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Semelhança unidade 7

O documento discute conceitos de semelhança geométrica, incluindo ampliação e redução de figuras e critérios para semelhança de polígonos e triângulos. Figuras são semelhantes quando uma é uma ampliação ou redução da outra mantendo a mesma forma, e polígonos/triângulos são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais.

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SEMELHANÇA

             •   Noção de semelhança
             •   Ampliação e redução de um polígono
             •   Polígonos semelhantes
 Unidade 7




             •   Semelhança de triângulos




                       ProfªHelena Borralho/2012-13
ProfªHelena Borralho/2012-13
FIGURAS SEMELHANTES
Quando duas figuras são semelhantes, as suas dimensões estão em proporção.


                                Duas figuras que têm a mesma forma dizem-
                                 se semelhantes.
       Figuras semelhantes




                                 Duas figuras têm a mesma forma se uma for
                                 ampliação da outra ou se forem
                                 geometricamente iguais.
                                        ProfªHelena Borralho/2012-13
AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS

                           A figura 1 e a figura 2 embora
                           tenham dimensões diferentes têm
                           a mesma forma.

                           Numa ampliação ou numa redução,
           Figura 2        as figuras conservam a mesma
Figura 1                   forma




                 ProfªHelena Borralho/2012-13
FIGURAS SEMELHANTES

Duas figuras que são semelhantes, ou são geometricamente iguais, ou
ampliação ou redução uma da outra.




                                                             Ampliação




                                                            Redução


                          ProfªHelena Borralho/2012-13
Em várias situações do dia a dia recorremos a ampliações e a reduções


  -
  Utilizamos o microscópio para ampliar;         Apresentamos uma maqueta de um
                                                empreendimento como uma redução




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  • 1. SEMELHANÇA • Noção de semelhança • Ampliação e redução de um polígono • Polígonos semelhantes Unidade 7 • Semelhança de triângulos ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 3. FIGURAS SEMELHANTES Quando duas figuras são semelhantes, as suas dimensões estão em proporção.  Duas figuras que têm a mesma forma dizem- se semelhantes. Figuras semelhantes Duas figuras têm a mesma forma se uma for ampliação da outra ou se forem geometricamente iguais. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 4. AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS A figura 1 e a figura 2 embora tenham dimensões diferentes têm a mesma forma. Numa ampliação ou numa redução, Figura 2 as figuras conservam a mesma Figura 1 forma ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 5. FIGURAS SEMELHANTES Duas figuras que são semelhantes, ou são geometricamente iguais, ou ampliação ou redução uma da outra. Ampliação Redução ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 6. Em várias situações do dia a dia recorremos a ampliações e a reduções - Utilizamos o microscópio para ampliar; Apresentamos uma maqueta de um empreendimento como uma redução ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 7. Construção de figuras semelhantes: ampliação de uma figura por dois processos: http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_1_arealed_pag88.html http://mat7anofs.no.sapo.pt/const_fig_sem_homotetia2.html http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_2_arealed_pag88.html O pantógrafo é um instrumento que permite obter Este processo corresponde a figuras semelhantes uma transformação utilizando uma geométrica chamada homotetia. homotetia. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 8. Dois polígonos semelhantes relacionam-se com o símbolo ~ ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 9. D' 10 C' D 5 C 6 3 POLÍGONOS SEMELHANTES A B A' B' Dois polígonos são semelhantes Os retângulos são semelhantes, pois têm quando os ângulos correspondentes os ângulos correspondentes iguais são geometricamente iguais e os (todos de 90º) e os lados proporcionais, lados correspondentes diretamente 10 6 proporcionais. 5 2 e 3 2 A razão de semelhança é 2. Nota: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: ângulos correspondentes geometricamente iguais e lados correspondentes diretamente proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 10. Duas figuras são semelhantes quando uma é a ampliação da outra. A figura mostra dois quadriláteros semelhantes. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 11. Dois polígonos são semelhantes se e só se há uma correspondência entre os seus vértices de tal modo que os lados correspondentes dos polígonos são proporcionais e os ângulos correspondentes são geometricamente iguais. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 12. Os dois quadrados representados ao lado são semelhantes. Repara que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A. A medida dos lados do Razão de quadrado B é o dobro da semelhança medida dos lados do quadrado É uma constante A. equivalente à razão entre os comprimentos de dois segmentos Se dividirmos o comprimento do lado correspondentes de duas figuras semelhantes. do quadrado B pelo comprimento do lado do quadrado A, teremos: ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 13. Para representar a razão de semelhança usa-se a letra r  Para o caso anterior, podemos dizer que a razão de semelhança na ampliação do quadrado A para o quadrado B é: k=2  Pode ainda dizer-se que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A na escala 2:1. Se r > 1 temos uma Ampliação Se r = 1 temos que as figuras são Geometricamente iguais Se r < 1 temos uma redução ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 14. Observa os retângulos A e B da figura. O retângulo B é uma redução do retângulo A. Repara que os lados do retângulo B têm ambos metade do comprimento dos lados do retângulo A. Para calcular a razão de semelhança na redução teremos que dividir o comprimento do lado do retângulo menor pelo lado correspondente do maior. A razão de semelhança é: r= 0,5. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 15. Semelhança de Polígonos Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras os ângulos correspondentes são congruentes: Observa que: os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais: ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 16. Critérios de Semelhança de Triângulos Situações em que podemos garantir que dois triângulos são semelhantes ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 17. Critério AA: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos correspondentes geometricamente iguais ( o 3º também será igual). Critério LAL: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados correspondentes directamente proporcionais e o ângulo por eles formado geometricamente igual. ProfªHelena Borralho/2012-13
  • 18. Critério LLL: Dois triângulos são semelhantes quando têm os três lados correspondentes directamente proporcionais. Critérios de Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se:  Têm, de um para o outro, dois ângulos geometricamente iguais – AA  Têm, de um para o outro, os três lados directamente proporcionais – LLL  Têm de um para o outro, dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado geometricamente igual – LAL Profª Helena Borralho/2012-13