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Destaque(20)
数学.pptx
- 1. 1 世界一美しい数式 「𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0」の世界 hiro.
- 5. 5 小川洋子さん著 「博士の愛した数式」 にも出てくる世界一美しい数式 「𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0」 理系でも見たことはあってもその意味するところは理解してない という人は多いのではないだろうか。 今日は、この本質を探るべく数学の旅に出発したい。 前書き
- 6. 6 𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0 「𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0」の美しさとは？ e … ネイピア数。自然対数の底でもあり、およそ 2.71828 である。 i … 虚数単位。2乗すると-１になる数。 π … 円周率。円周を直径で割った比であり、およそ 3.14159である。 解析学・代数学・幾何学の基本的な定数を含む 簡潔な公式だから美しい！！！
- 9. 9 「e」ネイピア数とは？ e とは… y=e^x の グラフについて、 微分しても元の関数と 同じに値になる数。 明確な定義は、 微積分で活躍する。
- 11. 11 速度と変位の関係について 変位と速度については、時間について微分積分の関係にある。 微分とは、グラフの傾きを求めることであり、変位を微分すると速度になる。 変位y 速度v 微分 積分 𝑦 = 𝑡 速度はv = 1 𝑦 = 1 速度はv = 0 𝑦 = 𝑡2 速度はv = 2𝑡
- 12. 12 速度で考える「𝑒α𝑡 」 今、 𝑥 = 𝑒α𝑡 となる変位と速度の関係をベクトル的に考える。 速度vは、 𝑣 = α𝑒α𝑡 = α𝑥となる。つまり、変位にαを掛けたも のが速度となる。今、α>0のとき、xが大きいほど速度は大き くなる。 今ここでα<0とすると、速度ベクトルの向きは逆向き（原点を 向く向き）になる。 𝑥 速度は 逆向き！ 𝑥 𝑥 速度は 𝑣 = α𝑥 速度は 大きくなる！ 速度は 逆向き！
- 13. 13 速度で考える「𝑒α𝑡 」 ここで、α = 𝑖 の場合にどうなるかを考えてみたい。 速度はv = 𝑖𝑥 この虚数iを掛けるとはどういうことだろうか。 先ほどの議論を元にすると、虚数iを掛けるとは、反時計回り に90°回転させることだった。つまり、速度は縦方向を向く。 𝑥 速度は 縦向き！ 速度が変位に対して縦方向を向き続けるということは、この点 は時間tが経過するにつれて、反時計回りに円軌道を描くこと をお判りいただけるだろうか？
- 14. 14 速度で考える「𝑒α𝑡 」 今、tの値を変化させてみる。 𝑥 = 𝑒𝑖𝑡において、t＝0 が初期値 であるとすると、この点は t=0 で x=1 の場所にいる。 因みに、速度は変わらず v=1 であることが t=0 を代入するこ とからわかる。 では、ここで「t=π」の場合について考えてみる。 1 0 t=0 t=π -1 速度v=1 速度 v＝1 で t=π だけ進むので、道のりπとなり、点は孤を描 きながら半径1の円を半円周だけ進むことになる。つまり、こ の時の変位はx=-1である。 以上より、 𝑥 = 𝑒𝑖π = −1であるこ とが言える。 即ち、「𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0」が言えた。
- 16. 16 オイラーの公式について 今 、𝑒𝑖𝑡について 考えてみよう。t＝0 が初期値であるとすると、 t=0 で x=1 の場所にいて、速度は変わらず v=1 であること は変わらない。 では、ここで「t=x」の場合について考えてみる。 速度 v＝1 で t=x だけ進むので、道のりxとなり、半径1の扇形に於 いて中心角はt=x。つまり、この時の変位は「 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥」 である。 即ち、「𝑒𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥」が言えた。 これを「オイラーの公式」という。 1 0 t=0 t=x 速度v=1 x 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥
- 20. 20 オイラーの公式の応用例
- 23. 23 おまけ 「円周率=円周÷直径」って、使いにくい？？？ 試しに、「円周率（τ）=円周÷半径」としてみると、 τ=2π となる。よって、 𝑒𝑖𝜋 = −1 𝑒𝑖τ = 1 1 0 t=0 t=π -1 速度v=1 0 t=π 1 t=0 -1 速度v=1 この方が美しいのではないかという意見もある。 が、円周率の歴史は古代バビロニアや古代エジプトまで遡るの で、今更πからτには変更しづらいのである。