Dochód i ryzyko portfela dwuskładnikowego, zależność pomiędzy korelacją stóp zwrotu aktywów a odchyleniem standardowym stopy zwrotu portfela, budowa portfeli o zerowym lub minimalnym ryzyku

1. Zarządzanie portfelem inwestycji
Część 4. – budowa portfeli
efektywnych (1)
Zespół projektu „Portfel SII”

2. Portfele dwuskładnikowe jako
wstęp do dalszych rozważań
• Przed przystąpieniem do szerszego omówienia własności portfeli
składających się z wielu składników i koncepcji portfeli
efektywnych (te zagadnienia będą przedmiotem kolejnych
prezentacji) przyjrzymy się własnościom różnych portfeli,
będących kombinacją wyłącznie dwóch ryzykownych aktywów
(portfele dwuskładnikowe).
• Takim portfelem dwuskładnikowym może być na przykład portfel
zbudowany z akcji dwóch spółek A i B, których udziały w tym
portfelu wynoszą odpowiednio 30 proc. i 70 proc.
2

3. Portfele dwuskładnikowe jako
wstęp do dalszych rozważań
• W niniejszej prezentacji przedstawione zostaną przede
wszystkim najbardziej charakterystyczne (choć często tylko
czysto teoretyczne) przypadki portfeli dwuskładnikowych przy
założeniu braku możliwości dokonywania krótkiej sprzedaży.
• Stanowią one dobry punkt odniesienia do dalszych, nieco
bardziej skomplikowanych rozważań. Pomogą także zrozumieć
wpływ wielkości udziałów w portfelu poszczególnych jego
składników oraz rodzaju i siły zależności zachodzących
pomiędzy stopami zwrotu tych składników (współczynnik
korelacji) na poziom ryzyka i dochód całego portfela.
3

4. Stopa zwrotu portfela
dwuskładnikowego
• Przypomnijmy, że stopa zwrotu portfela inwestycyjnego
to średnia ważona stóp zwrotu poszczególnych aktywów
wchodzących w jego skład, gdzie wagami są udziały procentowe
tych aktywów w całkowitej wartości portfela. W przypadku
portfela dwuskładnikowego, wzór ten przybiera zatem
następującą postać:
4
gdzie:
Rp – stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego,
w1,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,
R1,R2 – stopa zwrotu aktywa pierwszego i drugiego.

5. Odchylenie standardowe stopy zwrotu
portfela dwuskładnikowego
• Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela inwestycyjnego
to natomiast funkcja odchyleń standardowych poszczególnych
inwestycji oraz kowariancji stóp zwrotu poszczególnych aktywów.
Dla portfela dwuskładnikowego ogólny wzór na odchylenie
standardowe stopy zwrotu jest następujący:
5
gdzie:
σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego,
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,
w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,
cov1,2 – kowariancja stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa,
r1,2 – współczynnik korelacji stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.

6. 6
Przypadek 1.
– portfel dwuskładnikowy,
– doskonała korelacja dodatnia (r=1),
– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

7. Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja dodatnia (+1), brak
krótkiej sprzedaży
• Gdy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników,
a współczynnik korelacji stóp zwrotu wynosi 1, odchylenie
standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:
7
gdzie:
σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 1),
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,
w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu.

8. Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja dodatnia (+1), brak
krótkiej sprzedaży
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których
stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe
tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka
jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu
całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji
A i B ma wartość 1?
8
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14
σp = wA * σA + wB * σB
σp = wA * 0,03 + wB * 0,06

9. Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja dodatnia (+1), brak
krótkiej sprzedaży
9
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

10. 10
Przypadek 2.
– portfel dwuskładnikowy,
– doskonała korelacja ujemna (r=-1),
– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

11. Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja ujemna (-1), brak
krótkiej sprzedaży
• Gdy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników,
a współczynnik korelacji stóp zwrotu wynosi -1, odchylenie
standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:
11
gdzie:
σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = -1),
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,
w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,

12. Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja ujemna (-1), brak
krótkiej sprzedaży
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których
stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe
tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka
jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu
całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji
A i B ma wartość -1?
12
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14
σp = |wA * σA - wB * σB|
σp = |wA * 0,03 - wB * 0,06|

13. Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja ujemna (-1), brak
krótkiej sprzedaży
13
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

14. Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja ujemna (-1), brak
krótkiej sprzedaży
• Dla dwuskładnikowego portfela inwestycyjnego
o współczynniku korelacji stóp zwrotu aktywów równym -1,
wyznaczyć można portfel o zerowym ryzyku. Wówczas udziały
poszczególnych aktywów w takim portfelu wynoszą:
gdzie:
w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o zerowym ryzyku,
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.
14

15. Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja ujemna (-1), brak
krótkiej sprzedaży
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy
zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., odchylenia standardowe stóp zwrotu mają
wartość odpowiednio 3 i 6 proc., a współczynnik korelacji tych stóp
zwrotu wynosi -1. Jakie powinny być udziały pierwszego i drugiego aktywa
w portfelu, aby cały portfel miał zerowe ryzyko (zerowe odchylenie
standardowe stopy zwrotu)? Ile wynosi stopa zwrotu takiego portfela?
wA = σB / (σA + σB)
wA = 0,06 / (0,03+0,06)
wA = 0,67
15
wB = σA / (σA + σB)
wB = 0,03 / (0,03+0,06)
wB = 0,33
lub:
wB = 1 - wA = 1 - 0,67 = 0,33
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = 0,67 * 0,08 + 0,33 * 0,14
Rp = 0,053 + 0,047 = 0,10

16. Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy,
doskonała korelacja ujemna (-1), brak
krótkiej sprzedaży
16

17. 17
Przypadek 3.
– portfel dwuskładnikowy,
– brak zależności między stopami
zwrotu (r=0),
– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

18. Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy,
brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
• Kiedy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników,
dla których stóp zwrotu współczynnik korelacji wynosi 0
(brak korelacji), to odchylenie standardowe stopy zwrotu
tego portfela jest równe:
18
gdzie:
σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 0),
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,
w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu.

19. Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy,
brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których
stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe
tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka
jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu
całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji
A i B ma wartość 0?
19
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14
σp = (wA
2 * σA
2 + wB
2 * σB
2)1/2
2 * 0,032 + wB
σp = (wA
2 * 0,062)1/2

20. Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy,
brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
20
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

21. Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy,
brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
• Poza sytuacją, kiedy współczynnik korelacji stóp zwrotu
aktywów portfela jest równy -1 (przy założeniu możliwości
dokonywania krótkiej sprzedaży drugi taki wyjątkowy
przypadek występuje, gdy współczynnik korelacji wynosi 1),
nie da się wyznaczyć portfela o zerowym ryzyku. Często
istnieje jednak możliwość wyznaczenia tzw. portfela
o minimalnym ryzyku.
• Udziały aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku są tak
dobrane, że nie istnieje żadna inna kombinacja tych dwóch
aktywów, przy której cały portfel inwestycyjny miałby niższy
poziom ryzyka (mniejszą wartość odchylenia standardowego
stopy zwrotu).
21

22. Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej
sprzedaży
• Nie w każdym przypadku kombinacja ze sobą dwóch aktywów przynosi
jednak efekt w postaci minimalizacji ryzyka inwestycyjnego (portfel
o minimalnym ryzyku). W niektórych sytuacjach, mając dwa papiery
wartościowe, portfel o najmniejszym możliwym ryzyku składać
się będzie całkowicie (100 proc.) z waloru mniej ryzykownego (udział
drugiego waloru równy 0 proc.). Wartość odchylenia standardowego
takiego portfela będzie zatem równa wartości odchylenia
standardowego mniej ryzykownego waloru.
• Przykładem takiej sytuacji może być przedstawiony wcześniej
przypadek, gdy współczynnik korelacji między stopami zwrotu dwóch
aktywów wynosi 1 – jeśli współczynnik korelacji jest równy 1,
niezależnie od wartości odchyleń standardowych dwóch walorów, nie
da się zbudować portfela o minimalnym ryzyku (przy założeniu braku
możliwości dokonywania krótkiej sprzedaży).
22

23. Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej
sprzedaży
• Portfel o minimalnym ryzyku można zbudować, jeśli dla:
spełniony jest warunek:
23
gdzie:
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,
r1,2 – współczynnik korelacji stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego.

24. Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy,
brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
• Jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu aktywów portfela
wynosi zero, udziały tych aktywów w portfelu o
minimalnym ryzyku muszą być równe:
gdzie:
σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 0),
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,
w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o minimalnym ryzyku.
24

25. Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy,
brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy
zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu
mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jakie powinny być udziały akcji A i B
w portfelu, aby minimalizował on ryzyko (portfel o minimalnym ryzyku),
jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B wynosi zero? Jaką
wartość ma stopa zwrotu i odchylenie standardowe takiego portfela?
25
2 / (σA
wA = σB
wA = 0,062 / (0,032 + 0,062)
wA = 0,8
wB = σA
2 / (σA
2 + σB
2 + σB
2)
2)
wB = 0,032 / (0,032 + 0,062)
wB = 0,2
lub: wB = wA – 1 = 0,2
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = 0,8 * 0,08 + 0,2 * 0,14
Rp = 0,092
σp = (wA
2 σA
2 + wB
2 σB
2 )1/2
σp = (0,82 * 0,032 + 0,22 * 0,062)1/2
σp = 0,02683

26. Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy,
brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
26
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:

27. 27
Przypadek 4.
– portfel dwuskładnikowy,
– dowolna wartość współczynnika
korelacji stóp zwrotu,
– brak możliwości krótkiej sprzedaży.

28. Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy,
dowolna wartość współczynnika korelacji,
brak krótkiej sprzedaży
• Po przedstawieniu trzech najbardziej charakterystycznych
portfeli dwuskładnikowych (w warunkach doskonałej korelacji
dodatniej, doskonałej korelacji ujemnej, braku korelacji),
możemy przejść do przypadku bardziej ogólnego, a zatem
i bardziej praktycznego.
• W ten sposób przedstawimy ogólną formułę wykorzystywaną
do wyznaczenia udziałów dwóch aktywów w portfelu
o minimalnym ryzyku, a także wzór na odchylenie standardowe
takiego portfela.
• Pokażemy także na wykresie zależność między stopą zwrotu
portfela a jego ryzykiem, gdy korelacja stóp zwrotu aktywów nie
jest równa 1, -1 lub 0.
28

29. Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy,
dowolna wartość współczynnika korelacji,
brak krótkiej sprzedaży
• Udziały dwóch aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku muszą być
równe (wzór ogólny):
• Wartość odchylenia standardowego stopy zwrotu takiego portfela ma
natomiast wartość:
gdzie:
σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela
dwuskładnikowego o minimalnym ryzyku,
σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa
pierwszego i drugiego,
w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu
o minimalnym ryzyku,
r1,2 – współczynnik korelacji stóp zwrotu pierwszego i drugiego
aktywa.
29

30. Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy,
dowolna wartość współczynnika korelacji,
brak krótkiej sprzedaży
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu
wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość
odpowiednio 3 i 6 proc. Jakie powinny być udziały akcji A i B w portfelu,
aby minimalizował on ryzyko (portfel o minimalnym ryzyku), jeżeli współczynnik
korelacji stóp zwrotu akcji A i B wynosi -0,5? Jaką wartość ma stopa zwrotu
i odchylenie standardowe takiego portfela?
wA = (σB
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = 0,714 * 0,08 + 0,286 * 0,14
Rp = 0,097
30
2 - σA σB rA,B ) / (σA
2 + σB
2 - 2 σA σB rA,B)
wA = [0,062 - 0,03 * 0,06 * (-0,5)] / [0,032 + 0,062 - 2 * 0,03 * 0,06 * (-0,5)]
wA = 0,714
wB = wA - 1
wB = 1 - 0,71 = 0,286
σp = {[σA
2 σB
2 (1 - rA,B
2)] / [σA
2 + σB
2 - 2 σA σB rA,B]} 1/2
σp = {[0,032 * 0,062 (1 - (-0,5)2)] / [0,032 + 0,062 – 2 * 0,03 * 0,06 * (-0,5)]} 1/2
σp = 0,0196

31. Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy,
dowolna wartość współczynnika korelacji,
brak krótkiej sprzedaży
31

32. Portfel dwuskładnikowy, brak
krótkiej sprzedaży
32

33. DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ!
Partnerem strategicznym Portfela SII jest Alior Bank