Guida 1A-3 [2009 - 2010]

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE DI MILANO
FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA

Giovanni Lariccia
Matelsup1

MATEMATICHE ELEMENTARI DAL
PUNTO DI VISTA SUPERIORE (SE)
(Esame obbligatorio per gli studenti del secondo anno di corso)

Anno Accademico 2009 – 2010
Guida 1A-3
(Guida alla preparazione all’ esame di Matelsup1
seguendo il percorso A, secondo anno)

Pagina 1 su 59 pagine

Sommario
Obiettivi del corso ................................................................................... 4
Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture, operazioni, algoritmi ....... 5
Alcuni assiomi di base ............................................................................. 6
Se faccio, capisco ............................................................................................................................. 6
Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica! ............................................... 6
Un programma, due percorsi .................................................................... 8
La presente Guida A ................................................................................ 9
Obiettivo finale del corso Matelsup1 ........................................................ 10
Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica .................................... 11
Il versante apprendimento ..................................................................... 12
In che cosa consiste l’ esame ................................................................. 13
Lavori individuali e lavori di gruppo ......................................................... 14
Le tre fasi dell’ apprendimento matematico .............................................. 15
Gli strumenti per rappresentare, comunicare, costruire .............................. 16
I siti per costruire le conoscenze ............................................................. 17
I siti wiki - wetpaint ........................................................................................................................ 17
Blackboard .......................................................................................... 19
Mediafire: un deposito di emergenza ....................................................... 20
I blog in generale e il vostro blog in particolare ......................................... 21
Un esempio di blog molto ben condotto: Irene Frondoni ............................................................... 21
Le prove del percorso A (da A00 a A09) ................................................... 22
I-AB-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di studio ...................... 22
G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’ educazione matematica
nei paesi emergenti ..................................................................................... 23
I-AB-02 – Io e la matematica ....................................................................... 24
I-AB-03 – Il genio della porta accanto ............................................................ 24
IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico ................................................... 25
I-AB-05 – La mia famiglia ............................................................................ 25
G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale .................................... 27
G-A-07 – Le figure di Sierpinski .................................................................... 28
GA-08 – Calcolare a mente secondo C. Bortolato ............................................. 30
GA-09 – Contare con Iplozero 2009 ............................................................... 30
Iplozero 2009 e QQ.storie ...................................................................... 33
A cosa servono? .............................................................................................................................. 33
Indicazioni pratiche relative a Iplozero 2009 ............................................. 34
Il sistema operativo di riferimento.................................................................................................. 34
Da dove si scaricano ....................................................................................................................... 34
Installazione .................................................................................................................................... 34


La prima esecuzione ....................................................................................................................... 34
Registrazione .................................................................................................................................. 35
Bibliografia essenziale ........................................................................... 36
Bibliografia generale ............................................................................. 37
Appendice Numero 1 ............................................................................. 42
Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto ................... 46
Premessa ................................................................................................... 46
Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello............................... 48
Come va condotta l' intervista ........................................................................................................ 48
Domande di base ............................................................................................................................ 48
Appendice Numero 5 - Keith Devlin: pensare la matematica ....................... 51
Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin .................................................... 51
Pensare la matematica, di Keith Devlin........................................................... 52
Appendice Numero 6 - Il rapporto Oecd – Pisa: una ricerca tra i 15enni di 57
paesi del mondo ................................................................................... 58
Appendice Numero 7 – Rapporto PISA: flop della scuola o questione
settentrionale? ..................................................................................... 59


Obiettivi del corso
Acquisire consapevolezza del ruolo della matematica nello sviluppo della civiltà e nello sviluppo
cognitivo individuale, con particolare riguardo alle abilità numeriche. Acquisire competenze sulle
strutture aritmetiche elementari e sui relativi algoritmi. Saper osservare, registrare ed analizzare il
comportamento di bambini e di adulti che svolgono semplici operazioni aritmetiche anche in una base di
numerazione diversa dalla base dieci, eventualmente con sussidi o strumenti di calcolo appropriati.
(dalla Guida al Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria)


Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture,
operazioni, algoritmi
La rappresentazione delle conoscenze, il costruttivismo e la metacognizione nello studio dei processi di
apprendimento - insegnamento della matematica: se faccio, capisco, imparare a imparare. La natura
duale (dichiarativo-procedurale) del sapere matematico: sapere e saper fare. Cosa ci dicono la scienza
cognitiva della matematica e l‟informatica della mente sulle nostre capacità numeriche (innate,
acquisite). L‟aritmetica dei libri scolastici e l‟aritmetica di strada: cosa si deve sapere e cosa si deve
saper fare per sopravvivere nella nostra civiltà. Importanza della didattica metacognitiva per favorire
l‟apprendimento dell‟aritmetica. Strategie di calcolo mentale. Sussidi e strumenti di calcolo. Il paese di
matelandia: come portare i bambini ad essere matematici piuttosto che insegnare la matematica. Brevi
cenni allo sviluppo della matematica nella storia e alla vita di alcuni geni della matematica. Sistemi di
numerazione in base diversa da dieci. Abaci e supporti per il calcolo nella storia dell‟umanità. Come si
costruiscono, si raffinano e si mantengono le abilità matematica (brain training).


Alcuni assiomi di base
Prima di parlare di come si deve preparare il programma del corso di Matematiche Elementari da un
Punto di Vista Superiore vogliamo o fissare alcuni assiomi di base..
Ci sono due versanti in questo in questo corso e quindi due sezioni degli assiomi di base.
Il primo versante lo chiameremo versante apprendimento. Sul versante dell'apprendimento i miei
assiomi di base sono i seguenti.

Se faccio, capisco
La matematica si capisce soltanto facendola. Questo assioma è stato assunto come base per un
importantissimo progetto di apprendimento - insegnamento della matematica della matematica chiamato
"Se faccio, capisco".. Il progetto di cui parliamo si chiama Progetto Nuffield. Risale alla seconda metà
degli anni 60 ed è stato finanziato in Gran Bretagna dalla fondazione Nuffield. Le guide per gli allievi e
per gli insegnanti del progetto Nuffield sono state tradotte in Italia dalla casa editrice Zanichelli ed
hanno avuto un grande rilievo negli ambienti dei cultori della Didattica della matematica all'inizio degli
anni 70.
Ma non sono soltanto gli esperti di didattica che asseriscono che la matematica si capisce facendola.
Anche la maggior parte dei ricercatori matematici concordano su questo assioma. Ecco come si esprime
a questo proposito il presidente del Festival internazionale della matematica che si è tenuto nel 2007 a
Roma e si ripete ogni anno, sempre a Roma , durante il mese di marzo. Questo scienziato afferma più o
meno testualmente: “ perché noi matematici sappiamo bene che la matematica si comprende soltanto
facendola. Quando uno di noi deve rivedere una pubblicazione scientifica fatta da un collega, deve
ripercorrere passo passo tutte le dimostrazioni che il collega ha fatto per potere capire quello che egli
afferma di avere scoperto”.
E‟ bene ricordare che la frase “Se faccio capisco” rappresenta la conclusione di un noto proverbio cinese
che preso nella sua interezza dice “ Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio capisco”.
Dunque io ho deciso di prendere come assioma – ovvero come una asserzione di base di cui non intendo
fornire la dimostrazione perché sin troppo evidente! - il fatto che la matematica per capirla bisogna
farla.

Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica!
Un altro supporto a questo assioma viene fornito da Seymour Papert, un illustre matematico ed
epistemologo sudafricano che ha lavorato per due anni con il grande psicologo Jean Piaget, uno dei
maggiori psicologi del „900, che ha studiato la nascita e lo sviluppo dell‟ intelligenza nel bambino
fondando quella branca del sapere che si chiama epistemologia genetica.
Seymour Papert ha lavorato per due anni con Jean Piaget, occupandosi di della nascita dei concetti della
cibernetica nei bambini e contribuendo alla stesura di saggi molto importanti in questo settore in
collaborazione con Piaget ed altri collaboratori.
Successivamente Papert si recò negli Stati Uniti dove insieme a Marvin Minsky è uno dei pionieri degli
studi che vanno sotto il nome di Intelligenza Artificiale e fonda un laboratorio di ricerca sull‟
Intelligenza Artificiale presso il Massachusetts Institute of Technology, una delle più prestigiose
università americane con sede a Cambridge, Massachussetts.


Dopo avere collaborato alla stesura di importanti contributi allo sviluppo della intelligenza artificiale -
ricordiamo un'opera fondamentale chiamata Perceptrons, scritta con Marvin Minsky, Papert entra a far
parte del progetto Logo sviluppato presso la società Bolt Beranek & Newman per conto del governo
americano.
Il progetto Logo si propone di sviluppare un contesto in cui i bambini diventano capaci di progettare
programmi per computer allo scopo di interagire in modo autorevole con il computer stesso. Lo scopo
del progetto Logo non è quello di creare dei programmatori ma di rivolgersi a dei bambini piccoli a
partire da 6 - 7 anni per metterli in condizione di dominare la logica del computer.
Al progetto partecipano diversi specialisti del settore della intelligenza artificiale dell'epoca. Tra questi
citiamo Daniel Bobrow.
Seymour Papert in una pubblicazione per il Mit della serie dei Logo Memo del 1969 dichiara
semplicemente che “è meglio allevare dei piccoli matematici piuttosto che insegnare la
matematica”.
Questa affermazione all‟ epoca apparì piuttosto provocatoria – ed in effetti voleva proprio essere tale! -
ma dopo alcuni decenni in cui gli psicologi hanno continuato ad investigare sulle difficoltà connesse all‟
apprendimento della matematica e sui metodi per superarle, appare come profetica
Oggi si parla infatti di metacognizione e di didattica metacognitiva per intendere il fatto che l‟
apprendimento della matematica, per essere efficace, deve essere consapevole.
E si lavora molto sulla possibilità di favorire questa consapevolezza e questo pieno coinvolgimento dell‟
allievo usando il gioco come metodologia di coinvolgimento.
Dunque la dichiarazione rivoluzionaria di Seymour Papert ha avuto un seguito, sia pure in modo
indiretto, ed oggi verrebbe sottoscritta dalla maggior parte degli esperti di didattica della matematica.
Noi la prendiamo come uno degli assiomi sul versante apprendimento della matematica.


Un programma, due percorsi
Per preparare l‟ esame di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore (SE) – d‟ ora in
avanti abbreviato con la sigla Matelsup1 – gli studenti possono seguire due percorsi distinti,
contraddistinti dalle lettere A e B. I due percorsi sono assolutamente coerenti tra di loro e derivano
entrambi dallo stesso, il programma ufficiale del corso che abbiamo appena trascritto.
Lo studente che ha scelto uno dei due piani può comunque, anche a metà del piano, passare all‟ altro
piano. Se una persona passa dal Percorso A al Percorso B deve soltanto comunciarlo al docente. Se
invece si vuole passare dal Percorso B al Percorso A - eventualmente conservando alcuni lavori già
svolti per il Percorso B - occorre negoziare con il docente la personalizzazione del proprio percorso.
Scegliere il Percorso A piuttosto che il Percorso B non comporta alcun privilegio o vantaggio, in termini
sia di tempo che di quantità di studio e, di conseguenza, in termini di risultato finale. Una persona che
ha seguito la Guida A può effettuare una preparazione affrettata ed ottenere un cattivo risultato all'
esame, così come una persona che segue la Guida B, studiando con intelligenza ed impegno, può
ottenere comunque il massimo dei voti e la lode.


La presente Guida A
La presente Guida A riguarda dunque in modo specifico il Percorso A. Il Percorso A - che abbiamo
definito sperimentale - si rivolge principalmente a coloro che hanno frequentato il corso ed hanno
accettato la sfida di un piano di lavoro dinamico, creativo ed interattivo, basato sul dialogo e sulla
iniziativa da parte dello studente a cui corrisponde una risposta flessibile da parte del docente.


Obiettivo finale del corso Matelsup1
L‟ obiettivo finale del corso MatelSup1 è quello di avvicinare o riconciliare gli allievi con la
matematica, alle sue metodologie e alle sue strategie, dando loro la percezione di quanto questa
disciplina sia importante per la costruzione e la manutenzione della nostra civiltà e di quanti ambiti
disciplinari si occupino oggi della questione.
Riteniamo che in un corso di trenta ore, a cui si aggiungeranno mediamente altre sessanta ore di
preparazione all‟ esame, non sia possibile in alcun modo costruire delle competenze significative in
ordine alla struttura delle conoscenze matematiche e, soprattutto, ai problemi relativi all‟ apprendimento
e all‟ insegnamento di questa materia nella scuola primaria.
Crediamo che l‟ unico modo di ottenere un risultato significativo, il più esteso possibile, sia quello di far
provare in modo diretto agli allievi un certo numero di esperienze di apprendimento.
Al tempo stesso pensiamo che sia estremamente utile dare a tutti coloro che sosterranno questo esame
che di fronte al compito immane di costruire delle competenze matematiche adeguate alla nostra epoca e
al nostro paese non siamo soli, ma possiamo con relativa facilità entrare a far parte di alcune reti di
costruzione e condivisione di conoscenze e competenze che ci potranno accompagnare per tutta la
durata della nostra vita professionale.


Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica
Questo corso è centrato sui numeri e sulla aritmetica elementare con tutto quello che intorno ai numeri si
può sapere e saper fare.
Una parte centrale del corso è dedicata alla rappresentazione delle conoscenze ed alla soluzione dei
problemi.


Il versante apprendimento
Sul versante apprendimento, il corso di Matelsup1 parte dal presupposto che, in qualche modo, tutti noi
abbiamo una base innata di competenze matematiche anche se queste competenze possono, negli anni
essere state “soffocate sul nascere” o addirittura “sterilizzate”, dando luogo addirittura a delle avversioni
e in qualche caso ad un vero e proprio terrore per la matematica.
D‟ altra parte un insegnante di scuola primaria non può in alcun modo avere un rapporto incerto o
ambiguo con questa disciplina, che è importantissima per l‟equilibrio cognitivo dei suoi futuri allievi.
Durante il corso – ovvero durante il periodo di preparazione dell‟ esame - gli allievi dovranno quindi
compiere un percorso di avvicinamento o riavvicinamento alla matematica documentato con precisione.
Dovranno sperimentare in prima persona alcuni processi di apprendimento e di costruzione del sapere
matematico. Per farlo dovranno esplorare, osservare e costruire degli artefatti comunicabili e
scambiabili con tutti gli altri allievi del corso.
Ciascuno di tali artefatti rappresenterà quindi tassello di un sapere comune e condiviso costruito dagli
stessi allievi sotto la guida del docente. Per consentire questa costruzione cooperativa abbiamo pertanto
scelto uno strumento chiamato Wetpaint, che rappresenta una delle modalità in cui si può costruire un
wiki. Per capire il rilievo di questa forma di comunicazione in cui tutti sono sia lettori che potenziali
autori basterà citare l‟ esempio più conosciuto che è l‟ enciclopedia Wikipedia. Ma anche diverse
comunità di matematici professionisti hanno costruito dei wiki, uno dei quali (mathforum.org), a cui
possono partecipare con naturalezza soltanto coloro che parlano inglese, è servito da modello
concettuale e da punto di partenza per la costruzione del nostro wiki in wetpaint.


In che cosa consiste l’ esame
Nel momento in cui l‟ allievo ha superato tutte le prove - di cui parleremo in modo dettagliato più avanti
in questo documento - ed ha documentato concretamente il suo percorso di apprendimento, partecipando
attivamente alla costruzione del sapere condiviso attraverso la costruzione del sito wiki – wetpaint
relativo a questo corso, può essere ammesso a sostenere l‟ esame.
Durante l‟ esame il candidato sarà invitato a sostenere una conversazione sulle prove realizzate: ma
potrà anche essere invitato a sostenere prove analoghe ma ovviamente non identiche a quelle che ha
sostenuto nel corso della sua preparazione.


Lavori individuali e lavori di gruppo
Due delle otto prove indicate nel seguito - e precisamente la prova B06 e la prova B07 - possono essere
svolte da un piccolo gruppo di persone. Questo non rappresenta uno “sconto”, quanto una metodologia
di apprendimento: in generale la matematica si impara meglio facendola, e per superare ostacoli ed
indecisioni il lavorare in gruppo può aiutare molto.
I gruppi, di regola, non dovrebbero mai superare le quattro unità, perché al di sopra di questo numero si
rischia di aumentare la complessità della comunicazione all‟ interno del gruppo e poi non tutti i
partecipanti possono riuscire ad esprimersi.
L‟ ideale è mettere insieme un gruppo con cui svolgere tutte le prove. Ma in linea di principio uno
potrebbe anche avere diversi gruppi per le due prove.
Ogni candidato deve rispondere personalmente del lavoro del gruppo ed essere in grado di spiegare i
risultati raggiunti e di difendere le posizioni assunte dall‟ intero gruppo.


Le tre fasi dell’ apprendimento matematico
L‟ intero corso e ciascuna delle prove in cui esso è organizzato possono essere articolate in tre fasi
distinte.
Fase A: Esplorazione - Rendersi conto di quello che esiste, nella realtà, dentro e fuori di noi, nella
letteratura generale e specifica
Fase B: Osservazione – Osservazione diretta dei fenomeni in oggetto o delle prestazioni proprie e di
altri con riferimento alla prova in questione.
Fase C: Costruzione – Costruzione di un albero delle competenze necessarie per ottenere un buon
risultato nella prova in oggetto. Costruzione di un percorso di avvicinamento alla performance
desiderata.


Gli strumenti per rappresentare, comunicare, costruire
Per rappresentare le conoscenze relative ad una prova o all‟ intero programma possono essere utilizzati
alcuni programmi di computer come:
 Cmaptools – Una applicazione di pubblico dominio che consente di costruire in modo molto
semplice ed intuitivo delle mappe concettuali praticamente su qualunque argomento.
 Microsoft Power Point – Uno strumento classico per costruire presentazioni. Ma anche una
serie di scatole degli attrezzi per realizzare diagrammi di varia complessità.
 Iplozero 2009 – Un linguaggio di programmazione ideato e sviluppato da G. Lariccia e G.
Toffoli con una interfaccia ad icone che consente di creare programmi interattivi e storie
matematiche praticamente su qualunque argomento.
 QQ.storie, una applicazione contenitore che consente di costruire storie di contenuto
matematico, con il testo scritto in word ed i disegni o le animazioni scritte nel linguaggio
Iperlogo oppure in una delle tante “scatole degli attrezzi” create apposta per qq.storie nell‟
ambito di un progetto quadro chiamato IperQQ.
Nota: i programmi Iplozero 2009 e QQ.storie non sono obbligatori per il Percorso B: ma li abbiamo
qui riportati in quanto una persona che sta seguendo il Percorso B può in qualunque momento - magari
perché ha trovato un collega con cui fare gruppo – ritornare sul Percorso A.
E comunque perché non si esclude che una persona che segue il percorso B e che quindi per motivi
comunque validi non è in grado di interagire con il docente, desideri e possa usare i programmi Iperlogo
e QQ.storie anche da solo. E‟ successo in passato e potrebbe succedere nuovamente in futuro.
Conviene segnalare, a questo proposito, che il sito ufficiale di riferimento per QQ.storie che si chiama
www.imparareaimparare.it. Che potrà nei mesi a venire essere integrato dal sito di tipo wiki-wetpaint
imparareaimparare.wetpaint.com.


I siti per costruire le conoscenze
Per costruire conoscenze condivise facilmente accessibili da una rete di persone con obiettivi comuni
abbiamo deciso di adottare un tipo di sito chiamato Wiki.
Il modello più conosciuto dei siti di tipo Wiki è la famosa enciclopedia Wikipedia. Non potendo
pretendere che gli allievi del corso diventino in poco tempo autori di articoli di Wikipedia, abbiamo
deciso di adottare un modello simile, ispirato agli stessi principi di Wikipedia, proposto dai creatori dei
siti della famiglia Wetpaint (www.wetpaint.com).
Tra le finalità previste da Wetpaint ci sono proprio quelle di consentire la costruzione e la manutenzione
di siti di supporto a dei corsi come il nostro.
Ci è sembrato che i siti educativi di Wetpaint rispondessero particolarmente bene allo scopo di
consentire la costruizione collaborativa di un sapere condiviso sui fondamenti della matematica da
approfondire in vista del suo insegnamento nella scuola primaria e dell‟ infanzia.

I siti wiki - wetpaint
Abbiamo così creato un sito contenitore per consentire a tutti gli studenti di Matelsup1 di familiarizzarsi
con la tecnica Wiki – Wetpaint. A questo sito si può accedere attraverso l‟ indirizzo
matelsup1-2.wetpaint.com
Andando su questo indirizzo potete facilmente iscrivervi da soli (cliccando sul pulsante JOIN THIS
GROUP e fornendo quindi le vostre generalità). Oppure potete chiedere al docente di invitarvi.
A questo sito se ne sono aggiunti tanti altri, raggiungibili dal primo attraverso opportuni collegamenti
ipertestuali, per trattare argomenti specifici in modo semplice e trasparente.
Possiamo fare una distinzione tra i wiki – wetpaint di tipo “generalista” – quelli che accolgono tutte le
persone afferenti ad un corso o un laboratorio; ed i wiki – wetpaint di tipo “specialista” – quelli che
nascono attorno ad un argomento specifico.
Al momento attuale i gruppi wiki-wetpaint che ruotano attorno alla matematica ed al suo insegnamento,
sia di tipo generalista che di tipo specialista, creati dal docente o da gruppi di allievi con il supporto del
docente, sono i seguenti:
SITI WIKI – WETPAINT GENERALISTA
Didalab 07 (2007 – 2008): http://didalab7.wetpaint.com
Didalab DM85 Infanzia: http://didalab85infanzia.wetpaint.com
Didamat 07 (2007 - 2008): http://didamat7.wetpaint.com
Didamat DM85 Primaria : http://didamat85.wetpaint.com
Matelsup1 (aritmetica) – Vetrina: http://matelsup1.wetpaint.com
MatElSup2 - Geometria: http://matelsup2.wetpaint.com
SITI WIKI – WETPAINT DI TIPO SPECIALISTA
Fare pratica con QQ.storie: http://qqstorie.wetpaint.com
Frattali: http://frattali.wetpaint.com
Giochi matematici: http://giochi-matematici.wetpaint.com
I blocchi logici nella didattica: http://blocchi-logici.wetpaint.com
Il tangram nella scuola primaria: http://tangram.wetpaint.com

Imparare a imparare: http://imparareaimparare.wetpaint.com
La felce come oggetto frattale: http://felce.wetpaint.com
Primi passi in Iperlogo: http://primi-passi-in-iperlogo.wetpaint.com
Primi passi in QQ.storie: http://primi-passi-in-qqstorie.wetpaint.com
Primi passi su Blackboard: http://primi-passi-su-blackboard.wetpaint.com
Sei personaggi in cerca di math: http://sei-personaggi.wetpaint.com
Sierpinski: http://sierpinski.wetpaint.com
Il cavolfiore come forma frattale: http://cavolfiori.wetpaint.com
Il fiocco di neve come frattale: http://fioccodineve.wetpaint.com


Blackboard
La piattaforma di Blackboard, per via della sua grande capacità e solidità, rimane sino a prova contraria
lo strumento più adatto per gestire gli aspetti più formali del corso.
Blackboard ci offre infatti uno spazio praticamente infinito e la possibilità di archiviare, classificandoli
in modo ordinato, tutti gli elaborati in vista dell‟ esame.
Su Blackboard vanno quindi “caricati” tutti gli elaborati corrispondenti alle prove sette prove (da B00 a
B06) che troverete descritte nel seguito di questo documento.
Gli elaborati vanno caricati in una cartella destinata ai lavori individuali, in corrispondenza all‟ appello
d‟ esame in cui pensate di presentarvi; oppure nella cartella destinata ai lavori di gruppo. Gli elaborati
relativi al cosiddetto “preappello” vanno caricati nella cartella “Valutazione”.
Per caricare un elaborato su Blackboard, dovete essere dotati dei cosiddetti “poteri magici”: dovete cioè
chiedere al docente, o ad un collega che già ha ottenuto tali poteri, di diventare Teaching Assistant.
Nella propria cartella di Blackboard si possono anche mettere dei collegamenti (sotto forma di External
Links) a dei siti esterni a Blackboard, per esempio ad un blog o a un sito wiki-wetpaint o ad un “sito
magazzino” che abbiamo creato in http://www.mediafire.com .
Come si fa a fare creare un External Link ce lo spiega Laura Acconcia in una pagina appositamente
creata per questo scopo sul sito:
http://primi-passi-su-blackboard.wetpaint.com/


Mediafire: un deposito di emergenza
La piattaforma di Blackboard a volte può diventare satura può succedere cioè che occupiamo tutto lo
spazio che viene dato disposizione di un corso in questo caso le prove supplementari verranno inserite in
un deposito chiamato http://www.mediafire.com. Per usare il deposito dovete accedere con le seguenti
coordinate:
Account = mc5561@mclink.it
Password = provaci
In questo modo potrete usufruire di un ampio spazio che è stato riservato a voi dal docente proprio per
questo scopo e potrete non avere il fastidio di una pubblicità invadente che è connessa a questo tipo di
siti con accesso sostanzialmente gratuito. Fatene un buon uso e siate molto ordinati e precisi nell‟ usarlo,
collocando tutti i vostri lavori nella cartella appropriata!


I blog in generale e il vostro blog in particolare
I blog sono un genere letterario molto diffuso su internet. Il nome blog è un acronimo (cioè in buona
sostanza una abbreviazione) che sta per web log, che vuol dire registro su web. In altre parole è un
diario, che una persona scrive perché altri la vadano a consultare. Famosi sono alcuni blog come quelli
di Luca Sofri, o di alcuni testimoni oculari di fatti importanti e drammatici. Molti giornalisti o esperti
tengono da anni il loro blog che funziona un po‟ come la posta del direttore di un quotidiano o di una
rivista, sia pure con le regole di internet.
Per documentare il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto durante la preparazione dell‟
esame, l‟ allievo è invitato a costruirsi e a mantenere un blog sull‟ argomento.
Per costruire il vostro blog dovrete usare una piattaforma molto solida e molto conosciuta chiamata
Wordpress.
Ad esempio, se il vostro nome è Pinco Pallino, andando sul sito www.wordpress.com potrete
selezionare la lingua italiana e creare un'account con cui potrete realizzare i blog che volete.
In questo modo potrete costruire un blog chiamato http://pincopallinoeinumeri.wordpress.com usando le
regole suggerite dei gestori del blog.

Un esempio di blog molto ben condotto: Irene Frondoni
Nel momento in cui scrivo posso già segnalare almeno un blog realizzato veramente a regola d‟ arte: è
quello di Irene Frondoni che potete consultare all‟ indirizzo http://irene711.wordpress.com/.
Prima di tutto è stato realizzato durante il corso e non soltanto alla fine. Poi contiene un sacco di
riflessioni interessanti, delle prove aggiuntive.
E‟ inoltre impaginato a regola d‟ arte.


Le prove del percorso A (da A00 a A09)
Elenchiamo qui di seguito le prove, cercando di indicare, per ciascuna di esse, dove ci si può
documentare (nella Fase A: Esplorazione), in quale modo si può osservare (nella Fase B: Osservazione)
e come si può costruire una gerarchia di competenze o un percorso di apprendimento relativo alla prova
in oggetto.

I-AB-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di studio
L‟ allievo dovrà, all‟ inizio della preparazione di questo esame, dotarsi di un blog come quello indicato
in precedenza. Su questo blog lo studente dovrà documentare il percorso di avvicinamento alla
matematica che ha luogo durante la preparazione dell‟ esame.
Il blog potrà ovviamente incrociarsi con i siti ed i documenti relativi alle varie prove successive,
descritte nel seguito di questo documento.
Questo documento, come tutti gli altri, va caricato su Blackboard, nello spazio dedicato al corso di
Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore, nella cartella dei lavori individuali.
Il blog ha lo scopo di consentire all‟ allievo di esprimere le emozioni che prova nel venire a contatto con
una materia, la matematica, che spesso viene percepita in modo distorto e generalmente negativo dalla
maggior parte delle persone.
Il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto attraverso il corso suggerisce di considerare la
matematica come una disciplina amica, anzi, addirittura in qualche modo connaturata con noi.
E‟ come se scoprissimo che nel profondo della nostra mente ci sono delle radici matematiche in parte
addirittura innate. Scoprire la matematica in modo libero e spontaneo è come ritrovare dentro di sé la
capacità di comprendere e parlare una lingua universale di cui avevamo perso le tracce.

Irene non si è limitata a fare delle considerazioni o delle ricerche sui temi trattati, ma ha costruito anche
delle strutture alternative a quelle proposte.
Riportiamo qui ad esempio un paio di illustrazioni di un abaco in base 3 realizzato in Power Point e
scaricabile facilmente dal blog di Irene


Ancora, dal blog di Irene, segnaliamo un approfondimento sulla Etnomatematica, con una figura che
rappresenta il Bantumi, un gioco africano oggetto di studi da parte degli esperti del settore.

G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’
educazione matematica nei paesi emergenti
Lo scopo di questa prova è quello di fare in modo che gli studenti si rendano conto di quanto è
importante la matematica nel nostro mondo e di quale peso deve essere, di conseguenza, attribuito all‟
educazione matematica.
In questa Guida presentiamo questa prova in una modalità che è adatta ad essere svolta a livello di
gruppo. Chi non si sente di svolgere la prova in questo modo può sempre fare riferimento alla
corrispondente prova del percorso B.
Per svolgere correttamente questa prova dovete innanzitutto leggere il libro “Noi e i numeri” di Luisa
Girelli [GIRELLI 2006]. E‟ bene che ciascuno dei componenti del gruppo legga il libro con molta
attenzione. Può essere utile, dopo la lettura, organizzare una discussione per confrontarsi sui temi
sollevati dal libro.
Il secondo passo da compiere è l‟ analisi del rapporto Oecd – Pisa 2006 che ha valutato, comparandole,
le competenze matematiche degli studenti di 57 diversi paesi all‟ età di 15 anni. In fatto di competenze
matematiche l‟ Italia si classifica al 38° posto (vedi appendice 6), ovvero decisamente male!
Nel libro “Centomila punture di spillo” pubblicato di recente, Carlo De Benedetti e Federico Rampini
sottolineano il fatto che nei paesi ad economia emergente, l‟ educazione matematica viene considerata

molto più che da noi. Il basso livello di competenza matematica dei nostri quindicenni sarebbe quindi un
segno del declino del nostro paese, mentre per invertire la tendenza dovremmo – sostengono gli autori!
– dare molto maggiore peso all‟ educazione matematica elementare.
In una ricerca sulla educazione matematica in India e Singapore svolta da alcuni ricercatori statunitensi
viene sottolineato inoltre il ruolo della pressione sociale da parte delle famiglie. In India e a Singapore i
genitori fanno capire ai loro figli essere bravi in matematica è molto importante.
Provate a scoprire in quale modo questa importanza si traduce in pratica cercando di scoprire quale e
quanta matematica ed in quale modo si insegna nelle scuole dell‟ infanzia ed elementare in Cina, in
India, in Brasile o in Russia. Oppure nei paesi che, come la Finlandia, il Canada, risultano ai primi posti
nella classifica del rapporto Oecd – Pisa.

I-AB-02 – Io e la matematica
In questa prova devi tracciare una storia dei tuoi rapporti con la matematica, dalle origini - ovvero dalla
tua nascita! - ai nostri giorni.
In questo documento devi mettere a fuoco, suddividendola in periodi corrispondenti ai livelli prescolari
e scolari, la storia delle attrazioni e repulsioni tra te e la matematica. Dovrai quindi raccontare in modo
preciso ma possibilmente anche abbastanza vivace e colorito:
 l‟ evoluzione della tua idea di matematica: quando hai sentito per la prima volta questa parola, a
cosa l‟ hai associata; quando e come hai eventualmente cambiato idea sulla matematica;
 cosa pensi, oggi, che sia la matematica e cosa rappresenta per te
 parla delle esperienze, positive e negative, di apprendimento e di insegnamento con cui sei
venuto a contatto, dei tuoi maestri buoni e cattivi
 chi e come ha influito sulla tua competenza matematica in senso positivo o negativo (amici,
parenti, libri, articoli, personaggi pubblici, attori, etc.)
 chi sono e cosa fanno oggi i matematici - secondo te e limitatamente a quello che puoi capire
Formato da adottare: una presentazione di Power Point di una ventina di slides di media densità,
eventualmente con qualche immagine per rendere gradevole e scorrevole la presentazione.
Questa prova va svolta assolutamente prima della prossima, perché l‟ intervista al genio della porta
accanto potrebbe modificare la vostra concezione attuale della matematica, che vi abbiamo chiesto di
descrivere

I-AB-03 – Il genio della porta accanto
Una intervista oppure una descrizione precisa e dettagliata della personalità di una persona a noi vicina
che ha avuto con la matematica un rapporto positivo e costruttivo, fino a farne in qualche modo una
ragione di vita.
La persona da descrivere o intervistare tuttavia potrebbe anche essere una persona che ha avuto
difficoltà oggettive nell‟ apprendimento della matematica, in quanto portatore di un handicap generico o
specifico come la discalculia.
Nell‟ Appendice Numero 4 viene tracciato lo schema di una possibile intervista. E‟ inutile sottolineare
che l‟ intervista va concepita su misura del soggetto da intervistare, sia per non metterlo in difficoltà o in


imbarazzo; sia per ottenere da lui la maggiore quantità di informazioni possibile, anche in forma
confidenziale!
Anche questa prova va realizzata in PowerPoint con una presentazione di almeno 20 slides di media
densità quanto più possibile efficaci da un punto di vista comunicativo e magari anche gradevoli.

IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico
Questa prova consiste nella realizzazione di una intervista virtuale ad un grande matematico
contemporaneo o del passato. Per l‟ esame di Matelsup1 dovete scegliere una figura di matematico che
si è occupato in modo particolare di numeri o di aritmetica.
La prova può essere superata facendo riferimento a ricerche su Internet o su libri o su articoli divulgativi
spesso presenti sui giornali e sulle riviste che parlano della vita del matematico in oggetto. Dovrete
cercare nella figura da voi scelta tutte le caratteristiche che lo rendono vicino o lontano dalle persone
comuni, in termini sia cognitivi che di personalità.
Può essere utile, prima di svolgere questa prova, leggere l‟ intervista a Keith Devlin, un matematico
grande divulgatore della matematica, fatta da Gabriele Lolli e ripresa dal sito Polymath del Politecnico
di Torino. La riportiamo nell‟ appendice 5.
Tra i grandi matematici vi raccomando a modi prendere in considerazione le figure femminili
abbastanza rare in passato per un pregiudizio assurdo che è accaduto soltanto negli ultimi cinquant'anni
secondo il quale le donne sarebbero state poco adatte alla matematica.
Un elenco significativo di figure di matematiche donne si trova nel libro La crisalide e la farfalla di
Gabriele Lolli di cui trovate una recensione ed alcuni estratti su internet all‟ indirizzo
http://tecalibri.altervista.org/L/LOLLI_crisalide.htm#p009

I-AB-05 – La mia famiglia
La rappresentazione della struttura della propria famiglia, se fatta in modo preciso e rigoroso, può
costituire il modo più naturale di introdurre il concetto matematico di relazione e di creare in modo
semplice ed intuitivo delle relazioni su un insieme.
Le relazioni familiari, dal punto di vista matematico, sono dello stesso tipo delle relazioni che si
possono stabilire tra numeri o tra enti di natura geometrica. Quindi imparare a rappresentare la propria
famiglia in modo formalmente rigoroso e corretto può rappresentare il primo esempio di
matematizzazione a bassissimo costo ed anche una delle prime occasioni per compiere un processo di
astrazione.
L‟ esperienza che abbiamo fatto negli ultimi anni del corso di Didattica della Matematica con centinaia
di allievi dimostra che la prova viene facilmente compresa e realizzata con interesse e con gusto.
Una rappresentazione matematicamente e semanticamente corretta della propria famiglia, come può
essere ottenuta con un programma specializzato come Genopro oppure con un programma generico
come Cmaptools.


GenoPro 2007 si può scaricare, in prova gratuita per 30 giorni1, dal sito
http://www.genopro.com/
Il suo funzionamento, basato su icone, è talmente intuitivo che non vale la pena di spiegarlo. Basta
piuttosto riportare un esempio per rendere evidente l‟ uso dei simboli. Il programma stesso si prende
cura del fatto che le relazioni vengano stabilite in modo corretto.
A titolo di esempio, vi mostriamo l‟ albero di famiglia dello scrivente esteso fino ai due nipoti, senza i
genitori. Anche voi nella vostra prova dovreste provare a rappresentare almeno tre generazioni di
persone, cominciando per esempio dai vostri nonni.

1
Gli studenti e i docenti di corsi in cui si usa GenoPro 2007 hanno diritto, secondo quanto riporta il sito,
ad una licenza di prova che vale per sei mesi. Abbiamo inoltrato domanda per ottenere questa licenza e
pubblicheremo su Blackboard quando questa licenza sarà disponibile.


I documenti (= gli alberi genealogici) realizzati con GenoPro 2007 si possono salvare nel formato .gno.
Con questo formato dovranno essere quindi caricati su Blackboard.
Cmaptools si scarica dalla pagina
http://cmap.ihmc.us/download/
e per scopi educativi è completamente gratuito. Peraltro abbiamo inserito una copia del programma
anche nella cartella Materiali Altre applicazioni del sito di Blackboard.
Cmaptools tratta di un programma assai più generale di GenoPro, costruito per realizzare mappe
concettuali, ovvero strutture di concetti legati da relazioni.
Cmaptools è stato sviluppato soprattutto per costruire mappe concettuali, ma è un programma molto
versatile che può essere usato benissimo anche per costruire degli alberi genealogici, ovvero gli alberi di
famiglia. Vale la pena, allora, usarlo per descrivere la propria famiglia che è una struttura assai ...
familiare!
Qui sotto rappresentiamo la stessa famiglia già vista in GenoPro realizzata con Cmaptools.

Questo argomento, su cui tra l‟ altro dovrebbe partire almeno una tesi di laurea nei prossimi mesi, sarà
ampiamente approfondito nelle dispense in preparazione.

G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale
Il fatto che noi rappresentiamo i numeri in base 10, ovvero usando le cifre 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 in
modo posizionale, dipende dal fatto che le nostre mani hanno dieci dita.
La notazione posizionale, come è noto, è stata resa possibile dall‟ introduzione dello zero, dovuta agli
arabi che l‟ hanno forse ereditata dagli indiani. In questo modo, usando lo zero, il numero 10 esprime
una unità di ordine superiore e zero unità; il numero 12 esprime una decina e due unità, e via dicendo.
Se avessimo tre dita in tutto, useremmo la base tre: possiamo immaginare che ci siano degli
extraterrestri che hanno tre dita in tutto e che contano raggruppando gli oggetti a tre a tre (terzine),
quindi raggruppando le terzine a tre a tre (nonetti) e via dicendo.
In questa prova, che va svolta preferibilmente in gruppo, dovete imparare a rappresentare in base tre i
numeri da 1 a 100 raggruppandoli per gruppi di tre (terzine), poi per terzine di terzine (nonetti), quindi

per terzine di terzine di terzine (ventisettetti) e finalmente per terzine di terzine di terzine di terzine
(ottantunetti).
Per documentare questa capacità vi suggeriamo di usare le palline di sale e di fotografare alcuni insiemi
di numerosità crescente fino a 100, racchiudendo i vari raggruppamenti con un filo di lana o con una
fettuccia o simili.

G-A-07 – Le figure di Sierpinski
Wacław Franciszek Sierpiński è un famoso matematico polacco conosciuto per diversi importanti
contributi alla teoria degli insiemi, alla teoria dei numeri, alla teoria delle funzioni e alla topologia. Tra
le scoperte matematiche associate c‟ è una bellissima figura frattale chiamata triangolo di Sierpinski.
Il triangolo o figura di Sierpinski è una figura frattale, ovvero una figura generata da uno “schema
ricorsivo” un meccanismo costruttivo che si ripete allo stesso modo su scale diverse. Possiamo vedere la
successione dei triangoli di Sierpinski come vengono disegnati da una applicazione scritta nel
linguaggioJava accessibile direttamente online all‟ indirizzo
http://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.html
Un triangolo di Sierpinski di livello 0 non è altro che un normale triangolo equilatero:

Cliccando sul pulsante di avanzamento si ottengono le figure di Sierpinski di livello superiore.
L‟ insegnante americana Cynthia Lanius ha provato a presentare il triangolo di Sierpinski alla sua
classe: ne è scaturito un progetto spettacolare, in cui i bambini, divisi per gruppi hanno disegnato sul
pavimento un triangolo di Sierpinski gigantesco di livello molto elevato.


L‟ esperienza di disegnare, lavorando in gruppo, i successivi triangoli di Sierpinski è una esperienza molto bella, che
abbiamo riproposto nell‟ ambito del corso di Didattica della Matematica che ho tenuto nel 2007 – 2008 all‟ Università
dell‟ Aquila.
Ma ci sono anche diverse scuole italiane che hanno provato a fare queste figure. Un forum molto interessante che
documenta questo tipo di esperienze si trova su http://www.scuolamatica.net/moodle/mod/forum/discuss.php?d=314


GA-08 – Calcolare a mente secondo C. Bortolato
Camillo Bortolato, dopo una analisi piuttosto approfondita della rappresentazione dei numeri nella
mente dei bambini, propone di favorire il calcolo mentale usando una rappresentazione che chiama
analogico – intuitiva.
Secondo Bortolato rappresentando i numeri in modo ordinato e secondo un metodo facile da
comprendere e da utilizzare, basato sull‟ analogia tra la base 10 e le dita delle mani, si possono
riconoscere facilmente i numeri tra 1 e 1000.
E‟ facile anche imparare a sommare e sottrarre due numeri rappresentati con il metodo di Bortolato. Nel
libro [BORTOLATO 2002] ci sono 150 pagine di schede per gli allievi che propongono esercizi di
calcolo mentale basati su questa rappresentazione.
Schede come quelle proposte da Bortolato possono essere realizzate facilmente in Power Point, anche se
richiedono una estrema precisione.

GA-09 – Contare con Iplozero 2009
Dalle schede di Bortolato possiamo prendere l‟ ispirazione per costruire degli esercizi di calcolo
interattivo usando il linguaggio di programmazione Iplozero 2009.
Nella figura qui sotto riportiamo il numero 128 realizzato con Iplozero da Nicoletta Antoniolli, ripreso
dalla Blackboard, corso Matelsup1, cartella Documenti, sottocartella Contare con Iplozero

Quello che c‟è dietro la costruzione di questa figura, tuttavia è molto di più che una semplice
rappresentazione.

Abbiamo usato un piccolo linguaggio per programmare quello che tecnicamente si chiama
“Micromondo”.
Iplozero 2009 è un linguaggio di programmazione per bambini dai 7 anni in su. Possiamo pensarlo
come un “automa”, ovvero un esecutore di ordini ben formati. Potete approfondire questi concetti
leggendo il libro “I fantastici mondi di Iperlogo” in preparazione per l‟ editore Book-Jay. Una bozza
avanzata la potete trovare su http://www.imparareaimparare.it.
Con Iplozero noi possiamo definire un piccolo insieme di parole che l‟ automa impara e che ci servono
in un primo momento per realizzare delle schede simili a quelle proposte da Bortolato; in un secondo
momento per realizzare dei veri e propri esercizi di calcolo interattivi.
Le parole che definiamo sono assolutamente intuitive per noi:
PER UNO
BLOCCO :DIM :DIM
SALTAX :DIM
SPAZIO
FINE

PER SPAZIO
SALTAX :SPAZIO
FINE

PER TRE
RIPETI 3 [UNO]
FINE

PER DUE
RIPETI 2 [UNO]
FINE

PER CINQUE
RIPETI 5 [UNO]
SPAZIO SPAZIO
FINE

PER DIECI
CINQUE CINQUE ACCAPO
FINE

PER SOTTO
SALTAY MENO :SPAZIO
SALTAY MENO :DIM
FINE

PER ACCAPO
COMINCIAX :MARGX
SOTTO
FINE

TA
AS "MARGX -200
COMINCIAXY :MARGX 200
AS "DIM 30
AS "SPAZIO PRODOTTO .2 :DIM
PIENOROSSO8
DIECI
PIENOROSSO6
DIECI
PIENOROSSO4

DIECI
PIENOVERDE1
DIECI
PIENOVERDE3
DIECI
PIENOVERDE5
DIECI
PIENOBLU7
DIECI
PIENOBLU4
DIECI
PIENOBLU1
DIECI
PIENOARANCIONE1
DIECI
PIENOGIALLO2
DIECI
PIENOGIALLO1
DIECI
PIENOROSSO3
CINQUE
PIENOAZZURRO1
TRE

Tutti i disegni che realizziamo vengono eseguiti, seguendo i nostri comandi, da un automa secondario
che si chiama tarta che sullo schermo si presenta come un triangolino come quello riportato qui sotto:

L‟ automa tarta si può spostare nella finestra di tarta, una specie di lavagna su cui noi realizziamo i
nostri disegni.
La parola UNO ha l‟ effetto di realizzare un quadretto del colore prestabilito e poi di spostare la tarta un
quadretto e un pezzettino a destra, pronta per realizzare il quadratino successivo.


Iplozero 2009 e QQ.storie
Iplozero 2009 e QQ.storie sono due applicazioni per il computer sviluppate con il linguaggio di
programmazione Iperlogo.

A cosa servono?
Iplozero 2009 e QQ.storie possono essere utilizzate nell‟ ambito di una didattica metacognitiva basata
sull‟ apprendimento cooperativo.
Sono particolarmente utili per favorire l‟ apprendimento della matematica secondo il metodo “Se faccio,
capisco”.
Con Iplozero 2009 i bambini possono usare il computer per diventare piccoli matematici usando il
computer come un compagno di giochi a cui insegnare piano piano giochi sempre più complessi e, alla
fine, dei veri e propri programmi interattivi.
Con Iplozero il bambino usa il computer in una forma estremamente consapevole che abbiamo chiamato
“Informatica della mente”.
Il computer con le due applicazioni sopra indicate appare come uno strumento semplice e a tratti
addirittura un po‟ rudimentale, se confrontato con i gadget oggi disponibili (iPhone, Nintendo ds,
videogiochi dei tipi più svariati).
La differenza sta nel fatto che con


Indicazioni pratiche relative a Iplozero 2009
Nel seguito diamo alcune indicazioni di tipo pratico per chi desidera installare Iplozero 2009 o per
usarlo sul suo computer o sui computer della scuola.

Il sistema operativo di riferimento
Iplozero 2009 funziona all‟ interno del sistema operativo Windows. E‟ stato provato in tutte le versioni
di Windows più comuni, da Windows ‟98 a Windows Xp, Windows Vista e Windows 7.
Chi possiede un computer Macintosh può usare queste applicazioni soltanto se è in grado di installare
Windows all‟ interno del suo Mac, cosa peraltro possibile e relativamente facile da fare.

Da dove si scaricano
Le due applicazioni sono scaricabili gratuitamente da diversi siti: in primo luogo da
http://www.imparareaimparare.it. Iplozero 2009 e il suo manuale, con alcuni esempi, è scaricabile anche
dal sito http://iplozero2009.wikispaces.com.
La versione più recente di Iplozero 2009 nel momento in cui scrivo è la versione
Iplozero2009g1.exe

Installazione
Per usare l‟ applicazione Iplozero 2009, dopo averla scaricata, dovete installarla sul vostro computer.
Per farlo basta cliccare sul file che avete scaricato. Su Windows Vista e 7 occorre dichiarare al computer
che avete i privilegi dell‟ amministratore.

La prima esecuzione
Durante la prima esecuzione Iplozero crea un “deposito” chiamato QQ.iplozero, in cui mette tutti i file
che gli servono per funzionare e che voi potete guardare ed utilizzare.
Per eseguire questa operazione il programma impiega un po‟ di tempo – tre o quattro minuti! - in cui vi
sembra che rimanga inerte: abbiate pazienza e aspettate! Alla fine della prima esecuzione il programma
si presenta sullo schermo con le sue tre finestre che potete osservare qui sotto:


Registrazione
Per avere tutte le funzioni, in particolare per avere i menù del foglio ed utilizzare Iplozero oltre i 45
giorni di prova dovete registrare l’ applicazione.
Potete farlo, sempre a titolo gratuito, seguendo le seguenti istruzioni:
Avviate il programma
Andate sulla Finestra dei comandi
Aprite il menù Aiuti
Selezionate il comando “Registra Iplozero”: si apre una finestrella con quattro campi
Selezionate il codice di identificazione che appare nel terzo campo
Copiate il codice di identificazione che avete appena selezionato usando il comando CTRL+C di
Windows, oppure con il comando Copia del tasto destro del mouse
Incollate il codice appena copiato dentro un messaggio di posta elettronica
Spedite il messaggio a giovanni.lariccia@gmail.com indicando chi siete e in quale ambito
userete il programma (professione, scuola, famiglia)


Bibliografia essenziale
Indichiamo qui appresso i volumi essenziali da studiare per prepararsi all‟ esame seguendo il Percorso
A. Si tratta del materiale minimo indispensabile che permette di arrivare al momento in cui le dispense
ufficiali del corso saranno pubblicate e disponibili per tutti.
Ribadiamo il fatto che per superare l‟ esame non è sufficiente studiare i tre volumi nel modo
tradizionale, anche perché il secondo ed il terzo sono volumi costituiti in larga misura da schede di
lavoro per bambini di sei, sette e otto anni. Sarebbe ovviamente assurdo - o se vogliamo grottesco! –
basare la preparazione ad un esame universitario sullo studio tradizionale di testi in larga parte costruiti
per dei bambini!
Ed infatti non è così. Se, ancora non vi fosse chiaro, provate a rileggere ancora una volta il programma e
la Guida che avete appena letto: vi renderete conto, ci auguriamo, che questo esame, anche nella forma
tradizionale, presuppone che uno la matematica, per capirla, la deve fare, non basta leggerla e ripeterla
cento o duecento volte (“Se faccio, capisco”).
E fare la matematica su un testo per bambini non può significare soltanto “giocare a fare i bambini” ma
vuol dire andare in profondità, passare a raggi x le schede create per i bambini per capire a fondo cosa
gli autori delle schede si aspettano che i bambini facciano. E cosa si aspettano che sappiano fare, prima
e dopo ogni singola scheda.
Questa radiografia del materiale per bambini, in definitiva, è la sostanza di quanto viene richiesto come
competenza finale di questo corso. Nel percorso A viene accentuato l‟ aspetto autoriale e costruttivo. In
questo Percorso B viene invece accentuato l‟ aspetto strutturale. La struttura concettuale sottostante ad
una scheda di lavoro per bambini - o di un intero volume di schede - può essere descritta in modo
formalmente ineccepibile sotto forma di mappa concettuale. Ma può essere anche tradotta in una
QQ.storia, per chi desidera cimentarsi con la dimensione del disegno di una interfaccia per il computer.
[GIRELLI 2006]
 Luisa GIRELLI
 Noi e i numeri
 Collana “Farsi un’ idea”
 Bologna: Il mulino, 2006
[BORTOLATO 2002]
 Camillo BORTOLATO
 Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico - intuitivo
 Erickson, 2002
[COLOMBO BOZZOLO, COSTA 2002]
 Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA
 Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1. I numeri fino a 100
 Erickson, 2002
Ricordiamo inoltre, che sono in preparazione, da parte del docente, delle dispense complete per questo
corso, che però non è stato possibile mettere a punto in tempo utile per l‟ esame - e questo, tra l‟ altro è
il motivo della preparazione della presente Guida.


Bibliografia generale
Nel seguito di questo capitolo presentiamo un‟ ampia bibliografia generale, di sfondo, che potrà
interessare chi voglia approfondire gli argomenti trattati dal corso o per chi desideri considerare un
possibile percorso di approfondimento, magari in vista di una tesi di laurea.
[ANTINUCCI, 1999 ]
 Francesco ANTINUCCI
 Computer per un figlio. Giocare, apprendere, creare.
 Bari, 1999 (Laterza)
[ANTONIETTI, CANTOIA, 2001]
 Alessandro ANTONIETTI, Manuela CANTOIA
 Imparare con il computer. Come costruire contesti di apprendimento per il software.
 Erikson 2001
[BOZZI, 1956 ]
 Paolo BOZZI
 Sulla rappresentazione grafica di concetti temporali nei bambini.
 Euro
[BUTTERWORTH, 1999 ]
 Brian BUTTERWORTH
 Intelligenza matematica
 Rizzoli 1999
[CALDELLI, ]
 Luisa CALDELLI
 Percorsi, labirinti, mappe esperienze proto matematiche nella scuola dell’infanzia.
 La Nuova Italia
[CALDELLI, 1986]
 Luisa CALDELLI
 La matematica dalla scuola dell’infanzia alla scuola elementare.
 La Nuova Italia 1986
[CALDELLI,]
 Luisa CALDELLI
 Il bambino matematizza il mondo: esperienze protomatematiche nella scuola dell’infanzia.
 La Nuova Italia
[CALVANI, 1988]
 Antonio CALVANI
 Il bambino, il tempo la storia.
 La Nuova Italia 1988
[CASTELNUOVO 1963]
 CASTELNUOVO Emma.
 Didattica della matematica
 Firenze: La Nuova Italia, 1963
[CASTELNUOVO, 1993]
 Emma CASTELNUOVO

 Pentole, ombre, formiche. In viaggio con la matematica.
 Firenze: La Nuova Italia, 1993
[CORNOLDI, 2004]
 Cesare CORNOLDI
 Matematica e metacognizione: atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo.
 Erickson, 2004
[CORNOLDI, 1995]
 Cesare CORNOLDI
 Metacognizione e apprendimento.
 Bologna: Il Mulino, 1995
[D’AMORE, 1981]
 Bruno D’AMORE
 Educazione matematica e sviluppo mentale. La matematica dalla scuola dell’ infanzia all’
università
 Roma Armando 1981
[D’AMORE, 2004 ]
 Bruno D’AMORE
 Infanzia e matematica: didattica della matematica nella scuola dell’infanzia.
 Pitagora Ed. Bologna 2004
[D’AMORE, 2005]
 Bruno D’AMORE
 Didattica della matematica.
 Bologna: Pitagora, 2005
[D'AMORE, D'AGLI’, 1999]
 Bruno D' AMORE, Francesco D'AGLI’
 Matematica nella scuola materna
 Edizioni Juvenilia
[DEHAENE, 2000]
 Stanislas DEHAENE
 Il pallino della matematica: scoprire il genio dei numeri che è in noi.
 Mondatori 2000
[DEVLIN 2007]
 Keith DEVLIN
 L’ istinto matematico. Perché sei anche tu un genio dei numeri.
 Collana Scienza e Idee, diretta da Giulio Giorello
 Milano: Raffaello Cortina editore, 2007
[DOMAN DOMAN, 1998]
 Glenn DOMAN, Janet DOMAN
 Imparare la matematica a tre anni
 Armando Editore, 1998
[GALLO, VEZZANI, 2007]
 Paola GALLO e Cristina VEZZANI
 Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica.
 Milano: Associazione Culturale Mimesis, 2007

[GILBERT, 1974]
 Robert GILBERT- a cura di Giovanni LARICCIA
 Il bambino e la matematica moderna.
 Roma: Armando Armando editore, 1974
[GIRELLI 2006]
 Luisa GIRELLI
 Noi e i numeri
 Collana “Farsi un’ idea”
 Bologna: Il mulino, 2006
[GARDNER, 1983]
 Howard GARDNER
 Formae Mentis. Saggio sulla pluralità delle intelligenze.
 Milano: Feltrinelli, 2007
 Edizione originale: New York, Basic Books, 1983
[LARICCIA, 1988]
 Giovanni LARICCIA
 Le radici dell’ informatica
 Milano: Nuova Sansoni, 1988 (prima edizione; 1984)
[LEGRENZI, 2002]
 Paolo LEGRENZI
 La mente. Anima, cervello o qualcosa di più?
 Il Mulino, 2002
[LAKOFF, NUNEZ, 2005]
 George LAKOFF e Rafael NUNEZ
 Da dove viene la matematica. Come la mente embodied porta in essere la matematica.
 Torino: Bollati, 2005
[LINDSAY, NORMAN, 1984]
 Peter H. LINDSAY e Donald A. NORMAN
 L’ uomo come elaboratore di informazioni
 Firenze: Giunti Barbera, 1984
[LOVELL, 1970]
 Kenneth LOVELL
 La formazione matematica.
 La Nuova Italia, 1970
[NORMAN, 2000]
 NORMAN
 Il computer invisibile. La tecnologia migliore è quella che non si vede.
 Milano: Apogeo 2000
[NORMAN,1995]
 LINDSAY P.H., NORMAN D.A.
 Le cose ci fanno intelligenti. Il posto della tecnologia nel mondo dell’uomo.
 Milano: Feltrinelli 1995
[NORMAN, 1997]

 Donald A. NORMAN
 La caffettiera del masochista. Psicopatologia degli oggetti quotidiani.
 Firenze: Giunti 1997
 (Titolo originale: the design of everyday things)
[OLIVERIO, 1997]
 Alberto OLIVERIO
 L’ arte di pensare. Per imparare a decidere, per usare la forza della mente.
 Milano: Rizzoli, 1997
[OLIVERIO, 1998]
 L’ arte di ricordare. La memoria e i suoi segreti
[OLIVERIO, 1999]
 L’ arte di imparare. A scuola e dopo
[OLIVERIO, 2001]
 La mente: istruzioni per l’ uso
 Rizzoli, 2001
[OLIVERIO, OLIVERIO FERRARIS, 2004]
 Alberto OLIVERIO, Anna OLIVERIO FERRARIS
 Le età della mente
 Rizzoli, 2004
[PAPERT, 1984]
 Seymour PAPERT
 Mindstorms. Bambini, computers e creatività.
 Milano: Emme edizioni, 1984 (New York: Basic Books, 1980)
[PAPERT, 1994]
 Seymour PAPERT
 I bambini e il computer. Nuove idee per i nuovi strumenti dell’educazione.
 Rizzoli, 1994
[PEA, 2001]
 Beppe PEA
 Matematica nella scuola di base, i concetti dello spazio e del tempo nella scuola moderna e
nel primo ciclo della scuola di base.
 Tannini, 2001
[PETTER, 1996]
 Guido PETTER
 Il bambino impara a pensare: introduzione alla ricerca sullo sviluppo cognitivo.
 Firenze: Giunti, 1996
[PIAGET, 1968]
 Jean PIAGET
 La genesi del numero nel bambino.

[PIAGET, 1979]
 Jean PIAGET
 Lo sviluppo della nozione di tempo nel bambino.
[PIAGET, 1985]
 Jean PIAGET
 Precalcolo.
 La Scuola, 1985
[RICHTERMAN, 1986]
 Tamara Davydovna RICHTERMAN
 Il senso del tempo nei bambini in età pre-scolare
[TANONI GRACIOTTI, 1997]
 Italo TANONI, Rossano GRACIOTTI
 L’immagine bambina: proposte per l’educazione multimediale nella scuola dell’infanzia.
 Bergamo Junior 1997
[THAGARD, 1996]
 Paul THAGARD
 La mente. Introduzione alla scienza cognitiva
 Guerini studio 1996
[TOURET, 1987]
 Lise TOURET
 Percorsi alla scoperta della matematica. 53 situazioni-problema per i bambini della scuola
materna.
 La Scuola, 1987


Appendice Numero 1
Libro fondamentale numero 1AB
Luisa GIRELLI, Noi e i numeri. Bologna: Il Mulino (2006)
Questo libro va studiato a fondo sia per nel Percorso A che nel percorso B. Per motivare lo studente,
presentiamo una breve recensione del libro fatta da Nadia Rossi, laureata nel 2007 in Didattica della
matematica, riveduta e pubblicata su Blackboard dal Prof. Lariccia
Questo agile libro divulgativo dovuto a Luisa Girelli, ricercatrice all' Università di Milano Bicocca,
riassume in modo sintetico e brillante, mettendole in una prospettiva storica, le ricerche della scienza
neurocognitiva degli ultimi venti anni e fornisce una prospettiva che è fondamentale, oggi, per chiunque
si occupa di apprendimento e insegnamento della matematica.
Il libro prende in considerazione l‟importanza della matematica, e spiega come essa faccia parte della
nostra vita quotidiana e di come in ogni momento facciamo uso dei numeri. Ripercorre così la storia dei
numeri seguendo l‟evoluzione della specie. Nel primo capitolo viene preso appunto in considerazione il
fatto che sin dall‟antichità i popoli contavano, non utilizzavano ancora il concetto di numero, ma
attraverso alcuni ritrovamenti di disegni con incise delle tacche sul muro indicavano appunto le prime
esigenze di tener traccia di una numerosità. Prende poi in considerazione il modo in cui ogni popolo ha
raggiunto il concetto di numerosità su base 10 o 20 fino al conteggio con parti del corpo. Nel capitolo
successivo viene presentata la matematica come oggetto di studio su animali. Qui viene data una
spiegazione completa del concetto di numero “…possedere il concetto di numero significa non solo
rappresentarsi delle numerosità, ma cogliere la relazione ordinale tra i diversi numeri e svolgere
operazioni con essi”. Un esempio per chiarire: possedere il concetto di numero non vuol solo dire
riconoscere che 3 banane e 3 suoni hanno la stessa numerosità, ma anche che mangiando 1 banana ne
rimangono 2 o che se ho 4 bambini a cui devo dare le banane o ne procuro altre 2 o divido in parti
uguali quelle rimanenti. In questo capitolo si parla però di numerosità relativa agli animali e si studia in
base a che punto gli animali possono apprendere attraverso un addestramento oppure studiarli nel loro
mondo naturale e vedere se hanno un minimo di concetto di numerosità.La domanda che ci si pone è se
anche i neonati hanno capacità numeriche innate. A questo concetto si sono fatti studi a partire dagli
anni ottanta. Vengono presentati alcuni libri fondamentali sulla genesi del concetto di numero, primo tra
tutti il libro di Piaget e Szeminska ”La genesi del numero nel bambino” in cui gli autori descrivono gli
stadi che conducono il bambino a formare una rappresentazione astratta del numero attraverso le
interazioni con l‟esterno. Si passa attraverso i prerequisiti di acquisizioni di nozioni logiche quali:
conservazione, classificazione, seriazione. Con i suoi studi Piaget dimostra che i bambini di 5 anni sono
in grado di rendersi conto che le proprietà percettive di un insieme (ossia la forma, il colore, ecc) non
influenzano la numerosità.Questi studi hanno avuto diverse critiche in quanto si consideravano esempi
troppo lontani dalla vita reale di un bambini.I bambini con il tempo impareranno a capire i numeri anche
se prima li attribuiranno ad eventi a loro conosciuti (esempio le 2 candeline sulla torta in dicano un
compleanno). Solo col tempo impareranno il concetto di sequenziale (il 2 è prima del 3), ordinale (2 è
meno di 3), cardinale (2 indica un insieme di numerosità 2). Secondo studi effettuati i bambini iniziano
ad usare i numeri sin da due anni, anche se iniziano a contare senza conoscere il significato del
numero.Verso i tre anni iniziano a sommare piccole quantità di oggetti utilizzando molto le dita come
base di conto. Questo modo di contare verrà presto abbandonato per avvicinarsi a procedure più veloci
(il conteggio dal numero maggiore esempio 2+4 si parte dal 4 e si aggiunge 2. Qui deriva già una
importante regola matematica quella commutativa per cui cambiando l‟ordine degli addendi il risultato
non cambia). Il libro continua parlando della distinzione fra soggetti superdotati in matematica che con

pochi e semplici passaggi risolvono grandi problemi, a soggetti che presentano invece gravi problemi
quali la discalculia evolutiva cioè con difficoltà nei calcolo più semplici. Nell' ultima parte del libro
viene presa in considerazione la capacità di insegnare matematica, non facendo studiare a memoria
regole su regole, ma facendo applicare alcuni semplici calcoli alla vita reale (viene chiamata
matematica da strada).


Appendice Numero 2
Libro fondamentale numero 2B
Camillo BORTOLATO, Calcolare a mente. Esercizi secondo l' approccio analogico - intuitivo. Trento:
Erickson (2002).
Questo libro è raccomandato, ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece obbligatorio e va
studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Riportiamo qui di seguito la scheda descrittiva
del libro tratta dal catalogo della Erickson.
Il libro tratta della teoria e della pratica del calcolo mentale, visto come uno strumento utile a far capire
pienamente i numeri ai bambini. Rappresenta un modo per entrare a fondo nella problematica della
rappresentazione delle consocenze relative ai numeri nella nostra memoria. Il libro parte dalla
considerazione che nel calcolo mentale, i bambini di oggi utilizzano le stesse tecniche che usavano i loro
coetanei fin dall' antichità: operano cioè senza fare riferimento al codice dei numeri arabi, senza vedere
le cifre, ma basandosi solo sul codice semantico e su quello lessicale. Ancora oggi, prima di incontrare i
numeri scritti, ogni bambino conserva un "genio innato" per la numerosità, che precede qualsiasi
nozione impartita da genitori o insegnanti. Partendo dq questa teoria, il volume presenta le strategie del
calcolo mentale, che sono diverse e indipendenti dalle procedure del calcolo scritto. L' approccio
analogico - intuitivo mira a sviluppare una struttura di riferimenti ordinati che funzioni nella mente dell'
alunno come una carta geografica per orientarsi nel calcolo, una struttura semplice,regolare e replicabile
in tutte le dimensioni, che permetta all' alunno di riconoscere quantità anche elevate in modo istantaneo,
senza contare.


Appendice Numero 3
Libro fondamentale numero 3B
Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA, Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1 -
I numeri fino a 100. Trento: Erickson, 2002.
Questo libro è raccomandato, ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece obbligatorio e va
studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Su questo libro è basata la prova B06
Questo è il primo volume della nuova collana Erickson "Ri-costruiamo la matematica" (rivolta agli
insegnanti di scuola elementare). La collana prevede complessivamente sei titoli relativi all' aritmetica e
sei relativi alla geometria, più altri relativi alle abilità richieste per risolvere i problemi.
Il libro contiene indicazioni teoriche, didattiche e operative in merito ai concetti matematici relativi ai
numeri naturali da 0 a 100. Ricco di schede operative diversificate nei contenuti e nei livelli di difficoltà
e basato sul modello teorico della didattica per concetti, il programma si caratterizza per una reale
coordinazione fra il punto di vista teorico disciplinare, quello pedagogico e quello didattico. Ogni
proposta operativa è inserita in un contesto di riferimento che permette di valutarne l‟opportunità
didattica, le conoscenze e le competenze implicate come prerequisiti e come elementi di scoperta. Per
superare il distacco tra forma e contenuto, che talvolta caratterizza l‟insegnamento dell‟aritmetica,
l‟itinerario didattico proposto è ben graduato a partire dal mondo esperienziale del bambino, secondo
una scala di progressiva schematizzazione, astrazione, sintesi e formalizzazione.


Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta
accanto
(Traccia di una intervista diretta ad un giovane adulto, uomo o donna, che ha compiuto studi
scientifici ed usa correntemente la matematica nella sua professione)

Premessa
Lo scopo principale di questa intervista è quello di far parlare liberamente il soggetto intervistato fino a
fargli rivelare dei particolari intriganti, in modo particolare riguardo alla incubazione della sua passione,
alla sua iniziazione alla matematica ed al suo rapporto con il resto del mondo.
L‟ intervista non può rappresentare una indagine scientifica e va condotta con naturalezza e con
tranquillità, senza enfatizzazioni ed esagerazioni.
Il rapporto con i compagni di studi e con i coetanei non va enfatizzato troppo, ma attraverso il modo
stesso in cui si svolge la conversazione l‟ intervistatore potrà aggiungere, a margine dell‟ intervista,
alcune impressioni sulla socievolezza e sul carattere dell‟ intervistato.

La scoperta della matematica
 A che età hai scoperto l‟ esistenza della matematica?
 Attraverso quali esperienze?
 Insieme con chi? Grazie a chi?
 Che importanza ha avuto la scuola nella scoperta della matematica?
 Quali altre esperienze al di fuori della scuola (prima della scuola, durante la scuola) ti hanno
fatto scoprire la matematica?
 Quando e come hai scoperto la tua passione per la matematica?
 Come andavi in matematica a scuola? Sei sempre andato bene?
 Che ricordo hai dei tuoi insegnanti di matematica? Hanno riconosciuto il tuo talento? Ti hanno
incoraggiato?

Studi, curriculum
 Che tipo di studi hai svolto?
 Hai scelto tu questo tipo di studi?
 Come andavi nelle altre materie?
 La passione per la matematica ha mai compromesso il rendimento nelle altre materie?
 Come ti vedevano i tuoi insegnanti, i tuoi professori?

Familiarita’
 Nella tua famiglia ci sono altri “geni” della matematica?
 Il tuo carattere (la tua personalità) sono caratteristici secondo te di un matematico o di uno che
ama la matematica? Puoi descriverci alcuni aspetti?

Personalita’
 Ti ritieni una persona socievole?
 Ritieni di essere creativo?
 Parlaci della tua fantasia
 Qual è il tuo rapporto con il computer?

 Ti piace giocare? Quali tipi di giochi?

La professione scelta
 Sotto quale aspetto la tua professione attuale ha una relazione con la matematica?
 Cosa pensavi (sognavi) di fare da grande
 Pensi di avere realizzato i tuoi sogni?

Concorsi, gare
 Hai mai partecipato a delle gare di matematica? Se si, come sei andato? Come ti sei preparato?
 Hai mai partecipato a dei concorsi con prove di carattere matematico o coinvolgenti la
matematica? Se si, in quale modo ti sei preparato?
 Hai mai partecipato a delle selezioni interne in cui la matematica fosse determinante?
 Come è stato il tuo rendimento in queste circostanze?

Matematica e societa’
 Qual è il ruolo della matematica nella società moderna?
 Pensi che l‟ insegnamento della matematica sia adeguato alle esigenze della nostra società
(civiltà)?

Computer, internet
 Che rapporto hai con il computer?
 Che rapporto hai con internet?
 Che rapporto pensi che ci sia tra il computer e la matematica?
 Conosci qualche linguaggio di programmazione?

Memoria
 Come consideri la tua memoria? (Normale, Buona, Ottima)
 Che tipo di memoria hai? (Uditiva, Visiva)
 Secondo te come deve essere la memoria di un matematico (di un genio matematico della porta
accanto)?

Numeri, calcolo mentale
 Esegui mai calcoli a mente?
 Quando e quanto usi la calcolatrice per fare i calcoli della vita quotidiana?
 Quali grandi numeri conosci?
 Qual è il numero più grande che hai mai incontrato?
 Qual è il numero più interessante che hai conosciuto? E perché lo consideri tale?

Sogni nel cassetto
 Quali sono i tuoi sogni nel cassetto, dal punto di vista matematico?


Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello
Nell' Analisi della Funzione Docente la prima fase è quella della intervista alla maestra modello, ovvero
ad un docente o ad una docente che presenta delle caratteristiche di eccellenza unite ad una disponibilità
a parlare della sua professione e della sua professionalità in termini aperti e costruttivi. La maestra
modello deve essere selezionata sulla basi delle caratteristiche che indichiamo qui di seguito.
Deve essere innanzitutto
 disponibile e comunicativa
 esperta e relativamente matura
 insegnare o avere insegnato matematica La potete cercare tra i docenti della scuola in cui
effettuate il vostro tirocinio.
Contattatela con garbo e presentatele, se occorre, il progetto di indagine che state effettuando. La
maestra modello deve essere disponibile a collaborare anche nelle successive fasi dell' indagine, quelle
che riguardano il libro di testo ed i sussidi didattici, i risultati visibili sui quaderni degli allievi e l'
interazione con l' ambiente.

Come va condotta l' intervista
L' intervista va condotta cercando di mettere a suo agio la persona intervistata. Le domande non vanno
quindi fatte in modo meccanico, qui non si tratta di domande di tipo statistico, ma di una indagine che
deve assomigliare alle indagini fatte dai grandi giornalisti piuttosto che dagli istituti demoscopici.

Domande di base
 Esperienze relative all' insegnamento della matematica
 Lei insegna attualmente matematica nella scuola elementare? Ci può dire da quanto tempo?
Oppure per quanto tempo complessivamente lo ha fatto?
 Ha una laurea in matematica o in una materia scientifica? Se si, dove e quando l' ha conseguita?
Con chi ha svolto la tesi?
 Ha seguito corsi di specializzazione sull' insegnamento della matematica? Se si, può dirci quali?
In quale ambiente o organizzazione? Condotti da chi?
 Fa parte di associazioni o di reti di docenti che coltivano l' interesse per la matematica e per il
suo apprendimento - insegnamento?

Esperienze relative alla formazione degli insegnanti
 Ha svolto, svolge o conta di svolgere corsi di formazione per insegnanti della scuola primaria?
Dove? Come? Con chi? Con quale organizzazione?

 Rapporti con la matematica
 Le piace la matematica? La trova utile? Piacevole? O altro?
 Supponiamo che i suoi rapporti con la matematica oggi siano buoni. Lo sono stati sin da quando
era bambina? O da quando era adolescente? O da quando ha cominciato ad insegnarla?
 Chi sono i suoi "modelli" tra i grandi matematici?
 Chi sono i suoi maestri nel campo della didattica della matematica?


Innatismo (domanda opzionale)
 Alcuni ricercatori (Dehaene, Butterworth, Girelli, Wynn) sostengono che alcune competenze
matematiche siano innate ed il campo delle competenze matematiche innate si estende
continuamente. Lei ritiene che le competenze matematiche siano in parte innate?

Costruttivismo (domanda opzionale)
 Seymour Papert, uno degli "apostoli del linguaggio Logo" asseriva che tutti i bambini
dovrebbero, nel loro piccolo, poter in qualche fare i matematici?
 Lei concorda o meno? Ritiene che ognuno di noi possa, nel suo piccolo, essere un piccolo
matematico?

Paura della matematica
 Gli psicologi ci dicono che molti bambini maturano un atteggiamento di paura, se non
addirittura di terrore verso la matematica.
 Lo conferma? Ne ha avuto una esperienza diretta?
 Quali possono essere, secondo lei, le cause della paura della matematica?
 Il metodo adottato dall' insegnante può influire in senso positivo o negativo?
 La personalità dell' insegnante può influenzare la paura della matematica?
 Quali esperienze formative possono avvicinare in modo sereno il bambino alla matematica?

Il mondo dei giochi e il mondo della matematica
 Ritiene che il mondo dei giochi e il mondo della matematica possano avere dei punti in comune?
 Ad esempio, negli Stati Uniti c' è un intero curriculum di avviamento alla matematica che
poggia sul gioco degli scacchi. Lo ritiene interessante? Utile? Applicabile anche in Italia?

La questione dei videogiochi
 Lei ha mai provato i videogiochi?
 Ha dei figli o dei nipoti che usano i videogiochi?
 Moltissimi bambini usano i videogiochi: lo ritiene un fatto positivo? Ritiene che questa
esperienza possa favorire o meno un sano rapporto con la matematica?

Il computer
 Quale ruolo può avere il computer nell' apprendimento - insegnamento della matematica?
 Lei usa il computer per insegnare la matematica? Se non lo usa, per quale motivo? Attrezzature
insufficienti? Difficoltà organizzative? O contrarietà nei confronti del mezzo?
 Conosce programmi per il computer orientati a favorire o facilitare l' apprendimento della
matematica? Considera il computer come un semplice supporto per materiali didattici
multimediali o qualcosa di più profondo?

Ambiente o Risponda liberamente, e solo se lo ritiene opportuno.
 L' ambiente scolastico l'aiuta nella sua missione?
 Ha buoni rapporti con i colleghi sul tema dell' insegnamento della matematica?
 Ci sono forme di collaborazione tra tutti gli insegnanti che, nella scuola, insegnano matematica?
o La dirigenza della scuola considera in modo adeguato le esigenze relative all' apprendimento
della matematica? Le favorisce in qualche modo?
 Sempre sul tema dell' apprendimento della matematica, esiste qualche forma di collaborazione,
diretta o indiretta, con i genitori?


Disabilità (discalculia)
 Si è mai imbattuta in soggetti che presentavano disturbi specifici nell' apprendimento legati in
modo particolare alla matematica (tipo discalculia)?
 Ha avuto modo di collaborare con degli psicologi? Quali figure di psicologi in particolare? Ha
trovato proficua la collaborazione con gli psicologi?
 Ha avuto modo di conoscere ed apprezzare dei test per la diagnosi precoce della discalculia?


Appendice Numero 5 - Keith Devlin: pensare la matematica
(da una conferenza del Prof. Keith Devlin riportata nel sito Polymath dell‟ Universita‟ di Torino)

Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin
Keith J. Devlin è un vero polymath, dovrebbe essere il primo socio onorario del sito, se è prevista questa
figura. Ha dato e continua a dare contributi importanti sia nella ricerca sia nella divulgazione.
Ha conseguito il dottorato in matematica nel 1971 presso l'Università di Bristol, nel settore della teoria
degli insiemi - sono ricerche molto difficili e affascinanti quelle dell'attuale teoria degli insiemi, veri e
propri esperimenti mentali di coraggiose estrapolazioni verso infiniti sempre più grandi e per studiare le
conseguenze della loro esistenza sulla matematica concreta e per affinare l'intuizione dell'infinito
(secondo un suggerimento che risale a Gödel).
Alcuni suoi libri ed esposizioni relative agli argomenti studiati in quegli anni sono presenti in tutte le
biblioteche universitarie del mondo (in particolare Constructibility, Springer, 1984).
Negli anni Ottanta Devlin è stato una delle vittime della Thachter, ha perso il posto con la motivazione
che le sue ricerche non si rivolgevano a questioni utili. A differenza dei minatori, l'emigrazione negli
Stati Uniti è stata per lui, e forse per noi, una fortuna. Ha continuato sì ad interessarsi di logica, sia pure
in una direzione diversa: sotto l'influenza di Jon K. Barwise, che lo aveva invitato come ricercatore al
Centro di studi sul linguaggio CSLI di Stanford (lo stesso centro che ora dirige, dopo la morte prematura
di Barwise) si è dedicato all'impegnativo (e per ora purtroppo poco più che tentative, a tentoni)
argomento di una fondazione di una nuova logica dell'informazione. Ma soprattutto, avendo poi ottenuto
un posto in una università che non aveva un programma di dottorato (questa è una nostra congettura,
non sappiamo quale sia la causa e quale l'effetto), ha colto l'occasione di dare maggiore sfogo ad
un'attività di science writer multimediale per cui aveva già manifestato interesse e spiccate attitudini
mentre viveva in Gran Bretagna.
Ivi era stata un grande successo la sua rubrica periodica di matematica Micromaths sul Manchester
Guardian, così come un famoso documentario televisivo A Mathematical Mystery Tour per la BBC. Ora
continua la sua collaborazione con la televisione ed ha aggiunto una rubrica sul Los Angeles Time.
Frutto di questa attività di divulgazione sono diversi libri di cui alcuni tradotti in italiano (Matematica -
La nuova età dell'oro, Dove va la matematica, Addio Cartesio, Il linguaggio della matematica, Il gene
della matematica).
Devlin ha anche ripetutamente messo le sue capacità organizzative ed espositive al servizio della
comunità, ad esempio dirigendo dal 1991 per alcuni anni l'importante rubrica Computers and
Mathematics sulle Notices dell'American Mathematical Society, e dirigendo per qualche tempo la rivista
Focus della Mathematical Association of America.
Il libro che viene oggi presentato (Il gene della matematica, Longanesi) può essere affiancato a quelli di
S. Dehaene, Il pallino della matematica (come sono fini gli editori italiani a inventarsi titoli di richiamo;
il libro di Dehaene è tutto dedicato a dimostrare che il cosiddetto "pallino" non esiste), e di B.
Butterworth, Intelligenza matematica, a costituire una trilogia di indagini su quello che si può indurre
dalle conoscenze attuali sul cervello relativamente alle capacità matematiche umane. Ma mentre gli altri
due si limitano a discutere le risultanze delle ultime ricerche neurofisiologiche (e al massimo
etnologiche, in Butterworth) sulla capacità innata di riconoscimento e manipolazione di quantità piccole,

in gran parte comune agli animali superiori, Devlin affronta il problema molto più difficile e
problematico, e importante (soprattutto per la didattica), dell'innesto e della crescita della matematica
simbolica sulla base delle capacità cerebrali matematiche che sono sostanzialmente analogiche.
Nella sua analisi gioca un ruolo fondamentale la discussione della crescita progressiva del cervello nel
corso dell'evoluzione umana; in particolare, visto che la matematica che conosciamo è troppo recente
per risentire dell'evoluzione biologica, un elemento decisivo appare essere la nascita del linguaggio, in
seguito alla crescita dimensionale del cervello (soprattutto della corteccia frontale) in un periodo che va
da 200.000 a 75.000 anni fa. La lunga e approfondita discussione di Devlin, che costituisce la parte
centrale dell'esposizione, è un importante contributo al problema della nascita del linguaggio; la sua tesi
è che per la matematica non sono necessarie altre capacità di quelle che permettono il linguaggio;
l'argomento centrale è che con il linguaggio evoluto si è resa possibile agli umani una forma di pensiero
astratto superiore, che egli chiama off-line: la capacità non solo di descrivere fatti elementari, anche già
articolati nelle affermazioni soggetto-predicato che coinvolgono nomi comuni, astratti, ma la possibilità
ulteriore di immaginare e descrivere situazioni di fantasia. Il vantaggio evolutivo connesso a questa
capacità è quello della pianificazione, che richiede di inventare scenari possibili (se le cose stessero), e
di sviluppare logicamente le conseguenze delle ipotesi immaginate.
Sulla base di questa tesi, e come elemento di conferma, Devlin presenta una visione della matematica
dove prevale la costruzione e la comunicazione di storie, non essenzialmente diverse dalle telenovele e
dallo scambio di pettegolezzi, relative a mondi formati da personaggi che sono questa volta gli oggetti
astratti matematici, i quali sono gli schemi, i pattern, che si incontrano in tutte le trattazioni
matematiche.

Pensare la matematica, di Keith Devlin
Sono circa trent'anni che mi occupo di matematica e da almeno cinque cerco di capire in che modo il
mio cervello, e quello degli altri matematici, riesca a fare matematica. Per molti motivi questa è una
domanda interessante e inconsueta. Il motivo più interessante riguarda il tempo. L'evoluzione ha avuto
luogo attraverso centinaia, migliaia e milioni di anni, mentre la matematica è molto recente. I numeri
hanno diecimila anni e la maggior parte della matematica ha, al massimo, duemila anni. Questo tempo è
troppo breve perché possano avvenire grandi cambiamenti nel cervello umano. Quindi, quando
facciamo matematica, quando i nostri cervelli pensano in modo matematico, dobbiamo necessariamente
usare delle abilità mentali che sono state acquisite centinaia di migliaia di anni prima che la matematica
venisse inventata. E la domanda che mi sono posto, quando ho scritto Il Gene delle Matematica è la
seguente: "Come hanno fatto i nostri antenati ad acquisire il pensiero matematico?" Ho impiegato
parecchi anni per riuscire a trovare una spiegazione convincente: quella che ho pubblicato nel libro Il
Gene delle Matematica, edito in Italia da Longanesi.
Non sostengo che ci sia un gene particolare che ci consente di fare matematica, quindi se voi non siete
capaci di fare matematica, non potete trovare la scusa che non possedete quel gene.
Quello che voglio dire, è invece che siamo nati con l'abilità matematica, e questa è in noi, e aspetta
soltanto di emergere. Il pensiero matematico è un'abilità innata, che abbiamo fin dalla nascita. Le
domande specifiche che mi pongo sull'abilità matematica sono le seguenti. Come ha fatto il cervello
umano ad acquisirla? Quando, in termini di evoluzione, il cervello ha acquisito questa abilità? E quale
vantaggio può aver dato questa abilità ai nostri antenati, nella selezione naturale?


Come per qualunque altra spiegazione riguardante l'evoluzione, non possiamo essere sicuri che io abbia
dato la spiegazione corretta. Comunque, sappiamo molto sull'evoluzione umana e culturale, e sulla
psicologia della matematica, e questo restringe e delimita in modo preciso qualsiasi possibile
spiegazione. Quindi la mia versione potrà essere difettosa in qualche punto, anche se sono piuttosto
fiducioso che possa essere vera.
Vediamo meglio qual è l'idea che descrivo nel libro. L'abilità matematica non è un'unica abilità, ma è
piuttosto un'insieme di molte abilità. Quindi il primo passo della mia analisi è stato quello di suddividere
questa abilità nelle molte abilità, diverse e individuali, che la componevano. Poi, mi sono chiesto che
cosa sia stato in termini storici e di evoluzione a portare i nostri antenati all'acquisizione di tali abilità?
Quando sono state acquisite? E come e quando si sono collegate fra loro queste singole abilità per darci
la matematica? E' un po' come fare una torta, prima ho raccolto tutti gli ingredienti, poi ho spiegato
come mescolarli per fare la torta. Ma devo dire che sono molto più bravo come matematico che come
cuoco.
Ho elencato nove diverse capacità mentali. Alcune sono connesse tra di loro, altre sono invece separate.
Innanzitutto, vi elencherò semplicemente quali sono queste capacità, poi ne illustrerò alcune più in
dettaglio.
Numero 1: il senso del numero.
Numero 2: l'abilità numerica.
Numero 3: l'abilità di ragionare sullo spazio che ci circonda.
Numero 4: il senso di causa ed effetto.
Numero 5: l'abilità di costruire e seguire una catena causale di fatti o di avvenimenti.
Numero 6: l'abilità algoritmica (un esempio di algoritmo è l'insieme delle regole che si devono
seguire per moltiplicare fra loro due numeri).
Numero 7: l'abilità di gestire concetti astratti.
Numero 8: l'abilità di ragionare in modo logico.
Numero 9: l'abilità di ragionare sulle relazioni.
Quelle che seguono sono le domande che ci dobbiamo fare su queste nove capacità.
Domanda numero uno: quando si sono evolute queste nove capacità mentali?
Domanda numero due: quale valore, in termini di sopravvivenza, offrivano ai nostri antenati?
Domanda numero tre: che cosa le ha unite per dare l'abilità del pensiero matematico?
Ci sono volute molte pagine nel libro per dare le risposte, ma nel mio intervento esporrò soltanto le idee
chiave di quella lunga spiegazione.
La prima delle nove capacità è il senso del numero. Questo ha quasi niente a che fare con i numeri, ma
significa semplicemente avere la capacità di capire che insiemi di oggetti possono avere misure diverse.
Ci sono quattro persone sul palcoscenico. Io non so quante persone ci siano qui in sala, ma so che voi
siete sicuramente più numerosi di quelli che sono qui con me sul palco. Non ci vogliono i numeri per
capire che voi siete più numerosi di noi. Il senso del numero non richiede i numeri, e molti animali
possiedono questa capacità.
Ci sono molti motivi per cui può essere utile per un animale avere questo senso del numero. Ad
esempio, per un piccolo gruppo di animali, è importante sapere se un altro gruppo di animali che li sta
minacciando è più grande o più piccolo del loro. Oppure per un animale che vive mangiando frutta, ha
senso individuare e arrampicarsi sull'albero che ha più frutti.

Guida 1A-3 [2009 - 2010]

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