Produtosnotveis E Fatorao

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Produtosnotveis E Fatorao

  1. 1. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos 7ª Série Unidade Temática: Produtos Notáveis Fatoração
  2. 2. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos a b Produtos Notáveis: Quadrado a a 2 a.b da Soma de dois termos: b 2 a.b b (a + b) = (a + b).(a + b) 2 Soma das Áreas= a + 2.a.b + b2 2
  3. 3. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Produtos Notáveis: a b Quadrado da diferença de dois termos: a ( a − b) 2 ( a − b) 2 b
  4. 4. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Produtos Notáveis: a-b Quadrado da diferença de dois termos. Calculando a área que sobrou teremos: a-b ( a − b) 2 (a − b) = (a − b).(a − b) 2 a − 2.a.b + b 2 2
  5. 5. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Produtos Notáveis: a Diferença de quadrados: 2 a a a −b 2 2 2 b b b
  6. 6. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Após a subtração da maior área pela menor área, marcamos com uma diagonal separando a área restante dividindo-a em duas partes, que são dois trapézios.
  7. 7. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos a Diferença de quadrados: Após separarmos a-b as áreas, registramos algebricamente as a partes que sobraram (lados do trapézio). b b a-b
  8. 8. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos a+b Agora se juntarmos os trapézios formaremos um retângulo de lado a −b 2 2 a-b (a + b) e (a - b) e se calcularmos a sua área vamos encontrar (a2 - b2). b (a + b).(a − b) = a − a.b + a.b − b = a − b 2 2 2 2
  9. 9. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos O Cubo da soma de dois termos: Considere um cubo de aresta “a + b”, como b o da figura ao lado. O volume de um cubo de arestas ℓ é ℓ3, a então o volume do cubo representado a a b pela figura é (a+b)3. b
  10. 10. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Vamos separar as partes em que o cubo está dividido: Um cubo de aresta “a”. a Volume: a3. a3 a a
  11. 11. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos a a a2b Três paralelepípedos b que têm arestas b a, a e b. a Cada paralelepípedo 2b tem volume a2b. a a a2b O volume dos três a paralelepípedos é b 3a2b. a
  12. 12. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos b a Três paralelepípedos b b que têm arestas 2 ab a, b e b. b ab2 b Cada paralelepípedo a tem volume ab2. ab2 O volume dos três a paralelepípedos é b 3ab2.
  13. 13. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos b b Um cubo de aresta “b”. b b3 Volume: b3.
  14. 14. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos a2b 2 Somando todos esses ab ab2 b3 volumes temos: b a 3 2 a a + 3a b + 3ab + b 3 2 2 3 a2b ab2 Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes, temos: (a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3 3 2 2 3
  15. 15. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo: ( a + b) = ( a + b) . ( a + b) = 3 2 Aplicando a propriedade distributiva: = (a + b) . (a + 2ab + b ) = 2 2 a + 2 a b + ab + a b + 2ab + b 3 2 2 2 2 3
  16. 16. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Portanto: (a + b) = a + b + + b 3 3a 3 3ab 2 2 3 Cubo 2º Termo. 1º 3 x (1º termo) x (o quadrado do 2º termo). Termo 3 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo). 2º Termo Cubo do 1º Termo.
  17. 17. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos O Cubo da diferença de dois termos: Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo: ( a − b) = ( a − b) . ( a − b) = 3 2 Aplicando a propriedade distributiva: = (a − b) . (a − 2ab + b ) = 2 2 a − 2 a b + ab − a b + 2ab − b 3 2 2 2 2 3
  18. 18. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Portanto: (a − b) = a − b + − b 3 3a 3 3ab 2 2 3 Cubo 2º Termo. 1º 3 x (1º termo) x (o quadrado do 2º termo). Termo 3 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo). 2º Termo Cubo do 1º Termo.
  19. 19. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Hora da revisão: Quadrado da soma de dois termos: (a + b) = a + 2.a.b + b 2 2 2 Quadrado da diferença de dois termos: (a − b) = a 2 − 2.a.b + b 2 2 Diferença de quadrados: a − b = (a + b).(a − b) 2 2 Cubo da soma de dois termos: (a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3 3 2 2 3 Cubo da diferença de dois termos: (a − b) = a − 3a b + 3ab − b 3 3 2 2 3
  20. 20. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Fatoração: x a  Fator Comum 2 x x a.x Calculando-se a Área: x.( x + a ) = x + a.x 2
  21. 21. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos a 4 Fatoração:  Fator Comum 4.a a Fazendo o fator comum entre as 2a 2 2a áreas encontraremos :2a Colocando o fator em evidência teremos: 2a.(a + 2) = 2.a + 4.a 2
  22. 22. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Fatoração:  por agrupamento: m n a am an b bm bn (a + b).(m + n) = a.m + a.n + b.m + b.n
  23. 23. Colégio Santista Matemática- Prof . Marcos Fazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao início. Aplicando o fator comum duplamente: a.m + a.n + b.m + b.n = a.(m + n) + b.(m + n) = (a + b).(m + n)

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