METODI E TECNOLOGIE PER
L’INSEGNAMENTO DELLA
MATEMATICA
Lezione n°3
2016

FOCUS SUL
BAMBINO

Qual è il patrimonio iniziale?
La ricerca attuale , nel campo delle scienze cognitive,
mostra che l’abilità numerica è innata.
-Fin dalla nascita siamo in grado di classificare ciò che
vediamo in termini di numerosità: si tratta di un processo
di percezione visiva chiamato subitizing o
immediatizzazione che consente di determinare la
numerosità di un insieme visivo di oggetti in modo
immediato, senza contare (numero massimo: quattro)
-si ritiene anche che faccia parte del patrimonio iniziale la
capacità di confrontare la numerosità, di scegliere ad
esempio il maggiore tra due insiemi.

Qual è il patrimonio iniziale?
• Si ritiene quindi che l’acquisizione dei concetti
numerici si verifichi presto nella vita del bambino ma
che, prima dei 6 anni, la rappresentazione di
numerosità sia facilmente sviata da indizi percettivi
• Secondo Butterworth la natura fornisce un nucleo
innato di capacità numeriche (Modulo Numerico)
comune a tutti.

Il modulo numerico
Il neuropsicologo Brian Butterworth (che nel 1999 scrisse un
saggio dal titolo "The Mathematical Brain«,in Italia edito dalla
Rizzoli con il titolo "Intelligenza matematica. Vincere la paura dei
numeri scoprendo le doti innate della mente") è un sostenitore
della tesi innatista del ‘cervello matematico’.
Egli ritiene infatti che i nostri cervelli possiedano dei circuiti
specializzati per categorizzare il mondo in termini di
numerosità; secondo la sua tesi le capacità numeriche
costituiscono un ‘modulo cognitivo’ in cui le abilità
matematiche sono geneticamente codificate e presenti fin
dalla nascita.
Le differenze individuali, che riguardano capacità più
avanzate, insorgono successivamente e sono riconducibili agli
strumenti concettuali forniti.

Grazie quindi alle scoperte sopra esposte , è stata
definitivamente superata la credenza che l’acquisizione
dei concetti numerici si verifichi tardi nello sviluppo del
bambino; si ritiene comunque che prima dei sei anni la
rappresentazione di numerosità sia facilmente sviata da
indizi percettivi.
Tutto ciò ha prodotto un cambiamento negli
orientamenti per la scuola dell’infanzia.
Nelle indicazioni curricolari del 1991, tra i campi di
esperienza educativa compare : Lo spazio, l’ordine, la
misura.

Orientamenti 1991
Sotto tale voce leggiamo:
Intorno a tre anni il bambino esprime le prime intuizioni numeriche,
come valutazioni approssimate della quantità nel contare gli oggetti,
nel confrontare le quantità e le grandezze direttamente, mentre trova
difficoltà ad ordinarle serialmente. Incomincia inoltre ad avvertire,
esprimendole linguisticamente, alcune collocazioni spaziali e a
riconoscere alcune proprietà comuni degli oggetti.
Verso i sei anni -operando con oggetti, disegni, persone, ecc.- è in
grado di contarli, di valutarne la quantità e di eseguirne operazioni
sempre sul piano concreto, di ordinare più oggetti per grandezza,
lunghezza e altezza, di classificarli per forma e colore, di localizzare le
persone nello spazio, di rappresentare dei percorsi e di eseguirli anche
su semplice consegna verbale.

Orientamenti 1991
E ancora:
La scuola materna svolge la sua azione in due fondamentali direzioni:
- raggruppare, ordinare, contare, misurare: ricorso a modi più o meno sistematici di
confrontare e ordinare, in rapporto a diverse proprietà, grandezze ed eventi; uso di
oggetti o sequenze o simboli per la registrazione; impiego diretto di alcuni semplici
strumenti di misura; quantificazioni, numerazioni, confronti;
- localizzare: ricorso a modi, spontanei o guidati, di esplorare il proprio ambiente,
viverlo, percorrerlo, occuparlo, osservarlo, rappresentarlo; ricorso a parole,
costruzioni, modelli, schemi, disegni; costruzione di sistemi di riferimenti che aiutano il
bambino a guardare la realtà da più punti di vista, coordinandoli gradualmente fra
loro.
E' anche opportuno sviluppare la capacità di porre in relazione, come: formulare
previsioni e prime ipotesi; individuare, costruire ed utilizzare relazioni e classificazioni;
costruire corrispondenze e rapporti di complementazione, unione, intersezione ed
inclusioni tra classi; riconoscere invarianti; utilizzare strumenti di rappresentazione;
operare riflessioni e spiegazione su numeri, sistemi di riferimento, modalità di
rappresentazione e così via. A ciò si aggiunge l'opportunità di sviluppare le capacità di
progettare e inventare, come: la creazione di progetti e forme, derivati dalla realtà o
del tutto nuovi, di oggetti e spazi dell'ambiente; l'ideazione di storie; la realizzazione di
giochi con regole più o meno formalizzate e condivise; le rappresentazioni spontanee
o ricavate da quelle in uso e così via.

Fino ai giorni nostri: indicazioni
nazionali del 2012
Sotto la voce ‘La conoscenza del mondo’ compare esplicitamente:
Numero e spazio
• La familiarità con i numeri può nascere a partire da quelli che si usano nella
vita di ogni giorno; poi, ragionando sulle quantità e sulla numerosità di
oggetti diversi, i bambini costruiscono le prime fondamentali competenze
sul contare oggetti o eventi, accompagnandole con i gesti dell’indicare, del
togliere e dell’aggiungere. Si avviano così alla conoscenza del numero e
della struttura delle prime operazioni, suddividono in parti i materiali e
realizzano elementari attività di misura. Gradualmente, avviando i primi
processi di astrazione, imparano a rappresentare con simboli semplici i
risultati delle loro esperienze.
• Muovendosi nello spazio, i bambini scelgono ed eseguono i percorsi più
idonei per raggiungere una meta prefissata scoprendo concetti geometrici
come quelli di direzione e di angolo. Sanno descrivere le forme di oggetti
tridimensionali, riconoscendo le forme geometriche e individuandone le
proprietà (ad esempio, riconoscendo nel “quadrato” una proprietà
dell’oggetto e non l’oggetto stesso).
• Operano e giocano con materiali strutturati, costruzioni, giochi da tavolo di
vario tipo.

Traguardi per lo sviluppo della competenza
(nella scuola dell’infanzia)
• Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri
diversi, ne identifica alcune proprietà, confronta e valuta quantità;
utilizza simboli per registrarle; esegue misurazioni usando
strumenti alla sua portata.
• Sa collocare le azioni quotidiane nel tempo della giornata e della
settimana.
• Riferisce correttamente eventi del passato recente; sa dire cosa
potrà succedere in un futuro immediato e prossimo.
• Ha familiarità sia con le strategie del contare e dell’operare con i
numeri sia con quelle necessarie per eseguire le prime misurazioni
di lunghezze, pesi, e altre quantità.
• Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando
termini come avanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.;
segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali.

Lo sviluppo dell’abilità di conteggio
• Si può dire che l’inizio esplicito della matematica con i
bambini sia costituito dal contare.
• L’esperienza numerica del bambino è all’inizio un’esperienza
linguistica; la parola-numero non rappresenta subito una
quantità o un’etichetta da associare ad un oggetto (esempio)
• Le parole (uno, due, tre….) e le dita sono i grandi strumenti
del bambino per rispondere alle prime domande sui numeri.
• Solo successivamente i numeri verranno espressi anche in
simboli: 1, 2, ….
• E comunque imparare a contare rappresenta il primo
collegamento tra la competenza numerica innata e quella
acquisita dall’interazione con l’ambiente di appartenenza.

COMPONENTI DEL CONTARE
1) Avere a disposizione una buona raccolta di etichette
( numerali)
Si possono distinguere tre livelli evolutivi:
• La sequenza dei numeri è usata come stringa di parole.
• Si distinguono le parole, ma la sequenza viene prodotta solo in avanti a partire da
uno.
• La sequenza è bidirezionale, producibile a partire da un numero qualsiasi della
serie, ordinata in modo stabile.
2) Eseguire il confronto secondo un processo iterativo
Ciascuna parola-numero , selezionata con un ordine corretto, va collegata a uno e un
solo oggetto dell’insieme; è il concetto di corrispondenza biunivoca, che compare
molto presto nell’esperienza del bambino, che già a due anni è in grado di mettere, ad
esempio, ogni tazza sul suo piattino

COMPONENTI DEL CONTARE
3) Identificare la parola che esprime il risultato
dell’operazione eseguita
Si intende con questo riconoscere il valore cardinale dell’ultimo
numero pronunciato.
Il bambino deve capire che l’ultima parola-numero pronunciata nel
conteggio corrisponde alla numerosità dell’insieme contato; i
bambini di 3-4 anni possono farlo come imitazione dell’adulto, senza
avere però avere reale comprensione del ruolo di tale parola.
Spesso a questa età i bambini pensano che le parole-numero siano
come etichette da attaccare agli oggetti; se ad uno di essi assegna
cinque, il cinque identifica esattamente quell’oggetto e non può
rappresentare altro.
Dal punto di vista evolutivo il valore cardinale delle parole-numero
viene acquisito verso i 5 anni.

ERRORI NEL CONTARE
1)Incertezza sulle parole numerali
2)Non è chiaro che l’ultima parola è il
risultato del conteggio
3)Errori nel processo di ripartizione
4)Errori nell’etichettamento
5)Errori nel coordinamento ritmico tra
ripartizione ed etichettamento

I cinque principi di Gelman e Gallistel (1979)
L’acquisizione dell’abilità di conteggio verbale è guidata dalla
conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica
non verbale; si ipotizza cioè l’esistenza di una struttura innata che
orienta i comportamenti gli apprendimenti e consente di apprendere
a contare. I principi sono i seguenti:
• Il principio di iniettività
• Il principio dell’ordine stabile
• Il principio di cardinalità
• Il principio di astrazione
• Il principio di irrilevanza dell’ordine
La padronanza dei principi della conta comincia, in genere dai 2-3 anni
e si completa intorno ai 5. Il principio cardinale viene acquisito per
ultimo.

La teoria di Karen Fuson
La Fuson sottolinea i contesti diversi in cui le parole
numero sono utilizzate ed è necessario sottolineare
che non sempre tali contesti si riferiscono alla
numerosità; solo attraverso ripetuti esercizi e per
imitazione il bambino gradualmente comprende il
senso del contare e connette tra loro i diversi
significati. Da ciò si evince il ruolo cruciale
dell’interazione con l’ambiente.
Esaminiamo i contesti

Karen Fuson: i contesti
• il contesto cardinale, in cui la parola-numero fa riferimento all’intera
collezione di elementi discreti e dice di quanti elementi è costituita;
• il contesto ordinale, dove la parola-numero fa riferimento ad un elemento
collocato all’interno di una serie ordinata di elementi discreti e indica
quale posizione vi occupa;
• il contesto di misura, dove la parola-numero è in relazione ad una
grandezza continua e indica quante unità di misura sono necessarie per
“riempire” la grandezza;
• il contesto sequenza, in cui l’enunciazione è condotta senza riferire le
parole-numero a oggetti o altro (le parole-numero sono usate in modo
simile alle lettere nella recita dell’alfabeto);
• il contesto conta, dove l’enunciazione è condotta con riferimento a oggetti
posti in corrispondenza uno a uno con le parole-numero;
• il contesto simbolico, in cui la parola-numero è intesa come oggetto di
scrittura o di lettura;
• il contesto non numerico, in cui la parola-numero è usata come etichetta,
identificando un attributo in un oggetto.

Karen Fuson: modello di sviluppo numerico
La Fuson propone un modello di sviluppo numerico che descrive l’evoluzione
del bambino nell’acquisizione delle parole-numero legate a tre contesti d’uso:
a) contesto di sequenza, che comprende due momenti. Nel primo c’è
l’apprendimento della recita corretta della sequenza standard, che
impegna il bambino nel distinguere nel linguaggio le parole non-numero
dalle parole-numero apprendendo così l’ordine corretto di quest’ultimi.
Nel secondo momento vi è l’elaborazione della parte di sequenza che
consiste nello sviluppo di nuove abilità;
b) contesto di conta, in cui il bambino stabilisce corrette corrispondenze
termine a termine tra oggetti e parole-numero;
c) contesto cardinale in cui il bambino comprende che nel pronunciare la
conta, nel toccare o indicare gli elementi, l’ultima parola corrisponde al
numero di elementi contati.

Lettura e scrittura dei numeri
• La lettura precede la scrittura ed evolve gradualmente, ma il
riconoscimento del simbolo scritto non implica necessariamente
l’acquisizione della corretta rappresentazione della quantità
corrispondente (semantica del numero)
• L’acquisizione del numero scritto richiede la competenza
simbolica, che viene conquistata dal bambino con due processi
basilari:
- la produzione di significanti individuali(simboli), di tipo
personale, stabiliti dal singolo soggetto
- La produzione di significanti collettivi (segni)connessi al
significato da una convenzione sociale e perciò esterni al
soggetto

La notazione numerica
Tra i ricercatori non è ravvisabile una convergenza su quale sia il
percorso attraverso il quale il bambino conquista la competenza
nel numero scritto e il rapporto corretto tra numero scritto e suo
significato.
Si possono comunque distinguere quattro categorie di
rappresentazione grafica della quantità, che rendono evidente
una evoluzione
1) idiosincratica: notazioni incomprensibili per un osservatore esterno
2) pittografica : si riproducono figurativamente gli oggetti della collezione
3) iconica: segni grafici posti in corrispondenza biunivoca con gli oggetti
4) simbolica: formata da numeri arabici

La notazione numerica
…e tre tipologie di notazione numerica:
1) Notazione con grado informativo nullo (per un
osservatore esterno, ma portatore di significati per il
bambino)
2) Notazione basata sulla corrispondenza
biunivoca
3) Notazione convenzionale

Difficoltà
• Un problema che incontrano i bambini nel loro
approccio iniziale al numero scritto è legato alla
difficoltà di collegare il simbolo aritmetico
convenzionale con il suo significato in termini
quantitativi .
• È pertanto indispensabile guidare il bambino, già
nei suoi primi approcci con la matematica scritta,
alla comprensione profonda del significato dei
simboli aritmetici per evitare che si instauri un
utilizzo rigido dei simboli.

Le schede che
seguono sono tratte
dal testo

SCUOLA PRIMARIA
Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria
Numeri
• Contare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e
regressivo e per salti di due, tre, ...
• Leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale, avendo
consapevolezza della notazione posizionale; confrontarli e ordinarli, anche
rappresentandoli sulla retta.
• Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare
le procedure di calcolo.
• Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10.
• Eseguire le operazioni con i numeri naturali con gli algoritmi scritti usuali.
• Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali (si deve intendere: numeri scritti
in notazione decimale posizionale, da non confondere coi numeri con la
virgola.N.d.C.), rappresentarli sulla retta ed eseguire semplici addizioni e
sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di semplici misure.

Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria
Numeri
• Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali (ossia: scritti in notazione
decimale).
• Eseguire le quattro operazioni con sicurezza, valutando l’opportunità di
ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle
situazioni.
• Eseguire la divisione con resto fra numeri naturali; individuare multipli e
divisori di un numero.
• Stimare il risultato di una operazione.
• Operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenti.
• Utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni
quotidiane.
• Interpretare i numeri interi negativi in contesti concreti.
• Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta e utilizzare scale graduate in
contesti significativi per le scienze e per la tecnica.
• Conoscere sistemi di notazione dei numeri che sono o sono stati in uso in
luoghi, tempi e culture diverse dalla nostra.

Perché fare i calcoli è difficile?
Le scienze psicologiche mostrano che si tratta di un
fenomeno cognitivo complesso che richiede l’attivazione
di diversi processi mentali.
Quali sono le competenze cognitive necessarie per essere
abili esecutori di calcoli?
Accenniamo sinteticamente a due modelli
• Modello semantico di McCloskey
• Modello del triplo codice di Dehaene

Modello semantico di McCloskey
McCloskey ha elaborato un modello modulare sui meccanismi del
calcolo.
Il modello presuppone tre sottosistemi: il sistema della comprensione, il
sistema del calcolo e il sistema della produzione.
• Il sistema di comprensione prevede un modulo per la comprensione
verbale, un modulo per la comprensione dello scritto con sottomoduli
per la comprensione delle cifre arabiche, del testo o dei numeri
romani.
• Il sistema di produzione è analogo al sistema di comprensione con
l'ovvia differenza che la comprensione verbale diventa produzione
verbale e la lettura diventa scrittura.
• Il sistema di calcolo prevede la memorizzazione delle operazioni, cioè
un sistema per il recupero in memoria dei risultati dei calcoli, nel caso
sia possibile e l'applicazione delle procedure di calcolo
precedentemente apprese.

Modello semantico di McCloskey
Le conoscenze delle procedure di calcolo prendono il nome di
"conoscenze procedurali" mentre le conoscenze che si recuperano
direttamente in memoria sono le "conoscenze dichiarative".
• Per eseguire delle semplici operazione è necessario che il
bambino capisca cosa gli viene chiesto e traduca quanto
richiesto in una rappresentazione semantica con la quale deve
essere in grado di applicare le procedure.
• I bambini usano sia le conoscenze dichiarative che quelle
procedurali per arrivare a rispondere correttamente ad un
quesito di calcolo.
• Una volta applicate le procedure e trovato il risultato il bambino
deve essere in grado di trasformare quanto prodotto in un
output fatto in modo che possa essere interpretato dagli altri ai
quali viene comunicato.

Nel modello di McCloskey la via semantica
risulta quindi essere l’unico accesso alla
produzione numerica: l’elaborazione di un
numero comporta sempre una rappresentazione
concettuale attraverso la quale vengono
identificate le informazioni relative alla quantità.
I meccanismi semantici regolano tale
comprensione della quantità (3= ), concetto
che viene astratto dal codice specifico in cui
viene presentato il numero.

Il modello del triplo codice di
Dehaene
Tre diversi codici sono rappresentati in tre diverse aree
cerebrali
– processamento codice arabico (aree occipito-
temporali ventrali bilaterali)
– codifica verbale dei numeri (aree perisilviane sx)
– rappresentazione analogica delle quantità (aree
intraparietali bilaterali)
Tra i codici è possibile una comunicazione che non
richiede di trasformare la forma numerica in un codice
semantico astratto, in una rappresentazione astratta di
quantità

• Il codice arabico visivo richiede la padronanza dei
sistemi di notazione posizionale delle cifre (sintassi) e
viene utilizzato per eseguire operazioni aritmetiche
con numeri a più cifre.
• Il codice verbale /uditivo consente la numerazione e
il recupero in memoria delle operazioni aritmetiche
semplici di addizione e di moltiplicazione.
• Il codice della rappresentazione analogica dei
numeri, di natura preverbale, elabora i numeri sotto
forma di grandezze e fornisce le basi per il confronto
numerico, le stime e le operazioni di subitizing.

Si possono rintracciare le influenze di tali
modelli in tecniche o metodi o strumenti
didattici in uso nella pratica didattica attuale.
Il modello del triplo codice è, ad esempio, alla
base del metodo analogico di Bortolato.