準同型暗号, MPC, 秘密分散, DKG, ペアリング, BLS署名 https://anninbon.connpass.com/

1. 暗認本読書会11
準同型暗号, MPC, 秘密分散, DKG, ペアリング, BLS署名
2021/12/9
https://anninbon.connpass.com/
光成滋生

2. • 暗号文のまま復号せずに計算する暗号技術
• 暗号文同士の足し算 : 𝐸𝑛𝑐 𝑚1 + 𝐸𝑛𝑐 𝑚2 = 𝐸𝑛𝑐 𝑚1 + 𝑚2
• 暗号文同士の掛け算 : 𝐸𝑛𝑐 𝑚1 × 𝐸𝑛𝑐 𝑚2 = 𝐸𝑛𝑐(𝑚1𝑚2)
• コンピュータの計算
• ビット演算andとxor(排他的論理和)で全ての回路は作れる
• 𝔽2 = {0,1}の足し算
• 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 ; これはxor
• 0 × 0 = 1 × 0 = 0 × 1 = 0, 1 × 1 = 1 ; これはand
• 1bit暗号文の足し算と掛け算→任意の計算が可能
• 掛け算のみ、足し算のみは昔から知られていた
• 両方出来るものの構成が長らくの未解決問題
• 2009年Gentryが構築→完全準同型暗号の発展
準同型暗号HE(Homomorphic Encryption)
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3. • 画像のエッジ検出(AHE)
• クライアントで撮った2値画像を暗号化してサーバに送信
• サーバでエッジ強調処理をしてクライアントに渡して復号
• https://github.com/herumi/ahe-demo
• クロス集計(WebAssemblyで実装)
• https://herumi.github.io/she-wasm/
デモ
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4. • 紛失通信OT(Oblivious Transfer)
• https://ppdm.jp/ot/
• 円周率のN桁(1<N<100万)をNを隠して問い合わせる
• https://ppdm.jp/ot/
• クライアント𝐸𝑛𝑐(𝑚)
• サーバ𝑇𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐸𝑛𝑐 𝑚 = 𝐸𝑛𝑐[𝑇𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑚 ]を返す
• FHEの例(京都大学の松岡-伴野-松本さん)
• FHEを使って動作するCPUとCコンパイラ開発セット
• https://virtualsecureplatform.github.io/
L2HE, FHEを使ったデモ
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5. • 平文の世界と暗号文の世界が対応
• 現在の主流は格子を基本にした格子暗号
• 格子 : ジャングルジムの高次元版
• 暗号文 = 平文の線型処理+小さいノイズ
• 復号は秘密鍵を知っていればノイズを除去できる
• 加算 : ノイズはあまり大きくならない
• 乗算 : ノイズが増える傾向→取り除く操作
完全準同型暗号FHE(Fully HE)
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6. • 乗算回数の上限で分類
• 加法準同型暗号AHEで出来ること
• 𝐸𝑛𝑐 𝑥 + 𝐸𝑛𝑐 𝑥 = 𝐸𝑛𝑐 𝑥 + 𝑥 = 𝐸𝑛𝑐 2𝑥
• 𝐸𝑛𝑐 2𝑥 + 𝐸𝑛𝑐 𝑥 = 𝐸𝑛𝑐 2𝑥 + 𝑥 = 𝐸𝑛𝑐 3𝑥
• 一般に暗号文の𝑛倍𝑛𝐸𝑛𝑐 𝑥 = 𝐸𝑛𝑐(𝑛𝑥)は計算可能
• 2レベル準同型暗号2LHEで出来ること
• 2個のベクトルデータ𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)と𝑦 = (𝑦1, … , 𝑦𝑛)の内積
• 𝐸𝑛𝑐 𝑥1 , … , 𝐸𝑛𝑐 𝑥𝑛 ⋅ 𝐸𝑛𝑐 𝑦1 , … , 𝐸𝑛𝑐 𝑦𝑛 = 𝐸𝑛𝑐 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖
• 平均, 標準偏差, 2個のベクトルのcos類似度など
準同型暗号のレベル
準同型暗号の種類 加算 乗算 演算コスト
加法準同型暗号 任意回 0 軽い
2レベル準同型暗号 任意回 1 まあまあ
Nレベル準同型暗号 任意回 N-1 Nが大きいほど重たい
完全準同型暗号 任意回 任意回 重たい
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7. • データを秘匿化して計算する技術の総称
• 準同型暗号, 秘密分散, MPCなどを含む
• MPC(Multi-Party Computation)
• 複数人が協調して互いの秘密情報を教えることなく計算
• 例 : 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = max(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ; 𝑥𝑖=各自の資産
• 一番お金持ちの資産を得る : それぞれの値は分からない
• 注意 : 𝑛 = 2のとき少ない資産の人は相手の値が分かる
秘密計算
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8. • semi-honestモデル
• プロトコルの参加者はプロトコルに正しく従う
• 計算途中に取得した値から精一杯相手の情報は得ろうとする
• maliciousモデル
• プロトコルに従わない
• 自分に有利な情報を得たら途中で止める
• 一貫性の無い値を提出する
• 注意 : 一貫して嘘の値を付くのは対象外(資産の嘘の報告)
• 一般に
• semi-honestモデルの方が効率がよい
• maliciousモデルでは嘘つきが参加者のうちどれぐらいいるか
によって効率やプロトコルが変わる
• ブロックチェーンなど不特定多数の参加者
モデル
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9. • 秘密情報を複数のデータに分散させて管理
• 分散されたデータを集めると元の秘密情報に戻る
• 分散されたデータから元の情報は一切得られない
• 2-of-2秘密分散
• データ𝑠を2個に分散
秘密分散
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10. • 情報sをn人に分散 そのうちk個集まると復元可能
• 2017年にISO/IEC 19592-2:2017として標準化 Shamir
k-of-n秘密分散
𝑘個の点を通る𝑘 − 1次多項式は1個
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11. • 秘密分散の問題点
• 秘密分散で社長がある人にだけ嘘の値を教えていたら
• その人は復元できない
• 正しい値をもらったか確認するには集まらなければならない
• VSS (Feldman)
• 検証可能な秘密分散
• 秘密鍵𝑠を𝑠1, … , 𝑠𝑛に秘密分散
• 楕円曲線の点Pを公開𝑠𝑃, 𝑠1𝑃, … , 𝑠𝑛𝑃も公開
• 各自は秘密鍵𝑠𝑖と𝑠𝑖𝑃の対応がとれていることを確認
• DLPの困難性により𝑠𝑖𝑃から𝑠𝑖は分からない
• 𝑠1𝑃, … , 𝑠𝑛𝑃から𝑠𝑃を復元 : みなが同じ値を復元できたか確認
VSS (Verifiable Secret Sharing)
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12. • 秘密分散は特定の人の秘密情報𝑠を分散
• 情報を持つ人が強い
• DKG
• 権力を分散する(MPCの一種)
• それぞれがVSSを実行して自分の秘密情報を秘密分散
• 全員の秘密分散を集め, 秘密情報の和を全体の秘密情報とする
• 安全性証明をつけるためにはもう少し複雑なプロトコル
• ブロックチェーンなどの非中央集権的なネットワークで利用
DKG (Distributed Key Generation)
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13. • 2個のベクトルの外積
• 𝑥 = 𝑎, 𝑏 , 𝑦 = (𝑐, 𝑑)に対して𝑥 × 𝑦 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
• 楕円曲線
• トーラス(長方形の向かい合う辺をつけたもの)
• 楕円曲線の点を2個の整数の組で表現
• 𝑃 = 𝑎𝑒1 + 𝑏𝑒2, 𝑄 = 𝑐𝑒1 + 𝑑𝑒2
• 𝑃と𝑄のペアリング𝑒(𝑃, 𝑄)
• 点𝑃と𝑄の外積に相当するもの
• 値は有限体の拡大体の元(詳細略)
• 「𝑃 × 𝑄」と書くことにする(ここだけの記法)
• 𝑛𝑃 × 𝑚𝑄 = 𝑛𝑚(𝑃 × 𝑄)
ペアリング
𝑥 = (𝑎, 𝑏)
𝑦 = (𝑐, 𝑑)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(𝑎, 𝑏)
(𝑐, 𝑑)
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14. • ペアリングを使った署名
• 𝑃 : 楕円曲線の点
• 𝐻 : 楕円曲線の点へのハッシュ関数
• 鍵生成
• 𝑠 : 署名鍵(秘密鍵), 𝑄 = 𝑠𝑃 : 検証鍵(公開鍵)
• 署名
• 𝑚 : メッセージ, 𝜎 = 𝑠𝐻(𝑚)
• 検証
• 与えられた(𝑚, 𝜎)に対して「𝐻 𝑚 × 𝑄 = 𝜎 × 𝑃」なら受理
• 正しければ𝐻 𝑚 × 𝑠𝑃 = 𝑠 𝐻 𝑚 × 𝑃 = 𝜎 × 𝑃
• 特長
• ECDSAと違って乱数不要
BLS署名
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15. • 秘密分散と相性がよい
• 検証鍵(公開鍵)が𝑠𝑃, 署名が𝑠𝐻(𝑚)で
どちらも「秘密鍵 x 楕円曲線の点」の形
• BLS署名を秘密分散と組み合わせると
• 秘密分散と異なり(秘密鍵は秘密のままなので)繰り返し利用可
• ブロックチェーン系プロジェクトで利用
BLS署名の特長
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16. • MPCのうち3人で秘密計算するもの
3PC(Three-Party Computation)
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17. • 秘密情報𝑠の2-of-3秘密分散
• 乱数𝑠1, 𝑠2を選び𝑠3 = 𝑠 − 𝑠1 − 𝑠2とする
• A, B, Cにそれぞれ 𝑠1, 𝑠2 , 𝑠2, 𝑠3 , (𝑠3, 𝑠1)を渡す
• 単独では𝑠は分からない
• 二人集まると𝑠1, 𝑠2, 𝑠3が揃うので𝑠 = 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3を復元可能
• 秘密分散のまま加算
• 秘密情報𝑠, 𝑡がA, B, Cに秘密分散されている
• A : 𝑠1, 𝑠2 , 𝑡1, 𝑡2
• B : (𝑠2, 𝑠3), (𝑡2, 𝑡3)
• C : (𝑠3, 𝑠1), (𝑡3, 𝑡1)
• それぞれが分散された値のまま加算
• 𝐴 ∶ 𝑠1 + 𝑡1, 𝑠2 + 𝑡2 , 𝐵: 𝑠2 + 𝑡2, 𝑠3 + 𝑡3 , 𝐶 ∶ (𝑠3 + 𝑡3, 𝑠1 + 𝑡1)
• これらは「𝑠 + 𝑡」の秘密分散となっている
3PCの例
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18. • 暗認本p.279の図
秘密分散のまま乗算
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