Este documento describe vectores en el plano y en el espacio. Define un vector como un segmento orientado con dirección, sentido y magnitud. Explica cómo representar vectores en el plano y en el espacio usando coordenadas cartesianas y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación de vectores. También cubre propiedades importantes de los vectores como conmutatividad, asociatividad y el elemento neutro.

1. Vectores en plano y el espacio
Instituto universitario de tecnología
“Antonio José sucre”
Extensión: puerto la cruz
Escuela (77)
Sección (A)
Profesora :Ranielina Rondón Bachiller : José Antonio Moreno Ci:25589416
Puerto la cruz , 21 de octubre de 2015

2. Un vector es un segmento orientado que tiene una dirección determinada, un
sentido y un módulo.
Un vector en el plano, se denota por un par ordenado de números reales
y la notación x, y se emplea en lugar de ( x, y)
• Modulo : Longitud del vector
• Dirección : Si dos vectores se encuentran situados sobre rectas paralelas
poseen la misma dirección
• Sentidos : Cada dirección comprende dos sentidos contrarios , que se indica
mediante la punta de flecha del vector

3. Ejercicio
• Determinar si los vectores AB : (35,-21) Y CD : (-10,6) Tienen la misma
dirección . Calcular el modulo de ambos vectores.
Solución
Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta
comprobar si sus componentes son proporcionales
El cociente de las primeras componentes es 35/-10 = 7/-2 y el de las
segundas -21/6 =-7/2 , por tanto los vectores tienen el misma
dirección .
El modulo de los vectores es:
AB = √35 ² + (-21)² = √1225+441 = √1666
CD = √ (-10)² + 6 ² = √ 100+36 = √ 136 = √ 4*34 = 2 √ 34

4. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su
origen en un punto y su extremo en el otro.
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z,
perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Vectores en el espacio Cada punto viene determinado por tres coordenadas
P(x, y, z).
• Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector
entre barras : | → AB|
• Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el
vector y la de todas las rectas paralelas a ella.
• Sentido si va de A a B o de B a A

5. Ejemplo
• Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el
triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
c
• BA B
AB = (3+3,6-4,3-0) = (6,2,3) BA = (-6,-2,-3)
AC = (-1+3,2-4,1-0) = (2,-2,1) CA=(-2,2,-1)
BC= (-1-3,2-6,1-3) = (-4,-4,-2) CB= (4,4,2)

6. Ejemplo
Dados los vectores u(3,3,2) , v (5,-2,1) , w (1,-1,0)
a) Halla el vector U -2v + 3w
U -2v+3w(3,3,2) – 2 (5,-2,1) + 3 (1,-1,0) = (3-10+3,3+4-3,2-2+0) = (-4,4,0)

7. PROPIEDADES DE LOS VECTORES
• PROPIEDAD CONMUTATIVA RESPECTO A LA ADICION.
Si se tienen dos vectores: A y B se cumple que A + B = B + A
• PROPIEDAD ASOCIATIVA RESPECTO A LA ADICION.
Si se tienen tres vectores A,B y C, se cumple que (A+B)+C = A+(B+C)ION DE
• ELEMENTO NEUTRO.
El elemento neutro es la unidad, todo vector multiplicado por la unidad es
igual al mismo vector.
• MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR.
Todo vector multiplicado por un escalar es proporcional al vector original.
PRODUCTO CRUZ.
La multiplicación de un vector por un vector da como resultado un vector
perpendicular al plano formado por los vectores del producto, esta
operación es muy útil en la solución de problemas físicos y matemáticos
es conocida como producto vectorial de Gibbs.

8. OPERACIONES CON VECTORES
La suma de vectores se puede efectuar por diferentes métodos:
a.- Suma de vectores sobre un mismo punto.
b.- Método del paralelogramo.
c.- Método del triangulo o método poligonal.
d.- Método analítico para la suma y diferencia de vectores.
MAGNITUDES VECTORIALES
Los vectores definen la magnitud, dirección y sentido de acciones físicas
como son: el desplazamiento de un cuerpo, dirección de una partícula,
amplitud de una onda, aceleración de un móvil, fuerza aplicada sobre un
objeto, un campo eléctrico o magnético, etc.

9. Componentes de un vector
Un vector en el espacio Euclideo tridimensional se puede expresar como
una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores
perpendiculares entre si que constituyen una base vectorial
En coordenadas cartesianas los vectores unitarios se representan por letras
I , J ,K Paralelas a los ejes de coordenadas x,y,z positivos
a : ( ax ,ay, aZ)
O como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base
vectorial , así en un sistemas de coordenadas cartesianas se expresan de
esta manera : a= axI + axJ + axk donde ax , ay , az son números reales.