1. Fiche de cours 4ème technique Maths
Maths au lycee *** Ali AKIR
Nombres complexes Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O ; u, v ( )
Propriétés : Soit M un point d'affixe z = a + ib, a ,b ∈ R
z+z
a = Re(z ) =
z−z
b = Im(z ) = Re(z ) + Im(z )
2 2
z =
2 2i
z = 0 ⇔ Re(z ) = Im(z ) = 0 z =0 ⇔ z =0 1 z
, z ∈ C∗
2
z×z = z , = 2
z z
z ∈ R ⇔ Im(z ) = 0 ⇔ z = z z ∈ iR ⇔ Re(z ) = 0 ⇔ z = −z AB = z B − z A
 → 
Aff  AB  = z B − z A
 
I = A * B ⇔ zI =
z A + zB ( )
Aff au + bv = aAff u + bAff v () ()
  2
(
arg( z ) = u,OM [2 π ] , z ∈ C ∗) a ∈ R + : z² = a ⇔ z = a ou z = − a
(AB,CD) ≡ arg z
z D − zC 
[2 π ]

 − zA 
a ∈ R − : z² = a ⇔ z = i a ou z = −i a B
Propriétés : Pour tous nombres complexes z et z' et tout entier n on a :
z + z' = z + z' zz' = z.z' zn = z () n
1 1  1  z z
  = , (z ≠ 0 )  n  = n , (z ≠ 0 )   = , (z' ≠ 0 )
1
z z z  z ()  z'  z'
n
zz' = z × z' zn = z zz = z ²
= , (z ≠ 0 ) , (z ≠ 0 ) z + z' ≤ z + z'
1 1 1 1
n
= n
z z z z
Forme cartésien – Forme trigonométriques
a = r cos θ , b = r sin θ
Forme cartésien Forme trigonométriques
z = a + ib z = r(cos θ + i sin θ ), r > 0
a b
r = z = a² + b² , cos θ = , sin θ =
r r
Pour tous nombres complexes z et z' non nuls d'écriture trigonométriques :
z = [r , θ ] = r (cos θ + i sin θ ) et z' = [r' , θ' ] = r' (cos θ' +i sin θ' )
z = [r ,−θ ] − z = [r , π + θ ] kz = [kr , θ ], k > 0 kz = [− kr , π + θ ], k < 0
zz' = [rr' , θ + θ' ]
1 1
=  ,−θ 
z r


z r
=  , θ − θ' 
z'  r'


z n = r n , nθ , n ∈ Z [ ]
Forme exponentielle
Pour tout réel θ , on note e iθ le nombre complexe cos θ + i sin θ .
π π
i −i
e i 0 = 1 e i π = −1 e 2 =i e 2 = −i
e iθ = 1 e i( θ + 2 kπ ) = e iθ e iθ = e −iθ − e iθ = e i( π +θ )
e iθ .e iθ' = e i( θ +θ' )
e
1
iθ
= e −iθ
e
e iθ
iθ'
= e i( θ +θ' ) (e )
iθ n
= e inθ , n ∈ Z
1

2. Formule de Moivre
Pour tout réel φ et tout entier n , on a : (cos φ + i sin φ) = cos nφ + i sin nφ
n
Formule d’Euler
e iφ + e −iφ e iφ − e −iφ
cos φ = et sin φ =
2 2i
Racines nièmes
Soit a un nombre complexe non nul et n ∈ N * tel que a = [r , θ ] .
1 i  θ + 2 kπ 
 
L’équation z = a admet dans C, n solutions distinctes définis par z k =
n
, k ∈ {0 ,1,..., n − 1}
r ne  n 
Conséquences :
Les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle
trigonométrique.
Théorème
Soit a un nombre complexe non nul d’argument φ . L’équation z² = a admet dans C deux solutions opposées :
 φ φ  φ φ
z1 = a  cos + i sin  et z2 = - a  cos + i sin 
 2 2  2 2
Ces solutions sont appelées racines carrées du nombre complexe a .
Théorème
L’équation az² + bz + c = 0 ( a , b et complexes et a non nul) admet deux solutions dans C :
−b + σ −b − σ
z1 = et z2 = où ∆ = b² − 4 ac et σ est une racine carrée de ∆
2a 2a
b c
az² + bz + c = a( z − z1 )( z − z 2 ) z1 + z 2 = − z1 z 2 =
a a
 x ² − y² = a

A retenir : Soit z² = a + ib , a , b ∈ R , avec z = x + iy alors on a x² + y² = a² + b²
 2 xy = b

Théorème
Soit a0 , a1 ,..., a n des nombres complexes tels que a n ≠ 0 , n ≥ 2 .
Soit P ( z ) = an z n + an −1 z n −1 + ... + a1 z + a0 .
Si z 0 est un zéro de P, alors P ( z ) = ( z − z 0 ) g ( z ) , où g(z) est se la forme a n z n−1 + bn−2 z n−2 + ... + b0 , avec
b0 ,b1 ,..., bn−2 complexes.
2