Este documento trata sobre el cálculo del campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga. Explica cómo se puede describir la carga de manera continua mediante densidades de carga volumétrica, superficial o lineal. Luego, detalla diferentes métodos para calcular el campo eléctrico generado por distribuciones de carga continuas como cargas lineales o superficies cargadas, incluyendo el uso de la ley de Coulomb y la ley de Gauss. Finalmente, presenta ejemplos numéricos del cálculo del campo elé

1. 3
ELECTRICIDAD Y
MAGNETISMO
Capítulo 22
Campo Eléctrico II:
Distribuciones continuas de cargas
Copyright © 2004 by W. H. Freeman & Company
Prof. Maurizio Mattesini

2. 4
Capítulo 22
1. Cálculo del campo eléctrico E
mediante la Ley de Coulomb
2. Ley de Gauss
3. Cálculo del campo eléctrico E
mediante la ley de Gauss
4. Discontinuidad de En
5. Carga y campo en la superficie de
los conductores

3. 5
Se puede describir la carga en forma
de distribuciones continuas y de
esta forma es posible calcular la
carga total en superficies del tamaño
de las de los cuerpos celestes (por
ejemplo la Tierra).

4. 6
Densidad de carga
A escala microscópica, la carga eléctrica está cuantificada.
A escala macroscópica un gran número de cargas están
tan próximas que la carga total puede considerarse
distribuida continuamente en le espacio (semejante al uso
de una densidad de masa continua para describir el aire).
L
Q
A
Q
V
Q
Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
λ
σ
ρ Densidad volúmica
Densidad de carga superficial
Densidad de carga lineal

5. 7
22-1
Calculo del campo eléctrico E
mediante la ley de Coulomb

6. 8
Suficientemente pequeño para
que podamos considerarle como
una carga puntual.
Un elemento de carga dq produce un campo dE=(kdq/r2)r en el punto P. El campo en
P debido a la carga total se obtiene integrando esta expresión para toda la
distribución de carga.
∫
=
V
r
r
kdq
E ˆ
2
Campo eléctrico debido a una
distribución de carga continua
CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN
CONTINUA DE CARGA
Si se tiene un objeto cargado que no se puede reducir
a una carga puntual, hay que descomponer este
objeto en elementos infinitesimales. Cada uno de
estos elementos contiene un diferencial de carga que
se comporta como si fuese una carga puntual.
Aplicando el principio de superposición al conjunto
de los elementos se obtiene el campo total en el punto
P.

7. 9
Campo eléctrico sobre el eje de
una carga lineal finita
o
o
x
x
L
x
kQ
E
)
( −
=
Si xoL, el campo eléctrico en P es
aproximadamente kQ/xo
2. Es decir, si estamos
suficientemente lejos de la carga lineal, ésta
se comporta como una carga puntual Q.
COMPO ELÉCTRICO SOBRE EL EJE DE UNA
CARGA LINEAL FINITA

8. 10
Una carga Q está distribuida a lo largo del eje x
desde x=0 a x=L. La densidad de carga lineal para
esta carga es λ=Q/L. Queremos detern¡minar E
producido por está carga lineal en un punto P sobre
el eje x, en x=x0.
El campo eléctrico debido a la carga dq situada en
dx está dirigido a lo largo del eje x y viene dado, de
acuerdo con la ley de Coulomb por:
Podemos encontrar el módulo de E mediante
integración sobre la línea cargada en sentido
creciente de x=0 hasta x=L:
En donde hemos operado el cambio de variable
u=xo-x, de tal forma que:
( ) ( )
i
i
i 2
2
x
x
dx
k
x
x
kdq
dE
o
o
x
−
=
−
=
λ
( ) ∫
∫
−
=
=
=
=
−
=
−
=
L
x
u
x
u
L
x
x o
x
u
du
k
x
x
dx
k
E
0
0
2
0
2
λ
λ
( ) ( )
( ) L
x
x
x
u
L
x
x
x
x
x
u
x
dx
du
−
=
−
=
→
=
=
−
=
−
=
→
=
−
=
0
0
0
0
0 0
0
Integrando obtenemos que:
Sustituyendo Q por λL resulta
( ) ( ) o
o
o
o
L
x
x
x
x
L
x
L
k
x
L
x
k
u
k
E
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
=
−
λ
λ
λ
1
1
1 0
0
( ) o
o
x
x
L
x
kQ
E
−
=
Obsérvese que en la integración de Ex hemos
utilizado la siguiente integral definida con n=-2:
1
,
1
1 1
−
≠
+
=
∫
+
n
x
n
dx
x n
n

9. 11
Campo eléctrico fuera de una
carga lineal finita
( )
1
2 cos
os θ
θ
λ
−
= c
y
k
Ex
Carga lineal infinita:
θ1→ -π/2 (x1=-∞); θ2→ π/2 (x2=∞)
y
k
Ey
λ
2
= 0
=
x
E
( ) ( )
1
2
1
2
2
cos
1 2
1
θ
θ
θ
θ
λ
θ
θ
λ
θ
θ
sen
sen
Ly
kQ
sen
sen
y
k
d
y
y
k
Ey −
=
−
=
= ∫
COMPONENTE Ey DEBIDA A UN SEGMENTO CON DENSIDAD DE CARGA LINEAL UNIFORME
COMPONENTE Ex DEBIDA A UN SEGMENTO DE CARGA LINEAL UNIFORME
CAMPO E DEBIDO A UNA CARGA LINEAL INFINITA
y=R

10. 12
Un elemento de carga dq= λdx genera un campo dE tal como
se muestra en la figura. El campo en P tiene componentes en
los ejes x e y. En este problema sólo calcularemos la
componente sobre el eje y. El módulo del campo eléctrico
producido por un elemento de carga dq es:
y la componente y es
en donde cos θ=y/r. La componente total y, Ey, se calcula
integrando desde x=x1 a x=x2:
Hacemos esta integral mediante un cambio de variable
utilizando funciones trigonométricas. En la figura vemos que
x=y tgθ, y por lo tanto la derivada de x es:
Por otra lado tenemos que
2
2
r
dx
k
r
kdq
d
λ
=
=
E
∫
∫
=
=
=
=
2
1
2
1
3
x
x
x
x
x
x
y
y
r
dx
y
k
dE
E λ
Si sustituimos los valores de dx y 1/r3 en la
ecuación de Ey obtenemos:
3
2
cos
r
ydx
k
r
y
r
dx
k
d
dEy
λ
λ
θ =
=
= E
1
sec
)
( 2
θ
θ
θ
θ
d
y
dx
d
tg
d
y
dx =
→
=
1Hemos usado la relación d(tg θ)/dθ=sec2θ.
( )
1
2
3
3
2
3
cos
cos
1
sec
cos
sec
2
1
2
1
2
1
θ
θ
λ
θ
θ
λ
θ
θ
θ
θ
θ
λ
λ
θ
θ
θ
θ
sen
sen
y
k
d
y
k
E
y
d
y
y
k
r
dx
y
k
E
y
x
x
y
−
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
=
=
∫
∫
∫
3
3
3
cos
1
cos
1
cos
y
r
y
r
r
y
θ
θ
θ =
→
=
→
=
Opcional

11. 13
r
EJEMPLO 22.1
Obtener una expresión del campo eléctrico a lo largo
de la recta perpendicular bisectora debido a una línea
cargada con densidad de carga lineal uniforme λ y
longitud L.
Campo eléctrico debido a una
línea finita cargada
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
j
y
L
L
y
k
j
E
i
E
E
y
k
y
k
E
j
y
L
L
y
k
E
y
L
L
r
L
sen
sen
y
k
sen
sen
y
k
sen
sen
y
k
E
y
x
x
y
y
ˆ
2
2
/
2
ˆ
ˆ
0
cos
cos
cos
cos
ˆ
2
2
/
2
2
2
/
2
/
2
:
Considerar
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
=
=
−
−
=
−
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
−
−
=
−
=
=
−
=
λ
θ
θ
λ
θ
θ
λ
λ
θ
θ
λ
θ
θ
λ
θ
θ
λ
θ
θ
θ

12. 14
EJEMPLO 22.3
Una línea cargada infinita de densidad lineal λ=0.6
µC/m está distribuida a lo largo del eje z, y una
carga puntual q=8 µC se encuentra sobre el eje y
en y=3 m. Determinar el campo eléctrico en el
punto P del eje x, en x=4 m.
Campo E debido a una línea
cargada y una carga puntual
Planteamiento del problema: El campo
eléctrico generado por este sistema se
determina a partir de la superposición de los
campos debidos a la carga lineal y a la carga
puntual. El campo debido a la línea cargada
EL apunta radialmente alejándose del eje z y
tiene dirección positiva del eje x.

13. 15
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
!
1
.
19
eje
el
y
campo
el
entre
ángulo
el
Determinar
.
5
/
.29
5
/
.73
1
/
.00
5
total
campo
del
módulo
el
Calcular
.
4
ˆ
/
.73
1
ˆ
/
.73
1
0
ˆ
/
.00
5
ˆ
/
.30
2
ˆ
/
70
.
2
ˆ
/
.73
1
ˆ
5
3
/
88
.
2
ˆ
/
.30
2
ˆ
5
4
/
88
.
2
total
campo
del
y
s
componente
las
Determinar
.
3
5
ˆ
3
ˆ
4
/
88
.
2
ˆ
4
3
10
8
/
10
99
.
8
5
ˆ
3
ˆ
4
4
3
ˆ
3
ˆ
4
ˆ
ˆ
puntual
carga
la
a
debido
punto
el
en
campo
el
Determinar
.
2
ˆ
/
70
.
2
ˆ
4
/
10
6
/
10
99
.
8
2
ˆ
2
infinita
lineal
carga
un
a
debido
punto
el
en
campo
el
Calcular
.
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
2
2
2
6
2
2
9
2
2
,
,
,
,
2
,
7
2
2
9
−
=
=
=
−
+
=
+
=
−
=
−
+
=
+
=
=
+
=
+
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
×
⋅
×
=
−
=
+
−
−
=
=
=
=
×
⋅
×
=
=
−
−
x
y
y
x
y
P
y
L
y
x
P
x
L
x
y
P
x
P
P
q
P
P
q
P
q
P
q
P
q
P
q
P
P
L
L
E
E
arctg
x
C
kN
C
kN
C
kN
E
E
E
j
C
kN
j
C
kN
E
E
E
i
C
kN
i
C
kN
i
C
kN
E
E
E
j
C
kN
j
C
kN
E
i
C
kN
i
C
kN
E
y
x
j
i
C
kN
r
m
m
C
C
m
N
E
j
i
j
i
r
r
r
r
r
kq
E
P
E
i
C
kN
i
m
m
C
C
m
N
i
R
k
E
P
E
φ
φ
λ

14. 16
Campo eléctrico sobre el eje de
un anillo cargado
( )2
3
2
2
a
x
kQx
Ex
+
=
Para cada elemento de carga dq1 existe otro
elemento simétrico dq2 de tal forma que la
suma de las componentes perpendiculares al
eje x, generadas por todos los elementos del
anillo, es cero; consecuentemente, el campo
total tiene la dirección del eje x.
Los elementos diferenciales de la
componente perpendicular del
campo se anulan por pares.
2
/
max a
x =
Anillo de radio a cargado uniformemente
con carga total Q:
COMPO ELÉCTRICO SOBRE EL EJE DE
UN ANILLO CARGADO

15. 17
A partir de la simetría de la figura vemos que el
campo resultante debido al anillo entero debe
estar dirigido a lo largo del eje del anillo, es
decir, se anulará la suma de las componentes
perpendiculares. La componente axial del campo
debido al elemento de carga indicado es:
en donde
El campo eléctrico debido al anillo completo
cargado es:
Como x no varía al integrar para los elementos
de carga, podemos sacarle fuera de la integral y,
por lo tanto,
( )2
3
2
2
2
2
cos
cos
a
x
kdqx
r
x
r
kdq
r
kdq
d
dEx
+
=
=
=
= θ
θ
E
( )
∫ +
= 2
3
2
2
a
x
kxdq
Ex
( )2
3
2
2
3
2
2
cos
a
x
r
a
x
r
r
x
+
=
→
+
=
=
θ
( ) ( ) 2
3
2
2
2
3
2
2
a
x
kQx
dq
a
x
kx
Ex
+
=
+
= ∫
Opcional

16. 18
Campo eléctrico en el eje de un
disco uniformemente cargado
El disco se puede considerar
como si estuviera formado por
una serie de cargas anulares
concéntricas.
0
,
1
1
1
2
;
0
,
1
1
1
2
2
2
2
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
= x
x
R
k
E
x
x
R
k
E x
x σ
π
σ
π
R
x
x
kQ
Ex
= ,
2
Para valores de x grandes (xR), Ex se aproxima al
valor de una carga puntual Q colocada en el origen:
Para valores de x pequeños (R/x→∞, n/∞=0), Ex se
aproxima al valor de un plano infinito de carga. El
campo no depende de x (es decir, el campo eléctrico es
uniforme) y existe una discontinuidad en Ex de 4πkσ:
0
,
2
0
,
2
−
=
=
x
k
E
x
k
E
x
x
σ
π
σ
π
CAMPO ELÉCTRICO E EN EL EJE DE UN DISCO UNIFORMEMENTE CARGADO
CAMPO E EN LAS PROXIMIDADES DE UN PLANO INFINITO DE CARGA
2
a
A π
=
( )
2
2
2
1
2
2
2
1
1
:
1
para
1
1
binomio
del
serie
en
desarrollo
el
utiliza
Se
x
R
x
R
n
n
−
≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
≈
+
−
ε
ε
ε

17. 19
Discontinuidad de E en un plano
infinito de carga

18. 20
Campo eléctrico en el eje de un
disco con carga uniforme
EJEMPLO 22.4
Un disco de radio 5 cm es portador de una densidad superficial
uniforme de valor 4 µC/m2. Utilizando aproximaciones
razonables, determinar E sobre el eje del disco a distancia de
(a) 0.01 cm, (b) 0.03 cm, (c) 6 m. Comparar los resultados con
los valores exactos a los que se llega utilizando la ecuación:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
2
2
)
(
1
1
1
2
x
R
k
E exacta
x σ
π
Planteamiento del problema: A grandes
distancias el campo debido al disco debe
tender al de una carga puntual y debe ser
igual al del plano infinito cargado en el
limite cuando x→0. Para calcular el valor
exacto del campo eléctrico en puntos
especificos se utilizará la siguente expresión
para Ex(exacta):

19. 21
( )( )
( )( )
( )
N/C
84
.
7
m
6
2
m
05
.
0
N/C
88
.
225
2
2
600
N/C
88
.
225
2
03
.
0
N/C
88
.
225
10
4
/
10
98755
.
8
2
2
01
.
0
2
2
2
2
2
2
2
.
.
2
6
2
2
9
.
k
k
x
R
k
x
R
k
x
kQ
E
cm
d
k
k
E
cm
d
k
C/m
C
m
N
k
E
cm
d
aprox
x
aprox
x
aprox
x
=
=
=
=
≈
=
=
≈
=
=
×
⋅
×
=
≈
=
−
σ
π
σπ
σ
π
π
σ
π
Campo debido a un plano infinito de carga:
Campo debido a una carga puntual:
x
(cm)
Ex (exacta)
(kN/C)
Ex (aprox.)
(kN/C)
% dif.
0.01 225.43 225.88 0.2
0.03 224.53 225.88 0.6
600 7.84 7.84 0.005

20. 22
PROBLEMA 19
Una carga de 2.75 µC está uniformemente distribuida sobre un anillo
de radio 8.5 cm. Determinar el campo eléctrico generado sobre el eje a
(a) 1.2 cm, (b) 3.6 cm y (c) 4.0 m del centro del anillo. (d) Determinar
el campo a 4.0 m con la aproximación de que el anillo es una carga
puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido en (c).
= 8.5 cm
x
( )2
3
2
2
a
x
kQx
Ex
+
=
COMPO ELÉCTRICO SOBRE EL EJE DE UN
ANILLO CARGADO

21. 24
PROBLEMA 21
Una carga lineal uniforme se extiende desde x=-2.5 cm a x=+2.5 cm y
posee una densidad de carga lineal λ=6.0 nC/m. (a) Determinar la
carga total. Hallar el campo eléctrico generado sobre el eje y en (b)
y=4 cm, (c) y=12 cm y (d) y=4.5 m. (e) Determinar el campo eléctrico
en y=4.5 m suponiendo que la carga es puntual y comparar el
resultado con el obtenido en (d).
2
2
2
1
2
1
2
)
(
y
L
L
y
k
y
Ey
+
!
#
$
%
=
λ
CAMPO ELÉCTRICO A LO LARGO DE UNA RECTA ⊥
BISECTORA DE UNA LÍNEA DE CARGA FINITA
(VÉASE EL EJEMPLO 22.1)
+ + + + + + + + + + + + +
x
y
L=5 cm
Ey

22. 26
22-2
Ley de Gauss

23. 27
Enunciado cualitativo de la
Ley de Gauss
Dipolo eléctrico encerrado en
una superficie de forma
arbitraria. El número de
líneas que abandonan la
superficie es exactamente
igual al número de líneas
que entran en ella sin que
importe donde se dibuje la
superficie, siempre que se
encierren dentro de ella ambas
cargas del dipolo.
Se entiende por superficie
cerrada aquella que divide el
espacio en dos regiones
diferentes, la interior y la
exterior.
Johann Carl Friedrich Gauss,
matemático, astrónomo y físico
alemán (1777-1855)
El número neto de líneas que salen por cualquier superficie que encierra
las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie.
ENUNCIADO CUALITATIVO DE LA LEY DE GAUSS
Para cargas estáticas la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes. Sin embargo, la ley
de Gauss es más general, pues también puede aplicarse a distribuciones de cargas no estáticas.
7in 7out

24. 28
Superficie de forma arbitraria que incluye
las cargas +2q y –q. Las líneas de campo
que terminan en –q o bien no pasan a
través de la superficie o bien salen y
vuelven a entrar.
El número neto de líneas que salen y no
vuelven a entrar es proporcional a la
carga neta dentro de la superficie.

25. 29
Flujo eléctrico, φ
EA
=
φ
Las unidades SI del flujo son (N·m2/C)
La magnitud matemática que está relacionada con el número de líneas
de campo que atraviesa una superficie se llama flujo eléctrico, φ.

26. 30
A
E
EA
A
n
E n
=
=
⋅
= θ
φ cos
ˆ
vector normal unitario:
En es la componente
⊥ al área.
Nótese que el flujo que atraviesa A2 es el mismo que pasa por A1.

27. 31
Si el elemento de área ΔAi que elegimos es
suficientemente pequeño, podemos considerarle
como un plano y la variación del campo eléctrico
a través del elemento puede despreciarse.
i
i
i
i
ni
i A
n
E
A
E Δ
⋅
=
Δ
=
Δ ˆ
φ
∑ ∫ ⋅
=
Δ
⋅
= →
Δ
i S
i
i
i
A dA
n
E
A
n
E
i
ˆ
ˆ
lim 0
φ
∫ ∫
=
⋅
=
S S
n
neto dA
E
dA
n
E ˆ
φ
El vector normal unitario n se
define de modo que está
dirigido hacia fuera en cada
punto. Si E está dirigido hacia
dentro (fuera), En es negativo
(positivo).
Definición de flujo eléctrico
DEFINICIÓN-FLUJO ELÉCTRICO
Superficie de forma arbitraria sobre la cual el
campo E puede variar:

28. 32
Enunciado cuantitativo de la
Ley de Gauss
interior
4 kQ
dA
E
S
n
neto π
φ =
= ∫
LEY DE GAUSS
kQ
R
R
kQ
R
E
dA
E
dA
E
neto
S S
n
n
n
neto
π
π
φ
π
φ
4
4
4
2
2
2
=
=
⋅
=
=
= ∫ ∫
El flujo neto a través de cualquier superficie
es igual a 4πk veces la carga neta dentro de
la superficie. El flujo neto es independiente
del radio de la esfera.
En puede salir de la
integral por ser constante
en todos los puntos.
En matemática, una integral de línea
(circulación) es aquella integral cuya
función es evaluada sobre una curva, o
sea, sobre una trayectoria cerrada.
∫
S

29. 33
Superficie con tres cargas
puntuales
Cada línea de fuerza procedente de q3 entra
en la superficie en un punto y abandona la
misma en algún otro punto (φ3=0).
Puesto que el campo eléctrico en cualquier
punto de la superficie es el vector suma de
los campos eléctricos producidos por cada
una de las tres cargas, el flujo neto a través
de la superficie es precisamente la suma de
los flujos debidos a las cargas individuales:
( )
2
1
3
2
2
1
1
3
2
1
4
0
4
4
q
q
k
kq
kq
neto
neto
+
=
=
=
=
+
+
=
π
φ
φ
π
φ
π
φ
φ
φ
φ
φ

30. 34
Permitividad del vacío, εo
o
k
πε
4
1
=
r
r
q
E
o
ˆ
4
1
2
πε
=
LEY DE COULOMB
interior
1
Q
dA
E
o
S
n
neto
ε
φ =
= ∫
LEY DE GAUSS
( )
2
2
12
2
2
9
/
C
10
85
.
8
/
10
99
.
8
4
1
4
1
m
N
C
m
N
k
o ⋅
×
=
⋅
×
=
= −
π
π
ε
Válida solo en distribuciones
de carga estáticas.
Válida para calcular E en distribuciones
de carga con altos grados de simetría.
También puede aplicarse a distribuciones
de carga no estáticas.
La permitividad es una cantidad física que describe
cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un
medio. Es costumbre escribir la constante de Coulomb k
en función de esta constante εo:

31. 35
Flujo a través de una superficie
cilíndrica cerrada
EJEMPLO 22.5
Un campo eléctrico vale E=(200 N/C)i para x0 y E=(-200 N/C)i para x0. Un
cilindro imaginario de longitud 20 cm y radio R=5 cm tiene su centro en el
origen y su eje a lo largo del eje x, de modo que un extremo se encuentra en
x=+10 cm y el otro en x=-10 cm. (a) ¿Cuál es el flujo neto del campo eléctrico
que atraviesa la superficie total cerrada del cilindro? (b) ¿Cuál es la carga neta
interior al cilindro?
A
ˆ
interior
neto
o
Q
n
E
ε
φ
φ
=
⋅
=
Planteamiento del problema: La
superficie cerrada que se describe se
compone de tres piezas: dos bases y una
superficie curvada. Calcular el flujo de E a
través de cada pieza por separado.

32. 36
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )( )
( )( )
pC
C
C
m
N
m
N
C
Q
C
m
N
m
N
C
m
N
A
C
m
N
m
C
N
R
A
C
m
N
m
C
N
R
A
neto
o
erior
curva
izq
der
neto
curva
curva
curva
izq
izq
izq
izq
der
der
der
der
8
.
27
10
78
.
2
/
14
.
3
/
10
85
.
8
neto
flujo
el
con
interior
carga
la
relaciona
Gauss
de
ley
La
.
5
/
14
.
3
0
57
.
1
/
57
.
1
s
superficie
las
todas
de
través
a
flujos
de
suma
la
es
total
flujo
El
.
4
0
ˆ
ˆ
a
lar
perpendicu
es
que
ya
cero,
es
curva
superficie
la
de
través
a
flujo
El
.
3
/
57
.
1
05
.
0
/
200
ˆ
ˆ
es
unitario
vector
cuyo
cilindro,
del
izquierda
base
la
de
sale
que
flujo
el
Calcular
.
2
/
57
.
1
05
.
0
/
200
ˆ
ˆ
es
unitario
vector
cuyo
cilindro,
del
derecha
base
la
de
sale
que
flujo
el
Calcular
.
1
11
2
2
2
12
int
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
×
=
⋅
⋅
×
=
=
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
=
⋅
=
⋅
=
−
⋅
−
=
−
⋅
=
⋅
=
−
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
−
−
φ
ε
φ
φ
φ
φ
φ
π
π
φ
π
π
φ
n
E
n
E
i
i
i
E
n
E
i
n
i
i
i
E
n
E
i
n
Observaciones: El flujo no depende de la
longitud del cilindro (20 cm), lo cual
significa que la carga se ubica totalmente
en el plano yz.

33. 37
22-3
Cálculo de E mediante la
Ley de Gauss

34. 38
Simetría plana
Superficie Gaussiana:
superficie cerrada imaginaria en
la que en cada una de sus
partes, o bien En es constante y
E y n son paralelos o
perpendiculares, o bien E es
cero. En este caso escogeremos
como superficie gaussiana un
cilindro en forma de lata.
Plano infinito de carga de
densidad superficial σ
A
E
A
E
A
E
A
Q
n
n
n
cur
izq
der
neto 2
0 =
+
+
=
+
+
=
=
φ
φ
φ
φ
σ
A
E
A
Q
n
o
neto
o
2
interior
ε
σ
φ
ε
=
=
σ
π
ε
σ
k
E
o
n 2
2
=
=
Si σ0, E se dirige hacia fuera del plano
cargado y si σ0 el campo apunta hacia
el plano.
CAMPO ELÉCTRICO E PRÓXIMO A UN
PLANO INFINITO DE CARGA

35. 39
Campo eléctrico debido a dos
planos infinitos
EJEMPLO 22.6
En la figura, un plano infinito de densidad de carga superficial σ=+4.5 nC/m2
coincide con el plano yz en el origen, y un segundo plano infinito de densidad
de carga superficial σ=-4.5 nC/m2 se localiza en un plano paralelo al plano yz
en x=2 m. Determinar el campo eléctrico en (a) x=1.8 m y (b) x=5 m.
Planteamiento del problema: Cada uno de los planos
produce un campo eléctrico uniforme de módulo E=σ/
2εo. (a) Entre los planos, los campos se suman,
produciendo un campo neto de módulo σ/εo en la
dirección x positiva. (b) Para x2 m o x0, los campos
apuntan en direcciones opuestas y se cancelan.
( )
0
0
.
5
N/C
508
N/C
254
N/C
254
8
.
1
N/C
254
/
10
8.85
2
C/m
10
5
.
4
2
2
1
2
1
2
2
12
-
2
9
=
−
=
=
=
+
=
+
=
=
=
⋅
×
×
=
=
−
E
E
E
m
x
E
E
E
m
x
m
N
C
E
x, neto
x, neto
o
ε
σ
Observaciones: El campo eléctrico es cero excepto
entre los planos. Obsérvese que Ex,neto=508 N/C, no
justamente a 1.8 m, sino en cualquier punto entre
los planos.

36. 40
Simetría esférica
o
r
o
neto
S S S
r
r
r
neto
q
r
E
q
r
E
dA
E
dA
E
dA
n
E
ε
π
ε
φ
π
φ
=
=
=
=
=
⋅
= ∫ ∫ ∫
2
2
4
4
ˆ
2
4
1
r
q
E
o
r
πε
=
Así pues, hemos deducido la Ley de Coulomb
a partir de la Ley de Gauss. Ambas leyes son
equivalentes para cargas estáticas.
LEY DE COULOMB
Superficie Gaussiana esférica: por simetría, E
es radial y su módulo depende sólo de la
distancia a la carga.
Corteza esférica
uniformemente cargada

37. 41
Campo eléctrico debido a una
corteza esférica
o
r
S S
r
r
r
neto
Q
r
E
r
E
dA
E
dA
E
ε
π
π
φ
=
=
=
= ∫ ∫
2
2
4
4
Si elegimos una superficie gaussiana esférica
exterior (rR):
Si elegimos una superficie gaussiana esférica
interior (rR):
0
4
4
2
2
=
=
=
= ∫ ∫
r
E
r
E
dA
E
dA
E
r
S S
r
r
r
neto
π
π
φ
La carga total dentro
la esfera es cero
El campo eléctrico es
discontinuo para r=R.
R
r
r
Q
E
o
r
= ,
4
1
2
πε
CAMPO ELÉCTRICO E
EXTERIOR A UNA CORTEZA
ESFÉRICA DE CARGA
CAMPO ELÉCTRICO E EN EL
INTERIOR DE UNA CORTEZA
ESFÉRICA DE CARGADA
R
r
Er
= ,
0
Estos resultados pueden obtenerse
por integración directa de la ley de
Coulomb, pero el cálculo es mucho
más difícil.

38. 42
Campo eléctrico debido a una carga
puntual y una corteza esférica
x=2
EJEMPLO 22.7
Un corteza esférica de radio R=3 m tiene su centro en el origen y
contiene una densidad de carga superficial σ=3 nC/m2. Una carga puntual
q=250 nC se encuentra sobre el eje y en y=2 m. Determinar el campo
eléctrico en el eje x en (a) x=2 m y (b) x=4 m.
(a) Dentro de la corteza E1 es debido sólo a la carga puntual q:
( )( )
( ) ( )
C
N
(i-j
j
s
C
N
i
C
N
j
s
E
i
E
j
E
i
E
E
m
C
m
r
kq
E
m
m
m
r
y
x
/
)
199
45
en
/
281
45
cos
/
281
45
en
45
cos
45
N/C
281
8
C
10
250
/
N
10
99
.
8
r̂
8
)
2
(
)
2
(
1
1
1
1
1
2
9
2
2
9
1
2
1
1
2
2
2
2
1
=
−
=
−
=
+
=
=
=
×
⋅
×
=
=
=
+
=
−
!
!
!
!
!
ϑ

39. 43
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) C
N
j
i
E
sen
s
E
E
E
E
.
E
E
E
E
E
arctg
m
m
tg
m
C
m
E
m
m
m
r
r
r
kq
E
m
C
m
E
nC
m
m
nC
R
A
Q
i
x
kQ
E
p
cy
py
y
c
p
cx
px
x
p
p
c
c
/
50
290
N/C
50
6
.
26
N/C
112
0
en
N/C
290
N/C
190
6
26
cos
N/C
112
cos
6
.
26
2
1
2
1
4
2
N/C
112
20
C
10
250
/
N
10
99
.
8
20
)
4
(
)
2
(
ˆ
N/C
190
4
C
10
339
/
N
10
99
.
8
339
3
4
/
3
4
2
9
2
2
9
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
2
2
9
2
2
2
2
2
−
=
−
=
−
=
+
−
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
=
=
⇒
=
=
=
×
⋅
×
=
=
+
=
=
=
×
⋅
×
=
=
=
=
=
=
−
−
!
!
!
θ
θ
ϑ
ϑ
π
π
σ
σ
x=4
(b) Fuera de su perímetro, la corteza
puede considerarse como una carga
puntual en el origen y el campo debido a
la corteza Ec está dirigido a lo largo del
eje x:
Ec

40. 44
Campo eléctrico debido a una
esfera aislante sólida cargada
EJEMPLO 22.8
Determinar el campo eléctrico en (a) fuera y (b) dentro de una esfera
sólida uniformemente cargada de radio R portadora de una carga Q que
está distribuida por todo el volumen de la esfera con densidad de carga
ρ=Q/V, siendo V=4/3πR3 el volumen de la esfera.
(a) Por simetría, el campo eléctrico debe ser radial.
Para determinar Er fuera de la esfera cargada, debemos
elegir una superficie esférica gaussiana de radio rR:
R
r
r
Q
E
Q
Q
r
E
r
E
A
r
E
A
n
E
o
r
o
o
exterior
r
r
neto
≥
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
,
4
1
4
4
ˆ
ˆ
2
2
2
πε
ε
ε
π
π
φ
LEY DE GAUSS

41. 45
(b) Para determinar Er dentro de la esfera cargada,
debemos elegir una superficie esférica gaussiana de
radio rR:
LEY DE GAUSS
R
r
r
R
Q
E
R
r
Q
r
R
Q
V
V
Q
V
Q
Q
r
E
r
E
A
r
E
A
n
E
o
r
o
r
r
neto
≤
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
,
4
1
3
4
3
4
´
´
4
4
ˆ
ˆ
3
3
3
3
3
interior
interior
2
2
πε
π
π
ρ
ε
π
π
φ
Observaciones: En el interior de la esfera, Er
aumenta con r. Obsérvese que Er es continuo en
r=R. A veces se utiliza una esfera uniformemente
cargada para describir el campo eléctrico de un
núcleo atómico.

42. 46
Campo eléctrico debido a una
esfera conductora sólida cargada
En condiciones electrostáticas el
campo eléctrico adentro de un
esfera conductora sólida es cero.
Afuera de la esfera el campo eléctrico
decae con 1/r2, como si todo el exceso
de carga de la esfera estuviese
concentrado en su centro.

43. 47
Simetría cilíndrica
EJEMPLO 22.9
Utilizar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico a una
distancia r de una carga lineal infinitamente larga de densidad de
carga uniforme λ.
En las proximidades del extremo de una carga lineal
de longitud finita no podemos suponer que E es
perpendicular a la superficie cilíndrica o que En es
constante en todos los puntos de la misma y, por lo
tanto, no puede utilizarse la ley de Gauss para calcular
el campo eléctrico.
R
k
r
E
L
rL
E
Q
A
n
E
A
n
E
RL
E
R
E
A
n
E
o
r
o
r
neto
derecha
derecha
izquierda
izquierda
R
sl
sl
λ
λ
πε
ε
λ
π
ε
φ
φ
φ
π
φ
2
2
1
2
0
ˆ
0
ˆ
2
A
ˆ
ˆ
o
interior
sl
=
=
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
Carga lineal infinita

44. 48
22-5
Carga y campo en la superficie de
los conductores

45. 49
Equilibrio electrostático
Todos los conductores poseen cargas
con libertad de movimiento en el
volumen que limita la superficie.
Si hubiera un campo eléctrico que
actuase en el interior del conductor se
produciría una fuerza que daría lugar
a una corriente eléctrica momentánea.
Sin embargo, la carga libre del
conductor se redistribuye de tal modo
que se anula cualquier campo externo
dentro del conductor:
Se dice entonces que el conductor se
encuentra en equilibrio
electrostático.
Si existe alguna carga neta en el conductor,
ésta debe residir sobre la superficie del propio
conductor y el campo eléctrico que origina
debe ser perpendicular a la misma superficie.
Si existiera una componente tangencial de E,
la carga libre sería acelerada tangencialmente
hasta que se anulara dicha componente.
0
0
0
=
=
=
neta
neto
dentro
E
ρ
φ

46. 50
o
n
E
ε
σ
=
En JUSTAMENTE FUERA DE LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR
La carga que hay en la
vecindad del punto P se
asemeja a un disco
circular uniformemente
cargado. Esta carga
produce un campo
eléctrico de valor σ/(2εo)
tanto en el interior como
en el exterior del
conductor.
Puesto que el campo resultante en el interior debe ser
cero, el resto de la carga debe producir un campo de igual
valor σ/(2εo) en dirección hacia arriba. Dentro del
conductor estos campos se anulan, pero fuera, en el punto
P se suman, resultando En=σ/εo.
La carga sobre el conductor está compuesta por dos partes: (1) la
carga en la vecindad del punto P y (2) el resto de la carga:

47. 51
La carga del planeta Tierra
EJEMPLO 22.10
Consultando algún tratado acerca de la atmósfera, podemos averiguar
que el valor medio del campo eléctrico de nuestro planeta es de
aproximadamente de 100 N/C y está dirigido verticalmente hacia abajo.
Con lo estudiado acerca del campo eléctrico, una pregunta que podemos
hacernos es si se puede determinar cuál es la carga total en la superficie
de la Tierra.
Planteamiento del problema: La Tierra es un conductor, por lo
que su carga neta estará distribuida en la superficie terrestre. La
carga total Q que estamos buscando será σA, siendo A la
superficie de la Tierra.

48. 52
( )( )( )
10
53
.
4
10
38
.
6
/
100
/
10
85
8
4
4
10
38
.
6
es
Tierra
la
de
radio
El
.
5
4
4
A
4
que
tenemos
así
y
,
radio
de
esférica,
es
Tierra
la
de
superficie
la
que
os
Consideram
.
4
A
A
:
terrestre
superficie
la
de
área
el
por
do
multiplica
carga
de
densidad
la
es
que
y
previos
pasos
dos
los
os
Consideram
.
3
/
100
180
cos
1
ˆ
:
negativo
es
E
tanto,
lo
por
y
,
180
de
ángulo
un
forman
misma
la
de
unitario
y vector
eléctrico
campo
vectores
los
Tierra,
la
de
superficie
la
En
.
2
:
relación
la
mediante
relacionan
se
l
superficia
carga
de
densidad
la
y
campo
del
normal
componente
La
.
1
5
2
6
2
2
12
2
6
2
2
2
n
C
m
C
N
m
N
C
.
π
ER
π
Q
m
ER
π
πR
E
E
Q
πr
A
r
E
E
A
Q
Q
C
N
E
E
E
E
T
o
T
o
T
o
o
o
n
o
n
o
n
×
−
=
×
⋅
×
−
=
−
=
×
−
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
−
=
−
=
×
×
=
⋅
=
=
−
ε
ε
ε
ε
ε
ε
σ
ε
σ
!
!
n
E

49. 53
PROBLEMA 43
Una esfera no conductora de radio R=0.1 m posee una carga volúmica
uniforme de densidad ρ=2.0 nC/m3. Determinar el módulo del campo
eléctrico en r=0.5R.