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- 1. Jonathan Suarez 26.447.083 ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS UNIDAD III. ENTREGAR HASTA EL DÌA Miércoles: 29-06-2016. HASTA LAS 11:30 PM. VALOR: 10% Prof.: Franklin Díaz Encuentre las siguientes integrales. Valor: 1.5pto c/u el b) y c) tienen un valor de 2 ptos 𝒂) ∫ 𝟏𝟐𝒅𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟏)√( 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖) 𝟑 U = 4X2 – 4X – 8 du = 8X – 4 du = 4(2X – 1) 𝒅𝒖 𝟒 = (2X – 1)dx Dx = 𝒅𝒖 𝟒(𝟐𝑿−𝟏) Pero como (2X -1) = U nos quedaría así ∫ 𝟏𝟐𝒅𝒖 𝟒(𝑼)√(𝒖) 𝟑 Simplificando y sacando de la integral lo que no pertenece al diferencial nos quedaría así 3∫ 𝑑𝑢 𝑢√𝑢3 Transformando la raíz en potencia y multiplicando los términos del denominador nos quedaría así 3∫ 𝑑𝑢 𝑢.𝑢 1 3 = 3∫ 𝑢− 4 3 𝑑𝑢
- 2. Jonathan Suarez 26.447.083 Al integrar obtenemos lo siguiente 3 𝑢1/3 1 3 C Aplicando la doble C quedaría así: 9𝑢1/3 + C Devolviendo el cambio nos quedaría así… 9(4X2 – 4X – 8)1/3 + C Que es lo mismo que decir que…. 9√(𝟒𝑿 𝟐 − 𝟒𝑿 − 𝟖) 𝟑 + C
- 3. Jonathan Suarez 26.447.083 b) ∫ 𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐𝒕𝒈𝑿 (𝟏+ 𝑿 𝟐) 𝒅𝒙 U = arctangx Du = 𝒅𝒙 𝟏+𝒙 𝟐 ∫ 𝒆 𝒖 𝒅𝒖 eu + c Devolviendo el cambio 𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒙 + 𝒄
- 4. Jonathan Suarez 26.447.083 c) ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟑 𝒅𝒙 Subimos el denominador y automáticamente cambia de signo el exponente ∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑)−𝟏 𝒅𝒙 Aplicamos la propiedad distributiva con el -1 a cada uno de los términos del trinomio ∫(𝒄𝒐𝒔−𝟏 𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏−𝟏 𝒙 + 𝟑−𝟏 )𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔−𝟏 𝒙𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏−𝟏 𝒙𝒅𝒙 + 1/3∫ 𝒅𝒙 Luego de integrar obtenemos el siguiente resultado xco𝒔−𝟏 𝒙 − √𝟏 − 𝒙 𝟐+2(xse𝒏−𝟏 𝒙 + √𝟏 − 𝑿 𝟐) + 1/3X + C
- 5. Jonathan Suarez 26.447.083 𝒅) ∫ √ 𝒙 𝒙 + 𝒙 𝟒 𝟓 𝒅𝒙 Subimos el denominador y automáticamente cambia de signo el exponente ∫(𝒙 + 𝒙 𝟒 𝟓)−𝟏 (𝒙 𝟏 𝟐)𝒅𝒙 Aplicamos la propiedad distributiva con el -1 a cada uno de los términos del binomio ∫ (𝒙−𝟏 + 𝒙− 𝟒 𝟓) (𝒙 𝟏 𝟐) 𝒅𝒙 Aplicamos la propiedad distributiva del producto (𝒙−𝟏 + 𝒙− 𝟒 𝟓) (𝒙 𝟏 𝟐) y tenemos el siguiente resultado ∫(𝒙− 𝟏 𝟐 + 𝒙− 𝟑 𝟏𝟎)𝒅𝒙 Al aplicar la fórmula general de integración ∫ 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + C nos quedaría de la siguiente manera… 𝒙 𝟏/𝟐 𝟏/𝟐 + 𝒙 𝟕/𝟏𝟎 𝟕/𝟏𝟎 + C Aplicando la doble c nos quedaría así… 2𝒙 𝟏/𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 𝟕/𝟏𝟎 𝟕 + C
- 6. Jonathan Suarez 26.447.083 e) ∫ 𝒙 𝟑−𝟑𝒙+𝟑 𝒙 𝟐+𝒙−𝟐 dx Subimos el denominador y automáticamente cambia de signo el exponente ∫( 𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟐)−𝟏( 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 Aplicamos la propiedad distributiva con el -1 a cada uno de los términos del binomio ∫( 𝒙−𝟐 + 𝒙−𝟏 − 𝟐−𝟏 )−𝟏( 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 Aplicamos la propiedad distributiva del producto (𝒙−𝟐 + 𝒙−𝟏 − 𝟐−𝟏 )−𝟏( 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟑)y tenemos el siguiente resultado ∫(𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟑𝒙−𝟐 − 𝒙 𝟐 + 𝟑 − 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟑 𝟐 )dx Al realizar una suma algebraica tendremos el siguiente resultado… ∫( 𝟓 𝟐 𝒙 − 𝟔 𝒙 +3𝒙−𝟐 − 𝒙 𝟑 𝟐 − 𝟑 𝟐 )𝒅𝒙 𝟓 𝟐 ∫ 𝒙𝒅𝒙 − 𝟔 ∫ 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟐 ∫ 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 − 𝟑 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 Al aplicar la fórmula general de integración ∫ 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + C nos quedaría de la siguiente manera… 𝟓 𝟐 ( 𝒙 𝟐 𝟐 ) – 6ln(x) -3𝒙−𝟏 − 𝟏 𝟐 ( 𝒙 𝟒 𝟒 ) − 𝟑 𝟐 𝒙 + 𝑪
- 7. Jonathan Suarez 26.447.083 Al multiplicar y simplificar cada uno de sus coeficientes tenemos lo siguiente 𝟓𝒙 𝟐 𝟒 − 𝟔𝒍𝒏( 𝒙) − 𝟑 𝒙 − 𝒙 𝟒 𝟖 − 𝟑𝒙 𝟐 + C
- 8. Jonathan Suarez 26.447.083 f) ∫ 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙 𝒙 𝟐+𝟏 𝒅𝒙 ∞ 𝟎 u = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙 du = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 dx = (1 + x2 )du ∫ 𝒖(𝟏 + 𝐱 𝟐 )𝐝𝐮 𝟏 + 𝐱 𝟐 ∞ 𝟎 Se elimina 𝟏 + 𝐱 𝟐 tanto del numerador como del denominador a causa de una simplificación y tenemos el resultado que aparecerá a continuación… ∫ 𝒖𝒅𝒖 ∞ 𝟎 Al aplicar la fórmula general de integración ∫ 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 + C nos quedaría de la siguiente manera… 𝑢2 2 +C Devolviendo el cambio tendremos el siguiente resultado (𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙) 𝟐 𝟐 + C 𝒕𝒂𝒏−𝟐 𝒙 𝟐 + C 𝟏 𝟐𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 + 𝒄
- 9. Jonathan Suarez 26.447.083 Al evaluar el resultado desde 0 hasta ∞ tenemos lo siguiente 2(tang-1 ∞)2 – 2(tang-1 0)2 2( 𝝅 𝟐 ) 𝟐 – 2(0) 𝟐 ( 𝝅 𝟐 𝟒 ) - 0 𝝅 𝟐 𝟐