El documento presenta ejercicios resueltos sobre la técnica de la gran M para convertir problemas de programación lineal entera y lineal en problemas equivalentes de programación lineal. Explica los pasos para agregar variables artificiales y de holgura, penalizarlas en la función objetivo y aplicar el método simplex para encontrar la solución óptima. Proporciona varios ejemplos numéricos ilustrativos para aplicar esta técnica.
1. Universidad Nacional Experimental de Guayana
Coordinación de Pregrado
Facultad de Ingeniería En Informática
Programación Dinámica Lineal y Entera
Ejercicios Resueltos de M Grande
PASOS:
1. Pasar a la forma estándar el Modelo Matemático
2. Agregar variable artificial donde no hay variable de holgura
3.Penalizar las variables artificiales en la función objetivo asignando coeficiente positivo
muy grande "M" (minimizar = +M, maximizar= -M)
4.Quitar las "m" de la columna artificial, ya teniendo solución inicial
5.Se aplica el Método Simplex
1. EJERCICIOS:
Maximizar z= 3x1 + 5x2
x1 ≤ 4
2x2 ≤ 12
3x1+2x2=18
x1, x2 ≥ 0
*La función objetivo se debe penalizar con -M, por ser maximización y para hacer z=0 por lo tanto:
z= 3x1 + 5x2 -M, entonces: z-3x1-5x2+M= 0
x1 + H1 = 4
2x2 +H2 = 12
3x1 + 2x2 + A1 = 18
3. 2(6) + 0 = 12
3(2) + 2(6) +0 =18
2. EJERCICIO:
Minimice Z= 4X1 + X2
La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una
holgura X en la tercera restricción. Por tanto obtenemos
Minimice Z= 4X1 +X2
La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por
consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la
función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como
Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2
4. En el modelo modificado, ahora podemos
utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla
simplex
Antes de proceder con los cálculos del método simplex, necesitamos hacer que el renglón -Z sea
consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la
solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O, como se
muestra en el lado derecho del renglón -Z. Esta inconsistencia se debe al hecho de que R, y R2
tienen coeficientes no cero (-M, -M) en e! renglón -Z Estas inconsistencias se eliminan
sustituyendo R1 y R2 en el renglón -Z, utilizando las ecuaciones apropiadas de restricción.
En particular, observe los elementos “1” realzados en el renglón -R1 y en el renglón -R2.
Multiplicando cada uno de los renglones –R1 y de los renglones -R2 por M y añadiendo la suma al
renglón -Z, efectivamente se sustituirá a R1 y R2 en el renglón objetivo. Podemos resumir este
paso como
5. Nuevo renglón Z= Antiguo renglón Z + M x (Renglón R1) + M x (Renglón R2) Esto se aplica como
3. EJERCICIO:
Maximizar: Z3x1+5x2
X1≤4 *con signos mayor que o menor que agrego holgura
2x2≤12
3x1+2x2=18 *con signo = agrego artificial
X1 X2 ≥0
La función objetivo se debe panalizar con -MA1, por ser maximización y para hacer a z=0 por lo
tanto, Z-3X1-5X2+MA1=0
Entonces las restricciones quedarían:
X1+H1=4
2X2+H2=12
3X1+2X2+A1=18
