1) O documento é uma apostila sobre matemática básica para o curso de Agronomia da Pontifícia Universidade Católica do Paraná. 2) A apostila revisa tópicos fundamentais de matemática como conjuntos numéricos, números relativos, frações, potenciação e radicais. 3) O objetivo é preparar os alunos para as disciplinas de Matemática e Física Aplicada a Agronomia.

1. Pontifícia Universidade Católica do Paraná
Campus de Toledo
Curso de Agronomia
Apostila de Matemática Básica
Parte 1
Prof. Ms. Rodrigo Campagnolo
Toledo, 2011
1

2. OBJETIVO
Revisar tópicos de Matemática Fundamental visando preparar o aluno para o início da
disciplina de Matemática e Física Aplicada a Agronomia.
SIMBOLOGIA MATEMÁTICA
2

3. 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 Conjunto dos números naturais (N)
São todos os números positivos, inclusive o zero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Podemos observar que em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação,
resultando sempre em um número natural. Já a subtração entre dois números naturais nem
sempre é um número natural, ou seja, 3 – 4 = _____, por exemplo, não é possível em N.
Daí a necessidade de se ampliar o conjunto N introduzindo os números negativos.
1.2 Conjunto dos Números inteiros (Z)
Com o tempo, o conjunto dos números naturais ficou pequeno para a matemática (Ex:
operações inversas 5 – 7 = _____). Sendo assim, os números negativos foram reunidos aos
naturais. O conjunto dos números inteiros compreende todos os números positivos e
negativos, inclusive o zero.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Podemos observar que em Z é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a
subtração, resultando sempre em um número inteiro. Já a divisão entre dois números inteiros
nem sempre resulta um número inteiro:
(-8) : (+2) = _____ é possível em Z.
(-7) : (+2) = _____ não é possível em Z.
Daí a necessidade de se ampliar o conjunto Z introduzindo as frações não aparentes.
1.3 Conjunto dos números racionais (Q)
Neste caso, vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e
teremos os números racionais.
Exemplo:
Assim, podemos escrever:
3

4. Todo número racional pode ser escrito na forma decimal, que pode ser exata (número
finito de algarismos):
1 5
= − = 6= =
4 8
ou não-exata, porém, periódica.
2 177
= = = =
3 990
1.4 Conjunto dos números irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais surgiu para solucionar muitos problemas envolvendo
a geometria e a aritmética.
Exemplo:
a L b Se L = 1, d = ?
L
d
c
Outro exemplo: π = 3,1415926535...
Portanto, número irracional é todo número que está ou pode ser escrito na forma
decimal infinita e não-periódica.
1.5 Conjunto dos números reais (R)
O conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais e irracionais.
Representação em diagrama:
Q
I
N
Z
R
Propriedade:
4

5. Ou seja, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e todo número
racional é real.
Talvez a aproximação mais intuitiva da noção do conjunto de números reais seja
considerá-los como correspondendo a pontos situados ao longo de uma reta infinita.
3
-
...... 2 ......
-∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
√2
Como subconjuntos importantes de R, temos:
ܴ ∗ = ܴ − ሼ0ሽ
ܴା = conjunto dos números reais não negativos
ܴି = conjunto dos números reais não positivos
2. NÚMEROS RELATIVOS
2.1 Valor absoluto ou módulo
É um número desprovido de sinal
Ex: |- 9 | = 9 ou |+ 7 | = 7
2.2 Soma e subtração algébrica
Sinais iguais: somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum
Exemplo:
Sinais diferentes: subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior
Exemplo:
Exercícios:
5

6. Devemos lembrar que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do
número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o
de menos (–). Se não houver sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de
mais (+).
Exemplo:
Exercícios:
Algumas dicas:
a) Na soma de mais de dois números relativos, se obtém o resultado final somando-se o
primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última
parcela.
Exemplo:
( +5) + ( −3) + (−7) + ( +3) + (+4) =
= (+2) + ( −7 ) + ( +3) + ( +4) =
= ( −5) + ( +3) + ( +4) =
= ( − 2 ) + ( +4 ) = 2
b) Podemos também somar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas
e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.

7. 2.3 Multiplicação e divisão algébrica
Sinais iguais resposta positiva
Sinais diferentes resposta negativa
Isto é:
ሺ+ሻ × ሺ+ሻ = ሺ+ሻ ሺ+ሻ ÷ ሺ+ሻ = ሺ+ሻ
ሺ−ሻ × ሺ−ሻ = ሺ+ሻ ሺ−ሻ ÷ ሺ−ሻ = ሺ+ሻ
ሺ+ሻ × ሺ−ሻ = ሺ−ሻ ሺ+ሻ ÷ ሺ−ሻ = ሺ−ሻ
ሺ−ሻ × ሺ+ሻ = ሺ−ሻ ሺ−ሻ ÷ ሺ+ሻ = ሺ−ሻ
Exemplo:
Exercícios:
ܽሻ 12 × 3 = 20
ℎሻ =
ܾሻ ሺ−12ሻ × ሺ−3ሻ = ሺ−5ሻ
ሺ−20ሻ
ܿሻ ሺ−12ሻሺ−3ሻ = ݅ሻ =
ሺ−5ሻ
݀ሻ ሺ−12ሻ. ሺ−3ሻ
ሺ−20ሻ
݁ሻ 2 × ሺ−2ሻ = ݆ሻ =
5
݂ሻ 2ሺ−2ሻ =
݃ሻሺ−2ሻ3
2.4 Expressões numéricas
No cálculo de expressões numéricas deve-se obedecer a prioridade dos sinais indicativos
e das operações matemáticas.
Prioridade dos sinais Prioridade das operações
1° ( ) Exponenciação e logaritmação
2° [ ] Potenciação e Radiciação
3° { } Multiplicação e Divisão
4° Adição e subtração
7

8. Exemplo:
Exercícios:
2.5 Mínimo múltiplo comum
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.
Exemplo: Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
Exercícios:
8

9. 3. FRAÇÕES
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador:
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível
representá-la por um número misto e reciprocamente.
10 3 10
a) =1 pois possui resto 3
7 7 7
28 3 28
b) = 5 pois possui resto 3
5 5 5
Exercícios:
11
a) =
3
1
b) 2 =
3
1
c) -1 =
4
3.1 Soma algébrica de Frações
Reduzem-se ao menor denominador comum, o m.m.c, dividindo-o em seguida pelo
denominador e multiplicando pelo numerador.
Exemplo:
Exercícios:
9

10. 3.2 Multiplicação de Frações
Multiplicam-se os numeradores entre si e da mesma forma se faz com os denominadores.
Exemplo:
1 3 3 1 3 3
ܽሻ × = ܾሻ ൬− ൰ ൬ ൰ = −
2 5 10 4 2 8
Exercícios:
1 2
ܽሻ ൬− ൰ ൬− ൰ =
3 5
1 2
ܾሻ ሺ−3ሻ ൬− ൰ ൬− ൰ =
4 7
3 1
ܿሻ 2 × 3 =
4 5
3
ܿሻ 2 × =
4
3.3 Divisão de Frações
Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
1ൗ 1 3 3 1 ൫− 2ൗ3൯ 2 2 4 1
ܽሻ 2 = × = = 1 ܾሻ = ൬− ൰ × = − = −1
1ൗ 2 1 2 2 1ൗ 3 1 3 3
3 2
Exercícios:
1ൗ
ܽሻ 2 =
3
5
ܾሻ =
2ൗ
3
1
43
ܿሻ =
1
ቀ−2 4ቁ
10

11. 4. POTENCIAÇÃO
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal,
esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o
produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:
an →base (é o número ou fator emdos fatores iguais)
→
expoente (n.º de repetições
questão)
an = a.a.a.a.a...a
n fatores
Exemplo: 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
(+2)3 =
(-2)2 =
(-2)3 =
4.1 Casos particulares e conseqüências da definição
a) a0 = 1
b) 1n = 1
c) 0n = 0
d) a = a1
1
e) a-n =
an
4.2 Propriedades da potenciação
1) Multiplicação de potências de mesma base: Conservamos a base e somamos os
expoentes.
am . an = am + n Ex: 24 . 25 = 24+5 = 29
52 . 57 =
2) Divisão de potências de mesma base: Conservamos a base e subtraímos os expoentes.
am : an = am - n Ex: 68 : 65 = 68-5 = 63
56 : 54 =

12. 3) Potência de um produto: Elevamos cada fator ao expoente do produto
(a . b)n = an . bn Ex: (2 . 7)2 = 22 . 72 = 4 . 49 = 196
(- 9z)2 =
4) Potência de um quociente: Elevamos o numerador e o denominador ao expoente indicado.
Ex:
5) Potência de potência: Conservamos a base e multiplicamos os expoentes
(am)n = am . n
Ex: (42)5 = 42.5 = 410
Cuidado!
n 2
(am)n ≠ am Ex: (23)2 ≠ 23
26 ≠ 29
64 ≠ 512
Potência de Potência de
potência ordem superior
Exercícios:

13. 5. RADICAIS
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão
que, elevado à potência n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo
Assim,
5.1 Propriedade
É possível retirar um fator do radical, bastando que se divida o expoente do radicando
pelo índice do radical.
Exemplos:
Para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do
radical. Assim:
13

14. 5.2 Adição e subtração de radicais semelhantes
Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o
radical.
Exemplo:
5.3 Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se ou dividem-se os radicandos e dá-se ao produto ou quociente o índice
comum.
Exemplo:
Exercícios:
5.4 Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando a potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
ଷ
ܽሻ൫ √3൯ = ඥ3ଷ = √27
ర ర ర
ଶ
ܾሻ ቀ ඥ2ଶ × 3ቁ = ඥሺ2ଶ × 3ሻଶ = ඥ2ସ × 3ଶ = √144
ఱ ఱ ఱ ఱ
5.5 Radiciação de radicais
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando
Exemplo:
య
ܽሻ ඥ√3 = √3 = √3 ܾሻ ටඥ √3 = √3
మ×మ ర ర మర
14

15. 5.6 Expoente fracionário
Toda a potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo radicando é a base, o
índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
௣
ܽ௡ = √ܽ௣
೙
Exemplo:
ଶൗ
= ඥܽ ଶ
య
ܽሻ ܽ ଷ
Exercícios:
5.7 Racionalização de denominadores
Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração.
Mais exemplos:
15

16. Exercícios:
Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do
denominador.
OBS: A expressão conjugada de (a+b) é (a-b).
Exemplo:
16

17. Exercícios:
ଵൗ
ܽሻ16 ଶ =
ିଶൗ
ܾሻ8 ଷ =
1 1
ܿሻ − =
1 − √2 √2 + 1
݀ሻට ඥܽଽ =
ర
ଶ
݁ሻ ቀ ඥܽ଻ ቁ =
య
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BIBLIOGRAFIA
BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações : ensino médio e preparação
para educação superior. São Paulo: Ática, 1999. 3 v.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy.
Matemática fundamental: 2. Grau. São Paulo: FTD, 1994.
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