP - sX) - tYX - tZX
Ecuación
- tXY (sP - sY) - tYZ = 0 Cúbica General
de Esfuerzos 3D
- tXZ - tZY (sP - sZ)
sP - sP·(sX + sY + sZ) + sP·(sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2 - tXZ - tYZ)
3 2
XY
2 2
2 2 2
- (sX·sY·sZ + 2tXY tYZ tXZ - sX·tYZ - sY·tXZ - sZ·tXY) = 0
J.Vergara ICM2312

47. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D Principales
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
De la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos 3D, FX
tYZ
a
tZY
b
tZX
tXZ
matemáticamente al menos una solución debe AZ
sZ
ser real. Por condición física todas son reales.
Los esfuerzos principales son independientes de la orienta-
ción del sistema de coordenadas. Luego, los coeficientes de
la Ecuación Cúbica General de Esfuerzos 3D son invariantes.
Invariante 1: (sX + sY + sZ) = k1
Invariante 2: (sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2XY - t2XZ - t2YZ) = k2
Invariante 3: (sX·sY·sZ +2tXY tYZ tXZ -sX·t2YZ -sY·t2XZ -sZ·t2XY) = k3
J.Vergara ICM2312

48. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D Principales
dZ
Y
X FZ
AY sX
tYX tXY
sY
g
FY AX
Las tres soluciones de la Ecuación Cúbica FX
tYZ
a
tZY
b
tZX
tXZ
General de Esfuerzos 3D deben satisfacer: AZ
sZ
l·(sP - sX) - m·tYX - n·tXZ = 0
- l·tXY + m·(sP - sY) - n·tZY = 0
- l·tXZ - m·tYZ + n·(sP - sZ) = 0
además: l2 + m2 + n2 = 1
Y que determinarán los cosenos directores que definen los
planos principales; que son mutuamente perpendiculares.
J.Vergara ICM2312

49. ESTADO DE ESFUERZOS
Esfuerzos 3D Principales
De este modo, habrá un plano efg en que no habrá esfuerzos
cortantes y sólo esfuerzos principales sP1, sP2, sP3.
s2 l1=1
s3 Para sP1: m1=0
s1 n1=0
l2=0
Para sP2: m2=1
n2=0
l3=0
s1 Para sP3: m3=0
s3
n3=1
s2
J.Vergara ICM2312

50. ESTADO DE ESFUERZOS
3
Esfuerzos cortantes máximo y mínimo 1
2
F3 s1
s2
g F2
El set de sX, sY, sz, tXY, tXZ, tZY y l, m, n, inducirán
F1 b
a
valores de sn y tnt. Anulando la 1a derivada de tnt s3
en l, m, n encuentran los planos (ft) en los cuales
actúan los Esfuerzos Cortantes máximo y mínimo.
En el plano efg el esfuerzo normal será:
sn = l2·s1 + m2·s2 + n2·s3 + 2·(l·m·tYX + l·n·tXZ + n·m·tYZ)
X Y Z
sn = l2·s1 + m2·s2 + n2·s3
s1 = l·s1
Los componentes de sP en el plano efg serán: s2 = m·s2
s3 = n·s3
J.Vergara ICM2312

51. ESTADO DE ESFUERZOS
3
Esfuerzos cortantes máximo y mínimo 1
2
F3 s1
s2
g F2
La fuerza resultante en el plano efg puede ser
F1 b
a
expresado como una suma vectorial de los com- s3
ponentes F1, F2, F3 en el sistema ortogonal 1,2,3.
Fr2 = F12 + F22 + F32 /A2  sr2 = s12 + s22 + s32
Substituyendo: y sr2 = sn2 + tnt2
sr2 = l2·s12 + m2·s2 2+ n2·s32 y,
sn2 = (l2·s1 + m2·s2 + n2·s3)2
tnt2 = sr2 - sn2 = l2·s12 + m2·s22 + n2·s32 – (l2·s1 + m2·s2 + n2·s3)2
J.Vergara ICM2312

52. ESTADO DE ESFUERZOS
3
Esfuerzos cortantes máximo y mínimo 1
2
F3 s1
s2
g F2
Derivando tnt2
con respecto a l, m, n y anulando
F1 b
a
cada expresión, se logran los Esfuerzos Cortantes s3
máximo y mínimo y sus respectivos planos:
tM1 = ½ (s2 – s3) tM2 = ½ (s1 – s3) tM3 = ½ (s1 – s2)
s3 s3 s3
3 3 3
2 s1 2 s1 2 s1
1 1 1
s2 s2 s2
s2 s2 s2
s1 s1 s1
s3 s3 s3
J.Vergara ICM2312

53. ESTADO DE ESFUERZOS
Z
Esfuerzos 3D a 2D
dZ
Y
X
AY sX
tYX tXY
sY
Aplicación general a 2D: sZ, tXZ , tYZ = 0
g
FY AX
FX a
b
AZ
sP - sP·(sX + sY + sZ) + sP·(sX·sY + sY·sZ + sX·sZ - t2 - t2 - t2 )
3 2
XY XZ YZ
- (sX·sY·sZ + 2tXY tYZ tXZ - sX·t2 - sY·t2 - sZ·t2 ) = 0
YZ XZ XY
sP - sP·(sX + sY) + sP·(sX·sY - t2 ) = 0
3 2
XY
sP·(sP - sP·(sX + sY) + (sX·sY - tXY)) = 0
2 2
s +s sX-sY 2
sP1 = X 2 Y + + t2XY
2
a s2 + b s + c = 0 
s = -½ b ½ b2 – 4ac
Raíces sP2 = 0
s +s sX-sY 2
sP3 = X 2 Y - + t2XY
2
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54. CÍRCULO DE MOHR
Esfuerzos
Representación gráfica de las ecuaciones de la teoría de
esfuerzos (muy útil para 2D que puede extenderse a 3D).
Para un elemento del cuerpo, el eje de las abcisas indica el
nivel de esfuerzo normal (sn) y el de las ordenadas señala
el esfuerzo cortante (tnt). El estado de esfuerzo del punto
se representa por un par, opuesto en el círculo, en un plano
definido por el ángulo doble entre el plano y el eje X, en
sentido anti-reloj.
J.Vergara ICM2312

55. CÍRCULO DE MOHR
Y
Esfuerzos sY
½(sX-sY) H tYX X
tnt t s tXY
(sY, tYX) sX sX
H
tXY V
sY tYX f
Método del sY
doble ángulo C
2f
sn
tXY
V
½(sX+sY) (sX, tXY)
sX
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56. CÍRCULO DE MOHR
Y
Esfuerzos sY
½(sX-sY) H tYX X
tnt t s tXY
(sY, tYX) sX sX
tMAX H
tXY V
sY tYX f
sX-sY 2
+ tXY2 sY
Método del 2
doble ángulo sP2 sP1
C
2fP
sn
t
2f tXY
F
tMIN V
½(sX+sY) (sX, tXY)
sX
s
J.Vergara ICM2312

57. CÍRCULO DE MOHR
Y
Esfuerzos sY
tYX X
tnt Ft tXY
sX sX
tXY
tYX
(sY,tYX)
fP sY
Método del
Pivote sP2 fP sP1
C
2fP
sn
fP2
(sX,tXY)
fP1
ft
J.Vergara ICM2312

58. CÍRCULO DE MOHR
Esfuerzos
Y
sY
s X
tnt sX t sX tXY
sX t s sX sY
A B C D E F tYX tXY
sX t s sX
sY
tYX
sY
sn
sY
tXY
sY sX t
s
sX
tXY tYX
s
sX t sX
sX t
s
sX sY
tYX
sY
J.Vergara ICM2312

59. CÍRCULO DE MOHR
Esfuerzos Y
H
Círculo de Mohr 1D: Referencia (criterios) X
tnt s t s sX
tMAX X
V
f
2f t
sP2 sP1
Eje Y C Eje X
sn
tMIN
½sX
s
sX
J.Vergara ICM2312

60. CÍRCULO DE MOHR
Z
Esfuerzos X
Y
tYX tXY sX
sY
Círculo de Mohr: ¡Son “3D”!, como sigue: sY
tnt sX
tXY tYX
a)
sP3 sP2 sP1
sn
Z
Y
X
s2 s1
s1 s2
J.Vergara ICM2312

61. CÍRCULO DE MOHR
Z sZ
Esfuerzos X
Y
tXY
tYX
sX
tYZ
sY tYX tXY
Círculo de Mohr: ¡Son “3D”!, como sigue: tYZ
tXZ
tXZ
tYX
sY
tnt
tXY
sX tYX tXY
b)
sZ
sP2 sP1 sP3
sP3 sP2 sP1
sn
Z
s2
Y
X
s1
s1
s2
J.Vergara ICM2312

62. CÍRCULO DE MOHR
Esfuerzos
Círculo de Mohr General en 3D:
tnt
tMAX
½(s1-s3) tM2
sP3 sP2 sP1
C sn
tM1 ½(s2-s3)
½(s1-s2) tM3
½(s2+s3)
½(s1+s3)
½(s1+s2)
J.Vergara ICM2312

63. ESFUERZOS EN FRACTURA
Estado de Esfuerzo en Fractura sY
tYZ sX
Componentes de Y tYX
X sZ tZX tXZ tZY
esfuerzo adelante tXY
Z tXY sZ
de la grieta con un tZY tXZ tZX
sX tZY tZX
Sistema de Coor- X
r
denadas mixtas. Y sY
 Cartesianas.
 Cilíndricas. Z
J.Vergara ICM2312

64. ESFUERZOS EN FRACTURA
Estado de Esfuerzo en Fractura: Modos.
KI q q 3q
sX = cos 1 - sen sen
(2pr)½ 2 2 2
KI q q 3q
sY = ½ cos 2 1 + sen 2 sen 2
(2pr)
KI q q 3q
tXY = ½ sen 2 cos 2 cos 2
(2pr)
Modo I sZ = n (sX + sY) tXZ = tYZ = 0
Apertura
J.Vergara ICM2312

65. ESFUERZOS EN FRACTURA
Estado de Esfuerzo en Fractura: Modos.
KII q q 3q
sX = sen 2 + cos cos
(2pr)½ 2 2 2
KII q q 3q
sY = ½ sen 2 cos 2 cos 2
(2pr)
KII q q 3q
tXY = cos 1 - sen sen
(2pr)½ 2 2 2
Modo II sZ = n (sX + sY) tXZ = tYZ = 0
Corte en Plano
J.Vergara ICM2312

66. ESFUERZOS EN FRACTURA
Estado de Esfuerzo en Fractura: Modos.
KIII q
tXY = sen
(2pr)½ 2
KIII q
tYZ = ½ cos 2
(2pr)
tXY = 0
Modo III sX = sY = sZ = 0
Corte Fuera de Plano
J.Vergara ICM2312

67. CONCLUSIONES
En la búsqueda de sistemas más seguros y a la
vez económicos y competitivos, conviene antici-
par el desempeño de sus componentes, a lo cual
contribuye conocer el estado de esfuerzos.
Una falla simple en un sistema simple puede oca-
sionar un retraso en las operaciones y adelantar
un proceso de matenimiento no programado que
implica más costos sin ingresos.
Una falla -simple o compleja- en un sistema que
involucra vidas puede implicar efectos organiza-
cionales más serios y permanentes.
J.Vergara ICM2312

68. CONCLUSIONES
En efecto, una falla que involucre vidas humanas
puede, aparte del posible y comprensible trauma
de los ingenieros que participaron en su desarro-
llo, costos inmensos en reparaciones materiales
y sociales, batallas judiciales, terminar en forma
abrupta un proyecto o una actividad empresarial.
Ejemplos sobran, tanto en estructuras estáticas
(ej. Puente Minte) como en plataformas móviles
(i.e. De Havilland Comet, AA Vuelo 191, Titanic,
Shuttles, etc.). Por esta razón, entre otras, el tra-
bajo del ingeniero no debiera ser subestimado.
J.Vergara ICM2312

69. CONCLUSIONES
Revisamos, en forma analítica y gráfica, el estado
de esfuerzos en un componente. Luego veremos
las deformaciones que resultan de los esfuerzos,
que permitirá derivar relaciones entre esas dos
variables, en diferentes dimensiones.
Utilizando modelos de predicción de falla, defini-
remos más adelante las teorías que nos permiten
relacionar el estado de esfuerzos con el desem-
peño de los materiales previamente caracteriza-
dos mediante ensayos en ambiente controlado,
complementando el proceso de diseño mecánico.
J.Vergara ICM2312