di Laura Milillo IIIC Liceo Classico

1. I logaritmi

2. INDICE
1. Cenni storici
2. Definizione
3. Applicazioni

3. CENNI STORICI
John NAPIER. Fu egli a coniare il termine logaritmo
(dal greco: lògon
[ragione, intesa qui nel senso usato nelle progressioni
geometriche, cioè rapporto] e arithmòs [numero]: numero
razionale, nel senso di numero "artificiale", creato dalla
ragione).
La sua discussione sui logaritmi appare nella celebre opera
" Mirifici logarithmorum canonis descriptio " del 1614.
Con essa egli sperava di fornire uno strumento che
rendesse molto più veloci i calcoli degli astronomi.
Laplace, 200 anni dopo, riconobbe il successo di questo
intendimento, scrivendo che il lavoro di Napier "aveva
raddoppiato la vita agli astronomi".

4. Idea di Napier
Per mantenere molto vicini tra loro i termini della
progressione geometrica delle potenze intere di un dato
numero è necessario assumere come ragione una cifra
molto vicina ad 1.
Napier scelse come base 1-10 elevato alla -7 (ossia
0,9999999),e
moltiplica per 10 elevato alla 7 per ottenere un maggiore
equilibrio ed evitare cifre decimali.

5. Jobst Burgi (Svizzera 1588)
Non è da escludere che l’idea dei logaritmi sia venuta a
Burgi fin dal 1588, circa 6 anni prima che Napier
cominciasse a lavorare nella stessa direzione, pubblico’ i
suoi studi a Praga nel 1620, in un libro intitolato:
“Arithimetische und Geometrice Progress Tabulen ”.
A differenza di Napier anzichè partire da un numero
leggermente minore di 1 cioè (1- 10 elevato alla -7 ), Burgi scelse come
base 1+10 elevato alla -4 e moltiplico’ tale numero per 10 elevato all’8 anziché 10
elevato alla 7.
Burgi chiama 10L il numero “rosso” corrispondente al
numero “nero” N. I logaritmi di Burgi si avvicinano ai nostri
più di quelli di Napier: infatti col crescere dei numeri neri
crescono anche i numeri rossi. Entrambi i sistemi pero’
presentano lo svantaggio che il logaritmo di un prodotto o di
un quoziente non e’ la somma o la differenza dei logaritmi.
( Con l’invenzione del regolo calcolatore data***** da parte
di Edmun Gunter, i logaritmi di Napier furono utilizzati nei
dispositivi meccanici per sveltire l’esecuzione dei
procedimenti aritmetici).

6. EULERO.Solamente agli inizi del ‘700 con
Eulero i logaritmi diventano oggetto matematico
adottando un linguaggio ed una notazione che per
molti aspetti corrispondono a quelli usati oggi.
Eulero fù il primo ad usare la lettera e per
rappresentare la base del sistema dei logaritmi
naturali o neperiani. Egli inoltre nel 1747 chiarirà
definitivamente la questione sui logaritmi dei numeri
negativi avviatasi con una con una accesa
“controversia” tra Leibiniz e Bernouilli.*(
Vedi diapositiva numero 11, 12 ).

7. DEFINIZIONE
Si dice LOGARITMO in base a, con a appartenente a R+ privato di 0 e 1, di un
numero reale positivo b, e si scrive log in base a di b, l'esponente al quale occorre elevare a
per ottenere b:
X= log in base a di b, tale che a elevato ad x = b
a si dice base del logaritmo,
b si dice argomento del logaritmo.
Osservazioni
 La scrittura log senza aver specificato base e argomento è priva di significato, è come
scrivere ‘radice’ senza aver specificato indice e radicando.
 Se il numero di cui si vuole calcolare il log è espresso già come potenza della base si ha:
log in base b di b elevato ad n = n
in particolare: log in base b di b = 1.

8. La funzione logaritmo è la funzione:
f(x)= log in base b di (x)
La funzione è definita sulla semiretta(0,
+infinito). In figura sono disegnati tre
esempi della funzione logaritmo con diversi
valori per la base b. La curva rossa è per la
funzione con base b=e costante di Nepero
(valore approssimato: 2,718...) Come si può
notare dal grafico,il campo d'esistenza,e
quindi il dominio della funzione logaritmo
(l'insieme entro cui variano i valori delle
x),è compreso nei valori tra(0,+infinito);
mentre il codominio, insieme in cui variano i
valori delle y, è R. Quindi si capisce che si
può lavorare e sono verificate soltanto quelle
funzioni logaritmo che hanno l'argomento
maggiore strettamente a 0. La funzione
logaritmo è derivabile e la sua derivata è la
seguente:

9. Proprietà

10. APPLICAZIONI
I logaritmi in astronomia . I logaritmi permettono alcune importanti applicazioni, come la
comoda rappresentazione di taluni diagrammi. Supponiamo di voler rappresentare in scala su
un foglio di carta quadrettata le distanze dei vari pianeti dal Sole. Queste ultime seguono, con
buona approssimazione, la Legge di Titius-Bode la quale si basa su una progressione
geometrica, simile, cioè, alla nostra seconda successione di numeri che abbiamo considerato
all'inizio. Se sulla carta quadrettata ponessimo uguale a un quadretto la distanza Sole-
Mercurio, che è di circa 0,4 unità astronomiche, la Terra, che si trova a 1 unità astronomica,
verrebbe posta a 2 quadretti e mezzo di distanza, mentre Marte si troverebbe a 4 quadretti.
Nettuno, però, mantenendo intatta la scala delle distanze fissata, andrebbe collocato a 75
quadretti, ossia fuori dal foglio! Per non parlare poi di Plutone quando si trova nei pressi
dell'afelio.
Rappresentazione in scala logaritmica del Sistema Solare Non è dunque possibile mantenere
tutti i pianeti all'interno del foglio? Certamente. È sufficiente che ciascun pianeta venga
sistemato non alla distanza effettiva dettata dalla scala, ma bensì al logaritmo di tale distanza.
In questo modo anche se, per maggior comodità di lettura, fissassimo la distanza Sole-
Mercurio in 10 quadretti anziché in uno solo, quella media di Plutone, circa 100 volte
superiore, si ridurrebbe sì e no a una ventina di quadretti e resterebbe quindi con ampio margine
contenuta all'interno del foglio. E ovvio che una rappresentazione del genere non rispecchia la
realtà, ma per lo scopo che ci siamo prefissati, che era appunto quello di creare uno schema
facilmente leggibile, ciò si rivela di secondaria importanza.

11. * Una controversia della matematica del settecento: i logaritmi di
numeri negativi
Questione centrale nella storia dei logaritmi è il problema della natura dei
logaritmi dei numeri negativi, problema che viene sollevato da una lettera di
Leibniz a bernoulli, datata 16 marzo 1712, e vede coinvolti alcuni dei più celebri
matematici del diciottesimo secolo. Gli studiosi sono suddivisi in due
schieramenti, apertamente contrapposti: da un lato, molti matematici sostengono
l’opinione di Leibniz, poi ripresa da Euler, Walmesley ed in Italia, tra gli
altri, da Fontana e Franceschinis, secondo la quale i logaritmi dei numeri
negativi devono essere come quantità immaginarie. Contrario a questa opinione
è un altrettanto folto gruppo di celebri matematici, guidati da Bernoulli, il
quale propone di considerare reali i logaritmi dei numeri negativi, e di definirli
attraverso l’ugualianza: Log (- x)= log(+ x).
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12. Dal punto di vista moderno, sarà il grande Leonhard Euler nel 1747 a chiarire
definitivamente la questione dei logaritmi dei numeri negativi. Con l ‘opera di
Euler la tesi che vuole immaginari i logaritmi dei numeri negativi trova la sua
rigorosa e definitiva consacrazione, nonostante la residua presenza di qualche
sbiadita contestazione “analitica”, mossa per alcuni anni dagli irriducibili
studiosi di tradizione bernoulliana.
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