Introducción a la transferencia de calor por conducción, convección y radiación

CAPITULO I
INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR
1.1. Generalidades
La Transferencia de calor es la energía en tránsito debido a una diferencia
de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos diferentes.
Siempre que exista una diferencia de temperatura, la energía se transfiere
de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura
De acuerdo con los conceptos de la Termodinámica, la energía que se
transfiere como resultado de una diferencia de temperatura es el calor.
- Las leyes de la termodinámica tratan de la transferencia de energía,
pero sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio (pueden
utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para modificar
un sistema de un estado de equilibrio a otro), pero no sirven para
predecir la rapidez (tiempo) con que pueden producirse estos cambios.
- La transferencia de calor, complementa los principios termodinámicos,
proporcionando métodos de análisis que permitan predecir esta
velocidad de transferencia térmica.
Ejemplo:
El calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente, los
principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas
finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad
de energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero
nada nos dice respecto a la velocidad de la transferencia térmica o la
temperatura de la barra al cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que haya
que esperar para obtener una temperatura determinada en una cierta
posición de la barra.
1

Realizando un análisis de la transmisión de calor, permite predecir la
velocidad de la transferencia térmica del agua a la barra y de esta
información se puede calcular la temperatura de la barra, así como la
temperatura del agua en función del tiempo.
- Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del
calor es necesario considerar tres mecanismos diferentes: conducción,
convección y radiación.
- El diseño y proyecto de los sistemas de un intercambio de calor y
conversión energética requieren de cierta familiaridad con cada uno de
estos mecanismos, así como de sus interacciones.
1.2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN
La conducción, es el único mecanismo de transmisión de calor posible en los
medios sólidos opacos, cuando en estos cuerpos existe un gradiente de
temperatura. El calor se trasmite de la región de mayor temperatura a la de
menor temperatura, debido al movimiento cinético o el impacto directo de
las moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre
de los electrones como sucede en los metales.
La ley básica de la conducción del calor (Joseph Fourier), establece: “La
tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada
es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al
gradiente de temperatura en esa dirección”.
          
Q T BTu w q K
2
 BTu
w
h T
Q K A X ,

x

  …………….…….………….. (1,1)
2 2 ,
.
x
x
A x h pie m
.……………… (1,2)
Donde: Qx = Tasa de flujo de calor a través del área A en la dirección
positiva.

é  , , . 
k Conductividad t rmica w BTu m k h pie R  
A = área de sección transversal de la transferencia de calor
3


T
x
= gradiente de temperatura
El flujo real de calor depende de la conductividad térmica (k), que es una
propiedad física del cuerpo
El signo (-) es consecuencia del segundo principio de la termodinámica,
según el cual el calor debe fluir hacia la zona de temperatura mas baja. El
gradiente de temperatura es negativo si la temperatura disminuye para
valores crecientes de x, por lo que el calor transferido de la dirección
positiva debe ser una magnitud positiva, por lo tanto, al segundo miembro
de la ecuación anterior hay que introducir un signo negativa, esto se puede
ver en la figura Nº 1)
Fig. Nº 1.1. Signos para la transmisión de calor por conducción
Fuente: Elaboración propia Ing. Alberto Emilio Panana Girio
1.3. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN
Cuando un fluido a TF se pone en contacto con un sólido cuya superficie de
contacto está a una temperatura distinta TS, al proceso de intercambio de
energía térmica se denomina CONVECCIÓN.

Existen dos tipos de convección:
a) Convección libre o natural, ocurre cuando la fuerza motriz procede de
la variación de densidad en el fluido como consecuencia del contacto
con una superficie a diferente temperatura, lo que da lugar a fuerzas
ascensionales, el fluido próximo a la superficie adquiere una velocidad
debida únicamente a esta diferencia de densidades, sin ninguna fuerza
motriz exterior.
Ejemplo: La convección en un tanque que contiene un líquido en
reposo en el que se encuentra sumergida una bobina de
calefacción.
b) Convección forzada, tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior
mueve un fluido con una velocidad (v), sobre una superficie que se
encuentra a una temperatura Ts mayor o menor que la del fluido Tf,
como la velocidad del fluido en la convección forzada es mayor que en
la convección natural, se transfiere por lo tanto, una mayor cantidad de
calor para una determinada temperatura.
Independiente de que la convección sea natural o forzada, la cantidad
de calor transmitido Qc, se puede escribir (Ley de enfriamiento de
Newton)
( ) C S F Q  h A T T ………… (1,3)
Donde: h = Coeficiente de transmisión del calor por convección en la
interface líquido – sólido (w/m2 .k)
A = Área superficial en contacto con el fluido (m2)
La ecuación anterior sirve como definición de (h), su valor numérico se
tiene que determinar analítica o experimentalmente. En la figura adjunta
se puede visualizar el perfil de un fluido adyacente a una superficie
sólida
4

Figura N° 1.2 Distribución de la temperatura y velocidad de un fluido
sobre una placa plana en convección forzada
Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio
 El coeficiente de transmisión de calor por convección forzada
depende en general, de la densidad, viscosidad, de la velocidad del
fluido, de las propiedades térmicas del fluido (K, Cp), es decir
h  f  , ,v, k,CP  ……………… . (1,4)
 En la convección forzada la velocidad viene impuesta al sistema
con una bomba, ventilador y se puede medir directamente
V Q A  ……………………… …… (1,5)
5
v
F
 En la convección natural, la velocidad es de la forma
v  f (T, , g) , es decir depende de:
ΔT = diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido
β = Coeficiente de dilatación térmica del fluido, que determina el
cambio de densidad por unidad de diferencia de temperatura.
g = Campo de fuerzas exteriores, en general es la gravedad
 El número adimensional característico para la convección natural es
el número de Grashoff (Gr)

6
3
g

Gr  
2 T L
V
………………………. (1,6)
 El número adimensional para la convección forzada es el número
de Reynolds (#Re)
. . .
#Re
V D V D
 
 
……………………….. (1,7)
Donde: ρ = densidad del fluido, ( kg/m3)
μ = viscosidad dinámica del fluido, (kg/m.s)
ν = viscosidad cinemática del fluido (m2/s)
V = velocidad media del fluido, (m/s)
D = diámetro del tubo, (m)
1.4.Transmisión de Calor por Radiación
Mientras que la conducción y la convección térmica tienen lugar sólo a
través de un medio natural, la Radiación térmica puede transportar el calor
a través de un fluido o del vacío, en forma de ondas electromagnéticas o
fotones como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas
de los átomos o moléculas, estos se propagan a la velocidad de la luz.
La cantidad de energía que abandona una superficie en forma de calor
radiante depende de la temperatura absoluta a la que se encuentra y
también la naturaleza de la superficie.
El radiador perfecto o cuerpo negro, emite una cantidad de energía
radiante de su superficie, Qr
b Qr  AT 4  AE …………………….. (1,8)
Eb = poder emisivo del radiador.
 = constante dimensional de Stefan – Boltzmann
5, 67 x 10-8 w/m2.K4 para el sistema Internacional (SI)
0, 1714 x 10-8 Btu/h pie2. R4 para el sistema americano de ingeniería
La ecuación anterior dice: que toda superficie negra irradia calor
proporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura absoluta.
Siendo la emisión independiente de las condiciones de los alrededores, la

evaluación de una transferencia neta de energía radiante requiere una
diferencia en la temperatura superficial de dos o más cuerpos entre los
cuales tiene lugar el intercambio.
Si un cuerpo negro irradia calor a un recinto que la rodea completamente y
cuya superficie es también negra, es decir, absorbe toda la energía
radiante que incide sobre él, la transferencia neta de energía radiante viene
dada por:
7
 4
4 
2
1 1 Q A T T r   ………………………… (1, 9)
Siendo: T1 y T2 = la temperatura del cuerpo negro y la temperatura
superficial del recinto en (K).
Un cuerpo gris emite radiación según la expresión
Qr =  A Eb =   A T4 (1-10)
El calor radiante neto transferido por un cuerpo gris a la temperatura T1
a un cuerpo negro que lo rodea a la temperatura T2 es:
4 - T2
Qr = 1  A ( T1
4 ) ……..…………………….. (1,11)
 = Emisividad, propiedad de la superficie es numéricamente igual al
cociente de la emisión de radiación del cuerpo en estudio con
respecto a la de uno negro, adquiere valores entre 0 y 1 y constituye
una medida para evaluar cuan efectivamente emite radiación un
cuerpo real con respecto a uno negro. En la figura N° 3 se visualiza
los tres mecanismos de transferencia de calor
Figura N° 1.3 Mecanismos de transferencia de calor por conducción,
Convección y radiación,
Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da Edición

1.5. Ecuación Fundamental de la Transmisión de Calor por Conducción
Fig. Nº 1.4 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento
Rectangular de volumen de control
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio
1.5.1 Deducción de la Ecuación Diferencial para la conducción de calor
Qx
qx 
8
(coordenadas rectangulares)
Para el flujo térmico de la dirección (x), la ley de Fourier viene dada por:

T
x
Qx kA

 
T
x
k
A

   (1.12)
QX = calor que atraviesa la superficie A en la dirección positiva de las x
qX = flujo de calor por unidad de superficie transversal
k = conductividad térmica del material (magnitud positiva), para flujo
unidireccional (según x)
 Considerando un elemento de volumen infinitesimal de
dimensiones Δx, Δy, Δz; estableciéndose el balance energético:

 Energía que atraviesa   Variación de la energía

   Energía generada en
  por conducción el  +       interna dentro del elemento
 el elemento de control
    elemento de control     de control



Q Qx x x 
                      


   


Q Q y y y
y y   
  (1-14)


  

 
  (1-15)
z z   
Q Q z z z
 (1-16)
9
(1,12)
 La energía Qx que entra por conducción al elemento de volumen
infinitesimal en la dirección x es:
Qx = qx Δy Δz
 La energía saliente en la misma dirección
x
Qx
x

  
 El balance de energía que atraviesa el elemento de volumen en la
dirección x:
x x x
x x
Q Q q
Q Q x x x y z
x x x
(1-13)
 Haciendo lo mismo en las direcciones y, z
x y z
q
y
y
Q
y
y
Q
y

  


 


x y z
q
z
z
Q
z
z
Q
z

  




 La energía que por conducción atraviesa el elemento de volumen es:




q x y z     
x y z
q
z
q
y
x


 




 La energía generada o disipada de el elemento de volumen por fuentes
o sumideros de energía
Q q x y z gen     0 (1.19)
 0 q Energía generado por unidad de volumen (W/m3 ), (BTU/h.m3)

 La variación U de la energía interna de dt, para el caso de sólidos y
líquidos, en los que los calores específicos a presión (Cp) y volumen
(Cv) constante son iguales Cp  Cv , es de la forma
  
U T T
    
m Cp Cp x y z
t t t

T
  0 ………………… (1,21)
T


  , ,
q k x y z 
                                   
T T T T

k k k q Cp
2 ………………………. (1,24)
10

  
(1.20)
 y Cp no varían con el tiempo.
 En consecuencia el balance energético total proporciona la ecuaciónn
diferencial de la conducción de calor, en la forma:
t
q Cp





q x y q
z
z
q
y
x


   

 



 Teniendo en cuenta la ecuación de Fourier para cada dirección:
z
q k
T
y
q k
T
x

 

 

 Se obtiene, la ecuación diferencial de conducción de calor en
coordenadas rectangulares:
o
x x y y z z t
……….. (1,22)
T = T (x, y, z, t) ;  , , ,  o o q  q x y z t
Ó en notación simbólica:
0 ( . ) P
T
k T q C
t


   

……………….……….. (1,23)
 Si la conductividad térmica es constante, entonces la ecuación se
simplifica a:
 

T
t
k T q Cp

    0

Nota 1: El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas:
2 ……………………….. (1,25)
  , difusividad térmica. (1.26)
T ……………………… (1,29)
T ………………… ……… (1,30)
11





2
2
x y z


 
2
2
2
Nota 2:
k

Cp
 Si la conductividad térmica es constante (k), la ecuación se reduce a:

T
t
q
1 0
k
T
z
T
y
T
x

 









2
2
2
2
2
2
………………… (1,27)
 Cuando no hay generación interna de calor (se conoce como ecuación
de Fourier, o ecuación del calor o de la difusión)

T
t
T
z
T
y
T
x










1

2
2
2
2
2
2
……………………… (1,28)
 Para regiones estacionarias (Ecuación de Poisson)
0 0
T
2
2
T
2
2
2
2
q
 








k
z
y
x
 Regimen estacionaria sin generación interna de calor (Ecuación de
Laplace)
T
0 2
2
T
2
2
2
2









z
y
x
1.5.2 Deducción de la ecuación diferencial de conducción de calor en
coordendas cilíndricas en estado transitorio
1. Considerar el pequeño elemento cilíndrico de control
r , z , r , de   densidad y cp  calor específico .

de volumen de control en coordenadas cilíndricas
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio
2. Balance de Energía sobre este elemento durante un pequeño intervalo
de tiempo t  se puede expresar como :
 Velocidad de   Velocidad de   Velocidad de

    
 conducción de   conducción de   generación de
 
 calor de entrada   calor de salida  
calor en el interior
    
 al elemento   del elemento  
del elemento
      
12
 
Velocidad de
cambio de
energía
del elemento
  
   
  
  
  
(1.31)
Reemplazando valores
    r z r r z z gen

E
Q Q Q Q Q Q Q
t     

(1.32)
3. Siendo el volumen del elemento V  rrz . El contenido de
energía en dicho elemento y la velocidad de generación de calor dentro
del mismo se pueden expresar como :

 
T T
       
 
p p .
E U mc c r z r
 
t t
            
                       
Q Q Q Q Q Q T
   
  
1 1 1 1
 
  
      

z z z z
                                   
1 T 1 T T T

Kr k k q Cp
 
13
(1.33)
Qgenerado  q0V  q0rz.r
4. Operando en la ecuación (4) y dividiendo entre r.z.r , se tiene
0
1 1 1
. .
r r r z z z
p
r
q c
r z r r z r r r z t
5. Dado que el área de transferencia de calor del elemento para la
conducción de ese calor en las direcciones r, , z son:
Ar  r.z , A  r.z ; Az  r.r
6. Tomamos el límite cuando r, z , r y t tiende a cero se obtiene
por definición de derivada y de la Ley de Fourier de la conducción de
calor.
0
1 1 1 1

lim r r r r
r
r
Q Q Q T T
kA kr
r  z r r  z r r  z r r r r
 
                                      

0 2
lim
r
Q Q Q T T
kA k
r r z r r r z r r r zr r
 
           
                            
0
1 1 1
lim .
. .
z
z
Q Q Q T T
kA k
r  r z r  r z r  z z z z z
 
                                       
8. Reemplazando en 6, se tiene
2 0
r r r r z z t
(1.34)
Ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas
cilíndrica (estado transitorio).

1.5.3 Ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas
Deducción de la ecuación diferencial de transferencia de calor por
conducción en coordenadas esféricas:
de volumen de control en coordenadas esfèricas
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio
 = Polar, cenital o colatitud
 = azimutal o longitud
     
    
      
    
    
    
      
14
r = radial
V  r 2sen
A  r 2
sen r
  A  rr ;    A  rsen r ; Cp :CalorEspecifico ;   Densidad
1. Balance de energia :
Velocidad de Velocidad de Velocidad de
conducción de conducción de generación de
calor de entrada calor de salida calor en el interior
al elemento del elemento del elemento
 
Velocidad de
cambio de
energía
del elemento
  
   
  
  
  
(1.35)
2. Remplazando:
    r r r generado

E
Q Q Q Q Q Q Q
t       

(1.36)

3. El contenido de energía en dicho elemento y la velocidad de generación de
calor dentro del mismo se pueden expresar como:

T
t
- - - - - + = ¶
Q Q Q Q Q Q q V Cp T V
1 1 1
    
        
q q
Lim r r r r
0 2    2   

  2   
q kAr r 
q q
1 1
       

  T

  
15
VCp

T
t
mCp


U
t

E
t






 1.37)
V= Volumen del elemento = V  r 2senr
4. Reemplazando se tiene:
( ) ( ) ( ) r r r 0
r + D f + D f f q + D
q q ¶
t 5. Dividiendo entre el volumen V:
     
T
t
q Cp
q q
r sen r
q q
q q


r r sen r
r sen
r r r



   

 


 

  
 


 
  

 


 
     
2 2 2 0
6. Tomando limites y reemplazando la ecuación de FOURIER:

 











 

 
 

   

 
 


 
q
 r
r r sen
r sen
1 1
 
T
r
k r sen
T
r

   





T
1
Se tiene : 



r
kr
r r
2
2

 





 



 




 

   

 
 


 
   
 
q
rsen r sen r
r r
Lim
rsen 0 3 2
 

   


  
 
k r r
T
q kA



1
Se tiene :  
 


T
k
r 2sen2

q q
1 1
Lim
r 0 3
       

                                   
1 T 1 T 1 T T
 
kr k ksen q Cp
     
16

 











 

 
 

   

 
 


 
   

q
r r sen r
rsen r
  T
 


   
 

  
 
k rsen r
T
q kA



1
Se tiene : 





 
T
ksen
r 2sen
7. Ordenando, se obtiene la ecuación diferencial de la conducción de
calor en coordenadas esféricas:
2
2 2 2 2 0
r r r r sen r sen t
1.6 Condiciones de bordes y condición inicial (1-38)
Para poder realizar la integración de la ecuación general de conducción, en
términos matemáticos es menester incluir las condiciones iniciales y de
borde. En general, por ser la ecuación general de conducción de primer
orden en tiempo se requiere del establecimiento de una única condición
inicial.
1.6.1 La condición inicial, se refiere a la distribución de temperatura que
existe en el instante de tiempo inicial.
Condición inicial: T (x, y, z, t = 0) = Ti (x, y, z)
1.6.2 Para el caso de las condiciones de borde; se observa que en las
variables espaciales (x, y, z), la derivada de mayor orden que aparece
en la ecuación general de conducción es dos; por tanto se requiere el
establecimiento de dos condiciones de borde por cada variable espacial.
A continuación incluimos un conjunto de condiciones de borde que
aparecen con frecuencia en la formulación de problemas de conducción.

a) Temperatura especificada constante (condición de Dirichlet)
T(x)  TS , x 0
Figura Nº 1.7 Sistema con borde a temperatura constante
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Panana Girio Alberto Emilio
b) Flujo de calor especificado constante (condición de Neuman)
Figura Nº 1.8 Sistema con flujo de calor en el borde constante
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing- Alberto Emilio Panana Girio
17
dT
k q x
dx
" , 0 S
  
dT
      , 
0
h T T k x
dx
c). Ambiente convectivo (Robin)
Figura Nº 1.9 Sistema cuyo borde se encuentra adyacente a un fluido
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Ing. Alberto Emilio Panana Girio

18
 4 4  dT
, 0
 T   T   k x

dx
(b) Ambiente radiactivo
Figura N° 1.10 Sistema con borde expuesto a radiación
Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Gario
e). Resistencia térmica de contacto
Figura Nº 1.11 Resistencia térmica de contacto entre dos sólidos
Realizando una ampliación en la interfaz de los materiales mostrada en la
figura 10, se tiene:
Figura Nº 1.12 – Resistencia de contacto entre dos paredes

En ella se incorpora t c R , " que es precisamente la resistencia térmica de
contacto,.si " 0 ,  t c R . Se satisface que A B T  T
Desde el punto de vista del cálculo, la presencia de la resistencia térmica de
contacto se cuantifica añadiendo una resistencia adicional,
Circuito térmico, mostrando la resistencia térmica de contacto:
A
K
B
K
La resistencia térmica de contacto, R”t,c, generalmente se determina
experimentalmente, R”t,c depende en general de:
 La presión de contacto
 Del acabado superficial
A continuación se presenta una tabla donde se muestra valores característicos
de la resistencia térmica de contacto.
Tabla 1.1. Resistencia térmica de contacto para:
(a) Superficies metálicas bajo condiciones de vacío y
(b) Interfaz de Aluminio (rugosidad; 10 nm) 105 N/m2 con diferentes
fluidos interfaciales.
Resistencia térmica de contacto R”t,c x 104 [ m2 . K /W
Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da. Edición
19
A
L
B
L
t c R , "

1.7 Problema Resueltos
Problema N° 1
Un recubrimiento especial, que se aplica a la superficie interior de un tubo de
plástico, se cura colocando una fuente de calor por radiación cilíndrica dentro
del tubo. El espacio entre el tubo y la fuente se vacía, y la fuente entrega un
flujo de calor uniforme , que se absorbe en la superficie interna del tubo. La
superficie externa del tubo se mantiene a una temperatura uniforme, .
Figura N° 1. 13-a Cilindro con fuentes de calor
Fuente: Elaboración propia, Eng. Alberto Emilio Panana Girio
Desarrolle una expresión para la distribución de temperatura en la pared
del tubo en términos de , , , y . Si los radios interior y exterior del
tubo son y , ¿Cuál es la potencia que se requiere por
unidad de longitud de la fuente de radiación para mantener la superficie interna
a ? la conductividad de la pared del tubo es w/m.K.
SOLUCIÓN:
1. Diagrama de flujo
20

Figura N° 1.13-b Cilindro con fuentes de calor
Fuente : Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio
21
2. Balance de energía
Donde:
ε = Emisividad de la superficie de frontera (superficie del tubo plástico)
σ =
3. Este es un problema unidimensional de radiación y conducción de calor
es estado estable, con conductividad térmica constante y sin generación
de calor en el medio.
4. La ecuación balance de energía se puede expresar:
5. La solución de la ecuación diferencial general se determina por
integración directa
6. Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias de integración.

7. Con las condiciones de frontera.
22
C.F1
CF2
8. Aplicando la primera condición de frontera, se obtiene:
Dado que,
9. Aplicando la segunda condición de frontera da:
10.Despejando se obtiene.
11.Reemplazando (2) y (3) en (4):
12.La expresión de la distribución de temperaturas en la pared del tubo
queda expresada en términos de , , , y .
13.Potencia Requerida por la Fuente de Radiación

23
14.Para una emisividad de ε = 0.85
15.Reemplazo en la ecuación (5):
16.Luego:
Problema N° 2
A través de un tubo de acero de 60mm de diámetro interior y 75mm de
diámetro exterior, fluye vapor a una temperatura de 250ºC. el coeficiente de
convección entre el vapor y la superficie interna del tubo es de 500W/m2 .K,
mientras que la superficie externa del tubo y los alrededores es 25W/m2.K. La
emisividad del tubo es 0.8, y la temperatura del aire y los alrededores es 20ºC.
¿Cuál es la perdida de calor por unidad de longitud de tubo? La conductividad
térmica del material es, k = 56, 5 W/m.°C

Figura N° 1.14 Tubo de acero sometido a fluidos interior y exterior
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio
24
1. Circuito térmico
Obteniendo Ts = 502K
Luego:

Problema N° 3
Un tubo de diámetro de = 0,5 m, cuya emitancia superficial vale e = 0,9 que
transporta vapor de agua posee una temperatura superficial de 500K. El tubo
esta localizado en una habitación a 27ºC y el coeficiente de transmisión de
calor por convección entre la superficie del tubo y el aire de la habitación se
puede considerar igual a hc = 20 w/m2K; calcular:
a) La conductancia superficial unitaria combinado radiación y convección.
b) El calor disipado por unidad de tiempo y por metro de longitud del tubo.
Solución.-
Figura N° 1.15 Tubo de acero sometido a fluido Panana Girio
2. El tubo se puede considerar como un cuerpo emisor, rodeado por un
cuerpo negro que es la habitación, se tiene que considerar también la
convección de tal forma que la conductancia global será:
C r h  h  h (hr = coeficiente de radiación)
25
h w m C C  20 / 2 º
3. Se tiene que el calor trasferido por radiación

r  tubo ext  r  tubo ext  Q A T 4  T 4  h A T  T
w
m K
r 1 500 300
26
4. Despejando (hr)
 
 
 
x x m K
m  K
x
A T T
T ext
A T T
h
t ext
5,67 10 0,9 1 500 300
2
2 4 4 4
2 4
8
4 4








 13,88 / 2
h w m K r
5. Por lo tanto:
h  20 13,88  33,88w/m2K
6. La pérdida de calor por unidad e tiempo y por metro de longitud de tubo
  e tubo ext Q d Lh T T
Q/ L  0,5mx1x33,88w/m2K 200K  10643,7159w/m
Problema N° 4
Un tubo que conduce vapor sobrecalentado en un sótano a 10ºC tiene una
temperatura superficial de 150ºC. El calor perdido en el tubo ocurre por
radiación natural (e = 0.6) y por convección natural (hc =25W/m2 K). Determine
el porcentaje de la perdida total de calor mediante ambos mecanismos.
Solución.-
1. Diagrama de flujo:

Figura N° 1.16 Tubo de acero sometido a fluidos interior (vapor) y exterior
27
(aire)
Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio
2. Para un sistema en donde hay convección y radiación:
El calor transferido es:
Q = Q + Q
c r
Q = h A(T -T ) + h A(T -T )
c 1 2 r 1 2
Q = (h + h )A(T -T )
c r 1 2
3. Donde hc, es el coeficiente de transferencia de calor por convección
promedio entre el área A y el aire a una temperatura T2.
4. El coeficiente de transferencia de calor por radiación (hr) entre el área A
y T2 es:
4 4 2 2
r 1 2 1 2 1 2 1 2 h = (T - T )/(T - es T )= es (T - T )(T + T )
5. El coeficiente combinado de transferencia de calor se define:
h = hc + hr
6. Este coeficiente de transferencia, especifica el promedio de la razón de
flujo de calor total entre una superficie a un fluido adyacente y los
alrededores por unidad de área y por intervalos de temperatura entre la
superficie y el fluido.

7. Realizando el reemplazo de los valores de las variables se tiene
hr = 0.6x(5.67x10-8W/m2k4)(4232 + 2832 )(423 + 283)K3
hr = 6.221125W/m2k
h = hc + hr
h = 25 + 6.221125 = 31.22W/m2k
8. Por lo tanto la transferencia de calor por m es:
Q = Ah(Ttubo - Taire)= Ax31.22(150 - 10)W/m2K
q/A= 4.37KW (calor total)
28
9. El calor por convección:
qc/A= h(T - Tf)= 3.5KW/m2
10.Calor por radiación:
qr/A = £σ(T4 – Tf
4 )= 0.6x5.67x10-8(4234 - 2834)
qr/A = 0.87KW/m2
Por tanto el porcentaje de perdida de calor por radiación respecto el
total de calor:
%Q = (0.87/4.37)x100 = 19.9%
11.Pérdida de calor por convección respecto el total de calor:
%Q = (3.5/4.37)x100= 80.1%
Problema N° 5
Un tanque Cilíndrico de oxigeno liquido (LOX, por sus siglas en ingles), tienes
un diámetro de 4 pies, una longitud de 20 pies y extremos hemisféricos. La
temperatura de ebullición del LOX es de -29oF. Se busca un aislante que
reduzca la razón de evaporación en estado estacionario a no más de m = 25
lb/h. El calor de vaporización del LOX es de ΔHv = 92 Btu/lb. Si la temperatura
exterior del aislante es de 68oF Y el espesor de este no debe ser mayor a 3
pulg, ¿Qué valor debería tener su conductividad térmica?

 
2 ( ) Ln (r /r )
Ln (r /r ) ( )

L T T
29
Solución.-
Figura N° 1.17 Tubo de acero sometido a fluidos interior (vapor) y exterior
(aire)
Fuente: Elaboración propia, Ing, Alberto Emilio Panana Girio
2. Condiciones
 Según el problema, hay transferencia de calor por conducción.
 Asumiremos calor conductivo unidimensional en el tanque cilíndrico.
3. Datos:
r1= 2pies ε = 3pulg = 0.25pies; ε = r2-r1 r2 = 2.25pies
K= ¿? m = 25lb/h hfg = 92Btu/lb T1= -29oF T2= 68oF
4. Cálculo de la cantidad de calor
QK = m x hfg = (25lb/h)(1h/3600s) x (92Btu/lb)
QK = -0.63889 Btu/s
5. Determinación de la conductividad térmica K:
kL T T Q
  
1 2 2 1
Q k
2 1 1 2
-0.63889Btu/s L
n (2.25/2)
2 (20pies) (-29F -68F)
k




k = 6.1734 10-6 (Btu/s.pie.°F) x (3600s/h)
k = 0.0222 Btu/h.pie.°F

       
30
Problema N° 6
Una esfera de 2 in de diámetro, cuya superficie se mantiene a una
temperatura de 170°F, está suspendida en medio de un cuarto que está a
70°F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15
Btu/h.ft2.°F y la emisividad de la superficie es 0,8. Determine:
a. La razón transferencia de calor desde la esfera.
b. La razón de transferencia de calor por unidad de área.
Solución.-
1. Diagrama de flujo:
Figura N° 1.18 Esfera sólida sometida a convección
Fuente: Elaboración propia, Ing Alberto Emilio Panana Girio
2. El flujo de calor transferido por conducción en la superficie de la esfera
es igual al calor transferido por convección mas el calor por radiación
Qk  Qc Qr
3. Cálculo del área de transferencia
A  4r2  4(1/12)2  8,7266102 pie2
4. Cálculo del calor transferido por convección
2 2
2 ( ) 15 8,7266 10 (170 70)
. .
c s S F
130,4 /
c
Btu
Q hA T T pie F
h pie F
Q Btu h


5. Cálculo del calor transferido por radiación

           

4 4 8 2 4 4
2 ( ) 0,8 0,1714 10 8,7266 10 (630 530 )
  
  
130,4 / 9,408 / 140,308 /
Q Btu h Btu h Btu h
1607,82
31
r alr Q A T T
Qr Btu h
9,408 /
6. Reemplazando en (2)El flujo de calor Qt y qt, son:
140,308 /
2 2 2
8,7266 10 .
t
t
t
Q Btu h Btu
q
A  pie h pie

En el Sistema Internacional:
41,1207 ; 5158, 2290 / 2 t Q  W q  W m
Problema N° 7
El techo de una casa consta de una losa de concreto de t = 0,8 ft (pies) de
espesor (k = 1,1 Btu/h.ft.°F) que tiene H = 25 ft de ancho y L = 35 ft de largo. La
emisividad de la superficie exterior del techo es ε = 0,8 y se estima que el
coeficiente de transferencia de calor por convección es h = 3,2 Btu/h.ft2.°F. En
una noche clara de invierno se informa que el aire ambiental está a Tf = 50°F,
en tanto que la temperatura del cielo nocturno para la transferencia de calor por
radiación es Talrd =310 °R. Si la temperatura de la superficie interior del techo
es T1 = 62°F, determine:
a. La temperatura de su superficie exterior.
b. La razón de la pérdida de calor a través del mismo cuando se
alcanzan las condiciones estacionarias de operación.
Solución.-
Figura N° 1.19 Techo de concreto, la superficie exterior sometido a
convección y radiación
Fuente: Elaboración propia, Ing ° Alberto Emilio Panana Girio

  T  T  Btu     T
         
 
Q k A pie
 (  )  3,2  825 (  510)

( ) 0,8 0,1714 10 825 ( 310 )
Q A T T T
Q T
32
2. Cálculo del calor transferido
Qk  Qc Qr
2.1 Determinación del área de transferencia
A  H  L  25pie35pie  825pie2
2.2 Determinación del calor transferido por conducción:
2
1 2 2
t h pie F
2
522
. 1,1 825
. . 0,8
592143,75 1134,375
Q T
2.3 Cálculo del calor transferido por convección:
2
2 2 2
c s F
2
. .
2640 1346400 /
c
Btu
Q hA T T pie T R
h pie F
Q T Btu h

 
2.4 Cálculo del calor transferido por radiación:
4 4 8 4 4
2 2
4
2
r alr
0,00000113124 10447,2389
r
         
 
2.5 Reemplazando en (2), se tiene:
4
2 2 0,000001134T  3774,375T 1948990,9883  0
2.6 Resolviendo, la temperatura: T2 = 497,97 °R
3. El calor transferido
522 497,94
1,1 825
0,8
27293,06 /
Q
k
Q Btu h
k
       
 

1.8 Problemas propuestos
P1. Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera que
toda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a
800°C, es interceptada por la otra. La temperatura de esta última superficie

se mantiene a 250 °C. Calculese la transferencia de calor entre las
superficies por hora y por unidad de área de la superficie que se mantiene
a 800 °C.
P2. Una placa de metal está perfectamente aislada por una de sus caras y por
la otra absorbe el flujo radiante del sol de 700 W/m2. El coeficiente de
transferencia de calor por convección en la placa es 11 W/m2.°C y la
temperatura del ambiente 30 °C. Calcúlese la temperatura de la placa en
condiciones de equilibrio.
P3. Un cilindro de 3 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200
°C, mientras que una corriente de aire a 30 °C y con un coeficiente de
transferencia de calor de 180 W/m2.°C, le sopla transversalmente. Si la
emisividad de la superficie es 0,7. Calcúlese la perdida total de calor por
unidad de longitud si las paredes de la habitación en la que esta colocado
el cilindro están a 10 °C. Comente sus cálculos.
P4. Se deja una plancha de 1000 W sobre una tabla de planchar con su base
expuesta al aire a 20 °C. El coeficiente de transferencia de calor por
convección entre la superficie de la base y el aire circundante es 35
W/m2.°C. Si la base tiene una emisividad de 0,6 y un área superficial de
0,02 m2, determine la temperatura de la base de la plancha.
P5. Una esfera de 2 pulgadas de diámetro, cuya superficie se mantiene a una
temperatura de 170 °F, está suspendida en medio de un cuarto que está a
70 °F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15
Btu/h.pie2.°F y la emisividad de la superficie es 0,8, determine la razón total
de transferencia de calor desde la esfera.
P6 En el verano, las superficies interna y externa de una pared de 25 cm de
espesor se encuentran a 27 °C y 44 °C, respectivamente. La superficie
exterior intercambia calor por radiación con las superficies que la rodean a
40°C, y por convección con el aire ambiente, también a 40 °C, con un
coeficiente de transferencia de 8 W/m2. °C. La radiación solar incide sobre
la superficie a razón de 150 W/m2. Si tanto la emisividad como la
capacidad de absorción de la superficie exterior son 0,8, determine la
33

34
Conductividad térmica de la pared.
Figura N° 1.20 Superficie sólida sometido a convección y radiación
Fuente: Elaboración propia-Ing. Alberto Emilio Panana Girio
1.9 CIRCUITOS TERMOELÉCTRICOS
Para una pared plana simple cualquiera sometida a convección por una superficie
(Izquierda) y a ( convección + radiación ) por la otra (derecha), tal como se muestra
en la figura se tiene,
Figura N° 1.21 Circuito térmico de un Superficie sólida sometido a
convección interior y convección y radiación exterior
Fuente: Elaboración propia. Ing Alberto E. Panana Girio

Figura N° 1.22 Circuito térmico de un Superficie sólida sometido a
convección interior y convección y radiación exterior
Figura N° 1.23 Circuito térmico de un Superficie sólidas colocadas en
serie y paralelo,y sus superficies sometidas a
convección
35

CAPITULO II TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION
2.1 Conducción en estado estable
Se llama estado estable, al caso de transferencia de calor en que el tiempo
no es un factor a considerar, la transferencia de calor en donde no
interviene el tiempo permite simplificar el análisis en cierta medida.
La ecuación principal para la conducción de estado estable con generación
interna es la Ecuación de Poisson
   (2.1)
36
q
2 T
o 0 K
La ecuación de Laplace se aplica para la conducción de estado estable sin
generación de calor.
2T  0 (2.2)
Las dos ecuaciones se aplican a un medio isótropo, medio donde sus
propiedades no varían con la dirección, se supone que las propiedades
físicas también son independientes de la temperatura.
2.2Conducción en estado estacionario – Unidimensional – Sin generación
Se considera la conducción del calor en estado estable a través de
sistemas simples en los que la temperatura y el flujo de calor son
funciones de una sola coordenada. La ecuación diferencial gobernante es:
    
 
d dT
x
n 0 dx dx
(2.3)
Donde:
n = 0 , para sistema de coordenadas rectangulares.
n = 1, para sistema de coordenadas cilíndricas
n = 2, para sistema de coordenadas esféricas.
2.2.1 Paredes planas
En el caso de una pared como la mostrada en la figura 2.1 se aplica
la ecuación (1) con n = 0

d ………………….. (2.4)
37

dT
0 0  


dx
x
dx
La ecuación y condiciones de frontera que se deben satisfacer son:
Figura N° 2.1 Pared Plana, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de calor
Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Gario
2
d T …………….. (2.5)
1). 
0 2
dx
2). C.F: 1 x O O T  T  T ( ) ( ) x = 0 (2.6)
C.F: 2 x L L T  T  T ( ) ( ) x = L (2.7)
3). La ecuación (2) se puede separar e integrar dos veces:

0  

dx

dT
d
dx
dT  ……………………. (2.8)
1 C
dx
( ) 1 2 T C x C x   ………………(2.9)
4). Se evalúan las constantes de integración C1 y C2 aplicando las condiciones
de frontera, con lo que se obtiene:
Para x  0 0 T  T
O C  T 2 ……………………………….(2.10)
Para x  L L T  T

( ) 0 ………(2.12)
T T L
dT
Q KA x   …………………. (2.13)
38
1 0 T C X T L  
T T
C L 0
L
1

 ………………….. (2.11)
5). Sustituyendo los valores de C1 y C2 en la expresión (4), la distribución de la
temperatura será:
0
T T
0

x ( ) x T
L
T L

T T
 ó x
L
x

  0
De acuerdo con la ecuación (7), la variación de la temperatura es lineal en
una pared bajo las condiciones específicas en la figura (1)
6). Se puede usar la ecuación de Fourier para determinar el flujo de calor en
este caso.
En forma escalar:
dx
En estado estable Qx es constante, se puede separar e integrar
directamente esto es como:
Qxò dx = - KAò dT
0
T
L
o
L
T
çæ - ö÷ = - ÷ ç ÷÷ çè
ø
Q KA T T
Lo que da: L o
x
L
(2.14)
La cantidad:, KA
L
es la conductancia térmica (Ct ), para una placa o
pared plana.
Se llama resistencia térmica por conducción al reciprocó de la
conductancia térmica.
L =
R
KA
Resistencia térmica = t
7. Si la conductividad térmica varía con la temperatura de acuerdo con alguna
relación lineal, como
K  K 1 T  0 ,
la ecuación resultante para el flujo de calor (integrando ecuación Fourier)

            
   

K Si K Ko T

  K 1  
T dt  T  T  T  T
   2

            
    
T T T T T
39
con Δx = L, se tiene:
0    2 2 
2 1 2 1 2
K A
Qx T T T T
L
También se puede obtener:
 
2
1
K dT
2
1
( )
; 1
T
T T
m T
T
dT
(2.15)
      
 
2
K 1
K
2
1
2 2
0 2 1 2 1
0

2 1
T
T
m T
T
dT T T


     1
    2 1 
2 m o K K T T
 
0    2 2 
1 2 1 2 2
K A
Qx T T T T
L
(2.16)

1 2
m
T T
Q K A
L
  
Donde:
KO = conductividad térmica en T = 0
 = constante llamada coeficiente por temperatura de la
conductividad térmica.
    1 2 1 2
  1
 
0  2
Qx A K
L L
AKm

 
(2.17)
Donde:
 


 
 
1 1 2
2
0
T T
Km K  , valor medio de la conductividad térmica.
Para una variación lineal de K con T, la conductividad térmica en a
ecuación (1) deberá ser evaluada a la media aritmética de la temperatura:


 
1 2 T T
2

d r (2.18)
40
2.2.2 Cilindros Huecos
Figura N° 2.2 Cilindro hueco, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de
calor
Fuente: Elaboración propia Ing. Alberto Emilio Panana Girio
1. Para la conducción de calor de estado estable a través de una pared
cilíndrica en la dirección radial, la ecuación de Laplace toma la
forma.

dT
r
( ) 0   

 
dr
dr
2. Separando las variables e integrando se obtiene:
C
dT  1
r
dr
Integrando nuevamente: ( ) 1 2 T C Lnr C r  
3. Si el sistema y las condiciones de frontera son como se indica en la
figura o sea que:
CF:1 ri i T  T ( ) , i r  r (2.19)
CF: 2 ( 0) 0 T T r  , 0 r  r
4. Entonces las constantes de integración C1 y C2 son:
i 1 i 2 0 1 0 2 T  C Lnr C T  C Ln r C
i O
1 2
i i i
O
i
T T
C C T C Ln r
r
Ln
r

    (2.20)

   
T T T T
  i o    i

T Ln r T Ln r
i i
Ln r r L n r r
 
dT , dado por el resultado de la primera integración.

T T
dT  1 ; Donde: 0
41
  0
 T  T

  i

C T Ln r
2 /
i i
Ln r r
 o i

5. Reemplazando las constantes C1 y C2 en la relación dada en (2) en
la ecuación de (r ) T (perfil de temperatura), será
  0
/ /
o i o i
  0
T T r
T T Ln
r Ln
0
r i
i
i
r
i

   (2.21)
6. La razón de flujo de calor, aplicando la ecuación de Fourier.
dT
dr
Q KA r  
7. El área para un sistema cilíndrico es, A  2 rL y el gradiente de
temperatura dr
C
r
dr
1
  (2.22)
0
i
i
C
r
Ln
r
8. Reemplazando estos términos en la expresión de la razón del flujo de
calor se tiene:
0
0
2
/
i
r
i
T T
Q K L
Ln r r

  
   
 
(2.23)
  0
 
0

2
/ r i
i
KL
Q T T
Ln r r
Por lo tanto, la temperatura dentro de un cilindro hueco es una
función logarítmica del radio r, mientras que una pared plana la
distribución de la temperatura es lineal.
Nota 1- En cilindros se tiene:
 Que en algunas aplicaciones es útil tener la ecuación para la
conducción del calor a través de una pared curva, en la misma
forma que la ecuación tal como:

AK
Q i
K A T KL T
r r Ln r r
r  , A se puede expresar como:
 
i 0 i o
o i o i
A0 < 2, el área media aritmética
42
 
T
L
AK
T T
L

   0
 Para obtener la ecuación de esta forma, se igualan esta
ecuación con la ecuación siguiente:
0

0
i
2
i
T T
Q
Ln r r
 KL

 
 
 Pero usando en la ecuación:
  o i L  r  r , como el espesor de la pared del cilindro a través
del cual es conducido el calor.
 Haciendo A  A
Como 2
o i o
i
  

  
 
;
2   
 o i
r r L
o
i
A
Ln r r

 
 
 Como A  2rL y
i
o
i
o
A
A
r

o i
o
i
A A
A
Ln A A

 
 
(2.24)
A = área media logarítmica, entonces, la rapidez de
conducción de calor a través de un cilindro hueco, se puede
expresar como:
 
 
o i
O
i
T T T T
Q
r r r r
K A A A K
Ln A A
 
 

(2.25)
Nota 2: Para valores de
i A
 / 2 o i A  A y el área media logarítmica defieren aproximadamente en

un 4%, por lo cual la primera puede usarse satisfactoriamente, para
paredes de mayor espesor, esta aproximación no es aceptable.
d ………………….. (2.26)
dT  ………………….. (2.27)
T    ……………… (2.28)
43
2.2.3 Esferas Huecas
Figura N° 2.3 Esfera hueca, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo de
calor
Fuente: Elaboración Propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio
 En el caso esférico, la forma unidimensional de la ecuación de
Laplace para el flujo de calor es radial:

dT
0 2  


dr
r
dr
 Separando las variables e integrando dos veces se obtiene:
C
1
r
2
dr
2
C
1 C
r
 Las condiciones aplicables de frontera para el caso esférico son:
CF: 1 ri i T  T ( ) , i r  r …………. (2.29)
CF: 2 ( 0) 0 T T r  , 0 r  r …………. (2.30)
 Aplicando estas condiciones de frontera se obtiene las constantes
de integración:
  ( / )

  ( / )

T C r C
T C r C
1 2
i i
1 2
o o



T T
i o
C r r
      …….. (2.32)
C T C T
r r
dT esta dado por:

T T
dT


  (2.34)
 2
= - …………………….. (2.36)
44

T T
  i
→
r r
0
i o
C
1 1
1


T T
 0
……. (2.31)
i
r r
1 
o i
C
1 1
1
2 2
1 1
i o
i i
i i
 Reemplazando las constantes en el perfil dado y despejando se
tiene que la distribución de temperaturas para este caso es:
  0
1 1
r r
T T T T
1 1
r r
0
i
i i
i

   

(2.33)
 La expresión para el flujo radial de calor en una capa esférica
es:
dT
dr
Q KA r  
 En donde A  4r 2 y
dr
dT C
dr r
1
2
i o
1 1
r
r r
dr
i o
   

   


 Sustituyendo Qr queda:
  0
 
0

4
r 1 1 i
i
K
Q T T

r r
Kr r
0  
Q T T
0
4 i
r i
r r
0
i

 

…………… . (2.35)
 La resistencia térmica para una esfera hueca es:
R r r
0
i
pKr r
0 4
t
i
 Para determinar el calor evacuado a través de una esfera hueca
de radio interior r1 y radio exterior r2, calentada por un fluido TF1

de coeficiente de convección h1, a un medio exterior Tf2 con
coeficiente de convección h2, se tendrá:
f f T T
Q r r
1 2
2 1
1 1
4 4 4
2 2
1 1 1 2 2 2
pr h pr r K pr h
45
-
=
+ - +
(2.37)
1 h = coeficiente de convección en el interior de la esfera
2 h = coeficiente de convección en el exterior de la esfera
Resf = resistencia térmica de la esfera
r r
2 1
 r r K
,e
2 1
R
4 t sf

 (2.38)
 Para una esfera el radio crítico se puede determinar mediante:
K
h
rC
2  (2.39)
2.2.4 Espesor Crítico de Aislante para una tubería
Figura N° 2.4 Esfera hueca, para evaluar el perfil de temperatura y el flujo
de calor
Fuente: Elaboración propia, Ing° Alberto Emilio Panana Girio
 Considerar una capa de aislante, que podría instalarse alrededor
de una tubería circular.
 La temperatura interior del aislante se fija en i T y la superficie
exterior esta expuesta a un medio de convención (fluido) a una
temperatura T

 K = conductividad del aislante.
R2
T2 T∞
R1
 
L r 0
n
r
R
R
   2
1 2
i
 KL
1
 r Lh
0
2

ro  = radio crítico de aislante. (2.40)
46
a. Circuito térmico
r
L r
0
n
2
R i
KL
1
 
 

1

r Lh
R
0

2 2
t Q
TC
b. La transferencia de calor radial
 
o o
L T T
r
i
r
Ln r
K r h
Q
1
2
0
1

 
 
 


 Transformando esta expresión para determinar el radio extremo
del aislante (r0), que hará máxima la transferencia de calor, es
cuando
dqr 0
;
 dr
0
  1 2
0 0
0 0
1 1
2
0
1
r
i
o
L T T
dQ Kr hr
dr Ln r r
K r h

 
     
   
            
 
 
c. Por tanto
K
h
Respecto al radio critico se debe considere:
1. Si el radio externo es menor al valor expresado por la relación (radio
crítico), la transferencia de calor se incrementara adicionando más
aislante.
2. Para radios externos mayores al valor crítico, un incremento en el
espesor del aislante provocará una reducción en la transferencia de
calor.

3. Para los valores de h suficientemente pequeñas, la perdida de calor por
convección puede de realidad incrementarse con la adición del aislante
debido al incremento de área de superficie.
2.2.5 Coeficiente Total de Transferencia de Calor (U)
El flujo de calor a través de una configuración plana, cilíndrica es:
    (2.41)
1 ... 1
47
1
total
total
Q UA T U
R A
a. Para una pared plana
Figura N° 2.5 Pared plana compuesta con supeficies convectivas para evaluar el
coeficiente de convección global
Fuente: Elaboración propia Ing° Alberto Emilio Panana Girio
 Si la pared esta formado por n capas con fronteras conectivas las
temperaturas de los fluidos T1 y n3 T donde n =2 capas
( ) 1 3   n Q UA T T
1
23 34
12 23 34 ( n 2) ( n
3)
U x x
h K K h + + +
=
+ D + D + +
(2.42)
b. Para un cilindro
 El coeficiente global se puede expresa en función al área interna o
en del área externa. Por ejemplo basado en área externa

( ) 4 4 1 5 Q U A T T ; A r L 4 4  2
1
= æ ö æ ö ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ + è ø+ è ø+
n n 1
48
 Basado en el radio r4
Figura N° 2.6 Cilindro hueco compuesto con supeficies convectivas para evaluar
el coeficiente de convección global
4
3 4
4 4
4 2 3
2 12 23 34 45
U
r L r r L r r r r
r h K K h
(2.43)
2.2.6 Conducción a través de Materiales en paralelo
Figura N° 2.7 Pared plana colocados en paralelo para evaluar la transferencia de
calor

 Suponga que dos sólidos A y B se colocan uno junto al otro en
paralelo y que la dirección del flujo de calor es perpendicular al
plano de la superficie expuesta de cada sólido.
 Entonces el flujo de calor total es la suma del flujo de calor a
través del sólido A, más el que pasa por B. Escribiendo la
ecuación de Fourier para cada sólido y sumando.
Q Q Q K A T T K A T T
1 ( ) 2 ( )
= + = A - + B
- (2.44)
1 2 1 2
L
  1  
 1   R R
  A B

 
Q T T T T
R R R R
49
t A B
L L
 Circuito térmico
Resistencia A =
L
1 K A
R
A
A 
Resistencia B =
2 K A
R
B
B 
O sea:
    1 2 1 2
t
A B A B
= -
Q T T R R
1 2
t
A B
+
A B
R R
(2.45)
2.3Problemas Resueltos
Problema N° 1
Una placa grande de acero que tiene un espesor de L= 4pulg, conductividad
térmica K = 7.2 BTU/h.pie.ºF y una emisividad de ε = 0.6, esta tendida sobre el
suelo. Se sabe que la superficie expuesta de la placa en x = L intercambia calor
por convección con el aire ambiente que está a la temperatura de 90ºF, con un
L

coeficiente promedio de transferencia de calor h = 12 BTU/h.pie2. ºF, así como
por radiación hacia el cielo abierto, con una temperatura del cielo a 510 ºR. Así
mismo la temperatura de la superficie superior de la placa es 75 ºF. Si se
supone una transferencia unidimensional de calor en estado estable.
a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera.
b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella.
c. Determine el valor de la temperatura en la superficie inferior de la placa.
50
Solución:
Figura N° 2.8 Placa de acero con superficie exterior expuesta a convección y
radiación
2. Datos:
ε = 0,6
3. Resolviendo las preguntas planteadas:
a. Hallando la ecuación diferencial y las condiciones de frontera.
 La ecuación diferencial para el problema será:
 Las condiciones de frontera son:

51
CF:
CF:
b. Obteniendo una relación para la variación de la temperatura en
la placa.
 Primero hallamos las ecuaciones de calor de conducción,
convección y radiación:
 De la ecuación diferencial, separamos e integramos variables:
 Hallamos las constantes de integración:
 Hallando C1 de la ecuación (2):
 Reemplazando las constantes de integración en la ecuación general,
hallamos la distribución de la variación de temperatura en la placa:
c. Determinamos el valor de la temperatura en la superficie inferior
de la placa.
 De la primera condición de frontera:

 Reemplazamos estos datos en la ecuación (3):
52
 Despejando T1:
 Por último reemplazamos los datos del problema:
 Así obtenemos el valor de la temperatura en la parte inferior de la placa:
4. Las respuestas respectivas son:
a. La ecuación diferencial y las condiciones de frontera son:
CF1:
CF2:
b. La relación para la variación de la temperatura en ella.
c. El valor de la temperatura en la superficie inferior de la placa.
PROBLEMA Nº2
Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata, una a
continuación de la otra, ambas de la misma longitud y área transversal. Un
extremo de la barra compuesta se mantiene a T1 = 80º C y el extremo opuesto
a T2 = 30º C. Calcular la temperatura de la unión cuando el flujo de calor
alcanza el estado estacionario.

Figura N° 2.9 Barras planas colocados en serie, para evaluar la temperatura de
53
contacto
Solución:
1. Con L1 = L2 = L (Longitudes de la barra de oro y de plata)
2. Calculo de los calores transferidos por cada barra, según la ley de la
conducción de calor de Fourier:
3. Cuando se alcanza el estado estacionario estos dos valores son iguales:
4. Despejando la temperatura T, con k1 del oro y k2 de la plata, valores
obtenidos de esta tabla:
PROBLEMA N° 3
Una pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de los
cuales son de conductividad térmica conocida, KA = 20 W/mK y KC = 50W/mK y
de espesor conocido LA= 0,30 m y LC = 0,15 m. El tercer material B, que se

intercala entre los materiales A y C, es de espesor conocido. LB = 0,15 m, pero
de conductividad térmica. Ka desconocida. En condiciones de operación de
estado estable, las mediciones revelan una temperatura de la superficie
externa TS0 = 20ºC, una Temperatura de la superficie interna Tsi = 600ºC y una
T∞ = 800ºC. Se sabe que el coeficiente de convección interior h = 25W/m2K
¿Cuál es el valor de KB?
Diagrama de flujo.-
Figura N° 2.10 Pared plana compuesta colocados en serie, con
conductividad térnica del plano central desconocida
Datos.-
KA = 20w/mk KC = 50w/mk KB =?
LA = 0,3 m LB = 0, 15 m LC = 0, 15 m
TF = 800ºC Tsi = 600ºC Tso = 20ºC
Solución.-
1. La transferencia de calor a través del sistema mostrado en la figura, en
condiciones estacionarias, unidireccional (dirección de las X), sin
generación de calor, se tiene que :
54
Qconv = Qa = QB = Qc
2. Por lo tanto se deduce que la transferencia de calor se puede determinar
mediante la ecuación:
L
C
C

F s o
B
B
A
A
x
K
L
K
L
K
h
t t
q
  

1
,


C C
780
 ………………… ()
0.15 0.15
B B
55
x
K K
q
0.15
0.058
50
0.3
20
1
25
800º 20º


  
3.-La transferencia de calor a través del sistema es igual a lo que se transfiere
por convección a la pared A: qConv = q x
q w C  25(800  600)  5000 …………………………………… ()
4. Igualamos () y () tenemos:
780
0.15
B K
0.058
5000


5. Operando en (4 ), se obtiene la conductividad térmica de B
K w mk B  1.5306 /
Problema N° 4
Una pared plana grande, tiene un espesor de 0.35m; una de sus superficies se
mantiene a una temperatura de 35ºC mientras que la otra superficie esta a
115ºC. Únicamente se dispone de dos valores de la conductividad térmica del
material de que esta hecha la pared: así se sabe que a T = 0ºC, K = 26w/mk y
a T = 100ºC, K = 32w/mk. Determine el flujo térmico que atraviesa la pared,
suponiendo que la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura.
Solución.-
Figura N° 2.11 Pared plana con conductividad térmica variable
2. Primera forma de solución:

i. La temperatura media de la pared.

 0.35  ,115 35 T 
75º
C m  m K , K w m C m  30.5 / º
 
Q T T C
  
q K w m C x
    x
32   
 
115 35

10 30769 . 2 1 26 3  
56
x m m 0.175
2
2

ii. La conductividad térmica media se puede obtener interpolando
linealmente entre las dos temperaturas media.

32 26
100 0
26
75 0



iii. El flujo térmico a través de la pared.
0 (115 35)º
30.5 / º

0 35
x i
x m
A e m
q 6971,4285w/m2 x 
3. Segunda forma de solución:
i. Suponiendo que K(T) varia linealmente de la forma: K  K 1T  0
Reemplazando:
26 1 (0) 0  K  …………………… (1)
32 1 (100) 0  K  …………………… (2)
De (1) 26 0 K 
ii. Reemplazando en (2) 32  26(1100 )
1 /100 2.30769 10 3
26


K(T)  261 2.30769 x103T  ,
 


 
 

1 1 2
2
0
T T
K K m 
iii. Por tanto la conductividad térmica media es:
30.499
2

 


K   x  m
4. También se puede determinar mediante la relación:

26 26 2.30769 10 3 115
35
26 2.30769 10
26(115 35) 2 2
57
K T dT

 
dT
Km
( )
;
 

115 35


  x x T dT
Km
 
w m C
x x
Km 30.499 / º
80
115 35
2
3

  


PROBLEMA N°5
Una sección de pared compuesta con las dimensiones mostradas a
continuación se tiene temperaturas uniformes de 200ºC y 50ºC en las
superficies izquierda y derecha respectivamente. Si las conductividades
térmicas de los materiales de la pared son:
KA = 70W/mK, KB = 60 w/mk, KC = 40 w/mk y KD = 20 w/mk. Determine la
razón de transferencia de calor a través de esta sección de pared y las
temperaturas en las superficies de contacto.
Figura N° 2.12 Pared plana compuesta colocados en serie y en paralelo para
evaluar la transferencia de calor
Datos:
: AA = AD = 36 cm2 = 36 x10-4m2
AB = AC = 18 cm2 = 18 x10– 4m2
Solución:
1. Se tiene una pared compuesta que contiene resistencias térmicas en
serie y paralelas, en este caso la resistencia de la capa intermedia (caso
B y C) es:

0.02
1 4 2    
A 0.079365 /
0.025
  
B 0.23148 /
0.025
  
C 0.34722 /
0.04
3 4 2    
D 0.55555 /
58
R R
B C
R R
B C
R

 2
2. La razón de flujo de calor es:
imo
R
n

 3
T
Q

1
max
3. El circuito térmico para este sistema es:
T T T C A D 200 50 150º max      
4. Las resistencias térmicas son:
R R R R n    
1 2 3
3
1
k w
m
w mk x m
X
K A
R
A A
(70 / ) (36 10 )
R R
B C
R R
B C
R

 2
 
k w
x m
w
mk
m
X
B
K A
R
B B
60 18 10
4 2

 
k w
x m
w
mk
m
X
C
K A
R
C C
40 18 10
4 2

k w
0.23148 x
0.34722
0.080374
2  
R 0.13888 /
0.3787

0.23148 0.34722

k w
m
w mkx x m
X
K A
R
D D
20 / 36 10

3 1
      k
59
1
0.079365 0.13888 0.55555 0.773795




w
Rn
5. Reemplazando:
w
150º  
C
w
C
Qx 193.849
º
0.773795
PROBLEMA N° 6
El vapor a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared a una
temperatura uniforme de 500K. El tubo está cubierto con una manta aislante
compuesta con dos materiales diferentes A y B
Figura N° 2.13 Cilindro hueco, con metrial aislante diferentes colocados en
paralelo para evaluar la transferencia de calor
Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene una resistencia de
contacto infinita y que toda la superficie externa está expuesta al aire, para
el cual y
a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando los símbolos precedentes,
marque todos los nodos y resistencias pertinentes.
b) Para las condiciones que se establecen. ¿Cuál es la pérdida total del
calor del tubo? ¿Cuáles son las temperaturas de la superficie externa
Ts,2(A) y Ts,2(B)?
Solución.-
1. El circuito térmico, de acuerdo al diagrama de flujo, es:
2. De la grafica de la conducción térmica tenemos

60
Q = QA + QB
3. Cálculo de las resistencias térmicas
4. Reemplazando valores tenemos
Problema N°7
Vapor con calidad del 98% fluye a una presión de 1,37. 105 N/m2, a una
velocidad de 1 m/s por un tubo de acero de 2,7 cm. de diámetro exterior y 2,1
cm. de diámetro interior. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie
interna donde ocurre condensación es de 567 w/m2k. Una película de grasa en
la superficie interna añade una resistencia térmica unitaria de 0,18 m2k/w.
Estime la razón de pérdida de calor por metro de longitud de tubo, si:
a. El tubo está descubierto.
b. El tubo está recubierto con 1 capa de 5 cm. de 85% Mg en ambos
casos suponga que el coeficiente de transferencia de calor por
convección en la superficie externa es de 11 w/m2k y temperatura
ambiente 21ºC. Evalué x; L = 3m.
Solución.-

61
Figura N° 2.14 Tubería aislada donde fluye vapor por su interior
2. De tablas de vapor saturado a P = 0,137 MPa
T C r  108,6º V m kg F  0,0011 3 / h KJ kg F  455,3593 /
V m kg g  1,2687 3 / h KJ kg g  2689,3471 /
3. Cálculo de la entalpía de entrada
( ) 1 F g F h  h  x h  h
455,3593 0,98(2689,3471 455,3593) 1 h   
455,3593 2189,3081 1 h  
h 2644,6673 KJ / kg 1 
4. Cálculo del volumen especifico a la entrada
( ) 1 F g F V  V  x V V
0,0011 0,98(1,2687 0,0011) 1 V   
0,0011 1,2422 1 V  
V 1,2433m3 / kg
1 
5. Evaluación del flujo másico
1 m  V.A.(V )
m  Q. 1

 

1
m
m 
 3
 
2
1,2433
(0,0105 )
1
m
kg
m
s

1 H  2644,6673 2,78581.10
Q V
2 2   
2 4 
62
w
mk
Ka  0,07788
K w mk C  43,27 /
m  2,78581.104 kg / s
6. Cálculo de la entalpía de entrada
H h .m 1 1  4
watt
KJ
H 0,7368 736,8 1  
s
7. Realizando un corte transversal se tiene en el siguiente Diagrama
de flujo:
8. Cálculo de la cantidad de calor, cuando el tubo está descubierto
T

V a
( / )
Ln r r
1
  
V C
R
K r ha
r h
T T
Q
L
  

2
2 1
1 2
1
2
2
  2r
0,18
1
(2,7.10 )(11)
(2,7 / 2,1)
2 (43,27)
1
(2,1.10 )567


Ln
    
T Ta
L
w
m
Q
 38,7822
L
9. Cálculo de la entalpía de salida para un tubo de 3 m de largo
Si L = 3m → Q  206,3467 watt
H  H Q 2 1 → 736,8 206,3467 2 H  
H 530,4533w 2 
H
h 2
2  →
m
w
kg s
h
530,4533
2,78581.10 /


1904,1258 455,3593
( / )

(108,6 21)º
Q C
L Ln Ln
1 (2,7 / 2,1) (7,7 / 2,7) 1
     
h 2
2  → 2 4
 Kg s 
h Kj kg
 2 → 2381,5716 455,3593
63
KJ
Kg
h 1904,1258 2 
 2 F
→

h h
h h
g F
x


2689,3471 455,3593
x 
x  64,8551%
10.Cálculo de la cantidad de calor perdido para la tubería con aislante
T
V
( / )
Ln r r
V C
R
Ln r r
Ka
K
r h

T Ta
Q
L
  

 2
 2
2
1 2 1 3 2
1
e 10cm 3 2 r  r  e  2,7  5  7,7cm
2 2
0,18
(2,1.10 )567 2 (43,21) 2 (0,07788) (7,7.10 )(11)

   
Q 
w
32,14
L m
11.Determinación de la entalpía de salida para la tubería con aislante y la
calidad del vapor a la salida
Si L = 3m → Q  96,4374 w
H  H Q 2 1 → 2 H  736,8 96,4374  640,3625W
2 H  640,3625w
H
m
640,3625
2298,658199 /
w
2,78581.10 /
F

h h
h h
g F
x

0,8174
2689,3471 455,3593
x

 

x  81,76%

2.4PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1
La conductividad calorífica de una lámina aislante varía con la temperatura. De
acuerdo con la expresión:
64
k  3,35x104T  0,1179
Donde: T (k) y k (Kj/h.m.K).
Si el espesor de la lámina es de 0,10 m y las temperaturas a ambos lados de la
misma son 673 y 373 K respectivamente, calcular:
a) El flujo de calor a través de la lámina.
b) La temperatura en un punto situado a 0,081 m del lado más frío.
Para las condiciones del sistema mostrado en la tabla, se produce una
conducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor. La
conductividad térmica es 25 W/m.K y el espesor L = 0,5m. Determine las
cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente:
Caso T1 T2 dT / dC (K/m) qx (W/m2)
1 400K 300K
2 100ºC -250
3 80ºC 200
4 -5ºC 4000
5 30ºC -3000
PROBLEMA 2
La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso de aire
caliente sobre su superficie interna.
a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una
ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire
caliente T, int = 40ºC y su coeficiente de convección h W m2K
int  30 / y
la temperatura del aire exterior T,ext =-10ºC y su coeficiente de
convección h W m K ext  65 / 2 .

b) Evalúe cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre las
temperaturas.
Datos: k a K W m K vidrio ( 300 )  1,4 / .
Solución:
a) T C y T C ext 7,7º 4,9º int  
b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar T,ext
PROBLEMA 3
En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala como
sistema para desempeñar su superficie interior un elemento de calentamiento
consistente en una película transparente delgado con resistencias eléctricas. Al
calentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor
uniforme en la superficie interna.
a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesaria
para mantener la temperatura de la superficie interna a 15ºC cuando la
temperatura del aire interior es T, int  25ºC y su coeficiente de
convección h W m2K
int  10 / . El aire exterior está en las mismas
condiciones que en el problema anterior.
b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana.
c) Evalúe cualitativamente la influencia de T,ext y ext h sobre la potencia
65
eléctrica.
Solución:
a) P" 1,27 kW /m2 elec 
b) T C ext  11,1º
c) elec P" aumenta al aumentar ext h y disminuye al aumentar ext T,
PROBLEMA 4
Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero de
yeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes
de transferencia de calor por convección son h W m K ext  60 / 2 . y
h W m2K
int  30 / . El área total de la superficie es de 350 m2.
Datos: Tablero de yeso: k (a 300K) = 0,17 W/m.K
Propiedades termo-físicas de la fibra de vidrio:

T (K)  (kg /m3 ) k (W /m.K)
300 16 0,046
300 28 0,038
300 40 0,035
Tablero de madera contra placada: k (a 300 K) = 0,12 W/m.K.
Figura N° 2.15 Pared plana aislada y sometido a convección interior y
66
exterior
a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la
pared incluyendo los efectos de convección.
b) Determine la pérdida de calor total de la pared.
c) Si el viento soplara de manera violenta elevando hext a 300 W/m2.K,
¿Cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor?
d) ¿Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de
calor a través de la pared?
Solución: b. 4.214 W; c. 0, 45 %
c. La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k
menor.
PROBLEMA N° 5
Una hielera cuyas dimensiones exteriores son: 30cm x 40cm x 40cm está
hecha de espuma de estireno ( ). Inicialmente la hielera está llena
con 40 Kg de hielo a 0 ºC y la temperatura de la superficie interior se puede
tomar como 0 ºC en todo momento, el calor de fusión del hielo a 0 ºC es
y el aire ambiente circundante esta a 30°C. Descartando toda

transferencia de calor desde la base de 40cmx40cm de la hielera, determine
cuanto tiempo transcurrirá para que el hielo que está dentro de ella se funda
por completo, si las superficies exteriores de la misma están a 8°C
Figura N° 2.16 Hielera sometida a convección tanto interior y exterior
PROBLEMA N° 6
La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso del aire
caliente sobre su superficie interior.
a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de la
ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire
caliente 40 °C y su coeficiente de convección (esto en el
interior), y la temperatura del aire exterior es -10°C y su coeficiente de
convección es .
b) Evalúe cualitativamente la influencia de la temperatura del aire exterior y
el coeficiente exterior sobre las temperaturas.
Figura N° 2.17 Ventana de vidrio sometida a convección interior y exterior
67

PROBLEMA N° 7
Considere el caso de la conducción estable unidimensional a través de un
material que tiene una sección transversal que disminuye linealmente desde el
valor, A0 en X = 0 hasta AL en X = L. Si su superficie lateral esta aislado y las
temperaturas en X = 0 y x = L son To y TL respectivamente. La conductividad
térmica del material es: K = K0 (1 + aT + b T2), donde K0, a y b son constantes.
Determinar el flujo de calor.
Figura N° 2.18 Sólido de área y conductividad térmica variable
PROBLEMA N° 8
Un recipiente esférico de radio interior r1 = 2m, radio exterior r2 = 2,1 m y
conductividad térmica k= 30 W/m. °C está lleno de agua con hielo a 0 °C.
El recipiente está ganando calor por convección del aire circundante que
está a Tf = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h = 18
W/m2. °C. Si se supone que la temperatura de la superficie interior del
recipiente es de 0 °C
a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la
conducción unidimensional y estable de calor a través del recipiente.
b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura en él,
resolviendo la ecuación diferencial.
c. Evalúe la velocidad de la ganancia de calor del agua con hielo
68

CAPITULO III CONDUCCION CON FUENTES DE CALOR (Generación
Q Cantidad de energía
q W o
Btu V unidad de tiempo y unidadad de volumen m h .
pie
Q W o BTU h
V m o pie
Cantidad de calor generado interno por unidadde tiempo ( ) ( / )
volumen del sólido
69
Interna de calor)
3.1 Generalidades
Entre las aplicaciones de la transferencia de calor se requiere realizar el
análisis en aquellos donde existe la generación o absorción de calor
dentro de un sistema, dentro de estos casos se puede encontrar en:
o Materiales a través de los cuales fluye corriente eléctrica.
o En reactores nucleares.
o Horno de Microondas.
o Indústria de proceso químicos.
o Proceso de combustión,
o Esfuerzo térmico en el concreto durante su curado o secado, ya que
se genera calor en el proceso de curado, procurando que ocurran
diferencias de temperatura en la estructura.
En esta sección se considera estudiara a una pared plana, un cilindro
sólido y esfera sólida, con fuentes de calor interna en forma uniforme:
  3 3
3 3
gen
o
gen
              
 
 
3.2 Pared Plana
Considere una placa delgada de cobre sumergida en un baño o
temperatura constante igual a f T . Suponga que circula una corriente
eléctrica o través de la placa, provocando en esta una generación de
calor uniforme  º 
º q por unidad de tiempo y volumen.
El coeficiente de transferencia de calor por convección (h) en cada lado
de la placa es el mismo, dando por resultado una temperatura (Tw)
(temperatura de la pared) en ambos casos
 Para encontrar la distribución
de temperatura en la placa,
se debe conocer la Ecuación
Diferencial apropiada.
 Haciendo un balance de
energía en la placa de
espesor (dx) y Área
Transversal (A)
Figura 3.1 – Pared Plana con generación de Calor Uniforme
Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio panana Girio

dx      (3.1)
º
0  (3.2)
d T Ecuación diferencial de 2do orden (3.4)
dT (3.5)
1 º
º   
KA x L 2
1 º
º   
KA x L 2
   (3.7)
  (3.9)
T Tw x    (Distribución de temperatura) (3.10)
70
1. x
x gen x dx x
dQ
Q Q Q Q dx
2. Q q Adx gen
3. Reemplazando en 3:
dx
d T
KA 2
dx
KA
dT
dx
q Adx KA
dT
dx
2
ª
ª      (3.3)
2
 q
º
º

4. Simplificando: 0
2
K
dx
5. Condiciones de Frontera:
CF: 1 x=0  0
dx
También se tiene que dT
q LA
dx
2
q LA
dT
dx
2
CF: 2 x=L T=Tw
x=-L T=Tw (3.6)
Estas ecuaciones expresan el hecho de que la distribución de temperatura
es simétrica con respecto al eje y (x=0).
6. De la ecuación 4, separando variables e integrando se obtiene:
1
. o dT q x
C
dx K
7. Separando variables e integrando nuevamente
º 2
º
q x
   
T C x C
( x
) 2 K
1 2 8. Aplicando la CF:1 0 1 C  (3.8)
9. Con la CF:2
º 2
º
2
.
2
q L
C Tw
K
10.Reemplazando en ( x) T , 1 ,C y 2 C y Simplificando se tiene
 2 2 
º
º
q
( ) 2
L x
K
11.La temperatura en el centro, se puede determinar en x=0 por lo tanto T=Tc

Reemplazando esta condición en en la distribución de temperatura se
obtiene: Tc  Tw   (3.11)
max
  . o
dT q L
dx K    (3.12)
Q Q Q Q r gen r dr r r      (3.15)
  dT      dT   d dT
 
d (3.16)
71
2
q
º
º
2
L T
K
12. El flujo de calor se obtiene a partir de la ecuación de Fourier
x
dT
q K
dx
x L
( / ) x x L o q K q L K     
x x L o q q L   (3.13)
De igual forma la cantidad de calor se conduce para el otro lado, en x= -L
3.3 CILINDRO SÓLIDO
Figura 3.2 Cilindro sólido con generación interna de Calor Uniforme
Fuente: Elaboración propia, Alberto Emilio Panana Girio
A  2rL V r 2L , dV  2 rLdr (3.14)
3.3.1 Se determinará la ecuación diferencial que describe la distribución de
temperaturas, haciendo un balance de energía en una cáscara cilíndrica
de espesor (dr)
Q dr
d
dr
1. Reemplazando los valores de calor en la ecuación anterior
2. º
º 2 2 2 2
K rL q rLdr K rL K L r dr
 
dr dr dr dr

q r
0 0   


K
dT
r
dr
dr
Sea el cilindro sólido de longitud L,
que tiene una perdida de calor
despreciable en los extremos, de K=
cte, con generación interna de calor,
la superficie exterior del cilindro se
mantiene a una temperatura Tw
(conocida)

3. Las condiciones de frontera para resolver la ecuación (16), son :
CF: 1 r=r0 T=Tw (3.17)
CF: 2 r=0 dT  0
(simetría) (3.18)
T n     (3.20)
o q r
  (3.22)
  º     º
   (3.23)
T Tw r r
= = + (3.24)
q K r r ro    Como:
      
q r q r
72
dr
4. Separando variables e integrando la ecuación N° 3.16, se tiene
1
º 2
º
2
C
dT
r   q r

K
dr
dT C
1
r
q r
K
dr
º
º
2
   (3.19)
Separando variable e integrando nuevamente (19)
1 2
º 2
º
4
C L r C
q r
K
5. Las constantes de integración se evalúan con las condiciones de
frontera, con la CF:2,
C1 = 0 (3.21)
6. Con la primera condición de frontera
º 2
o o q r
  
Tw C
4
K
2 º 2
0
C Tw
2 4
K
7. Reemplazando en (3.20), los valores de las constantes C1 y C2, y
simplificando, se obtiene la distribución de temperatura
q r
K
Tw
q r
K
T
4 4
2
0
º
º
º 2
q
º 2 2
4
K
0 La temperatura máxima o el centro, para r = 0 y T = Tmáx
º 2
º 0
Tc T Tw q r
max 4
K
3.3.2 Cálculo del flujo de Calor
dT
dr
q r
  0 0  (3.25)
K
dT
dr
r ro 2
Reemplazando se tiene
0 0 0 0
2 2 r ro r r ro
q K q
K  
 
(3.26)

V   r , dV  4 r2dr A  4 r2 (3.27)
   (3.28)
  dT      dT   d dT
 
d (3.30)
dT (3.32)
73
3.4 ESFERA SÓLIDA
Figura 3.3 Esfera sólida con generación interna de Calor Uniforme
3
4
3
3.4.1 Se formulara la ecuación diferencial para lo cual se realizara un
balance de energía en la cáscara esférica de espesor (dr)
d
  r gen r r
Q Q Q Q dr
dr
 gen Q Calor generado por unidad de tiempo en la cáscara esférica de
espesor dr y por área de la superficie 4r2 y representa un
incremento de energía de volumen 4 2 gen o Q  q  r dr
1. Reemplazando las cantidades de calor en el balance anterior
2 º 2 2 2
º 4 4 4 4
K r q r dr K r K r dr
 
dr dr dr dr
(3.29)
2. Simplificando, se obtiene la ecuación diferencial gobernante
2


r q
dT
r
: 0 0
2   

K
dr
dr
3. Esta ecuación diferencial es de segundo orden, requiere dos condiciones
limítrofes para obtener su solución
CF: 1 r = r0 T = Tw (3.31)
4. Debido a que ( 0 q ) es uniforme a través de la esfera y Tw es constante
sobre toda la superficie exterior de la esfera, es de esperar que la
distribución de temperatura sea simétrica con respecto al centro de la
esfera, por tanto la otra condición de frontera es:
CF: 2 r = 0  0
dr
 Considerar una esfera sólida con
una fuente de calor distribuida,
(qo) uniformemente, de K=
constante y su superficie a una
tePperatura constante Tw.

5. Separando variable (30) e integrando, se tiene:
dT    (3.33)
T     (3.34)
  (3.36)
C Tw
   (3.37)
   (3.38)
q r
  0 0  (3.39)
74
1
º 3
2 dT
r   q r
º

3
C
K
dr
1
2
º
º
3 r
C
q r
K
dr
6. Separando variables de nuevo o integrando la relación anterior:
2
C
1
º 2
º
6
C
r
q r
K
7. Aplicando la segunda condición en la frontera, a la ecuación (34)
1 0  0  C 0 1 C  (3.35)
º 2
º
6
q r
O sea T   
C
2
K
8. Aplicando la primera condición de frontera:
º 2
º
o q r
   →
Tw C
6
K
2 º 2
º
o q r
2 6
K
9. Reemplazando los valores C1 y C2 en (3 5 ), se tiene:
  º
q
º 2 2
T Tw r r
6
K
0 10. Se puede determinar la temperatura Tc en el centro de la esfera (r=o)
º 2
º max
6
o q r
Tc Tw T
K
3.4.2 Flujo de calor
dT
dx
q K r  
K
dT
dx
r ro 3
      
q r q r
0 0 0 0
3 3 r
q K
K
 
(3.40)
3.5 DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA DE LA PARED
NOTA 1.- Puede suceder que algunos problemas no se conozca Tw, pero en
cambio, º
º q , h y Tf (temperatura de fluido), son conocidas. En estado
estacionario, todo el calor generado en el sólido se debe transmitir
por convección hacia fuera al fluido que lo rodea (si no fuera así, se
tendría un crecimiento de la energía en el sólido, que daría por
resultado un incremento de la energía interna del material que
posteriormente requeriría un cambio de temperatura con respecto al

tiempo), se puede determinar Tw para las tres geometrías en la
forma siguiente, si el coeficiente de transferencia de calor (h) es
uniforme:
( ) superficie . gen o W f Q = q°V = hS T - T (3.41)
º
º (3.42)
º
º (3.43)
75
Donde:
V= Volumen de todo el cuerpo
Superficie = área de la superficie del cuerpo que transfiere calor por
convección al fluido que se encuentra f T
3.5.1 PARED PLANA DE ESPESOR 2L
 Calor total generado en la pared Qgen = . .2 o q A L
 Calor que transfiere por convección la pared al fluido que lo rodea
.2 .  w f Qc  h A T T , por tanto se tiene:
. .2 .2 .  o w f q A L  h A T T
q L
T  
w f T
h
3.5.2 CILINDRO DE LONGITUD (L) Y RADIO ( 0 r ), donde   0 L  r
 Calor total generado en el cilindro sólido ,
Qgen q r L 2
0
º
º 
 Calor transferido por convección del cilindro al fluido que lo rodea
  0 .2 . . . w f Qc  h  r L T T
 Igualando estas expresiones
º 2  
º 0 0 2 w f q  r L  hL  r T T
q r
T  
w f T
h
2
0
3.5.3 ESFERA SOLIDA (de radio 0 r )
 Energía total generado en la esfera, Qgen
   (3.44)
3
0
º
º
º º
3
4

r q V q 

 Calor que transfiere por convección la esfera al fluido que lo rodea

º
º (3.46)
76
2  
0 .4 . w f Qc  h  r T T
 Igualando estas expresiones
 4
 q  
 r  h  r T  T  3 
w f º 3 4
2  
º 0 0
(3.45)
q r
T  0

w f T
3
h
Se puede afirmar que:
1. Para la esfera y el cilindro, siempre ocurre la temperatura máxima en el
centro de simetría, si la fuente de calor es uniforme y el coeficiente (h)
es constante de toda la superficie.
2. Para una pared plana con una fuente de calor uniforme la temperatura
máxima ocurre en el plano central solamente si los coeficientes
conectivos y las temperaturas ambientales son iguales por ambas caras.
3.6 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
1. Una varilla cilíndrica larga, de 200 mm de diámetro y conductividad térmica
de 0,5 W/m.k, experimenta una generación volumétrica uniforme de calor
de 24000 W/m3. La varilla está encapsulada en una manga circular que
tiene un diámetro externo de 400 mm y una conductividad térmica de 4
W/m. K. La superficie externa de la manga se expone a un flujo de aire
cruzado a 27 ºC con un coeficiente de convección de 25 W/m2.K
a. Realizar el circuito térmico.
b. Encuentre la temperatura en la interfaz entre la varilla y la manga y en la
superficie externa.
c. ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla?
Solución:
1. Para resolver el problema se harán algunas suposiciones:
La conducción en la varilla y la manga es radial unidimensional
Condiciones de estado estable.
La varilla presenta generación volumétrica uniforme.
La resistencia de contacto entre la varilla y la manga es despreciable.
2. El circuito térmico para la manga.

3. El calor generado por unidad de longitud y tiempo es:
2 2
1
oq
24,000 0.20 ' ' 4 3      
r
r k W x m W ks x mK
ln ln 400R' 20 2.758 10 .
R 1 1 3.183 10 .
x m kh D W W
= = = -
25 . 0.400
¥ = + +
= + +
=
s conv T T R R
T C W x x K m m W
T C
T T R C W conv ' ' 27º 754 3.183 10 2 . 51.0º
2      
W
24,000
77
 
m
x x m W
m
q E D W
gen 4 754.0
4. La resistencia térmica por conducción a través de la manga
( ) 2
1 2
S
p p
2 2 4 .
-
çæ ö÷çç ÷÷÷ çè
= ø= =
5. Resistencia térmica por convección
2
conv
2 2
m Kx x m
p
p
6. Cálculo de la cantidad de calor a través del sistema ( de la temperatura
interior y la temperatura exterior de la manga, es
( )
3 ( )2 2
1
0 0 1
0
24,000
0.100
71.8º
4 4 0.5 .
192º
r
W
m m T = T = q r + T = +
C K x W mK
T =
C
( )
( 2 2 )
1
1
1
q' ' '
27º 754 2.758 10 - 3.183 10 -
.
71.8º
W C
x x m K m
 q
7. Cálculo de la temperatura del centro de la varilla:
 
 
C C
0.100
m m
m K
x W
T
q r
K
T T
r
71.8º 192º
4 0.5 .
4
2
3
1
2
1
0 0      
T(0) = 192 °C

PROBLEMA 2
Un muro de espesor 2L = 40 mm y conductividad térmica k = 5 W/m·K
experimenta una generación volumétrica de calor qo,(W/m
78
3
) mientras está
sometido a un proceso de convección en sus dos superficies (x = -L, x = L) con
un fluido a temperatura Tf= 20 ºC. En condiciones de estado estacionario la
distribución de temperaturas en el muro es de la forma T(x) = a + bx + cx2,
siendo a = 82 ºC, b = -210 ºC/m y c = -2·104 ºC/m2. El origen de coordenadas
se encuentra en el plano medio del muro.
a) Calcular el valor de la generación volumétrica de calor qo
b) Calcular los valores de los flujos de calor en las dos superficies del muro,
y .
c) ¿Cómo están relacionados estos flujos de calor con la generación
volumétrica de calor en el interior del muro?
Solución:
Figura 3.4 Pared sólida con generación interna de Calor Uniforme
2. Se tiene que la ecuación diferencial gobernantes:
2
2 0 o
k d T q
dx
+ =
3. obtiene al resolver la ecuación de calor la ecuación anterior separando
variables e integrando dos veces:

79

4. Al comparar de (3) con la ecuación del enunciado: T(x) = a + bx + cx2
Se tiene que:
°C/m2
5. Despejando: qo=2x105W/m3
6. Aplicando la ley de Fourier en los dos extremos de la pared:
7. Toda la energía generada en la pared ha de salir por las dos superficies
PROBLEMA 3
Considere un alambre largo usado como resistencia con radio r1 = 0,3 cm y
conductividad térmica kalambre = 18 W/m. °C en el cual se genera calor de
manera uniforme a una razón constante de qo = 1,5 W/cm3, como resultado del
calentamiento por resistencia. El alambre está recubierto con una capa gruesa
de plástico de 0,4 cm de espesor, cuya conductividad térmica es kplástico = 1,8
W/m. °C. La superficie exterior de la cubierta de plástico pierde calor por
convección hacia el aire ambiente que está a Tf = 25 °C, con un coeficiente
combinado promedio de transferencia de calor de h = 14 W/m2. °C Al suponer
una transferencia unidimensional de calor, determine en condiciones
estacionarias:
a. La temperatura en el centro del alambre.
b. La temperatura en la inter-fase alambre – capa de plástico.
c. La temperatura superficial del plástico
Solución.-

Figura 3.5 Alambre cilíndrico aislado sólida con generación interna de Calor
80
Uniforme
2. Sea: Tc = temperatura en el centro del alambre
Ts = Temperatura en la interfase alambre – plástico
Tp = temperatura superficial del plástico
K1 = conductividad térmica del alambre
K2 = conductividad térmica del plástico
T´ = temperatura en función del radio para el alambre
T´´= temperatura en función del radio para el plástico
3. Cálculos en el alambre
3.1 Ecuación diferencial de conducción de calor con generación interna de
calor
1
      
 
d dT q
r o k
constante r dr dr k
3.2 Separando variables e integrando dos veces, se tiene
dT q r C
dr k r
1
2
1 2
+
2
T´=
q r
4
o
o
C Lnr C
k
 
  
3.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración
 
 
:1 0 0
: 2
1
dT
CF r
dr
CF r r T Ts

   (i)
 
  

f T Ts
 
  
´´ (ii) f T Ts r
81
3.4 Evaluando se tiene;
2
1
1 2
o q r
1
0 ;
4
C C Ts
k
  
3.5 Distribución de temperatura para el alambre
 2 2 
T Ts r r
1
o q
1
´
4
k
4 Cálculos en el plástico
4,1 Ecuación diferencial de conducción de calor a través del plástico
0
    
 
d dT
r
dr dr
4.2 Separando e integrando dos veces
 3

3 4 ; T´=
dT C
C Lnr C
dr r
4.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración
 
: 3 T
CF r r Ts
1
2
´
dT
: 4 -k ´ f
CF r r h T T
dr
4.4 Evaluando las constantes se tiene:
4 3 1 3
2 2
1 2
C Ts C Lnr C
r k
Ln
r hr
  

4.5 Reemplazando y simplificando se tiene la siguiente distribución de
temperaturas
   
T Ts Ln
r k r Ln
    
 
2 2 1
r hr
1 2
5 En la interface alambre - plástico la cantidad de calor intercambiado
´ ´´
dr dr      
=Q r r
dT dT
k r k
1 1 2 1 gen
6. El calor generado en el alambre es igual al que se conduce a la
superficie del mismo, igual al que se conduce a través del plástico y es
igual al transferido por convección al fluido.

 
  
q r dT dT T T
´´ ´´ 1
    
o f s
    
 
            
 
  
   
T Ln
     
82
1
2 1
1 2
;
2
p
k
dr dr r kp r Ln
r hr
7. Reemplazando y despejando, Ts
q r r k
2
1 2
o p
T Ln T
s f
2
k r hr
p
1 2  
    
 
8. Calculo de la temperatura de la Inter-fase (Ts)
 1,5 106 0,003 2 0,7 1,8
25
4 1,8 0,3 14 0,007 s T Ln
97,0549 97,1 s T   C
9. Cálculo de la temperatura en el centro, Tc
 
6
1,5 10 2
97,1 0,003
T
4 18
T C
97,28 97,3
c
c

  

  
10. Cálculo de la temperatura superficial, Tp, de la relación (ii)
25 97,1 0,7
97,1
0,7 1,8 0,3
0,3 14 0.007
 93,92

p
p
Ln
T C
PROBLEMA Nº 04
Una placa plana cuyo espesor es 10 cm. genera calor a razón de 30000 m3
w ,
cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de ella, una de las caras
de la pared esta aislada y la otra esta expuesta al aire con temperatura de
25ºC. Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre el aire y la
superficie de la placa es h = 50 w
, y la conductividad térmica del material
m 2 K
3w . Determine:
K= mK
a) El perfil de temperatura en función de la distancia x.
b) La temperatura máxima de la pared.

dT q x C T q x C x C
dx K K
= - + = - + + ;
dT
dT
K h T T
dx     
dT q q
L T L C
83
Solución:
1. Diagrama De flujo
Figura 3.6 Pared con superficies una aislada y otra expuesto a un fluido con
generación interna de Calor Uniforme
1. Ecuación diferencial gobernante
0
2
º
 º

d T
2
q
K
dr
2. Separando variables e integrando 2 veces
º º
º º 2
1 1 2 ;
2
Las constantes 1 C y 2 C evaluadas a la C.F
CF: 1 x=0  0
dx
CF: 2 x=L   x L x
3. Los valores de las constantes son:
0 1 C 
  


hT hT
dT
K
dx
x L
x L
( x)
2
( ) 2 ;
x L 2
x L
o o
x
dx k  k

    
Reemplazando las relaciones en la condición de frontera y
simplificando

           
   
K L h L C hT
  q L  q   q L   k
 o o o  

k
x x
84
2
o o q q
2 2
k k
2
2
C T L T
2
2
1
2 2
 
h k k hL
4. El perfil de temperatura (Reemplazando 1 C y 2 C )
 

    
 

 

hL
x
L
qL
k
T T
2
1
2
2 2
5. Operando las cantidades en el perfil y simplificando
   
 

 

 

 

2 3
50 0.1
0.1
0.1 1
30000
2 3
25
2
2
x
x
T
T 135  5000x2 Distribución de temperatura
dT
6. La max T estará cuando  0
dx
5000(2 ) 0
dT
x
dx
   , estará en, x = 0
7. max max T 135  5000(0) T 135
PROBLEMA 5
Dos Grandes placas de acero a 90ºC y 70ºC están separadas por una barra de
acero de 0.3 m de largo y 2.5 cm de diámetro. La barra está soldada en cada
placa. El espacio entre las placas se rellena de aislante que también aisla la
circunferencia de la varilla. Debido al diferencial de voltaje entre ambas, fluye
corriente a través de la barra, y se disipa energía eléctrica a razón de 12 W.
Calcule:
a. La temperatura máxima en la barra y la razón de flujo de calor en cada
extremo.
b. Verifique los resultados comparando la razón neta del flujo de calor en
ambos extremos con la razón total de generación de calor.
Dato: Conductividad del acero Kacero=14.4 W/mºC .

Figura 3.7 Barra de acero conectada a placas en sus extremos, con su
superficie aislada y con generación interna de Calor
Uniforme
T     ……………… ()
85
Solución:
1. Cálculo del calor generado por unidad de volumen y por unidad de
tiempo Q q xV gen 0 
³
0.025² 0.3

x x
 
12 0 m
w q 4



81487.33086 / ³ 0 q  w m
2. Ecuación diferencial gobernante
0
q
²  0 
d T
²
K
dx
3. Separando variables e integrando 2 veces:
dT   
0 x C
K
1
q
dx
1 2
q x
0
2
²
C x C
K
4. Condición de frontera
C.F.1. x = 0 T = T1 = 70ºC  C2 = T1 = 70ºC
C.F.2. x = L = 0.3 T = T2 = 90ºC
T    
1 1
q L
0
2 2
²
C L T
K

T - T - q L C = K C = T - T -
q L
 
T  
 

 
 x

81487.33086 ² 0.3 90 70
 dT   0  2 2829.4212 x2  915.493029 
q K ……………… (β)
 

81487.33086 / 3 0.3 3
86
. ²
2
( ) 0
2 1
2 1 0
1 1
2
L L K
Reemplazando C1 y C2 en ()
1
q L
T T
0 2 1 0
2
.
. ²
q
2
x T
K
L
x
K



  
 
T T
  1
q

T 0 ² 2 1
 2
x T
L
x Lx
K


   
 
  70
0.3
2 14.4


x x
T
T  2829.42121x²  915.493029x  70
5. La temperatura máxima se encuentra cuando x = 0.1617 por la condición
 0
dx
dT
dx
x  0.1617
 2829.421210.1617²  915.49302980.1617 70 máx T
T C máx  144.05º
6. Flujo de calor
dT
dx
x   
q K
Q
A
x
 Para X=0.3
0.3
0.3 |

  
x
dT
x x dx

 

 
 




81487.33086 / 0.3
w m x m
90º 70º
C C
w m x m
 w m C
m
x w m C
dT
dx
14.4 / º
0.3
2 14.4 / º
x 0.3
C
m
dT
dx
x
º
782.1596
0.3
 

7. Remplazando en (β)

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