1. Hallo
Ich bin der Carl und werde euch heute irgendwas uber
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Quantenphysik erz¨hlen.
a

2. ¨
Ubersicht
¨
Ubersicht
Einleitung
Klassische Mechanik
Teilchen
Wellen
Welle-Teilchen-Dualismus
Mathematische Grundlagen
Hilbert-R¨ume
a
Operatoren
Postulate der Quantenmechanik
Der harmonische Oszillator

3. Klassische Mechanik - Teilchen

4. Zeitentwicklung
In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka
Teilchen) betrachtet.

5. Zeitentwicklung
In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka
Teilchen) betrachtet.
Sind Anfangsposition q i und Anfangsimpuls {pi } aller N
Teilchen bekannt, ist dadurch die zeitliche Entwicklung des
“Systems” gegeben.

6. Hamiltonfunktion
Die Zeitentwicklung l¨sst sich zum Beispiel durch die
a
Hamilton-Funktion H bestimmen.
H pi , q i , t = T + V
N
pi2
= + V qi , t
2m
i=1

7. Bewegungsgleichungen
Die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens ist dann gegeben durch
∂H
qi =
˙
∂pi
Die Impuls¨nderung ist
a
∂H
pi = −
˙
∂q i

8. Zusammenfassung
In der klassischen Mechanik sind Teilchen Massepunkte und haben
zu jedem Zeitpunkt einen eindeutigen Ort und einen eindeutigen
Impuls.

9. Klassische Mechanik - Wellen

10. 4π ν
Aν = j
c

11. Welle-Teilchen-Dualismus

12. Quantenmechanik - Mathematische Grundlagen

13. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durch
einen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.

14. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durch
einen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.
Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem
o a
Raum.

15. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durch
einen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.
Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem
o a
Raum.
Dieser “Zustandsraum” ist ein komplexer Hilbert-Raum.

16. Hilbert-R¨ume
a

17. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem
a a a
Skalarprodukt

18. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem
a a a
Skalarprodukt
Also zum Beispiel der R2 :
a1 b1
a, b = · = a1 b1 + a2 b2
a2 b2

19. Einschub: Komplexe Zahlen

20. i 2 = −1
z = a + ib
z 2 = (a + i b)2 = a2 − b 2 + i 2ab
z∗ = a − i b
z z ∗ = a2 + b 2 = |z|2
z∗ ≡ z

21. Das Skalarprodukt

22. Das Skalarprodukt
Das Skalarprodukt eines komplexen Vektorraums V ist eine
Abbildung zweier Vektoren des Vektoraums in die komplexen
Zahlen:
a, b ∈ C ∀a, b ∈ V

23. Das Skalarprodukt
Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften:
a
a) a, b = b, a

24. Das Skalarprodukt
Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften:
a
a) a, b = b, a
b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2

25. Das Skalarprodukt
Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften:
a
a) a, b = b, a
b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2
c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0

26. Das Skalarprodukt
Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften:
a
a) a, b = b, a
b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2
c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0
Aus a) und b) folgt:
a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b

27. Das Skalarprodukt
Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften:
a
a) a, b = b, a
b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2
c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0
Aus a) und b) folgt:
a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b
Außerdem folgt, dass sich uber das Skalarprodukt der Betrag der
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Vektoren (mathematisch: eine Norm) definieren l¨sst:
a
|a| = a, a

28. Ket-Vektoren
In der Physik wird zur Darstellung der Zustandsvektoren im
Hilbertraum meist die “Bra-Ket”-Notation verwendet.

29. Ket-Vektoren
Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum”
H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben.
u

30. Ket-Vektoren
Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum”
H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben.
u
|Ich bin ein Ket-Vektor!

31. Ket-Vektoren
Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum”
H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben.
u
|Ich bin ein Ket-Vektor!
|Ich auch!

32. Ket-Vektoren
Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum”
H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben.
u
|Ich bin ein Ket-Vektor!
|Ich auch!
|Ich beschreibe einen Zustand!

33. Ket-Vektoren
Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum”
H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben.
u
|Ich bin ein Ket-Vektor!
|Ich auch!
|Ich beschreibe einen Zustand!
|Ich bin ein Basis-Vektor!

34. Operatoren
Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine
Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt:
u

35. Operatoren
Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine
Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt:
u
a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H

36. Operatoren
Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine
Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt:
u
a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H
b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H

37. Operatoren
Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine
Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt:
u
a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H
b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H
Zus¨tzlich betrachtet man in der Physik normalerweise Operatoren,
a
die in den Hilbertraum abbilden:
A |a = |A a , |A a ∈ H ∀ |a ∈ H

38. Eigenvektoren
Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er
nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren:
a
A |Vektor = λ |Vektor

39. Eigenvektoren
Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er
nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren:
a
A |Vektor = λ |Vektor
Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert.

40. Eigenvektoren
Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er
nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren:
a
A |Vektor = λ |Vektor
Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert.
Gibt es mehrere linear unabh¨ngige Eigenvektoren mit gleichem
a
Eigenwert, spricht man von Entartung.

41. Bra-Vektoren
Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?

42. Bra-Vektoren
Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?
Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt.
Dieses schreiben wir
a, b a, b ∈ H

43. Bra-Vektoren
Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?
Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt.
Dieses schreiben wir
a, b a, b ∈ H
In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun
a|b

44. Bra-Vektoren
Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?
Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt.
Dieses schreiben wir
a, b a, b ∈ H
In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun
a|b
Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die
auf den rechten Teil wirkt
a| (|b )

45. Bra-Vektoren
Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?
Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt.
Dieses schreiben wir
a, b a, b ∈ H
In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun
a|b
Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die
auf den rechten Teil wirkt
a| (|b )
Diesen linken Teil bezeichnet man als ”BraVektor, es ist also ein
Vektor aus dem Raum der linearen Abbildungen von H.
(Also dem Dualraum von H. Die Hilberr¨ume, die in der Physik anwendung finden, sind isometrisch isomorph zu
a
ihren Dualr¨umen.)
a

46. Adjungierte Operatoren
Als adjungierten Operator A† zu einem Operator A bezeichnet man
einen Operator, f¨r den gilt:
u
A |φ = |ψ ⇔ φ| A† = ψ|
(Der Operator A ”wirkt”nach rechts, A† aber nach links.)
Daraus folgt:
φ| A |ψ = ψ| A† |φ

47. Operatoren als Ket-Bras
Ein Objekt, das ”Ket-Bra”geschrieben wird, ist ein Operator.
Beispiel:
|1 2| |1 = 2|1 |1
|1 2| |2 = 2|2 |1
Dieser Operator hat also den Eigenvektor |1 zum Eigenwert 2|1 .

48. LUFTHOLPAUSE

49. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2
1
|1 ≡
0
0
|2 ≡
1

50. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2
1
|1 ≡
0
0
|2 ≡
1
Daraus folgt f¨r die Bra-Vektoren:
u
1| ≡ 1 0
2| ≡ 0 1
1 1 1 0
1|1 = 1 0 =1 |1 1| = 1 0 =
0 0 0 0
Matrixprodukt Dyadisches Produkt

51. Analog ist der Operator
i |1 2| + 2i |2 1| =
1 0 0 i
i 0 1 + 2i 1 0 = =A
0 1 2i 0
2| A |1 = 2| 2i |2 1| A |2 = 1| i |1
⇒ 2| 2i |2 = 1| A† |2 ⇒ 1| i |1 = 2| A† |1
0 2i
⇒ A† = − = (A∗ )T
i 0

52. Postulate der Quantenmechanik

53. 1. Postulat
Zu einer festen Zeit t wird der Zustand eines Systems durch einen
Ket-Vektor |ψ ∈ H beschrieben.

54. 2. Postulat
Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der
o
in H wirkt.

55. 2. Postulat
Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der
o
in H wirkt.
Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem
adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche
Operatoren reelle Eigenwerte.

56. 2. Postulat
Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der
o
in H wirkt.
Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem
adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche
Operatoren reelle Eigenwerte.
A wird als Observable bezeichnet.

57. 3. Postulat
Die einzig m¨glichen Messwerte einer Messung von A ist einer der
o
Eigenwerte von A.

58. 4. Postulat
A sei Obervable mit
A |n = an |n , n ∈ N
Sind {|n } die normierten Eigenvektoren von A, so bilden sie eine
Orthonormalbasis von H.
∞
|n n| = 1
n=1
Befindet sich das System im Zustand |ψ , so ist die
Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert an zu messen, gerade
P(an ) = | n|ψ |2 f¨r ψ|ψ = 1
u
n|ψ wird als Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet und ist
gerade der Vorfaktor in der Zerlegung von |ψ nach {|n }:
∞
|ψ = n|ψ |n
n=1

59. 5. Postulat
Wenn eine Messung von A f¨r ein System den Wert an ergibt, so
u
befindet sich das System unmittelbar nach der Messung im
Zustand |n .

60. 6. Postulat
Die zeitliche Entwicklung des Zustandes |ψ ist gegeben durch die
Schr¨dinger-Gleichung:
o
d
i |ψ(t) = H |ψ(t)
dt
Dabei ist H (der ”Hamilton-Operator”) die Observable der totalen
Energie des Systems.

61. Kompatible Observablen
F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung
u a
von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm
des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das
u
Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A.

62. Kompatible Observablen
F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung
u a
von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm
des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das
u
Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden
Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B
(|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider
Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz
o
{|n, m } von Eigenvektoren besitzen.

63. Kompatible Observablen
F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung
u a
von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm
des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das
u
Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden
Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B
(|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider
Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz
o
{|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen
vertauschbar:
AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m

64. Kompatible Observablen
F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung
u a
von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm
des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das
u
Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden
Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B
(|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider
Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz
o
{|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen
vertauschbar:
AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m
Man sagt auch sie “kommutieren”. Dies ist genau dann der Fall,
wenn das Objekt “Kommutator” verschwindet:
[A, B] ≡ AB − BA

65. Der harmonische Oszillator

66. Der harmonische Oszillator
Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben
durch:
p2 1
H= + mω 2 x 2
2m 2
x: Ortoperator
p: Impulsoperator
[x, p] = i

67. Der harmonische Oszillator
Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben
durch:
p2 1
H= + mω 2 x 2
2m 2
x: Ortoperator
p: Impulsoperator
[x, p] = i
Durch Definition der Operatoren
1 mω
P= p X = x
mω
1 1
a = √ (X + i P) a† = √ (X − i P)
2 2
l¨sst sich der Hamilton-Operator umschreiben zu
a
ω 2 ω †
H= P + X2 = a a + aa†
2 2

68. Der harmonische Oszillator
[a, a† ] = 1, also
1 1
H = ω a† a + = ω N+
2 2

69. Der harmonische Oszillator
[a, a† ] = 1, also
1 1
H = ω a† a + = ω N+
2 2
¨
Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch
a
bestimmbar.
N |n = n |n n ∈ N0
Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun

70. Der harmonische Oszillator
[a, a† ] = 1, also
1 1
H = ω a† a + = ω N+
2 2
¨
Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch
a
bestimmbar.
N |n = n |n n ∈ N0
Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun
1
H |n = ω n + |n
2