1. 8. Risposta in frequenza degli amplificatori
8.1 Considerazioni generali sulla risposta in frequenza
I calcoli che abbiamo svolto finora sui circuiti equivalenti per piccoli segnali degli amplificatori,
volti a valutare i guadagni e le resistenze ai terminali dei vari stadi considerati, sono sempre stati
condotti considerando segnali di ingresso aventi frequenza abbastanza alta da poter considerare i
condensatori di disaccoppiamento e di bypass come dei cortocircuiti. In tal modo il circuito
equivalente degli amplificatori considerati non contiene elementi reattivi e risulta essere puramente
statico, per cui, in particolare, il guadagno dell’amplificatore risulta essere del tutto indipendente
dalla frequenza. In realtà, proprio a causa della presenza dei condensatori esterni di
disaccoppiamento e di bypass, il guadagno dell’amplificatore comincia a diminuire se si riduce la
frequenza del segnale di ingresso al di sotto di un certo limite inferiore, laddove i condensatori
stessi non possono più essere considerati dei cortocircuiti. Il guadagno si riduce a zero se si
considerano le eventuali componenti continue del segnale di ingresso, in quanto questo era proprio
lo scopo dell’inserzione dei condensatori di disaccoppiamento e cioè evitare che il segnale potesse
avere qualche inluenza sul punto di lavoro scelto per i transistori del circuito, come nel caso di Ci in
fig. 8.1. In altre parole il guadagno si riduce a zero a frequenza nulla.
VCC
R1 RC
vo
RS Ci
vS
R2 RE
VEE
Figura 8.1: Condensatore di disaccoppiamento Ci
La variazione del comportamento del circuito in fig. 8.1 al variare della frequenza di un segnale
sinusoidale applicato in ingresso si può descrivere considerando il circuito equivalente lineare per
piccoli segnali dell’amplificatore, includendo però gli effetti della capacità Ci.
In generale il comportamento dinamico di un circuito lineare contenente dei condensatori si
può studiare facilmente nel dominio della trasformata di Laplace. In pratica ogni condensatore è
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rappresentato tramite la sua impedenza complessa Z (s)=c : applicando le leggi di Kirchhoff al
sC
circuito equivalente si ottiene quindi il rapporto tra le trasformate di Laplace rispettivamente dei
segnali di uscita e di ingresso, che si presenta nella forma del rappporto tra due polinomi nella
variabile s. Si ottiene così la funzione di trasferimento del circuito A(s):

2. VO (s ) a 0 + a 1s + ... + a m s m N(s )
A( s) = = = (8.1)
VS (s ) b 0 + b1 s + ... + b n s n D(s )
In particolare il grado del denominatore rappresenta l’ordine del circuito, che risulta essere pari
al numero di condensatori indipendenti del circuito, ottenuto sottraendo al numero totale di
condensatori presenti nella rete il numero di maglie indipendenti formate solo da condensatori
oppure da condensatori e generatori di tensione ideali.
Se si considerano gli zeri del polinomio al numeratore, cioè le radici dell’equazione N(s)=0, e gli
zeri del denominatore (soluzioni dell’equazione D(s)=0), si può riscrivere l’equazione (8.1) nella
seguente forma:
 s  s   s 
1 +
 ω 1 + ω ...1 + ω
   

= A0  z1  z2   
V (s )
A( s) = O zm
(8.2)
VS (s )     
1 + s 1 + s ... 1 + s 
 ω  ω   ω 
 p1  p2   pn 
Le soluzioni dell’equazione N(s)=0, e cioè –ωz1, -ωz2, …, -ωzm, si chiamano zeri del circuito,
mentre le soluzioni di D(s)=0, cioè –ωp1 , -ωp2 , …, -ωpn , sono i poli del circuito. Si può dimostrare
che, se il circuito è costituito da stadi elementari del tipo studiato nei capitoli precedenti oppure
dalla cascata di tali stadi, i poli del circuito sono tutti reali negativi, cioè che ωp1 , ωp2 , …, ωpn
nell’equazione (8.2) sono numeri positivi.
In questa situazione, se si considera la funzione A(jω), ottenuta sostituendo nella (8.2) oppure
nella (8.1) la variabile s con la variabile jω, essa ha delle proprietà notevoli:
 jω  jω   jω 
1 +
 ω  1 + ω ... 1 + ω 
   
 z1  z2   zm 
A( jω) = A 0 (8.3)
    
 1 + j ω  1 + j ω ...1 + j ω 
 ω  ω   ω 
 p 1  p2   pn 
Se si applica in ingresso al circuito una sinusoide a frequenza ω, quando il circuito è a regime
(regime sinusoidale), si ha che, essendo il circuito lineare, l’uscita è una sinusoide alla stessa
frequenza ω. La funzione A(jω) possiede le seguenti proprietà:
a) Il modulo della funzione, |A(jω)|, è pari al rapporto tra l’ampiezza della sinusoide di uscita e
l’ampiezza della sinusoide in ingresso
b) La fase della funzione, ∠A( j ω) , è pari alla differenza tra la fase della sinusoide in uscita e la
fase della sinusoide in ingresso.
La funzione A(jω) si chiama funzione di risposta armonica o funzione di risposta in
frequenza del circuito e in particolare siamo interessati al suo modulo, in quanto ci interessa
l’ampiezza del segnale sinusoidale che si ottiene all’uscita dell’amplificatore al variare della
frequenza, più che la sua fase.

3. 8.2 Diagramma di Bode delle ampiezze.
Il modulo della funzione di risposta armonica |A(jω)| viene rappresentato in funzione della
frequenza in un diagramma logaritmico, detto diagramma di Bode delle ampiezze . Esso riporta il
valore di |A(jω)| espresso in decibel in funzione della frequenza in scala logaritmica. Il valore in
decibel di |A(jω)| è il seguente:
AdB(jω)=20log10 |A(jω)| (8.4)
A questo punto i singoli termini prodotto che compongono la funzione di risposta armonica nella
forma che evidenzia poli e zeri (8.3) daranno un loro contributo nel diagramma di Bode delle
ampiezze. I vari contributi dei termini prodotto associati ai singoli poli e ai singoli zeri si sommano,
dato che il logaritmo di un prodotto è pari alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.
Esaminiamo quindi il contributo al diagramma di Bode associato a uno zero, cioè fornito da un
ω
termine del tipo |1+ j |. Notiamo che, pensando in termini asintotici, per frequenze molto piccole
ωz
rispetto a quella dello zero, cioè ω<<ωz, il termine si riduce a un valore unitario, che, espresso in
decibel, corrisponde a zero. Se invece consideriamo frequenze alte rispetto a quella dello zero, cioè
ω
ω>>ωz, otteniamo che l’unità è trascurabile rispetto a , per cui il modulo del nostro termine è
ωz
ω
pari appunto a , cioè è direttamente proporzionale alla frequenza. Se si esprime questo in
ωz
decibel, si ottiene un andamento nel diagramma di Bode delle ampiezze di tipo rettilineo, con
pendenza pari a 20dB/decade, come nella seguente figura (8.2).
AdB(jω)
20dB/decade
ω=1 ω=10 ω=ωz ω=100 ω=1000 ω
Figura 8.1: Contributo di uno zero, piazzato alla frequenza ω z, al diagramma di Bode delle ampiezze
E’ importante osservare che in corrispondenza della frequenza dello zero, cioè per ω=ωz, il
modulo del termine che stiamo considerando vale esattamente 2 , che, espresso in decibel, fornisce
un guadagno pari a 3dB, per cui il diagramma asintotico in fig. 8.2 va raccordato in modo da fornire
appunto un valore pari a 3dB in ω=ωz.

4. Se passiamo a considerare il contributo al diagramma di Bode delle ampiezze fornito da un
ω
termine associato a un polo nella (8.3), cioè a un termine del tipo 1/|(1+ j )|, notiamo che per
ωp
valori di frequenza ω<<ωp , il contributo è ancora una volta pari a zero decibel (cioè un valore
ωp
unitario), mentre per frequenze ω>>ωp , si ottiene un contributo pari a in quanto l’unità diventa
ω
trascurabile. Ciò significa che a frequenze sufficientemente alte rispetto a quella del polo il modulo
del guadagno e la frequenza sono inversamente proporzionali. Ciò corrisponde , nel diagramma di
Bode delle ampiezze, in cui i moduli sono espressi in dB, a una retta con pendenza pari a
–20dB/decade. Il tutto è raffigurato nella seguente fig. 8.3.
AdB(jω)
ω=ωp
ω=100 ω=1000 ω
ω=1 ω=10
-20dB/decade
Figura 8.2: Contributo di un polo, piazzato alla frequenza ω p, al diagramma di Bode delle ampiezze
Anche qui notiamo che in corrispondenza della frequenza del polo il valore del modulo del
termine che stiamo considerando vale 1/ 2 =0.707, il che corrisponde a –3dB, per cui il diagramma
asintotico riportato in fig. 8.3 andrebbe corretto in tal senso.
8.3 Diagramma di Bode tipico di un amplificatore alle basse frequenze
Tornando al caso di un amplificatore che contiene condensatori di disaccoppiamento e di bypass,
come quello rappresentato nella seguente figura, il suo equivalente per piccolo segnale contiene tre
condensatori indipendenti (non esistono maglie formate da condensatori o da condensatori e
generatori di tensione ideali), per cui la funzione di risposta armonica A(jω) dell’amplificatore è
caratterizzata dalla presenza di tre poli.
VCC
R1 RC
CE
RS Ci
vS vo
CL RL
R2 RE

5. Il relativo diagramma di Bode delle ampiezze ha però sicuramente pendenza nulla per frequenze
abbastanza alte, alle quali tutti e tre i condensatori possono essere considerati dei cortocircuiti e
quindi il guadagno diventa costante al variare della frequenza. Di conseguenza sicuramente devono
essere presenti, oltre ai tre poli, anche tre zeri alle basse frequenze nella funzione di risposta
armonica dell’amplificatore, i quali, con il loro contributo totale alla pendenza del diagramma di
Bode che è pari a +60dB/decade, equilibrano il contributo totale alla stessa pendenza dei tre poli,
che è pari a –60dB/decade.
Abbiamo quindi tre poli e tre zeri e un diagramma di Bode delle ampiezze che è molto
complicato. Per semplificare le cose, considereremo, al posto del diagramma di Bode vero
dell’amplificatore, una sua approssimazione a un solo polo e un solo zero.