O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.

k-gjino-analiza-matematike-2

10.345 visualizações

Publicada em

pppp

Publicada em: Internet
  • Seja o primeiro a comentar

k-gjino-analiza-matematike-2

  1. 1. Kristaq Gjino ANMIZA MATEMATIKE
  2. 2. l HHISTHQ anno SNSLIZS MSTEMSTIHE å głüžàaožåvzi *Âmlėeęirwmłc wołzlkç . q "Tïjulłełü C skkønoaųe to m ràę ãžåvmołëk _L_ 0 94:2 Tironë - 2008
  3. 3. Parathënie Si vazhdim i "Analizës matematike I " për degën e maternatikës në Fakultetin e Shkencave tè' Natyrës në Universitetin e Tiranës, në këtë tekst trajtohen: seritë numerike dhe jžmksionale, funksiøni me shumë ndryshare dhe përgjithësimi i konceptit të íntegralít (integrale: ja t'e` vetë, integrali i shumèfïshtë dhe integralet vijëpërkulura dhe sipërfaqësore). Nëse i është arrítur apo jo qëllimit të . vynuar nga autori, këtë vlerësim mund ta bëjë vetë lexuesi. Autøri do t'u ishte mirënjahës gjithë atyre që do t'i dërgonin vërejtjet e tyre si për çështjet e trajtuara ashtu edhe për plotësime apo çështje t'e' tjera që mund të shtøhen. Pavarësisht se ky tekst është hartuar për tu përdorur nga studentët e degës sê matematikës, mendojmë se ky mund te' përdoret për disiplínën e analizës matematike edhe në degët e fïzikës dhe informatikës, si dhe nga lexues te' tjerë të interest/ ar për t'u thelluar në këtëfizshë. Në të dy vëllinæt autori është pëmjekur ta thjeshtøje trajtimin e çështjeve te' veçanta (për t'i lehtësuar punën lexuesit), pa cenuar trajtimin e saktë shkencor. gië që bën ne' përgjithësi, leximin dhe përvetësímin e mirë të temave te' trajtuara. Me njè' punë të kujdesshme, materialí i paraqitur mund të përvetësohet platësisht. Nëse ndonjëherë da ndeshní në vështirësí. kujtoní se po studíoni degën qè' bëri tè' mundur matematízimin e łigjeve te uníversít. Përse do t'ju shërbejè' tekstí "Anałiza matematilæ"? '
  4. 4. Kur arsyetimi bllokohei për 'faj' te kufïjve te logjikës sanë. janë Përmbajtja e lëndës lłogaritjet- e përpikta dhe te padiskutueshme te' analizës ato që i shtyjnë , _ _ a __ _ __ _ _ ' Pzrathënia lll shkencat rye hap me tutje. Kete praktike pune nisi Njuloni 3 shekuj më Përmbajlja v pare'. So! vetëm sístemet e ekuacianeve mundësajnë koncepiimin e Mmmm , m señlë . ... .,_. ... ... ... ... ... .. .Mí-maí ' ' - v . . . _ 51. Seritč numerike l umvers” 11 dłmensmnal (Teona e 31417573" 'ng/ eve) “P” ekzl-Ytenc" e 51.1. Konoepti i serisë dhe i konvergjcnces se' saj 1 objekteve. për te' cílat kaha nuk ka kuptim (Vrimat e zeza). : åïåzłęèvžmve å - . . . . . . . . .. .. . _ 51.4. Krileri inlegral 15 Analiza eshte padyshim nje disipline shume e fuqishme. Prandaj. 5,5 pm mm, ,a Um “Hmmm” n - u ~ ~ ~ . . . . . .. .. ., __ 51.6. Serilë alternative 22 k, " ju te Studio, ” anahzen' do te ka” menu" menyre" modeme te ãlfł. Seritë me kuñza pozilive dhe negative. Konvergjenca absolute e tyre 25 ~ ~ 51.8. KrileretcAbelildhe Diriles/ č 30 arsyetlmlt Shkencør' š1.9. Vetia ndërrucse për seiitë konveigiente 33 $1.10. Shumëzimi i serive 38 51.11. Prodhimet e pafundme 41 _ _ _ . sen e n ši mile 45 Krlstaq Gjlno 52.1. Vargu funksional dhe koncepi i konvergiences sê lij 45 C š2.2. Konvergjenca e njeirajtshme e vargui funksional 46 52.3. Seritë funksionale 51 $2.11. Kiiierc te konvergjencës se njëtrajishme 53 52.5. Kmerel e Abelii dhe Dirilesë per serilë funksionale S7 ã2.6. Kalimi n! limii në shenjen e słiumės se serise funksionnle 58 52.7. Vazhdueshmeria e shumës sê seiisë funksionnle 60 $2.23. lntegrimi kuñzč pëi kufizë i seiisłė funksionale 62 ê2.9. Derivimi kuñze për kufizë i serisë funksionale 66 . ' " ' omi e 68 ã 3. . Fusłia e konvergjencës se sen-ise polinomial. 68 5 3.2 Konvergjcnca e njëirajishme e serise polinomiale dhe rrjedhime 78 5 3.3 lniegnmi dhe derivimi i serise polinomiale 79 å 3.4 Zbenhimi i funksioneve ne scii polinomiale 82 ê 3.5. Perdiorimi i scrive polinomiale per njehsimin e përaten lê l raveië funksionii 90 N msintwałsstųnendihnvên ` ` ' lngonomeln e 5 rlogona l e 1 I sistem: ič funksioneve š . . Konvergjenca e serisë Furie 5 4. 3. Përgjiiłiësimi i seiive Furie 108 å 4. . Zbërthimi i funksinneve sipas kosinuscve dhe sinuseve 1 12 å 4. . Seritë Furie sipas sisieineve onogonalč 1 14 5 4. 6. Kushiel e konvergiences se njelmjlshme Ia! serisč Furie 120 Kapitulli XIII Funksioni i dis: ndryshoreve 123 ê 1. Funsíoiiet me dy ndryshore. Limiti dhe vaïhdueshmčria 124 51.1. Hapsirat euklidiane R" 124 91.2. Koncepti i funksionit me dy ndryshorc 125 šLB. Funksioni me lie ndryshore 129
  5. 5. êl.4. Limiti i funksionit 51.5. . Límilel e pėrsërilur dhe limiii i dyñshte š1.6. Vazhdueshmčña e funksionevc me shumë ndrysl-lore 151 .7. Disa veti lê mnave plane $1.13. Veti te funksioneve te vazhdueshëm ne nje zone lê mbyllur e të kuñzuar 92 Díferencimi i funksinníl me shume ndryshore 160 šZ. 1. Derivauet e pjesėshme 92.2. Rregulli per gjetjen e derivative re pjesshüm të funksionit z = f(x, y) 52.3. Derivaret e pjesshëm të funksioneve me me shumê se dy ndryshore SJ. Diferenciali ê 3.1. Diferenciali i ñinksiunil me dy ndryshore 5 3.2 Diferencizli i funksionil me mė shume' se dy ndryshore 5 3.3 Derivati i funksionit te verbete. å 3.4. DerivaLi sipas një drejrimi dhe gradiemi i funksionil. ê 3.5. Derivaii i funksionil Iė pashljellur. å 3.6. Pavarësia e trajres sč diferencialit, 5 3.7. Ekuacioni i rangjemes ndaj nje vije ne hapsiré. Plani tangjent ndaj sipërfaqes 5 3.8. lnterpretimi gjaometrik i diferencialit te funksionil me dy ndryshore M. Derivarel e pjesshme të renrleve te lam. Ekslremurrlet e funksionir me shunr! ndryshore. ê 4.1. Derivalel e pjesshme lë rendeve te lmė ê 4.2. Diferencialel e rendeve te lana 5 4.3. Formula e Tejlorit 5 4.4. Eksuemumet e funksionil me shume ndryshare. i 4.5. Funksioní i pashljellur i disa ndryshoreve. å 4.6. Ekzistenca. uniciteú dhe diferencueshmëria e funksionil te' paxhqellur 5 4.7. Ekzísienca. unícileli dhe diferencueshmëria e një sistemi funksionesh æ pashtjellur. á 4.8. . lakobianí si përgjilhčsim i konoeplit ie derivatit. 5 4,9. lnterpmimi ýeomerrik i Jakobíanit. å 4.10. Ekstremumet e kushtëzuar 5 4.1 l. Vlen me e vogel dhe vlera me e madhe e funksioneve me shumë ndryshore Kalmllm XIV integrale! jo të velë. šl, Inlegmlei jo te vate re' llajíl te pare 239 51.1 Ngjashmeriaeinwgralevetêtmjiês Ifçqdx meseriæ numerike n 51.2 Kriwrí Bolcano-Koshi per integrale! jo I! vere te lloji! t! pare 51.3 Konvergjenca e inlegraleve jo te vae per funksíonel qe nrajne shenje 51.4. Konvergjenca absolute dhe e kushtëzuar e integraleve jo w vete æ llojii te pare 52. integrale! jo w vere w llojít te dylë 52. I. Konvergenca e integraleve jo I! vele 115 llajít të dyle per funksionel q! ruajnë shënjč 52.2. Konvergienca absolute dhe konvergjenca e kuslrlezuar c integraleve jo te vere lë lloji! te dym 52.3. lntegrimi me pjes! dhe zevendėsim per integrale: jo te vetë ' 52.4. lnlegralet e Fmllanit VI 131 139 143 149 154 160 162 164 166 166 173 174 178 184 186 188 191 192 192 198 201 204 212 213 215 221 225 228 235 242 " 2A6 247 250 254 258 261 263 265 Kapitulli XV integrale! parametrike ål. integrale: paramelrike të zakonshčm 51.1 . Shtrimi i probizmil 51.2. Knlimi në limit nën shenjen c inregralil. Vazhdueshmčria e inregralit parameirik. 51.3. Derivimi nčn shenjën e inlegmlil. 91.4. lnregrimi nen shenjen e inlegralrl. 51.5. lnregrali paramerrik me kulïj ('e inregrimil që vare: nga parametri. 52. integrale! pammclrike jo te verč. 52.1 . Shtrimi i pmblemit 52.2. Krilere [E konvergjencës se njëuajteshme. 52.3 Kalimi në limit n'e'n shënjën c iniegralit. 52.4. Ndryshimi i rendir lč inlegrimil né inlegraleljo lë vete. 52.5. Derivimi nën shenjën e inregralir pnrametrik jo té vele' š3. integrale: e Euleril 53.1. Funksiani gamai Eulcri! 53.2. Funksíoni beta i Euleril Kapitulli XVI integrale! e shumëñshła ål. Figure: plane lê mmshmc 51.1. Konoepti i ñgurės sč malshme 51.2. Disa veli ič ñgurave re malshmc 52. . Vëllimi i lrupil cilindrik 53 . lnlegralel e dyñshtë 84, Ekzisienca e mtegraln të dyñshië šS. Disa klasa funksionesh te imegrucshem 96. Veli te funksioneve të iniegrueshem dhe lë inlegralil te' dyñshlč . Njehsim iniegmlit re dyñshtë 57.1. Kthimi i íntegralii té dyfishië në inlegral te pčrseritur kur mna ështe drejlkëndëshe 57.2. Klhimi i iniegralit te dyñshtë në integral të përseriiur kur zona eshië vijeperkulur 57.3. lnlegrimi me zêvendesim ne' inlegralin e dyñshre' (58. lnlegrali i treñshrë . Njchsim ' ases se' lendes se nje lrupi Përkutizimín e ínlegralil lč treñshtë . Veti te imegraleve (č lrelishlë. . Njehsimi i imegralii re lreñshlë. lntegrimi me zevendësim per iniegrzlin e (reñshte Koordinatat cilíndrike . . Koordinalni sferike . Zbaiime gjeometrike lê inlegmlil lë dyñshte dhe treñshië . 1. Syprim z njè' _figure plane s. 2. Vëllimr' z Irupavè ê 8.8.3. Syprina e një zone : ipërfaqëxora 5 8.9. Zbatim: ñzike te inlegralil re dyñshre dhe rreñshte. å 8.9.1. Mzua e njè' pllakz 5 8.9.2. Mammie: :milk: lê' njł pllalæ materiale, 5 8.9.3. Qendm z rëmłesè njëpllalæ materiale. 5 8.9.4. Momente! :ranke : ë njè' lrupi š 8.9.5. Kardinamt e qëndrë: :i rëndeses se nje lrupi. VII 268 268 269 27 l 272 274 276 276 279 282 283 286 293 293 297 301 301 305 311 312 314 316 318 321 322 326 33 I 339 340 34 l 342 343 352 353 356 360 360 36 1 362 364 364 365 366 367 367
  6. 6. 5 8.9.6. Momenri i inercisë s 5 3.9.7. Manænrimi inercise ënjëirupi. Kapitulii XVli integrale! e shumëlislila jo IE vere'. š I. Inicgrnlci c shumëñsiitnjdië vete ič llojit lč parë å 2. integrale! e sliumëñshtajo te veië te llojit te dytë Kapilulli XVII! integrale! vijëpërkuiur å l . integrale! vijeperkuliir te' llojit te' pare å l. l Përkuñzimi dhe njehsimi i iniegralit vijepërkulur të llojit te pare' å 1.2. Veti te' integraleve vijeperkuleta te' llojit IE pare å 1.3. Veli le' integmleve vijëpčrkuiëta t'e' llojit të pare' nč hapčsirč å 1.4 Masa e nje vije materiale plane 5.2 integrale! vijeperkulura te' llojit te dytë å.2. I, Puna qe kryen nje force plane kur nje' pike materiale zhvendosei sipas nie kurhe qe` shiriliet në kčte plan š.2.2. Përkufizimi i iniegiali! vijëpërkuliir ie llojit te dyie š.2.3. Ekzisienca dhe njehsimi i iniegralit vijëperkulur te llojit te dyte .4. integrale! víjëperlriiluru ! e llojit te dyte sipas një vije ne hapčsirë , ii integrale! vijëpërkulura ndaj vijave qe prilen ose jan! te mbyllura å 6. Formula e Gríni! å 7. Pavarësia e iniegralit vijepërkulur nga rruga e integrimit å 7.1. Pavarësia e integralii vijeperkulur nga rruga e integrimit per zonat me nje lidlije å 7.2 Gjetja e iunksioní! primitiv te dy ndryshoreve 5 7.3 Rastii zonave me shume lidłije FJ. Lidhja ndermjet integraleve te' llojit te parë dhe te llojit IE dyte' 5 Kapltulli XIX integrale! përfaqišore ål. lniegralet siperiaqêsore ie' llojit te pare. 51.1 Masa e lëndi-: s se' vendosur mbi një sipërfaqe 51.2. Pčrkuñzimi dhe ekzistenca e iniegrali! siperfaqesor te llojit te pare 51.3. Disa zbatime te integraleve siperfaqesore te llojit te pare. åZ. lntegralet sipërfaqësore te llojit te dytë. å2.l Sipërfaqet me dy ane dhe me nje' ane 52.2 Perkuñzimí dhe njehsimi i integralit sipërfaqesur te' llojit te dyie 53. Formula e Gausit. ill . Zlxiitiine u: rendesislime te teoremes se Gaiisi! å4. Fomiula e Stoksit. VIII 368 369 370 379 386 386 391 392 393 394 394 395 397 403 405 410 414 416 419 419 419 426 429 429 431 438 442 Kapitulli XII Seritè' Si dhe do të shikojme më poshtë. materiali i paraqitur në këtë kapitull ka më tepër karakter teknik se sa synimin per të futur koncepie maternatikë te veçantë. Trujiimi i hollësishëm qe u bë për vargje! numerikë e tlijeshton akoma me tepër mateiialin në vijim. Por janë zbatimet e shumta konkrete që do ta justiñkojnë trajiimin e këtij kapitulli. šl. Seritë numerike 51.1. Koncepti i : erisë dhe i konverg/ 'en " " xaj. Jepet vargu numerik a. . az. .. .a. ... .. Êshtë zakon që ' të shprehur sliumenve pafundme te te giithë elementëve të vargiit të mësipërm. të përdoiet shënirrii që vijon : t. ose në trajtë të përmbledhur z a” (1) Me përkuñzim simbolin e ntësi ërm do ta quajmë : eri numeríke, ose thjexht ren'. Numrat av uhen termawxe kufïza) lè' xeríxè'. ndërxa xhuma i-i gum; ghumg” e pjexxhm g rendít n gër xerinë (I). Nè' qofæ : e ekzjstbn ndonjë mmiër i ñmdëm S, i Iíllë që lim S, , = S, azë tè' 'm . ęL-í-ų-ę. æ- me whe' ESL; - , . . . . . . . Simboli (1) nuk paraqet vetem nie sen. por perdoret per te treguar edhe shumën e serisë. ne qofië se ajo është konvergiente. Nga ky përkulizim per konvergjencën e një serie, duket qarte se problemi i konvergjencës sê nie serie sillet ne problemin e konvergjencës sê vargut numerik, si kuñza te te' ciiit sherbejnê shumat e pjesshme të sense së dhënë. Por ka vend edlie pohirni l anaselltë. Nëse na është dhën' u numerík u. , u , u . . a e l mund të foimojm sennë numerike me term përgiithshëm a. , = u. .-u, ,.. , kurse
  7. 7. Éshtë e qanë se një seri është e dhënë në qoftë se është dhënë vargu an i kuñzave te saj. Teoremë l. Në qoftë se seria Z n është kanvergjente. atëherë lim a, ,:0, pm V. - -a _nzmsäñ tem i saj a", sit/ con na zero kur [ride/ cri n rriret pambarimisht. Vërtetim. Për të gjitha vlemz n >l m: kemi a. . = S,. - 3.1.1. Nê' qoftë se : hënojmë me S ïiSë, aiëherë do të kemi lim suqs dhe lim S, ,, = s. E xi rrjedhím, do ". ..a II_QBG tè' kemi lim a, .=S- 3:0 Buzunr në këtë teoremë rrjedh se seria ži/ oool është divergjente( sepse _ m lim xl" 0,00 =1 á 0) 1.. .- Vërejije. Konvergjenca në zero e vargut të kufizave të serisë nuk sjell konvergjencën e vete seiisë. Pra konvergjenca në zero e termit te përgjithshëm të një serie është kusht i nevojshëm. por jo i mjaftueshëm për konvergjencën e vete sense. Le të jetë a| +a2+. ..+a. , një seri e dhënë. Ne mund të ndëriojmë një seri [ë re, duke shfryiëzuar serine e dhënë, thjesh! duke fshirë një numër të fundëm kuñzash të saj. Éshtë e qartë se seria e re do të jetë konvergjente atëherê dhe vetëm aiëherë kur vete set-ia e dhënë është konvergjente. Rasti me i veçantë është ai kur nga seria (1) ne fshijmë n kufizat e para të saj. l n(ri + l) Shembuil 1. Të studiohet seria ž Zgjidhje. Me veprime te thjeshta aritmetike gjejmë se S. , = 1- l . Êshtë e qartë 71 'i- se lim S, .=1 nem Shembull 2. . lepel seria Për një shumë lë pjesshme çfarëdo te saj ka Vend gl Il mosbarazimi që vijon: S-1+1+l+ +1>l+l+m+l= nl= ~E r g a JZ JZ JZ JnMJn pm s >JZ, e rrjedhimisht lim S, ,=ec . pra seria e dhënë është divergjente. ng. . Përkuftzim. Do lê quajmë mberje me tregues m lë serisè ( 1) serinë që vijon: aim + aimz + <~a| |iłk +-~- = Zan ri= m41 Teoremë 2. Sería dhe mbetjo e mj kanè' të njëjiën naryrë, (Lmth. ata konvergjojnë ase divergjojnë njëkohësixht. Vërteiim. Për këië duhet të tregojmë se seritë Zon dhe Zu" janë të së . .=i n= mėl njëjtës natyrë. Fiksojmë një numër me N dhe ndërtojmë shumčn e pjesshme me tregues k S; . te mbetjes sê saj. Kemi s; :sw-SM ose sm= sk + s". Meqenëse S. .. është konstante. atëherë vargjet (Słk) dhe (Smnęi konvergjojnë ose jo njëkohësisht. Teoremë 2'. Heqia 052 shtími i një numrí Iè' _fundëm kufïzash nuk e ndryshori natyrën e konvergf . i se sense. Vënetimi i kësaj teoreme rrjedh nga fakti qe ta dyja seritë kanë te njëjtat mbetje. per vlera të medha ie treguesit të mbetjes. Teoremë 3. Në qojžë se . ieria kanvergjon, atëherë shuma e mbeijex sè' saj tenton në zero kur treguexi i' mbetje: lemon në w Vërtetësia e kësaj teoreme rrjedh nga barazimi që vijon: S= Sm+awkuam= za, ` Prej nga nxjen-im a, " = S - S. .. . Atëherë lim a, " =1im(S-S, ,.)= SvS= O n-nø nsa. Teoremë 4. Le "
  8. 8. s v V (a). Nê qajýë se å a dhe å [z Lag' ëkønveggięrłríšïèłerë edhe _ærílë n= l n= l `--__. __í- Z (an : t b” ) dhe can janë g/ 'ithaxhtu kanvergjente, e për më te "r kanë Vend "= -~_-. ,._, _,_, _, formulat: žcan = Én” rl= l EM. ibnhža" i žbn dhe n= | n= | n= l (b) Nê qojžë . re z a" dívergjan, atëherë edhe žca” do tè' dívergjøjè'. 'CII ns| Vërtetim. Për çdo numër m. Lë plotë pozitiv. kemi ÉÂUZ" ib, ,)= Éa" iÉbn dhe Éca" : cãan n= n= l n= l u. F, P” PO lê Shënojmë me S, ,, . 5,; . S, ,, pêrkatësisht shumat e pjesshme të rendit m Për Seritë Zhi. . ibn)' Éb. . kemi s_= s,', +s; . Duke kaluar në limit łl= | n= l u= l kur m shkon në inñnit. marrim pêrfundimin e kërkuar. Përsa i pêrket pikës (b) v - - i' i' . . . " bazoheml në barazlmm zea, :czał . l cm tregon se vargiet (zcak) dhe h) k= | h, n (z a, ) kanë të njëjtën natyrë konvergjence pêr çdo cat O. lr= l und lê ndodhë që scrilë 2x1" dhe zh të jenë që té dyja divergiente. ' n! ! 11:] e mcgjithatë seria 201" ibn) mund te' konvergjojê. Këtė pohím e mbështe! nll shembulli që vijon : Marrim a, = (-l)" dhe b. , = (. |)"*' kęmí 3,4. b_ = o_ dhe duke; qarlë se seria : Ka/ I : DH konvergjon. Shembull 3 Seria e formës a+ar arZ+ar3+. ..+ar"+. .. quhet seri geometrike. Të tnegohet se sexia gjeometrike konvergjon për | r| <l dhe ka shumë zarH = íLdhe divergjon për a: o dhe | r] 21. - r Vërtetím: Dimë se për çdo numër Ië plotë pozitiv n ar". l-r l-i A Në qoftë se ]r| s 1. atëherê lim H'=0. Prej këtej rrjedh se Iim sn= l-"-. Në qoftë nų. . r se | r|2 l. atëherë lermi i përgjithshêm a. , nuk shkon në zero. e për rrjedhojë seria nuk mund të konvergjojê. ' ' Teoremë 5. Seritë kanvergjente è' 'në vetinë : ho ëruese, ninth. në qnfiè' se Z a, (n n! ! å 2 š _ a å S. .= a+ar arz+ar3+`. .+ar"'= -_ - -u hen a z pëłfïuar në këtë mën rè' lçgłiverg/ 'an rishur rendiljen. ałëherè' seria e ' z HI - I ' Vërtetim. Man-im një nënvarg rritës numrash natyrorë n-> k" . Për çdo ne N shënojmč A. . = akpl. . + ałpld _+ +`akn . . *É-ím-í ' Seria z A" (2) Lhuhe! se menet nga seria za" nëpënnjet grupimi! të termave pa prishur n= | renditjen. ndërsa seria za, thuhet se merrct nga : cria ZA" pas heqjes së nzl n-I kllápave. Supozojmë se setia (l) është konvergeme dhe shênojmč me S. . dhe S përkalčsisht shumat e pjesshme dhe shumën e saj, kurse me S' dhe S; shumat përkatëse të serisë (2). Kemi S; ` A. +Az+ +A, ,,= a.+a, + +3.”, :Sim
  9. 9. ku duket qartë se vargu { Slm i është nënvarg i vargut ( S, , i. e për rrjedhojë do Lë konvergjojë teki njëjtí limit. Vërejtje. Seritë (K) dhe (2) nuk janë të te' njëjtës natyre'. Mund lë ndodhè' që seria (2) re' konvergjojë, kurse seria (l) te' jetë divergieme. Për këtë mjafton të krahasojmë serinë: l»1+l-1+. .. +l -l+. .. dhe serinë (l-1)+(l-l)+. .. +(1-l)+. .. e cila merret nga e para pas grupimíl te' kuñmve lë saj, Seria e dytë ështė konvergjentë, ndêrsa e para divergjon. Por në rasrin kur kuñzat brenda se' njëjtës kllapë [ek seria (2) kanë lë njëjlën shenjë atëherë edhe nga konvergjenca e serisë (2) rrjedh konvergjenca e serisë (l). Në këte' rasl vargu S, , është monoxon për indeksin n brenda çdo kllape e si rrjedhim gjithmonë do : e kele' vend njëri nga mosbarazímet: S W, <S, .<SL" ose S Lk, >S, ,>S L" Meqenëse lim S : H = Iim SQ” = S` rrjedh se edhe Iim S, .=S`. Pra të dyja serilë ". ... - y. _.. . M. . kanë te' njëjtën shumë. Per analogji me krilerin Bolcano-Koshi për vargjet. ka vend tęorema që vijon. Teoremë 6. (Krileri Bolcano Koshi i kon ver 'encës " s 've. ) küifiírï“'n““evojsïem ãñ? : m/ añu b? : shtè' qè' për çdo E >0 té" ekzísmjë natyror, i til/ è' që për çdo n>p dhe për çdo k naryrør Ië ketë vënd-nmïbãrazzmi Vërlelimi rrjedh menjëherë nga kriterí respekïiv për konvergjencën e vargjeve numetikë. Shembull 4. Të studiohet konvergjenca e serisê z . n= l 'l Zgjidhje, Shënojmë me S. . shumën e pjesshme Ië saj, Kemi SMF _ S" ___ cos(n + l)x-cos(n + 2)x + n + l cos(n + 2)x- cos(n + 3)x +m+cos(n + p)x-cos(n + p + l)x n + 2 n+p , .., m, ø~ - <mammx. ,u. ,ga. .,. .,mu . Amana cosm+nx+ l - l )cos(n+2)x+( l - l )C0S(I'I+3)X+ nøtLw nnwniløíxåiųg 2 4.. (#í l )COS(n+p)x - 'zh cos(n+p+l) n+p n-rpzl-. ..åų WWM Prej këtej rrjedh se cos(n+l)x 1 "L 2 + m3)x{+ Su _Sr-w i S ñ + (n+2 n+lbmm+ n (n+3 IHZXXÃ ( l - )cos(n+p)x+ C0S("+P)X5 n+p n+p-l H+P 1+1_1+1_l+__1_1+1= n+l r1+2 n+l n+3 r1+2 n+[7 "+F'l ”+p l+l_l+l_l+. ..+l-l+l= zl n+l n+l n+2 n+2 n+3 Vl-*P-l "*P "+F f”. _ Meqenëse për çdo 6>O ekziston një m natyror ( për ketë ITIJBfIOH qè 2 . -v d m>-'). 1 une që për çdo n>mdhe P. " çdo k “W” ka "E" E mosbarazimi lSmk - S" < 6 . rrjedh se seria e dhënë është konvergjenle. 12' - - < " ' h t" Deri NET ne kemi trajtuar disa shembuj, ku me anë shndemmes 6 . ., .. - - -- ' ' " ' ' ' _ " shumë thjeshta te shumes S, , ne lshllïl ne g| endje te gjemm Iim S" POT He H. . raste është me shumë vlerë Ië dihet më parë nëse seria e dhënë ështè' apO JO konvergjenæ. pa kërkuar të łgjendet shuma e saj, Paselížsaj, nčse aie eshte konvergjenle shtrohet problemi IgJÊ-Éles 55 Słffmïèásèfłsajųs n j t" “thë kufïzm e Përkuñzim: Seri me ku : za ozmve do te quajme ate xen, e g): _ Męqenëse po te ishin të gjitha kuñzat jopozititíe, Silfmëåiïłnï me 'l nuk do ta ndryshonte natyrën e serisë. po kuñzohemi ne sente e npit ku a >0(nE N) K`ur për çdo ne N a" >0 seria quhet rigorozisht pozilivė. n ~ . . .
  10. 10. Le të jenë dhënë seria (1) ku a. . 2 O. Për seritë me terma pozitive ka vënd teorema qê vijon: Teoremë 1. Seria me terma pozitive ka gjizfïïiarzë shumë; k'a shumë do të . jeté' e jimdme ( dhe për paxojë : ería konver bu) 15:27' vargu i shumave Iè' pjesshme 1ë~safëxhr fdhe infïníl në 77? këtè' rasøínvefundírïermíïíëfž/ WT " ` " " N kemi SM, = S, , + an”, ku amzo. Pra vargu {S, ,) është monoton jozbritës. Nga teoria e vargjeve dimë se kur vargu monoton jozbritës është i kuñzuar nga sipër. ai është konvergjem (pra në këtë rast ekziston lim S, ,_ i cilí është një numër i fundëm, e si rrjedhim sería n-u. 'kundërdnè' (l) konvergon). Nëse vargu monoton jozvogëlues ështè' i pakufizuar nga sipër, vargu (S, ,) divergjon në +m (pra seria (1) ka shumë të pafundme). - v, Kjo teoremë mund të formulohej edhe si vijon: Teoremë 1'. Kusht i nevojxhëm dhe i mjajïuexhëm që sería ( l ) me terma pozitivë rè' konvergjaj ëxhlë që vargu z' shumave lê pjesshme lë saj tëjelë i kufïzuar nga sipër. . . _ " l Shembull 1. Të studiohet konverg| enca c serisë harmonike z-. , n Zgjidhje. Do të tregojmë se vargu i shumave të pjesshme të kësaj serie është i pakuñzuar nga sipër. e për rrjedhojë sería është dívergjenle. Vëmë re se u. l l l l l ^ + +. ..+-- >ri--= - (2) n + l n + 2 Zn 211 2 Atëherë i grupojmë termat e kësaj serie si mê poshtë: l+-I- +(l +l)+(-l-+-]- +. ..+-)+(-1~ +L+. ,.+-l-)+ 2 3 4 5 6 8 9 10 16 - ~ l l (ZH _H +Fïž+m+ïj+m Duke ju referuar (2) del se shuma e termave të secilit prej grupimeve është më e madhe se Atëherê po të shënojmê m: S. . shumën e pjesshme të serisë harmonikepër shumën e pjesshme me indeks 2* kemi ~ : mazmmlsu-*uęłumxmu _-. ..~. .. « 4.. .. . ..N ugaLųmui-. ..uæmnæmøn u. s: k SI, >ï+l që tregon se vargu i shumave lë pjesshme të serisë harmonike ëshlë i pakuñzuar nga sipër. e për rrjedhojë seria e dhënë divergjon. šl 3. Kriteret e krahasimit zë xerive. Le të jenë dhënë seritë in" (A) dhe ibn (B) n= | 'F' me : enna pozitive. Teoremë 1. (Kriteri i parë i' krahasimit). Nê qafrë se duk i' dhënëka vënd bara imi a <b atëherë: L-Kur do tè r o e edhe : ena (A) 2.-Kur divergfon : eria (A) dive Vërtetim. Meqenëse shtimi os”e iknjë numri tiå tïundëm termash nuk e ndryshon natyrën e konverglences se n_| e sene. po supozojme se a" s b" për _çdo ne N _ 4 dh Duke shënuar me An dhe B. . shumal e pjesshme përkatësisht té senve (A) e (B), do të kemi A. , S B. _ . kuf N" se 'a (B) është konvergjente. atëherë vargu (Bu) d0 'ê laf' _ _'1“31'_P8ff sišããsi : jë kuñ i sipërm shërben vetë shuma e serisë (B)). Atëherè 1 tillè do tè jste edhe vargu (An), e për rrjedhojë sería çA) është konverygnte. . l n Pjesa e dytë rrjedh nga fakti që vargu (An) èshlè l pakutizuar. e Per rrjedhojë i tillë do të jetë edhe vargu (Bu). Pra divergienca e sensë (A) siel! divergjencën e seiisê (B) ' _ ` . . __ Teoremë 2. (K ilerii lë i krahasimil). Kur ekziston hmm ifundem (ku për çdo nE N. b. . at " A dhe (B)jan`e' tè' sê njëjlës naryrë, zimjh. ('anë & . . . Vërmim. Le lë jeté 5 >0 i Iiłłê që 0 < . s < k . ýëi këtë s do lê gjendet një pE N e tiłlë që për n>p dhe n>N tč ketč vend mosbaxazimi (k. um: a. . S b, .(k+ s)
  11. 11. refkië 3. Tani çdo gjë rrjedh nga kriteri i parë i krahasimil dhe fakli që seritë : bu dhe "al Zab" . për çdo c yt O. kanë te njejtën natyrë konvergjence. n= l qoflë se k=0. atëherë kur konvergjon seria (B) do të konvergjojë edhe seria (A), kur divergjon seria (A). divergjon edhe seria (B). Në qoflê se k= +w. arëherë kur divergjon seria (B). divergjon edhe seria (A). dhe kur konvergjon seria (A) do të konvergjojë edhe seria (B). Vënetê për k = 0 del se për çdo 6>O gjendet pe N. që për n>p(ne N) ka vend mosbarazimi 0 S a, . S ab, " dhe vimë përsën' në kriteiin e parë të krahasimit. Për k = wo. rrjedh se për çdo M > Ogjendel DE N. gë për n>B(ne N) ka vënd mosbarazimi “A _. 4 Z M. ose a" . >_ M b. .. e përsën vųmë në kriterin e pare' të krahasimit '~' ten | tretë l krahasi l _íí-ę paktuar ka ve r: . Nëýqofrë se duke fïlluar nga një tregues i' për çdo ne N. Pra do të kishim; f_2_<bz a3<b3 a4<b4 a b - . -. v . . . " < " a: b: “z b: as b: an-I bun Duke 1 shumëzuar anë me' anë këto mosbarazime (shenja e mosbarazin-iit nuk ndryshon). do të kemi: dhe vimë përsëri tek Teorema . Shembull 1. . Të studiohel nalyra e serisë për s<l dhe 522 nzl 10 Per s<l dhe për çdo neN ka vend mosbarazirni dhe n . . l . . . . . . . 1 meqenëse seria harmonike Z- eshte diverggenle, del se edhe seria n: l n n= l n është gjitłiashtu diver Për 522 mamm në shqymm serme k0nverg]eme 2 ( I). Kemi u-I n 'l ' për çdo ne N. Nga Teorema l rrjedh konvergienca e _ , “” l . . sense per 522. n= ln Shembull 2. Te vërtetohet se kur konvergjon seria za" (a. .>0), atëherë n=1 konvergjon edhe seria Én: . A ka vend pohimi i anasjelltë ? , .=I Zgjidhje: Nga konvergienca e serisë Én" rrjedh se lim a” = O. Atëherë për n= | na. .. indekse n>no do të ken-u a” <l. e si rrjedhim af<a, ,. Nga Teorema l rrjedh se seria Zu: është konvergjente. Që pohimi i anasjelltë nuk ka vend "ál l . . " l . _. .. .. mjafton te' marrim a" = -. Dimë se seria z-z konvergjon, nderkohe qe 71 r| =l n _ "' l _, ._ . . . seria z- eshte seri divergjente. "al" Shembull 3. Seria me terma jonegativë žañ konvergjon. Të provohet se g r| =l a). Seria ZJanaM konvergjon. "sl li
  12. 12. b). Nëse vargu (an) është monoton. atëherë ka vend edhe pohimi i anasjelltë i pohimit a). Zgjidhje: Për pohimin a) bazohemi në relacionin zanam 5 11,? + ai, <(a, , +am f prej nga nxjerrim që Jana”, <å(an +am). Kurse për pohimin b) shfrytëzojmë faktin që vargu (an) do të jelë monoLon jorrilës. Atëherë kemi an. , S Janam S a” . Shembull 4 Të sludiohet naiyra e serisë z l n= l JNU! + 1) Zgjidhje. E krahasojmë këtë seri me serinë dhe nga Teorema 2 rrjedh n= l ~ l divergjenca edhe e serisë z-í. .inoi + l) ni! Të njëjtën rrugë mund të ndjekim edhe për studimin e natyrës sê . " l konvergjencës sê sensë 2 ln(l + -) n n= l Shembull 5 Serinë il e krahasojmë me sennë ÉLA e cila ëshië n= l e" n= l 'I' n e" = 0. duke zbatuar Teoremën 2. del se seria konvergj ente). Meqenëse lim n. .- a n e dhënë është konvergjente. _ -= 2 2 3 l Shembull 6 Serinë Z " + "+ ę-łí mund ta krahasojmë me serinë , ,=.5n +6n +3 n sipas Teoremës 2. prej nga nxjeiTim se seria e dhënë është n= l konvergienle. 12 6% 9. i a (n - 1)" mi Shembull 7 Jepet seria Z . Së pari e shn " jme [ermjn e n= l . . . .. -l " l , , . përgjithshëm Sl VljOnï a, .=(" m) = -(1-i). Por lim(1-~l~)"= e si n n n "n" n e . l . "` . . rrjedhim a. .= _. Meqenëse seria është divergjenle, rrjedh se e iillë ne n, ne . _ . .. .. “' (n-U" do te Jete edhe seria e dhene Z M . n= l n Shembull 8 Jepet seria ž . Meqenëse për n të mëdha In n > 2 . nga : t'i I nnn . . “' l . . . " konvergienca e sense 27 , rrjedh edhe konvergienca e serisë z n= l 'l n: l "In" . . '" l , l Shembull 9 Të studiohet seria Enog? - sin 2" )" n= l Zg/ 'idhja Shndërrojmë termin e përgjithshëm l l . 1 l l 1 l-cos2_ sinZ-Zsinz- __ - ___ = _ n = n n tg 2" sin n sin 2n( l ) l cos _ cos - n 2n __ , _ . . l l . l l l Meqenese per n-ne kenu sin_ = _, sin_ = -, kurse cos_ -> l, Zn Zri 4n 4n 2n . , . . l . l l l l __ . . . . . atehere kemi tg_- sin_ z - 2 z = 3 . Atehere per temun e n 2n 2n (4n) lón pergmhshem te sense sone ka vend relacioni: an = n my "sy : W . " l . . . dhe duke e krahasuar me serinë , del se seria në shqyrtim konvergjon n= l n për 3p-l > l. pra p > 2/3 dhe divergjon për pS2/3 13
  13. 13. "` l Shembull 10 Le të studiojmë tani natyrën e serisë. l 4 , lzz n n n Zgjidhje. Studiojmë sê pari serine z[lnln(n+l)-lnlnn]. Për shumat e n=2 pjesshme të kësaj serie kemi S, .=[lnln3-lnln 2]+[inin4-inin3]+ [lnln(rz+l)-lnlnn]= [ln ln(n + 1) - ln ln 2] Éshtë e qarte se limSn = oo. E krahasojmë tani serinë e dhene me këtë seri. Për funksionin y= lnlnx zbatojmë teoremën e Lagranzhit në [n. n+l]: l lnln(n+l)-lnlnn = . ku 0 < 9 < l. Por seriië me term te' përgjithshëm an: [inin(n+i)-ininn]= _íl. _ dhe b" = 1 (n+i9)ln(n+9) rilnn) l l kemi an = [1"| _11(" + 1) - | n 111 ni= , dhe nga Teorema (n+9)In(n+i9) (nlnn) l rrjedh se seria e dhënë është divergjente. 1 Shembull 11 Jepet seria ž M (e > 0). n= l n . . . . . . . " l Zgjldhje. Mamm në shqymm serinë ndihmëse EL l): Për rermin e n= Z 'l _ n përgjiihshëm IE kësaj serie, duke zbaiuar teoremën e Lagranzhit në [n-1,n], për funksionin x-) _IE- = x" kemi x . l ('l ' 1)' l l l 1 _čí ("_0")I+e l -7 = . ku O<9"<1. n . Por për na 2 kemi ni” <(n_0n)l+s E[(n_l)c 'Fl 14 l . . F -7 ëshič konvergiente (miafton të (H - l) n merrei një shumë e pjesshme e saj dhe li gjendei limiti) dhe nga Teorema l. rrjedh se seria e dhënë eshtë konvergjenie. 51.4. Kriterí inie rat. Le te jeië f një funksion i vazhdueshëm i përcakiuar në [a.4>= i) . ęërcažioåfñsè m b [form = Iljim If(x)dx Integrali i mësipërm quhei integral jo i vetë. Më von ne do Ië bëjmë një trajtim më te plotë të këtyre lloj iniegraleshs NE rastin kur Iimiti i mësipërm ekziston integrali i mësipërm quhet konvergjeni. në rast te kundërt ai quhet divergjent. Teoremë 1 . (Kriten' integral për konvergjencën e á seriveiï Supozojmë se _funksíoni f është i vazhduexłiëm. jarritëx dhe me vlera jan azajmë g. .., »--í_í__`_ Por seria me term të përgjiihshëm gjithashtu : e za" është një seri termat e : ê cilë: r| =l plotësajnë kushtín a” : jim . n= l.2,. ... Atëherë: K. N.M qè' seria kom/ er ' " ` " ir 'encaeimegralil ï/ (XMX. Vërtetim Kondíta e rievojíłime. Le te na jeië dhene se seria za" është __: _-r- n= l konvergiente. Shënojmë F (n) = I f (x)dx. Supozojmë t q . ` l integrali i dhênč nuk konvergjon. Atëherë limF(X) = oo. Pra dhe limF(n)= oo. x-v- n. .- n-l Meqenëse F(n) S zal. . arrijmë në përfundim se seria e jonë divergjon. Ky . ,-= i kontradiksion tregon se supozinu i bërë është i gabuar. 15
  14. 14. l soi a Êæwmåčyųł. KMjųftueshme. Meqenëse f është jorritës dhe me vlera pozitive. nga Fig l. duket qartë se për n22 do tê kemi Éai S ïfoodx S Én'. . Përcaktojmë F(X): ïfoodxi j= z Në qoftë se ky integral është konvergjem. atëherë F(X) ëshlë funksion jozbritës dhe i kufizuar, e për rrjedhojë vargu F(n)= “Jfpndx është një varg jozbritës dhe i kuñzuar. Po të shënojm (Snšýža. , kemi síssçųgåågu k" = ' S. , është monoton 'ozbritës dhe i kųñzuar nga šipëL/ Frej këtej rrjedh konvergjenca e serisë sê dhënë. ___íí_= _ m. cria T konverg/ 'on për (1 <l dhe divergjon për a 21. . gra Včrtetësia e këlij rrjedhimi merret direkt duke zbatuzu- krilerin integral për b , l , funksioninf(x)= la. Kemi JLM: (haýla P" “”“ x l X" I lnb-lnl per a= l që tregon se integrali i dhënë konvergjon për c1>l dhe divergjon "r 0151. Megjithëse edhe për 0<a S l kuñzat e serisë kanë si limit zeron k . prapë se prapë seria ëshlë divergiente. -~l» »~_~. Shembull l. Të studiohei konvergjenca e seiisë: __- , ,=, n ln(n + l) Zgjidhje. Ndënojmë funksionin fm: . i cili êshtê i vazhdueshëm. zbritës xlri(x+l) dhe me i/ lera pozitive ne [l. +oo ). Meqenëse *J . QLMLML agi 16 . __. .. .í = = _ e d* >bj d* [ln ln(l + x)]" ln ln(l+b) ln ln2 dh lxln(x+l) l (x+1) In(x+l) ' In Iim ln ln(l +b)= w rrjedh se integrali J. _-- është divergjent. e për n-'I- , xln(x+ l) . . . . , " l irjedhojé do te jeté diverggente edhe sena n= l 1.5. Dim krizere të tjerè' lamvergjence. o té shikojmë : ani dy kritere të tjerë konveryence c n r e. ë cilët kryesisht mbështeten ne' seiinë e progresionit gjeometrik. Le të jetê dhënë seria me terma pozitivč Én, (A) n= l Teoremë l (Kxiterí Dalamber). Supazęprzę" gg g at 0 n= I 2 a). Në qøfïë . re ekzjstøn një numër q, 0 < q < I dhe një numër pe N, itillè' që për n+l n>pfne N) ka vend mosbarazimi S. q< l, atëherè' seria (A) kom-iergfon; b). në qųfrë se ekzinon një pe N i tillè' që ër n> ka vend mosbarazimí a” Z l, Â 3%. azëherè' : cria (A) ëxhtë divergjenle. _____. ___í__j Vëretím. E supozojmë se plotësohen kushtet epjesčs sê parë. pra a” sq<1 a n ml . . q per çdo n>p(ne N). Numrin q e shênojmë në Lrajtën q= . Atëherë ki-. mi n q . ..i . . "M _<_ q . Meqenëse seria 2 q" konvergion për 0<q<l. rrjedh se edhe seria "n 4 m (A) ështė konvergjente(nga Teorema 3 e Kritereve te' krahasimil). Përsa i përket pjesës sê dytë meqenëse a"" 21, rrjedh se anułan, Pla vargu ( a. . ) ështëmonoton jozbritëse. për rïjedhqië ai nuk shkon në zero kur n-M-o. Pra cenohet kushti i nevojshëm i konvergjencës sê serisë sepse termi i 17
  15. 15. përgjithshëm nuk shkon në zero. Si rrjedhim seria e dhenë. me kushtin e dylë. është divergjente. Kriteri i Dalamberil mund Lê formulohet dhe në trajtën limite: Teoremë l' Nè' qaflë se ekziston lim 51 = p ore [im 51 = en: Hanu a" . ._. .. a" Atëherë (i), né' qafzë se p <1, seria ž a” konverg/ 'on p. “n+l = oo. seria Zu" diverg/ 'øn, (ii). në qoftë se p >l ose lim Il-th: a n (iii) né' qoftë se p = I, ky kriler nukjep përg/ igje. Vërtetimi i lihet lexuesit. Teoremë 2 ` ' Koshi Në qoftë se ekziston q (0<q<l) dhe pe N zë tiłła që për n>p(nE N), " a ëherë seria e h" " konvęr bn; Nê' qoftë xe ekziston pe N e tilła që për n>p(nE N) ka vend nzosbaraziłni " a", 21. atëherë seria e dhënè' divergjon. Vërtetim. Trajtojmë në ñllim rastin e parë. pra për n>p(nE N). Supozojmë se gia" sq. Ngremë të dy anët në fuqi n, ansq". Por seria Zq" për 0 <q< l është n= l konvergjente. për rïjedhojë e tillë do Ië jeté edhe seria e dhënë (Kriteri i parë j krahasimit Lë scrive) Nëse supozojmë se : jau 2 l për në të mëdha do të kishim a" 2 l. e si rrjedhim seria e dhënë divergjon sepse cënohet kushli i nevojshëm për konvergjencën e një serie. Edhe kriteri Koshi mund te formulohet në trajtë limits: Teoremë 2' Le tëjetë dhënë seria me kufïza pozitíve , var u i kujížavutë së url ('l ex p o exoïikizxhtin lim " a” = q ose lim J = oo nų. . iN. . Atëherë (i). né' qoflè' se q<I, xeria Éan kanvergjøn r| =l 18 (ii) në qoftè' re q>l ose lim Ja” = oo, seria za" ëxhtë divergjenle, "Q" n= l (iii) në qoftë se q= l. ky kriter nuk jep përgjigje. Vërzezim. Në rastin e parë për 6`>0 rë tillë që q+E= q.<l, gjendel pe N e tillë që për p > N ka vënd mosbarazimi: q- a <ųíï<q+ 5=q, < Lose a" <ql" dhe në bazë të kriterit të parë té krahasimit seria e dhënë do të jeté konvergjente. Rasti i dylë Irajtohet lehtë se edhe në kčtë rast cënohet kushti i nevojshëm për konvrgjencën e një serie Teoremë 3. (Kriteri Raabe). a). në qoflë se ekzixtøn një numër q>l dhe një pE N i til/ ê që për çdo n>p ka vend . . an maxbaraztmi R. , = n - l łq>l (l) am atëherë seria e dhënë konvergjon; dhe b). në qofrë se g/ 'endet një pe N qè' për n>p ka vend barazimi R. . : ní a" -IJ Sl (2) a n+l atëherè' seria e dhënë divergjøn. Vërtetim. Supozojmë se plotësohet kushti (l) për n>p, R, , : ní a" - [j łq> l. Prej nga këtej marrim a n+l " šl + - (3) am: 'l . _ (Mk/ JV -l Zgjedhim taninjë numërstëtillë që l<s<q. Dimë se lim í-íí- á prandaj për q të dhënë do të gjendet një p`EN që për n>p' té ketë vend 0%) ~n ' łí = s mosbarazimi < q, prej ng`a rrjedh se l9
  16. 16. (ni) <1+ ï (4) n Yl Shënojmë p" = max(p, p'). Alëherë për n>p" do Ië plotësohen njëkohësisht mosbarazimet (3) dhe (4). prandaj kemi Lë drejtë të shkruajmë u" 21+ Ê>K1+ÂJ am n , n a”, <( n y : (n+l)` a" n+l 056 " l . . . . . . Meqenésc për s>l seria 27 është seri konvergjente, nga knteri l tretë l Vl= l n krahasimit del se edhe seria jonë duhet të jeté konvergjenle. Le te tregojmë tani se kur ka vend (2) atëherë seria e dhënë divergjon. Nga (2) kemi l d ri -l S ł. prej nga rrjedh se “nl <L= (”+l) allf| n “n _ n 'H L Vl "' l . . . . . . . . Nga divergjenca e serisë 2- dhe knten l tretë I krahasimit rrjedh se edhe sena e ii= | n dhënë është divergjenle. Kriteri Raabe mund : ê jepet edhe në Lrajtë limite. Në qøftë se ekzixtori lim R, = R. n. .. atëherè' për R >I seria kønvergjan. kurie për R<l ajø divergian. (Vërtetimi i lihet lexuesit. ) Duke krahasuar krilerin Raabe me ate Dalamber. del se kriteri Raabe eshtë mjafl më i fuqishëm. Nê qoftë se ekziston | imD, .= Dat l. Il-QIU atëherë do të ekzistojë edhe 20 limRn= n Lų = +oo per D<l 'H' D_ -w per D>l Pra po dha përgjigje kriteri Dalamber. aq më tepêr do te na jape përgjigje edhe kriteri Raabe, bile qč (ê gjilhe rastet kur jep përgjigje kriteri Dalamber, përfshihen në dy rastet ekstreme lë kriteri! Raabe: R= i oo. Për lë gjitha rastet e ijem kur kriteri Raabe jep përgiigje; janë të Lilla që kriteri Dalamher nuk jep përgigje sepse D = l. Pavarësisht se kriteri Raabe çfaqet si më i fuqishëm, edhe ai nuk jep pérgjigje për R = l " 2 - l! Shembull l. Te studiohetnatyrae serisë l M, (2n)! ! 2n+l Zgjídhje. Nga kriteri i Dalamberit del se limD, ,=l, pra nuk jep përgjigje. 71-0- . 3 ndërkohë qe R, .=n 6" + S . pra Iim R, ,= -2- >I. Pra seria e dhene konvergjon (Zn + if n-- Tregohet se për studimin e natyrës sê konvergjencës se një serie ka vënd edhe kriteri që vijon: Teoremë 4. (Kriteri i Kummerit). Le te jetë (cn) një varg i çfarëdoshem numrash pozitivë i tillë që seria . . 1 . . Z- divergjon. Për serinê e dhënë Ea" ndërtojmë madhësinë: ii= i 5,. ł| =| a K. . = ci-"- - c. ..i “n+l Në qøftë se gjendet ô > 0 e tillë që K n 2 å. për n mjaft te mëdha, atëherë seria e dhënë konvergjan. Nê qafzè' : e për n mjafi të mëdha KnSO, seria e dhënë divergjan. (Pa vërletim). l D n+l n a). -Nëse marrim c. . = l atëherë kemi K. . = a" - l = a - l. Në qoftë se lim D, ,=D, azëherë lim K" = DL-l (Për D=0. K= +w. Për D= +w. K= -l). Për Vis- D<l. K>0 dhe seria e dhënë. nga kriteri i Kummerit. konvergjon; për D>l. K<0, dhe përsëri. nga kriteri i Kummerit. seria duhei te divergiojë. 21
  17. 17. Këto rezultate tregojnë se kriteri Dalamber mund të merret si rrjedhim i kriterit të Kummerit. b). -Për çdo n nga N marrim c. . = n. Shprehja për K" merr trajtën K. .=n a" -(n+l)= R,, -l a n+l Në qoftë se lim R, .=R, atëherë lim K, ,=R-l= l(. (Për R= i w del se edhe K= i w ). u-- na: Për R>l, kemi K>0 dhe, nga kriteri i Kummerit rrjedh se seria e dhënë konvergjon: në qoftë se R<l. del K<0 dhe. përsëri nga kriteri i Kummerit rrjedh se seria e dhënë është divergjente. Këto rezultate tregojnë se edhe kriteri Raabe është një rast i veçantë i kriterit të Kummerit. Teoremë S. (Ki-ileri i Gausit). Supozojmë se për seriiië e dhënë 2:1" me zerma n= | a pozitivë, mparti " për çdo ne N mund te' paraqitet ne' trajtën aim-l a" -  + E + g"- ' 2 a", n n ku  dhe , u janë numra reizlë, kurse [190] ështè' një varg i kufizuar. Atëherè' seria e dhënë do te' konvergjajè' për Â. >], axe  = l dhe y >. '; dhe do te' divergjojë për Ã<laxeà = [dhe/ JS] -Vërtetim Rastet kur Â. i l marrin përgjigje nga kriteri i Dalamberiz, .repse and l lim = - ~-'-= a  ii . . al! 9,. . _. . . Për rastin kur Â= l do të kemi R, ,=n -l = y+_. Prej ketej rrjedh se "mi " limR, ,=, u . e si rrjedhim për , u sê l, problemi zgjidhel nga 'kriteri Raabe. Rastin Il a. . kur  =1 dhe u = l po e pranojmë pa vërtetim alter/ tat e trajtojmë tani nje rast të çantë lë serive numetike. Nëse kufizat e një serie ndryshojnë shenjë nê mënyrë te alternuar. ajo seri quhet seri altemative. Pra seri altemative do te quajmë çdo seri lë trajtës 22 ÊFUHan . ku a" Z 0 për V nE Ná n= l Teoremè 1- (Teüffmü 6 Lllílmicit për seritë alternative). Supazojmë . Ye numra! a ll _, _Noem/ ne . i' ~ nd : ho 'ne' sherfë ne' mën rë alternative 'y 1 j J y . (iiriam S a" për çdo n (pra vargu a" 'ekkie' manolonjo rrilës) (ina-lim a” = 0, nai: - atëherë za” është seri kortvergjeltle. Për me' lepër. në qofiłë se . thënajmë me S nn] shumëri e saj, atëherë kjo shumë do të gjendet gjíłhmanë midi: shumave ië pjesshme S, , dhe S, ,” te' saj për çdo indeks n, Vëítetim. Supozojmë se a, >0, Në qoftë se jo, atêherë fillojmë me kufizën a, meqenëse shtimi ose heqja e një kufize nuk ndikon në natyrën e konvergjencës sê një serie. Kur ai> 0 kemi a2.. _i>0 dhe ag, .< 0 për çdo vlerë n. Por S. . mund të shkruhet në trajtën Sz. . = (ai+az) + (asma) >--+(a2n-l+a2") Por nga (ii) kemi 'auf S azHl, Pra çdo kllape ka vlerë pozitive. e për njedhpjë vargu 52,, është varg monoton rrilës, Por ne mund ta shkruajmë 53,. edhe ne' trajtën qe vijon 52.. =ai + (az+ ai) + (a. + as) +. ., + (am; - am) + al". Meqenêse kufizat e çdo kllape janë negative dhe a3,, <O. rrjedh se S3,. <a, . Meqenëse vargu Sgnështë varg monoton rritës dhe i kufizuar nga sipër rrjedh se ai do të konvergjojë [ek një numër S, ku 32h55 për çdo n, Meqenëse slim: 51" , al! ” rrjedh se SM > S3,, ( me supozimin e bërë kemi qê azní 0)për çdo n. Në veçanti SlII~l>S2:al+a2.e Për rrjedhojë Vargu 53.. .. është i kufizuar nga poshtë. Por. S2Irłi: S2ll'| +(a2n+a2Ilłi) Pra vargu SZMi është varg monóton zbritës dhe i kufizuar nga poshtë. e për rrjedhojê ai është konvergjent. Meqenëse lim aim =0, kemi që vargjet 82,. dhe 31,. .. konxl/ ergjpjnëlgtek i njëjt-i limit S. Meqenëse vargu S, ,” ësmë mnnoton 'zbrites atehere smzsupei çdo n. Pra SSSF për çdo p tek dhe S2Sq. per çdo q' çift. Pra gjithmonê slo të kemi szisssszm dhe S2k+zSSSSzk+ii pra shuma S e serisë altemative ndodhet gjithnjë midis dy 23
  18. 18. shumave çfarëdo të pjesshme té njëpasnjčshme të saj. Në veçanti është e qartë se 0 5 S S a, . Pra shuma e serisë aitemative është jonegative dhe jo më e madhe se kufiza e parë e saj. Vërejtje. Le të vlerësojmë mbetjen me tregues k të scrisë sê Laibnicit. Ajo është Rk = <-t>' ak+l + <-1)'“'ak+2 + = <-1 Nam - am + ) pra në vetvete ajo është një seri e Laibnicit. Mê supozimin se (-l)" akųłO, shuma e saj ëshlë jonegative dhe nuk e kalon termin e pare ak. .. Shenja e shumes Rk do te jeté (-l)k. Pra ka vend pohimi: Nè' qofrë se seria alternative platëson kërlcesat e teoremës se' Laibnicit, atëhetè'. shuma&çdombet Ir kufízës sê saj te parë, kurse vlem absolute e kësaj shame nuk e kalon vlerën e modulit të kësaj kufze. - . Z l Shembull 1. Të studiohet konvergjenca e serisë Zander-OI! n= l n 'l' . . . . . l , . Zg/ Idhje. Meqenese m(n1+n+1)7t= m(rH-)1z= sir(m+Lm= (-1) ml. ” dhe n+l n+l n+l n+l vargu numerik (sin Ln) është monoton zbritës. rrjedh se seria e dhënê është seri n + l e tipil të Laibnicit, e per rrjedhojë ajo konvergjon. . . . '” (-l)" Shembull 2. Te studiohet konvergjenca e sense . E. xln + l l Zgjidhje. Meqenëse a" = m , seria në fjalë është seri e tipil te laibnicit. n Shembull 3. Te sludiohet konvergjenca e serisë z (- 1)" sin i. n= l n Zgjídhje. Në varësi té vlerës x për këtë seri mund të mos plotësohen kushtct e serisë së Laibnicit për të giithë termal e saj. por pas një fare indeksi (kur ís å ) tema: Il e kësaj serie plotësojnë kushtet e sense së uibnicit, sepse pas këtij indeksi tenni . X _ _ sin - shkon monotomsh ne zero. n 24 Shembull 4. Të sludiohet konvergienca e serisë ÊX-U" n ` 2 _ , .=. n: + 2 Zg/ 'idhja Për te studíuar monotoninë e vargut {a"} = { n; 2 } ndërmjmë n +2 . . - 2 _ 1 funksionin x ~ł f(x) = i 2 . Njehsojmë f (x): x + (x: + 2)' f'(X)=0=> X = ZÉN/ š- P" Për X > THE kemi f`(x) < 0. Pra funksioni n-2 [(1) është monolon zhrilës për x > 5. Si rrjedhim seria Ék 1)" , , e cila . n=5 'l' 'l' 2 sïžshtë gjë ljetër veçse mbetja me tregues kalër e serisë sê dhënë, ështč seri e laibnicit. Rrjedhímishl edhe seria e dhënë është konvergjente. šl.7. Seritè' me ku : za azitive dhe negative. Konvergjenca absolute e tyre. A Krileret e krałiasimit janë n) mjc s r studimin e natyrës se konvergjencës se një serie me kufiza pozitive. Tani do lê shiko ë se të njëjtët krilere mund te pčrdoret edhe kur seria ka njëkohësisht një sasi te pafundme kuñzash pozitive dhe negative. Perkujïzím Themi se seria za” kønvergion abxalurisht atëherë dhe vetëm n= | atëherë kur konverg/ 'on seria z a" . Nè' qofzë _te seria za" konvergjon, kurse n= l n= l . seria z n: l te' kuxhtëzuaríoxe te' zakonxhme). Teorema qė' vijon tregon : e nga lcanvergjenca abxolute rrjedh lcønvergienca e kushlëzuar. a" ëxhtë divergjente atëherë do Ië lhemi : e : erín kønvergjon ne' mënyrë TEOREMÊ l. Në qaftë se seria zlanl ëshrè' sen' konvergjente, atëherë edhe __ Ierla za" ështè' karviverg/ 'eme, dhe për më tepër 25
  19. 19. Për studimin e konvergjencês absolute të një serie mund te përdoręn na; gjithë krrteret e. kc-Jlnvergjencës për seritë me kufiza pozitive. Ndryshe paraqitet problem] persa r perke: divergyencës sê këlyre serive, kjo për vetë faktin që nga Zan n= l Vërłetím. Për n= l, 2, . . shënojmė: an s ž n= l nuk rtiedh diversienca e serisë Përjashtim a + a divergjenca e ser-ise z a" V. . = n n ' Wu = "= ' . .. .I 2 bëjnë kmerel Dalamber dhe Koshi. meqenëse divergjenca e një serie sipas këtyre dy krilereve lidhet me cënimin e kushtit tč nevojshëm lê k ' ë ' ' pm kur rerrrri i përgjithshëm nuk shkon në zero. onverglenc s sê një serie' TEOREME 2.(Kriten' i Dalamberit). Supozojmë : e an! 0 n= l 2 dhe ekzisran Nê qoftë se a” >0 ntëherë v” : an dhe w" =0, kurse kur a" <0 ateherë v” =0 dhe w” = -a ose w" = [a, ,|. Arėherë kemi ü a a n = v n - w” dhe "H m E =4 ase Iim = aa. Arëherë aan a n lim n dhe Osvnílunl, Oswñsla" _ (i) "ë (la/ lê 39 4<1. Seria za" konvergian absalutixht, Shënojmë P= zvn dhe Q= zwn . Duke u bazuar në kriterin e krahasimit për , .=. n= l a n= l _ m, :erla zlanl divergjøn, n= l (ii) në qøjžë . re q>l ose lim rl-v- (l n konvergjencen e dy serive rrjedh se që të dyja sente : vn dhe zw_ janë n= l "sl (iii) "ë 40/35 39 q= 1. ky kriter nuk jep përgjigje, Vërzenm Supozojmė se q'<1. Zgjedhim një q. të tillë që q<q| <1` Meqenëse konvergjenre. Prej këlej njedh se edhe seria 20,, -w, ,)= za" konvergjon. n= l . =i _ a 1 b V _ Gjnhashtu = q. atëherë ekzlston numn | plotë N i tillë që aa” < q, për çdo ngų . . . .. , , a" . Kjo do të rholë se a", < q. a" pčr ngu, = lžwü -w, ,) l = P-Q s in, ” +w, ,) = Z n= l n= n= l n= l Vërejlje: a). Një seri mund te konvergjojë në mënyre të kushtëzuar. e megjithatč ajo mund te mos konvergiojë absolutisht. Nje gjë re tillë e tregon dhe seria Me metodën e induksionit matemarik lregohet se a <( QDM" | aN| për n çdo nłN. Nga Krileri i pare i krahasimit rë serive rrjedh se seria Éla l n 2(-l)" (l/ n) . e ci la është konvergjente, por që seria ëshrë divergjente; pra r" _, n “ n= l seria ž(-l)" (Il n) konvergjon në mënyrë te kushtëzuar. n= l k ' v " < - - . .. . . . . onvergjon. Pra seria za" do te konvergjojë absolutisht. meqenese shtrmi r një n= l N-I h e ' . . . . s ume t fundme z| an| nuk ndrkon në naryrën e konvcrgrencės se sense. Aq më b). Vërtetimí i Teoremës l mund re hehe! edhe duke shfrytëzuar n= l mosbarazimjn Ian. . 1 dhe kriteria Bolcano Koshi. a tepër seria z a" konvergjon edhe në mënyrë te zakonshme. n= l | +. .. +| am| . n +lan+2 26 27
  20. 20. _ . . y. Shembull 2 Të studrohet natyra e konvergjencës sê serise "mi "s, n! a n (ii). Ne qoftë se q>1 ose lim = w . alëherë do te ekzisrojë një numër N i rillë ZgjidhjeNjehschet lehtë se | Dn dhč “m D. . = 0. e si rrjedhim seria . a . . . . , _ . __ _, n+l "ų" që M' >l. për çdo n. >_ N. Prej këtu lTjėdh se lermr r pergpthshem a. . nuk shkon ne konvergjon për çdo xę R a r ` zero kur n shkon ne' infinit. Pra cenohel kushii i nevojshëm i konvergjencës se' një Shembull3 Të studioher nalyra e konvergiencës se' serisë Érüííj serie. n: n Vërletimi i kësaj leoreme mund të bëhej dhe duke u bazuzu' ne 1 ' V a H qluvl _ “ _ n - n n 'Da = jT ~ D" = -. Pra seria e dhene knvergjon. bile absolutisht për mosbarazimm < q. = n . konvergjencen e sense zq, per q. <l dhe (1+_)" e a. . q. n= l n _ kriterine lretëlë krahasimrtpër seritë me kuñza poznive. lx| <e dhe divergjon për | x|>e. Për | x|= e seria divergjon sepse termi i saj i "" l v . . . (lll). Serilë e Irajtes _ çojn' në rasun kur q= l. Meqenese sente e lrajlës së __ __ __ v ? l ni' pergjrlhshem nuk shkon në zer0( a” = |DH = ÷>U “å mësrperme konvergjojnë për çdo vlerë p>l dhe divergjojnë për pS l. rrjedh se a" (1+. _)" n kriteri i Dalamberil nukjep përgjigje për raslin kur q= l. Krireri i Dalamberil mund te formulohet dhe ne trajrën jolimite: Teoremë 2'. Supozajmë se anęto, n= l, 2, dhe ekziston një numër q r' ríllë që ü Teorema që vijon jep një kriter ljelër konvergjence. Telłfemë 3 (Krilêfí Koshi). Le rë jezë dhene' seria za" . vargu i kufizave te' sy n= l m! a n I. alëherè' seria e dhënë kanvergjan në mënyrë absolute. Në qaflë re ekzirlan një 0<q< I. dhe një numër p nga i tillë që për n>p ka vënd marbarazími a-lëx plmëron kuxhmí lim " [anl = q ore lim '- rr-nn "q, A rëherë “mr 11 n Z I. atëherë : aria e rmmër p nga N i tillë që për n>p ka vend morbarazimr' _ “l- "ë 90/79' -Ve q< 1. Xerïłl za" konvergion abrolutíshr, pm konverg/ 'an seria dhene' divergjon nê mënyrë abxolure n= l Shembull 1. Të sludiohet konvergjenca absolute dhe e kushlëzuar e serise' Zgiidhje: Nga kriteri i Dalamberit për a. . = (-l)"nl3" kemi n+l 3" ln+l l(l+l/ n 3"" n 3 n 3 l (ii) në qafzë se q>I ose lim : la l: oo, ,emë É a” dhe za" janë näl , ,=| divergjerm; (HI) në qøfłë . re q= I, ky krirer nukjep përgjigje, “n+l and Prej nga marrim lim l l rr-u- 1 . 29 28
  21. 21. Vënetim: (i). Supozojmë se q<l. Zgjedhim č`>0 te Iillë që q+E<L Meqenëse lim : Hani = q . rrjedh se : Man <q+E për nłN, për N mjaft oë mëdha. Atëherč [a”| <(q+6)" për nzN. Por seria Z(q+e)" është seri konvergjenie si seri n= l gjeometrike me herës q+6 <l. Prej kriteri: të krahasimit marrim se seria (ii). Supozojmë se q>1 ose lim JlaJ = w. Zgjedhim E>0 aq te vogël sa që q - n-b- E>l. Atëherë për rastín (ii) do të kemi q-aqi an! për vlera mjaft të mëdha të an] dhe ža" n= l është seri konvergjente. : t O, e për rrjedhojë serilë z n= l indeksit n. Kjo do té thotë se lim a" N. . janë divergjente. " l Shembull 4. Të studiohet konvergjenca e serisëZ--7 n= l (log n) kur n-> oo. e si rrjedhim. në baze të kriterit Z . emr n log n Koshi. seria e dhënč ështč konvergiente. Kriteri i Koshiut mund te formulohet dhe ne trajiën jolimite: Teoremë 3'. Në qofië xe ekzixton q (0<q<l) dhe pe N të tilla që për n>p(ne N), ma, " Sq < l, azëłierë . iería e dhënë konvergjon: Në qaftë . ie ekzixron pe N e villa që për n>p(ne N) ka vend moxbarazimi " lani 2 I, atëherë seria e dhënë divergjon. 51.8. Kñteret e Abelit dhe Dírihle. Le të trajtojmë Lani dy kritere konvergjence që japin përigje për konvergjencën a disa serive të një natyre të veçantë( ku kuñzat mund të kenë shenja të çfarëdoshme). Këto dy kritere ndihmojnë akoma më shumë për studimin e natyrës së konvergiencës sê serive të çfarëdoshme, edhe nëse ato nuk janë seri alternative. Sê pai-i po trajtojmë shndërrimin që vijon. 30 m Shndërrimí iAbelit: Shqyrmjmë shumën S, ,. = Zal , ei (i) ': l Shëmjmë BF/ qv BF øWýz- vBm= Ê. +,32+. ..+ , KW Duke shprehur në funksion të Bk kemi 51: Bï- 5; = BZ ' Bi. . B, ” = Bm- 3,114 e si rrjedhim shuma S mund të shkruhet në trajtën Sm= 05. Bl + D!1( B; ~ B. ) + + am( Bm - BW. ) Duke hequr kliapat dhe duke i grupuar në një mënyrë tjetër, do [ë kemi Sm = 20% = (a. -112)Bi+(a, -a, )B; +.. .+(a, ,,_, -am)B, ,,_, +am 3,. , = I= | m-l = 2074 `ai+i)Bi + a. .. Bin (2) . :i Shndrimi i shumës (l) në shumën (2) quhet shndërrim i Abelit, Lemë- Nê qüfïè' Se vars" l 041 është varg monoton, kurse shumat B. - janë që të g/ 'itha të kufïzuara né' modul nga numrí L: |B, .| SL (í= 1, 2. 3, , m : ma- Vërtetim. Meqenëse për kushtet e Lemës të gjitha diferencat a -a Lek - ~ ~ . . , . i M barazimi (2). |anë me te n_| e_| tèn shenie, kemi: m-I ]S, ,,| S : Jozi -a, ,,| L + ]am| L = L(| a, -am l: atëherè' [SM] = SL(| all+2|ar'n ) (3) +| am| )sL([a, | + 2fam| ). Duket lehtë se kur a, 2 a, z a, Zmł am 2 a, " dhe a, janë pozitive, ateherë mosbarazimi (3) bëhet më i thjeshtë. lsml = :ai/ z Le Ië kalojrnë tani në shqyrtimin e dy kritereve mjaft të rëndësishëm. Marrim në shqymm serinë: Suz, (4) 31
  22. 22. :ęí-i 45 žanb" = a.b. +a; b,+ +a, .b, .+. .. (5) n= l ku a. . dhe b. . janë dy vargje numrash realë. Kriteri i AbeliL Në qoftë . re seria Éb" = b.+b; +.. .+h, .+. .. (B) n= l konvergjon, kurie vargu [an] ështè' monoton dhe i kufizuar a" SK, për në N atëherë : cria ( 5 ) konvergjari. Vërretim. Včnetimin do ta bëjmë duke u bazuar në kriierin Bolcano-Koshi te knnvergjencës së serive. Studiojmč shumën: nom 2 “aba = Éanoibm. i= i fund Në qnftë se shënojmë an. . = a, dhe IL. ..- = 5,. kjn shumë ka irnjlën (l). Duke u bazuar në lemën. e mëpaishme. meqenëse (B) konvergjon: për 6>0 do ië gjendet një pe- N. e tillë që për n>p te kele vënd mosbarazimi lb”, +b, ,,, +. ..+bM| <e për çdo ke N. Nê mosbarazimin (3). si numčr L marrim vierën E. Atëherč për n>p dhe m= l. 2. 3. . ..ka vend mosbarazimi: mm zaibk k= n+I dhe nga kriteri iBolcano-Koshi rrjedh konvergjenca e serisë (S). s 6 (| a,]+ 2|a, ,,, ,,| ) Kriteri Dirihle. Në qoftë se vargu i shumave lë pjexshme [Bul lê serisë (B) është i kufizuar. [BJ 5 M për çdo ne N, kurse vargu I an] ëshłë monotan dhe konvergieril rië zero, atëherë seria ( 5) konvergion. Vërtetim. Edhe në këtë rast do te mbështetemi në kriterin Bolcano-Koshi. Meqenëse liman = O, për 5>0 do të gjendet një pe N, e tillë që për n>p të ketë vend mosbarazimi | a,, | < é. Përveç kêsaj është e qanë se lbn+l *bun +'"+bn+n| = lBnm ' Bal SZM Në këtë rast tek mosbarazimi (3) i lemës marrim L=2M, kështu që për n>p dhe çdo ms N ka vend mosbarazimi 32 nm zakbki k-rH-l prej nga rrjedh edhe konvergjencu e serisë (S). Vërejtje Kriteri i Abelit rrjedh nga kriteri Dirihle. Vërietë, nga lê dhënat që supozohen në kriterin e Abeiit, vargu (an) si varg monuton dhe i kufizuar është varg konvergjent. Po të shënojmë me a limitin e këtij vargu. atëherë seria (5) mund të shkruhej si <2M( an. . + ? Ianmí )s óMa Zzųbn = Em” -a)b" +ažbn n= l n= l n= l Seria e dytë e anës së djathië konvergjon për hipotezë. kurse seria e parë plotëson kushtet e kriteri! Diiihle. pra gjithashtu konvergjon. Prej këiej rrjedh se edhe seria (S) është konvergjente. Shembull l. Do Ië tregojrnê se kriteri i [aibnicit për seritë alternative është rasti veçantë i kriteri! Dirihle. Vënetë. le lë jeië (an) një varg me terme: pozitive monoton jorritës dhe konvergjent në zero, kurse (bn) = ((»l)"". Pra seria e Lziibnicit plotëson kushiet e kriterit Diríhle, e për rrjedhim ajo konvergjon. Nga ky arsyetim rrjedh se kriteri i Laibnicit është një rast i veçantë i kriteri! Dirihle. Shembull 2 Të studiohet naiyra e konvergjencës sê serisë za" sin nx, ku n= l (an) është një varg monomn jorritës dhe konvergjent në zero. Dimë se për çdo x ae 2k7z . ku ke Z, shumat e pjesshme të serisë žsin m: n= l l janë të kuñzuara nggæ madhësia sin - x 2 Pra pënçdd x a: 2k7t seria e dhënë plotëson kushtet e kriterit Dirihle, e për rqedhdjë ajo êshlë konvergjente. Për x _= 2k7t , termat e serisë janë zero, prandaj mund të lhemi se seria e dhënë konvergjon për çdo XE R. å1.9. Vetia ndërruęse për seritë konvergiente. 33
  23. 23. i i Dimë se për shumat e fundme mund të ndryshojmë vendet e kufizave të saj dhe përsëri vlera e shumes nuk ndryshon. Le të shikojmë nëse kjo veti mund të shirihet edhe për shumat e pafundme. Jepet seria konvergjente Zu, = A <*> n= l me shumë A = za". Bëjmë një përkëmbim te kufizave lë kësaj serie në një n= l mënyrë tjetër lë çfarëdoshme, d. m.th. marnm një bijeksion f: N÷N dhe ndërtojmë serinë e reÉaM”, . Nëse shënojmë am. , = i". aiëherë seria e mësipërme merr irajrën , ':l žam, :it/ IA = a', +a>3+. ..+a; (**) Shtifãimë problã-: iliin nëse seria (**) konvergjcn apojo. dhe kur konvergjon çfarë lidhje ka midis shumës S' tê saj dhe shumës S lë serisë (*). ëéLTeoremë 1.' Serir" absøluzishi kanver 'enie ëzajnë y ra nëxe . rería ( *) kom/ er 'on . mluiixha atëherë edhe . ieria ( **) konvergjan dhe ka pa alë xhumë ëka , r r'a * ' Vërietiin. a). - Së pari shikojmë rastin kur seria (*) i ka të gjitha kufizat pozitive. Shqyrlojmë një shumë te' pjesshme S lê serisë (*) S; =a; +a; +. ..+a-k = a,(. ,+a, (3,+. .. +a“k,5S, .S S. ku n= max(f(l). f(2). f(k)). S, , është shumë e pjesshme e rendii n e serisë (*), kurse S ëshië shuma e kësaj serie. Mosbarazimi S; SS(kE N ) tregon se seria (*"') ëshië konvergjenre dhe se po lë shënøjmë me S' shumën e sajlatëherë sss Por, nga ana tjetër seria (*) mund të mendohet si e marrë ngarseria (**) nëpërmjel bijeksionil f'. sepse a/ “m = a/ LFKru] = a” Prandaj edhe për atë seri do lë vlejë përfundirni i arritur më sipër, pra SS S' , e si rrjedhim S = S` 34 Vm7æ1 , b). - Le ië irajlojmë tani rasiin kur seria (*) ëshië një seri absolutishi konvergjente e çfarëdoshme. Meqenëse IaL| = iii/ ml, kjo do te lhotë se seria merret nga seria zíaki nëpërmjet bijeksionit f, e meqenëse të dyja këto seri janë me terma L: l pozitive, në baze të rastit a) mbetet që të konvergjojë. e rrjedhimisht [': l do te' konvergjojë edhe seria ža; . Le Iêjeië S' shuma e saj. Shënojmë k= l P`= Êp; dhe Q'= Êq; ('XI Ã'= I ku pæQÊdheq; =-' Nga sa treguam tek Teorema 1. š1.7, S” = P' - Q”. Po : ê shënojmë me S shumën e serisë (*), P= im dheQ= žqi (I) kzl k= l dhe qk . _ kup, :g 'lšak , kemi S= P-Q 2 Konstatojmë se p; = pm. , dhe q; = qm) dhe meqenëse seritë (Ujanë me lerma poziiive nga rasti a) kemi P' = P dhe Q' = Q. e irjedhimisht S' = S Shëním. Teorema e mësipërme nuk mund të shtrihet për seritë . .. . . . . . . . ” -l ^" konvergiente ne menyre te zakonshme. P. sh. seria harmonike z( k) k= l kQHVCTgiOH. por joabsolutishi. Vërtetë, ndryshojmë vendet e kufizave si vijon: l l l l l l l~1+l+l+. ..+ - + + +. ..+ - 2k, ~l 4 2k, +l 2k, +3 2k2-1 6 235 35
  24. 24. ., . ii ku numrai k. , kz, .. .k, .,. ..janë zgjedhur te iillë që l l l l l l -+ +. ..+ >l, + +. ..+ >n. 2k, -l 2kn+l 2k, +3 2k -l Duket qarlë se seria e ndertuar në këtë mënyrë divergjon në += =a k Pas kêsaj vërejijeje po kalojmë në trajtimin e probłemit ne' përgjithësi. Por problemi i ndrrimi! të vendeve të kuñzave : e një serie joabsolutisht konvergjente mund të lrajlohet edhe në trajië të përgithshmeMë poshtë do të vërtetojmë se seritë konvergjente jo absolulisht nuk e gëzojnë vetinë ndërruese. Supozojmë se seria (*) konvergjon joabsolutisht. Nga konvergjenca rrjedh se lim a, .=O. e si rrjedhim edhe lim p, ,= lim q, ,=0. Seritë (l) si shumë apo diferencë ". .u ". .a n-æw n+l | a,| +a, e një serie divergjente me një seri konvergjenie (PL= T dhe Iail-ai . .. . . _. q, =--2--). Jane diverg| ente ne +oo. *Teoremë ma e Rimanii). Në a è' re x ri * ver 'an joabwlutísht. atëherë për lè` dëm. mund te behet rye perkembim 1 ku izave te sa ne menyre qe seria e re ta kere sh ërtetim. Do të përqendrohemi në ñllim kur B>O është një numër i fundëm. Theksojmë se meqenëse serilë (l) janê divergjente në +m , atëherë edhe çdo mbetje e tyre do te divergjojë në +oo, prandaj edhe shumat e pjesshme Ië cilësdo mbetje do të shkojnë në +w . e për rrjedhojë mund të behen shumë lë mëdha. Po i ndryshojmë lani vendel e kufizave ië serisë (*) si vijon: Në fillim mai-rim aq kufiza pozilive saqë shuma e iyre ia kalojë numrin B p| +p1+. ..+p k' >B Pas kësaj shkruajmë aq kufiza negativųgjithmonë duke ruajiur rendiljen) saqë diferenca e meposhtme të bëhet me e vogël se B (p. +p2+. .i+p A] )-(q, +q3+. ,.qm_ )<B. por me kusht që ' Pi+P2+-~+Pi, -qi-qz-»---q, .., -. ZB 36 Qïïlïåųme: Nga kufiza! poziiive qe' mbeien shtojmë me radhë aq. sa shuma të bëhei me e mudhe se B: PI+P2+~-~+Pi. `ql'q2'«~'q, ,,| +pw +pm1+ +pkn >B por me: kushi që ' P| +pz+. ..+pk| 41.-q; -4.. -qm| wil. , +pk| _2+ +pkr| 5 B Nê vuzhdim. nga kufizal negative që mbeten shlojmë me radhë aq ae shuma ië bëhet më e vogëi se B P'+p3+“'+pk. `q"q3"-~'q. .., +Pi, +i+Pi, ų+ +Pi, _,+pà -q l+ql , .q < . , m. . . .,. ._~- m: B me kusht që pu+P: +---Pi, ~<iu-qz~----q. .,, + PM *Pad *Pu +9., - Cl. ,., .i ~q -«~q, ,.. ,. 28 Këtê proces e vazhdojme pafundësisht, çdo gie' do Lë ecë normaiisht për shkak te divergiencës se serive (l) dhe mbetjeve [ê tyre në +oo Nderlojmë serine (p'+P2+mp*I )_(ql+ql+'łl`*qml )+(pkivl+plrnz+ *Pu-i +Pi )- (qm, ..+q, ,l. z +. ..qm__ )+. .. (3) ësïåïë: [gančàhnga mënxfa Si U "dëfflM _Sefiñ (3) dhe mčnyra si u përcaktuan m I" Pl: e qk _se per çdo term te sense (*) ne. serine (3) përmbahei një zero dhe vetem ky term nie herë. Shënojmë me a" shumai e pjesshme lê kësaj serie. al" = (P| +P3+*"PL, )`(ql+q1+-~+qm| )+(PLI+I+Pà ,3-9- +pk _l +pk ). (qm, ,,| łl+“'+qm, ,) Éshië e qarie se B-qmų S a, " <B dhe meqenësê l q, ,_ i. si nënvarg i vargut me terma nga seria (*), shkon ne zero kurn-wo. rrjedh se a, ” -èB n CfZn-| =(Pl+P21-. .-PL, )`<q| +q1+. ..+qml)+ +(p, _ w +pk W” +pk ) Eshlë e qanë se " B<U, ,,_l . <.B+ p, dhe meqemëse i Pi_ i- si “ërwaïg i Varguï (an). shkon në zero. rrjedh se edhe 02,". shkon lek B kur n -> oo _ 37
  25. 25. Pra arritëm ne përfundxm se U" ->B dhe seria (3) e ka shumën B. Nga sa kemi Lheksuar me pare. edhe seria që përftohet nga seria (3) duke hequr kllapat, e ka shumën B. Nëse i mendojmë të larguara nga kjo 'seri “zerot e repčrta". ajo që mbetel është një seri e përftuar nga seria (*) nëpërmjet një përkëmbinú të kufizave Kë sa) dhe. e ka shumën B. Le të supozojmë tani se B= +o<= . Shqyrtojmë tani një varg (Bnimonolon rritës dhe divergjen! në +oo. Për B. marrim aq kufiza pg, të renditura, saqë shuma e Iyre te kalojë B. . Paskëtaj vëmë kufizën e pare negative. Me von shtojmë aq kufiza pozitive. duke ruajtur rendiljen. sa që shuma e formuar lë kalojë Bz. Pasi vëmë kufizën e dyke negative. shtojmë aq kuñza pozitive saqë shuma : é kalojë vlerën BL e kështu me radhë. Éshrë e qartë se në këtê mënyrë përftohet një seri që divergion ne' +u>o. Në mënyrë të ngjashme mund te' ndënonim një seri divergjente në wo. Nga sa pamë deri [ani rrjedh se në konvergjenën e zakonshme (joabsolute), seria ka një shumë të caktuar, si rezultat i veprimit te ndërsjellët te kufizave pozitive dhe negative mbi njëra ljetrën. prandaj dhe shuma do të varet kryesisht nga mënyra e renditjes sê kuñzave, ndërkohë që konvergjenca absolute mbështelet në shpejtësinë e zvogëlimit të këtyre kufizave dhe nuk varet nga renditja e tyre. n me përkuñzimin e shumës së dy serive konvergjente dhe nxorëm se seria shumë ishte përsëri konvergjente dhe e ka shumën sa shuma e shumave të serive që mblidhen. Pamë gjithashtu edhe problemin e shumëzimit te' një serie me një numër. Le të shikojmë tani se si mund të shtrihet koncepli i shumëzimit edhe për shumat e pafundme (për seritë). Dimë se prodhim Le dy polinomeve quajmë shumën e prodhimeve të të giithë kufizave te një polinomi me kuñzal e polinomit tjetër dhe se rezultati i shumëzimit te dy polinomeve është i njëjtë, pavarësisht nga mënyra e renditjes sê prodhimeve dy e nga dy. V Le të jenë dhënë seritë konvergjente A = Éan (A), B = žbn (B) n= l níl Duke u bazuar në negullin e shumëzimil të dy polinomeve, ndërtojmë të gjilhë prodhimet e mundshme te kufizave lë serisë (A) me kufizat e serisë (B), pra 38 ndërtojmë prodhimei e Iipit aJbJ për Lje N. Këlo prodhime i paraqesim ne : ahau-m 3 pafundme: ölbl azbn 33131 üabi a; b. 3:52 3251 Bab: íłabz 33133 alba 9253 asbs mbx . a, b3 (1) 3151 325; ãzbj a4bj . aib, Éshtë e qartë se në tabelën e mësipërme përfshihen lë gjithë prodhimel për Ië cilëi u fo] më sipër. Gjithashtu. është e qanë se me elemente! e kësaj tabele mund te formohen seri lê ndryshme. në varësi nga mënyra e rendiljes. P. sh, mund te perfitohet një sen duke i renditur sipas “diagonalešï zub. + a| b3+ azbi čl| |93 + azbz + 83h14- a, b,, + alb] + m): (2) Mund te ndërtojmë edhe një seri tjetër dukeibërë renditjen sipas katrorëve łi| b1+ aibz* âzbz + aZbl + ano; + azb; + a3b3 + a3b2 + 33h14. am, “(3) Nga sa shohim deri tani, nocioni i prodhimit të dy serive nuk 55h15 pčrcaktuar në mënyrë univoke. Në qoftë se serilë (2) dhe (3) quhen prodhim i serive (A) dhe (B). duke: qartë se prodhimel janë : è ndryshmeaë paktën përsa 1 »-përke! formës së tyre). Teorem . e Koshiut) Nëłqa Else seriië (A) duhe B) jang abmhmxh, __ n 4 " è' elementët e tabelës (I) eshte konverg/ ente dhe . chuma e saj është e barabarrë me A B. Vërteti ï e* . .. EMI (A*) dhe zjbn| (B*) kmweråiïïínëu Shënojmè me A* dhe B* : øïrkatësisht shumat e t re Me elementêt e tabelës (l) duke i rendítur në mënyrë të çfarëdoshme nåertųçgjmë një seri: ' Éaubz. = “ibn wa, + + aaa, + (4> xal T" “n” “ ' - - - . . 4. . ._ e VCTCOJITIC se kj0 sen konvergjon absoluushlg Pra te vertetojme se konvergjon seria: zlaip/ _l (5) v= l Shënolnžãr këtë qeilim shqlyrtojmëA shumën . e 4ste' Éë pjesshme _çë'saj. __ J me m me te mzidłnn nder indekset 11,11, 12.12, . igjs. Eshtë e qarte se ka vend mosbarazlnu: 39
  26. 26. W' ê[a, ._b, _|-= lzl, lbll| + łaübjzl + + [a, _b, â| s Qalhlal]+. ..+| am| )(| b,| +|b2|+. ..+lbm ) SAB (5) pra seria (5) konvergjon (si seri me lerma pozitivë dhe me varg shumash të pjesshme të kuñzuara). Prej këtej rrjedh se seria (4) konvergjon absolutishl. dhe si e tillë gëzon vetinë ndërruese. Pra sido që Ië renditen një varg elementësh Ië tabelës (l) dhe me to të formohet një seri . kjo sen' e re do të konvergjojë dhe ka të njëjtën shumë me serinë (4). Meqenëse ndodh kështu. elementët e tabelës (l) i renditim sipas katrorëve dhe i grupojmë(seritë konvergjente lejojnë çdo lloj grupimiyAtëherë kemi: a| b1+(a1b2+azb; +a2b. )+(a. b3+a2b3+a3b3+a3b2+a3b. )+(a4b. +. . . (7) Shënojmë me A. . dhe B. . shumat e pjesshme me tregues n të serive (A) dhe (B) dhe me S; shumën e pjesshme Ië serisë (7). 'Dukel qanë se kanë vend barazimet. S; =A| Bh S.3=A2Bz. S; =A3BL SL, =AnBnv prej nga rrjedh se lim S. . = lim A" B, . = Iim A. , lim B. , = A B Në disa zbatime shpesh është me eñkase renditja sipas diagonaleve e elementëve të serisë produkt. Shembull l. Të vërtctohet se ZX Z y = . ..x n! u= o n! .. =o n! n X M, n! m, n. Me anë të kriterit të Dalamberit tregohet se semë z dhe konvergjojnë absolutishl përkatësishl për çdo x dhe y nga R. Pra lë dyja serilë e mësipënne' plotësojnë kushtet e Teoremës Koshi. Shikojmë se kuñza e përgjithshme e serisë X. . . ., n y _ Z y- sipas metodës sê dnagonaleve ëshlë: u-o n! .. =o n! c. .=ł: +š- yM +łí yn-z (f: yM +. ..+xn = n! l! (n-1)! 2! (n-2)! 3! (n-3)! n! L + n! 2! 3! n! 40 (në rastin e fundi: zbatuam fonnulën e bínomit : ê N ' ' Shembull 2 Duke shumêzuar serinë Jummn' l - T = " = Z .1 l_x 'max l+x+x +x +. .. x'+___ për | x|<1 me veten c vet sipas melodës së diagonalevc kemi- l . a-xv = 271-KH = l +2x+3x1+4x3+ +nx"" + 51.11. Prodhimel e pafundnæ. - « - . , lem' marr e Shtnqen e vcpnmn [ê mbIedhJCS për një numër të pafundëm kuñzash. Le tëtrajlojmëtani sht ` ' ' ' - - < rastin kur numri i faktorëve ëshłê i pafundgmegæfpåižýnlgtsåëïłäžšlmlëędhe gu numerik _ Vl- Vm Va. V. ." Formalusht shkruajmë shpre jen VI V: Val/ o. . ... ... ... "v, :Hy (i) me përkuñzím. shprehja (1 `. .m lê en faktor ' “ " ' . .' m" “dem Pėï "glashmėn me semë edhe ketu shtrohet. si dhe- zgjidhet. pro pañlndëm. V dh' ' ' blemi iukoflvergjęncfås se prodhimit lê ' het " ' "WWW (l): . .V, , (2) Në qoflë se ekziston lim P. . dhe ky limit është një numėr j fundgm i n-n- ndryshëm . n a rgent. Nê rast té kundčrt Pmdhimi (I) quhet divergiem- Në qoftë se lim P, ,=P : mae numri p (me, l , e ' V e e n-a. . Pmdhimít të pafundëm, dhe konkretisht shënojmë: P= VIV1V: V4 v -l-y . ... ... ... .. ,. - _' 3 Do te' m' fl t H ( ) Drodhinú i paruåa m e qé velėmgë faktor æ me mo' dhe m' ' "hê el' elé arsye ne do të supozojmë se V t er * - ~ . . . . n P ç o ne . Ashtu s: :ek sentë _ųgłrłenkųa edhe në ketè rast vnhet re '“ wa. . . 41 ~~`. .
  27. 27. lehtë një lidhje midis prodhimeve të pafundme dhe vargjeve numerikë. Kështu një vargu numerik {P, ,) do ti përgjigjet një prodhim i pafundëm, prodhimet e pjesshme Ië rendit n të cilítjanë pikërisht P". Po renditim lani shkurtimisht disa teorema Teoremë 1. _Kushlinevojshëmikanver `encës sê rodhimittë a ndëm (l ) -ž-*Wž - P , .. , . . , ëshlë që lim v” = 1. v" = ” vërtetimi 1 mëtejshëmi hhel Iexuesit). .J-"É-í pm] Përkuñzim: Mbetje e m-të e prodhimit të Efundëm quhet prodhimi H P" . ._ Aaan Teoremiš 2. Pradhímií a ndëm dhemb `_. ____"{N_ wtęlvpatyrè'. leoremë 3. ë qoftè' se prodhimi i pafundëm konvergjon, atëherë Iim H v" =1. "" m : mm: łł. "" '” . . " 1 Shembull 1. Të sludiohet prodhimi H (1 --z), u=2 n Zgjidhje. Kemi " l ' l l l P = l-- = l-- l-- 1-- = , 1'[( nl) ( 2,>< 3,) < ng n= l (22 ~1)(32 -1 . . 2132 (2-l)(2+1)(3-l)(3+l)-. ..-(n-l)(n+l) = n+l 7 2232 -. ..-n“ 271 n-am ~ l Prej këtej është e qartë se limPn : E . qê do IE lhotë se prodhimi i shqynuar konvergjon lek Éshtë e qartë se pas një farë indeksi të gjilhë faktorët e prodhimit të 'pafundëm do të jenë pozitivë, Pra ka kuptim shënimi ln V, . për çdo ne N. : Fear " 4.'Kusht í nevojshëm dhe i m' m L a ndëm ' "', " nverg/ 'enca e xerisë: » Z ln v" (4) n= l 42 Në rast konverg/ 'ence, :huma S e serisë (4) dhe vlera P e pmdhímít(1)janë zë lidhura me relacianin: P = es Vërtetimi i kësa' teoreme rrjedh nga fa prodhimi! të pafundëm dhe s um Lelacionin icti që prodhimet e pjesshëm të " ' " 'dhen me si dhe nga Për qëllime studimi të konvergjencës se' prodhiin`e`xl`ze` e pafundëm ëshlë më Pïalšïik " 'i ` " " itet në traftën: vn: . Atëherë rodhínú i afundëm do të kishte trajtën . . (5) 4 ' Që të kenë kuptim të ithë faktorët duhet sup .1 për çdo ne N. Nga Teorema 4 rrjedh se problemi i konvergjencës së prodhimít Ië pafundëm (5), është i njëvlershëm me konvergjencën e serise 2 ln(l + u" ) (6) . ..sum T 79 ë 5 . .. të pri/ dï" duke fïlluar nga një tregues í atëherë kusht i nÃvojxhëm dhe í mjajžueïfïëm-qe Pïodhimí i Püfiłndëm (5) fè' künverg/ ojë, ështè' kanverg/ enca e sem-e Që i Var I. ~ -_. - '3 n në zero. Nê këtë rast vargu {l+u, ,}nuk konvergjon tek njëshi, prandaj prodhimi i pafundëm ñd +un) r : l diveršãon. Po kështu edhe seria Zu" (cënohet kushti i nevojshëm i n= l lionyergjencës sê një serie). Pra prodhimi i pafundëm (5) dhe seria (7) kanë te' njëjtën natyrë. ' . . . . . . . 1 l Rasti I . Kemi u" = (), D1me e [må g). = 1, mëherë e e a. . a 43
  28. 28. W! 1im'“(“"~> =1. (s) n-h: u Meqenëse duke' ñllúar nga një farë indeksi kuñzat e serive (6) dhe (7) ruajnë të njëjtën shenjë, nga (8) dhe kriteri i dylë i krahasimit të serive ' me kufiza pozi ve, del se alo janë Lê së njëjtës natyrë, pra alo konvergjojnë ose divergjojnë njëkohësisht. (c. d.v) Shembull l. Nga Leorema e mësipërme dhe divergjenca e sgrisàharmgnikë rrjedh divergjenca/ Lpr ' eve lë pafundëm që vijojnëg fníÉTdhe . 11:' n / - / Ã-Êçæ; H (1 _ L) , ari divergjon në Shembull 2. Prodhirni Huil? ) do të konver e do të n. __. _.. ._= - w. diveršåošë 'get a s 1. ã_ «_. Teoreme . Nê qofzë se veç serisë ( ) konvergjon edhe seria “ ; -a-= -_= - (9) atëherë prodhimi ( 5 ) konver 'on Vërtelim. Nga formula e Tejlorit dimë se ln(l+x) = x -å xz + 003). Kështu u ýg-ln(l+u, ,) = _ (10) _NTW Nga relacioni (10) de se. u e illuał nga një Lregues i caktuar , kuñzat e serisë (11) janë pozitive. asimit të serive me lerma pozitivë dhe nga konvergjenca e serisë (9) rrjedh konvergienca e serísë (l l). Por nga ky fakt dhe konvergjenca e serisë (7) rrjedh konvergjenca e serisë (6), dhe për pasojë edhe konvergjenca e serisë (S). 44 Nocioni i komeråiemës absolute të prodhimi! të pafundëm përkuñzohet njëlloj si për seritë. Konkrelisht prodhimi pafundëm ñy m quhen absolutisht konvergjem kur konvergjon seria žpnu + u , l . .=| Pmdhimi i Pafundëm (5) konvergjan abxolutixht atëherë dhe vetëm atë er" kur kanvergmn-T' a ; aT4ų'; h ena _ *g , x Për vërt 'mm e ësaj Ieoreme mja ton të vëñêtohet se seria É| ln(l+u ) n= l a konvergjon alëherë dhe vetëm atëherë kur konvergjon seria žlu | (52. Vargiet dhe seritë Funksionale. š2.1. Vargu funksíonal dhe konceptí i konvergjencë: .vë zij. Le Lê jenë fk(x) k= l.2,. ... një . varg funksionesh nga F. :e përcaktuar në një bashkësi Xe R dhe me' vlera në R. Pëfkllrllim- çdo ptlrqyrim G: N-) F quhet vargflznksíønal me burím X Nëse për çdo “E N~ Shënojmë GUI) = fm alëherë vargun e dhënë mund ta shkruajmë në një nga format që vijon: fl: f2` fm fo, f. . . ... .. (l) 055 “ni "EN . ose (fn). Me dhënien e vargut funksional (l), për një xo té ñksuar ne ndërtojmë vargun numerik . 'r (x __ _ _ ~ . ü. .' . . o) . ... .. Per kėtë varg numenk mund té shtrojmë problemm e konvergjences sê tij. Pęfkiłñliłfłl. Pika ice X quhet pikë kanvergjence ër var un nksional (I), :: : MU, 5200. GOO. 4 X . f. ,(x), ... .. Në fast t? kundëit ika x uhet pikë divfrgience. Bashkësia e píkave tè' llcínvøàr ence " V She cës sê zij. er ç 0 "WET 51166. që po e s enojme me Xo, le tëjetë f(x) = lim f, ,(x) (2) 45
  29. 29. otëson b razimin (2) al 1 dhe shënohet: Përkufizim. Funksioni f: Xg~> ë " quhetfunksion zmzt, oxe thjexht lim: f = lim f. , --n-_. ... ` Shembull 1. Të sludiohet vargu funksional {f. ,) i tillë që për çdo ne N dhe çdo xe R: f, ,(x) = x". Zg/ 'idhjex Meqenëse për lxl<l lim x" = O, për x = l lim x" = 1 për x = -l n. .." ll~tm >l limx“= u, kemi: nm. . Rx): {0 per <l l per x = 1 Pra si fushč konvergjence për vargun e dhënë shërben (-l. 11. Edhe ky shemhull i ihjeshtë tregon se zona e konvergjencës së vargut funksional mund të jeté më e ngushtë se bashkësia e përcaklimit të vargut funksional të dhënë. Shembull 2 Të sludiohet `vargu funksional (fn) i tillë që për çdo ne N dhe lim x" nuk ekziston. dhe për [x aan çdo xe R: (nog) = 2" x n . _ ZgiídhjeDuket qanë se f(x) = lim f, .(x) = run nl x = Zx për çdo xe R M- . ... . n _ Nê këtë rast hurimi dhe zona e konvergjencës përpulhen. Shënim. Në dy shembujl e përmendur më sipër konsiatojmë se megjithëse funksionet f. . janë té vazhdueshëm. nuk mund të pohojmë se i gjithmonë i tillë _ duhet të jetë edhe funksioni limit f. ëll Kanvergjrnca e rfërraïsh l. ga pêrkufizimi që dhamë për konvergjencën e një vargu funksional rrjedh se për çdo x të fiksuar, XE Xo dhe për çdo E> 0. gender një p(E . x)ë N e iillë që për n > p iïkerni: lf. (x) - f (x)| < a (3) Por për të njéjtin E> 0, në përgjithësi numri p(E. x) do të vare! edhe nga pika xê Xg_ Në qoftë se ekziston ndonjë p( E, x) e fiksuar, e iillë që mosbarazimi (3) plotësohel për té giitha xê Xu. atëherë thuhet se konvergJenca e vargul funksional (l) tck funksioni f në bashkësinë Xo, êshtë e njëtrajtshmemse uniforms). Pra Përkuñzim l: Vargu funksíonal ( 1 ) quhet njëtrajtësisht konvergjent rek funkxinnífnë bashkëiinë Xg , në qoftë se 46 (vaė-oxape Nxvne N)[n > p: > (vxe Xo)| f,, (x)-f(x)| < s] (4) Ky pèrkufizim është i njëvleftshëm me përkufizimin që vijon; ` Përkuñzin: 2. Vargu funky l 1 . _ hnkizoni/ në bashkëxinè' Xø. në qo/ zšïï" ( “uhm njelramxuhr komerwem 'ek I' - . HHÉøWPH/ ųhė) f(x)| .xe x" )= o (5) Le lê Iregajmë njëvlerxhmërinë e dy përkufïzímeve të mësípënn 3) Të ïregüjmë Se nga Përkufizimi 22 Përkufizimi lnsupozojmë se ka vend përkufizimi (2). atëherë për çdo xe Xg dh d 0 ~ 5 “Hê që Për n>p të ketë vend mosbarazimi e ç 0 g) glendet “Je pe N Sup! |f, .(X)-f(x)| :xe xo )<5 M " _ M eqenesý Mg) fm] 5 SUN ifn(X)-f(x)| : xE Xe) rrjedh se otesohet kushti (4), e si rrjedhojë ka vend përkufizimi (1) : Tkęlft-łržiï-ÊIT. Maqenëse m" a erkufłzlmłn 2)' supozojmë se ka Vend V 0 N (“zu> Xãpe Nxvne N)[n 7 pm (Vxë Xo)| f:((x)-f(x)| <g] atehere per çdo xe Xo rrjedh se edhe 5“Pi| f,. (X)~f(x)| :xe Xu IS 5 që është ekuivaient me lim sup( | f (x)_f(x)l ~ , Ce X l _ 0 që do të thmë n-cm " ' 0 . _ y se ka vend përkuñzimi (2). Zakonisht ër t" t - -~ . . funksional m) “Ek fužlksïšłžriłliarf KÊQVÊTÊJÊEÉEÊEHHC njetrajtshme të v-argut shkunuar 35 951113 Xo perdoret shënimi i fk-_łf "ëx" ose É(ï)_*f(x) përçdoxnga Xo KonVeršjenca e njëtrajtshme e _We Vãrgu funksional mund të rłïšerårėïúłiižt "edhe gjeometrikisht 'å ). _Ne qofte se bashkësia Xo është iitbl. ateherë nga kushti (4) del se për ådo 5>9v åïende* “Jë PE N. që për n>p “e Pet çdo xe [ah] ka vend mosbarazimi i dyfishtë Fig 2 47
  30. 30. f(x) - e <f. ,(x)<f(x)+ 5 (6) Mosbarazimi i mësipërm tregon se, nëse grafiku i funksionit f rrethohet me një brez me trashësi 26(E-njësi në çdo anë), atëherë duke ñlluar nga një tregues i caktuar. lë gjilhë grañkët e funksioneve f. . do të përfshihen plotësisht në këtë brez. Nëse kjo gjë nuk ndodh për çdo s>0. atëherë konvergjenca nuk ështė e njëtrajtshme. l . . Shembull l. Jepei funksioni f_, (x)= -x. i cili konvergjon lek funksiom n f(x)=0 për çdo xe R, të ñksuax. Megjithatë konvergjenca e lij në R nuk ështê i x-O Â n s pra nuk mund te gjejmë dol një p( E) të përbashkëi për të gjitha x nga R. . Por për çdo xe [-a. +a]. ku a çfarėdo nga R* kemi 1 l l -x-O -x -a n n n e njëlrajtshme sepse kushti <8 sillet në plotësimin e kushtit n> a = < <E, përçdon>-. 5 Marrim p( E )= E(ï ). Pra vargu funksional i dhënë konvergjon njëtrajtësisht në çdo 5 i val te fundëm. megjithëse konvergjenca e tij ne gjithë R nuk është e njëlrajlshme. . Shembull 2. Jepet vargu funksional (fn) me burim në R, i tillë që për çdo xe R dhe ne N: f. .(x) = lcosnx n Për çdo x kemi f(x) = O, sepse limf, .(x) = lim-l-cosnx = 0. Meqenëse : H- n-b- n | f,, (x) - f (x)| = lcosnxl S l . del se konvergjenca është e njëtrajtshme (sepse n n fxx) -f(x)| i = o > Shembull 3 lepel vnrgu funksional (fn) me burim në [0.I: ], i tillë që për çdo lim sup( xe R dhe ne N: f. .(x) = Lx. n+l 48 Fíg.3 [; ',, (x)-f(x)| = _"_, ,_ = M S b n+l n+l n+l është e njëtrajtshme për çdo segment të fundem [0,b], ~ Për ? (10 X nga [0.b]. Pra konvergjenca b SUPiIfr- (X) `f(x)i 5 Xe ioab] h; icili shkon në zero kur n-> oo. Shembull 4 Shqyrlojmë vargun funksional (fn) (FigA) te* përcakluar si më poshtë: ' TI per OSxSL fü): 2(1~2""x) per L<X5.L 2:- - 2:14 0 per 27145251 'Éshłë e qmë se për çdo xe [0.l] kemi W* 59956 Për çdo xoe (OJ) giendet pe N, e nlle qe per çdo n>p le kemi ž7< xo, Aiehere per çdo n>p kemi f, ,(xo) = 0, E megjithalê kjo konvergjencë nuk ështe' e njëtrajtshme sepse asnjë nga grañkët e funksioneve f, , nuk mund të shlrihet brenda brezit 0< y <5 për çdo , Ce (0 1) dheO<O<6<Lsepse i 5"Pi| f.<x)-f(x)l: xe [0.1])= l përçdo ne N. Shembull Shqynojmë vłarg-un funksional (fü) (Pigs). te percaktuar si më poshtë f, .(x) = i_ l+n3x3 Njehsohet lehtë se f(x)=0 dhe lf. <x)-f<x)| =-"i. Por l-I-nlxz 49
  31. 31. at e njehsimit diferencial tregohet se shprehja , , l + n 'x' ntå-nł) = l. pra n n 2 duke përdorur melod pikën x= i . dhe bile n maksimum në sup{lf"(x) -f(x)l: xe Rl nuk shkon në zero kur n-> ee. Për rrjedhojë konvergjenca nuk është e njëtrajtshme. Shembull 7. Kemi treguar se vargu funksional f. .(x) = x" ka për limit funksionin 0 per | xl<l _ _ a __ f(x) = , por konstatohet se k_| o konvergjencë nuk eshte e 1 per x= l njëtrajtshme. Vërtetë sup( V” (x) - f(x)[ : xe [om Zsupü , goø- f(x)1-. xe[o,1)} = sup{Jč' : xe[0, 1)} =1. Pra supl l f" (x)- f (nl : xe [0.ll} nuk shkon në zero kur indeksi n shkon në inñnit. Nëse segmentin [0.l] do ta zëvendësonim me një segment çfarëdo [0,a], ku 0 < a: < l . atëherë do të kishim supl f"(x)-f(x)l: xe [Call sL1p{)! ':xe[0.D: )}=0ł'-)0 kur n -> oo që do të thotë se konvergjenca është e njëtrajtshme. Ky shembull mund té trajtohet edhe gieometrikisht (Fig. 6) Nëse gratiku i funksionit limit Iïelhohel me një brez me trashësi s<l. alëherë në rastin e parë asnjëm nga grañkčt e funksioneve f (x) = x" nuk përfshihet tërësisht brenda këtij brezi, sepse ata përmbajnë pika të trajtës (x. x") . te' cilat janë shumë afêr pikës (l. l). Në rastin e dytë grafiku i funksionit limit përbêhet nga pikat e segmentit [0.a] të boshtit real. Sido që té men-et boshti që e rrethon kêtë grafik. gjendet në pe N . e tillê që për çdo n > p gmñkët e funksioneve f (x) = x" shtrihen brenda këtij brezi 50 P" S (7) quh enie ne ~ .3. Seritë nkxío . z ' Kur traïuam se 't" ' - - . . . . . . 5, __ r' e 'lllmeïlke "Fgualïf lldhjen e ngushte qe ekziston midis vargjeve numerike dhe serive numerike. për më tepër tre uam 1,1 ~ < konvergjencës sê një serie numerike sillej në problemin e lžonverãjęeilïzrėïs vargu numerik, dha a as' llt . " < » 5.5 "Je Xųatëherč Simboli n Je as Nëse (ur-l 55h55 "Je varg funksional me bunm në quhet xerihnkxíonale ' . . . . . . . . hkëxinë X CX. ne k " ~ ' » . ` . 0 qofle se ne ete bashkest konverg/ øn vaggu fmkxianïïïhumave të _ę pjesshmetë saj; (sn) = Zuk íå-å k= l Limiti i vargut tèT umave te pjCSShITIB S -limS quh ' " ` _ n ertse ) ese seria konvergJon dhe shuma e sa; eshtè S, atêherë Përkutizi : huhet . v ' ~ . ,. . x n as èïerrl: "Vuyo" njetïajæslsh' 'ek Jhn/ WOW 18 vetem a en z shumave të pjesshm t" ' ' ~ _ _, Xo. meezłïëíz; kur për çdo áfÉOIIJÉI/ Zajøtłelłsłlt æ xne bashkëslnë . . - " e "Jë E , I'll" " ” per çdo xE Xo ka vend mosbarazimí P 6 l e qe Per n>p dhe Êuk (x) k= n+| Êuux) kxm-l Is<x>-sn<x>| = < a ose k _ . _ ur suPl| S,, (x) S(x)l. xeX0)_sup( : Xe X” Lê shkojë në zero kurn~>eo_ Përkufizimi i mës' ' ~ *Pèrm tregon se teoremat lTllJl konvergyencën uniforme të serive v' ê ' ~ ~- u . , . të vargieve in nè tcoremat pėrkatese per konvergjencèn uruforme 51
  32. 32. T! ! Për analogji me seritë numerike, me simbolin zu, do té kuptojmè' k= m| mbetjen e n-lë e serisë z k . të cilën simbolikishte shënojmë: L~= l Duke u nísur nga shembujt që trajtuam për vargjet funksional? : ne mund të japim shembuj për konvergjencën e zakonshme apo të njetrajtshme të serive funksionale. Kështu nga vargu funksional lfnl , EN » fl, fz, fg. h. f. ... ... . (1) ne mund të ndërtojmë një seri funksionale r, _+ ((2 . f. ) + (13- fz) + (a - fa) (Af. - f. .). ._: .. _ _> Nga përkuñzimi i konvergjencës së njëtrajtshme rrjedhin shume pohime. dy nga “'- cilêt po i përmendim këtu: l l). - Shuma e n'ë numri lë ndëm var kanvergjenle nè' një bashkësí. është var se ` ' kanverg/ 'entle në pa atè' “na” g_l(x)l-(f(x)+g(x)ll s | /.<x>-f<x>| +|g. <x>-s<x>l dhe | g(x)f, ,(x) - g(x)f(x)| =| S(X)l lfúxï " fml Vërtetimi i plotëi lihet lexuesit. Shënim: Shpesh herë për lehtësi shënimi ne do te përdorim simbolin Zink në : l vend te simbolit zuk (x) k= l Shembull l. Te giendet fusha e konvergjencës sê serisë funksionale ž n ( x ), . ' , _. n + l 2x + 1 _ . Zgjidhje. Për çdo x të ñksuar e shqyrtorimësennëe mësipënne s| nie scghnuiåiãnkfè Duke zbatuar kriterin e Dalambent ne trane limile. gjejmé se seria e En 0 52 konvergjojë për te' gjitha ato x që plotësojnë kushtin: X (1 dhe do të 2x+l divergjoië Për >1. Atëherë bashkësia e pikave të konvergjencës do te 2x+l x plotësøojë kushtin _1 < 2): + l <1.icilisjell x<-l dhex>-l/3.Për~l<x~l/3 kemi X >1. e për rrjedhojč seria e dhene' divergjon ( cënohet kushti i 2); + l nevojshëm i konvergjencës sê një serie). Përsa u përket pikave x= -l dhe x = ~l / 3 . duke zëvendësuar këto vlera lek seria e dhenë man-im respektívisht dy seritë numerike Z n dhe 2 " (_| )" . Pra seria divergjon ne re' dyja m n + l h, n + l këto pika. Shembull 2. Té gjendet fusha e konvergjencës se' serisė' funksionale z x . k-l J; zgjidhje. Nga kriteri i Dalamberil njedh se seria e dhene konvergjon për | x| <1 dhe divergjon për | x|>l. Duke studiuar seritë numerike për x= -l kemi Ê ('na e cila konvergjon( si seri e tipit 1ë laibnicit), kurse për x= l marrim ł= l JF serine ž % e cila divergjon. Pra seria e dhene konvergjon vetëm në [-l, l) . k= l n e .4. Krítere të konvergjencëx sê njëtrajl: v Nëse njihet limiri i vargu! funksional. atëherë studimi i natyrës sê konvergjencës se tij mund te bëhet duke u bazuar drejtpérsëdrejti në përkuñzimet e konvergjencës se zakonshme dhe asaj te njëtmjtshme. ape dhe thjesht nga konsiderata gjeometrike. te cilat sikurse e theksuam mbështeteshin mhi po ato përkuñzime. Por shpesh herë ne nuk e njohim ose e kemi te vështirë të gjejmë funksionin limit. e për rrjedhojë e kemi të pamundur të studiojmë natyrën e 53
  33. 33. konvergjen nvergjencën e njëtiajtshme. Kriteií që vijon është një rëndësishëm funksional. Teoremêñl. riteri Bo an - cës së një vargu(sei'ie) funksional ihjeslit duke u bazuar në përkuñzimin kriter mjaft i pëisa i perke! studimi! të natyres së konvergjencës së një varyi ~ n+l: z “i (x) _n+l SM (Il-S, , 00] = : luml (X) l u n+2 (x)+. ..+umk(x)| < 5 (3) Vërletimi rrjedh menjëherë nga teorema e mësipërme Teoremë (Kriteri i Vajershtrasï) Le i" ' " p. .. .. _, bashkëxí X nga R. , Supozajmë xlę e jme M'n), n-Il 2' “te permkllížl: M "je u" (x) S M. . (4) varåu áfnkiional (LJ , EN të Iooriver `o`è` ri'ë1 __ X. ëslitë I/ è' për gjendel ri/ 'ë pE NL k'"“'}"0" a: HHe/ iø-iłr çdo Jie X tè' kelë vëndmoxbara imi: å m llërtetim. Kondita është e nevøjshme. Supozojmë se vargu funksional _EH/ HEN konvergjon njëirajtësisht lek funksioni f. Atëherë për çdo 5>0, ë i E E nuo-for) <-< . x -f(x>| <5: për çdo ke N. Atëherë për çdo ke N, çdo XE X dhe n>p kemi . . I. . u” N [h] , _ __ _ __ I 4 . .. P" e EI' 'a "G l 6 per te çdo xe X. Supozojme se Send numerike ZM" k ". At"h" ---' "` . e e" “m” z"u(x)lïhe ëlunül] konverg/ ø/ne lljetrajlësísht nè' n: l X : `Verlerims Për vërtelimin e teoremës d "b `^ ~- ~ < 0 te azohemi ne kriterin l -K ^ » - n ' . .. Bo cano oshi. Nga konvergjenca e sense ZM" iųedh se per çdo g>o do = l = ) iië 'endei 'e' N_ ' " . . _, v možêarumåf PE “le Pe' çdo n> P dhe per çdo k-natyror te ketë vënd E E lfn. i-(x)-f, .(x)| < | fi+i(x)'f(x7l +lfn(x)“f(x)l : E +-ž = a l | MW +M",2+. ..+Mmk = Mml+Mm2+m+MMk<g (i . Kondim është e mjaftueshm Nga plotësimi i kushtil (l). për çdo xe X të Aïėhe _ 4 ç 0 n > p. per ç o -naiyror e për çdo xe X do te ketë vënd iksuar. rrjedh se vargu numerik (f. .(x)) E” është varg kunvergjenusepse plotëson mosbamzlm' kushtet e Teoremës Bolcano-Koshi për vargjet numerike). Shënojmë me f limitin e lunvl (X) 'l' ". ..200 + + “mk (JOI S um, (x)| +lumz (x)l + + u d: 05)' < itlcurkeoeuDotčkemi <MiHI+Mr| ~2+"<+Mn+k <5 (S) n këlij vargu. Tek mosbarazimi (l) kalojmë në lim 1f(X)ïfn(x)` s e p p 4 Pra seiitë u"(x) dhe z X. Kjo do te thote' se vaigu funksional (fnl m, _ n= l ín-I' Për "ledholë 310 konvergjajnë njêtrajtësisht në bashkësinë X Shëriím. Vërtetimi i kësaj teoreme mund të bëhel etlhe sipas arsyetim`l " I qe 14,. (xll plotësojnë kusłitel e kriterit Bolcano-Koshi e që për çdo n > p dhe për çdo xe konvergjon njëtrajtësisht tek funksioni f. Për raslin e serive funksionale kriteri Bolcano-Kushi merr l ` Teoremë 2 Kusht i nevojsïëm dhe i` mjajiueshëm që seria/ imksíonałe " vi`on: Vijon: Nga kriteri i parë i krahasimii dimë që ž n= l un(x)| konvergon për çdo x, Zukbc) = u, (x) + uz(x) + u, (x) + + u, ,(x) + (2) Shënojmë In! tè' konvergjojë njëtrajlësíshl rië bashkësínë X, është që për çdo E >0 të gjendei një pe N, që. për çdo n>p, për çdo k-natyror dhe për çdo xEX rë kerë vënd maxbarazimi: ln(X)= ž| uk(x3| dhe i(x)= žlułxxų ki] k= l 54 55

×