1.
TRABALHO SOBRE POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO 2º GRAU. TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO SUPERIOR.03/03/2009.

2.
CONJUNTO N: Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 , ...}

3.
CONJUNTO Z: <ul><li>Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} </li></ul>

4.
Z+ <ul><li>O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} </li></ul>

5.
Z- <ul><li>- Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} </li></ul>

6.
Z+ e N <ul><li>Z*+ = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como &quot;12,050505...&quot;, são também conhecidas como dízimas periódicas . Os racionais são representados pela letra Q. </li></ul>

7.
IRRACIONAIS e REAIS <ul><li>Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R. </li></ul>

8.
N<Z<Q<R

9.
POTENCIAÇÃO: <ul><li>Definição Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo: 32 (leia-se &quot;três elevado ao quadrado&quot;, ou &quot;três elevado à segunda potência&quot; ou ainda &quot;três elevado à dois&quot;). No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9. Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27 </li></ul>

10.
PROPRIEDADES: <ul><li>Algumas outras definições que podem ser utilizadas: a1 = a a0 = 1 Propriedades 1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes: an . am = an+m 2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes: (an) / (am) = an-m , &quot;a&quot; diferente de zero. 3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes: (am)n = am . n </li></ul>

11.
ATENÇÃO: <ul><li>As potências abaixo NÃO são iguais: (am)n e amn na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n , e depois elevar a ao resultado da operação anterior. 4 - (a . b)n = an . bn 5 - (a/b)n = an/bn , &quot;b&quot; diferente de zero. Potenciação com números negativos Observe os exemplos abaixo: (-3)2 = 9 -32 = -9 </li></ul>

12.
CUIDADO COM O SINAL: <ul><li>sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo: (-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27 se tirarmos os parênteses -33 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27 </li></ul>

13.
POTENCIA: <ul><li>Utilizamos a potenciação para representar uma multiplicação de fatores iguais. Por Exemplo: 4*4*4 = 64 , utilizando a potenciação podemos escrever a expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. A seguir mostraremos definições de potenciação e regras básicas. </li></ul>

14.
P1: <ul><li>Propriedades da potenciação Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”. </li></ul>

15.
P2: <ul><li>Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”. </li></ul>

16.
P3: <ul><li>Potência de potência Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”. Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”. </li></ul>

17.
Q <ul><li>Números racionais (Q) O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica. Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111... Observe que na divisão continuada do numerados p pelo denominador q , só podem ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade. </li></ul>

18.
DEFINIÇÃO: <ul><li>Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente. Exemplos: 2/7 = 0,285714285... 1/9 = 0,111111111... 4/13 = 0,307692307... </li></ul>

19.
CLASSIFICAÇÃO: <ul><li>Dízimas periódicas simples : Quando o período aparece logo após à virgula. Exemplos: 2/3 = 0,6666666....... Período: 6 4/13 = 0,307692307.... Período: 307692 31/33 = 0,93939393.... Período: 93 </li></ul>

20.
DIZÌMAS COMPOSTAS: <ul><li>Dízimas periódicas compostas : Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. Exemplos: 35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não periódica: 8 44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não periódica: 9 35/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não periódica: 97 </li></ul>

21.
PROPRIEDADES: <ul><ul><ul><ul><ul><li>Potencias: </li></ul></ul></ul></ul></ul>

22.
ATIVIDADES:

23.
CONTINUAÇAO:

24.
EXPOÊNTE NEGATIVO:

25.
PRODUTO DE POTÊNCIAS:

26.
DIVISÃO DE POTÊNCIAS:

27.
POTÊNCIA DE POTÊNCIA:

28.
POTÊNCIAS COM EXPOÊNTES IGUAIS

29.
EXPOÊNTES IGUAS NA DIVISÃO:

30.
RADICAIS:

31.
RAIZ EXATA:

32.
EXEMPLO 2:

33.
VOLUME:

35.
RADICAIS:

36.
RADICAIS:

37.
EQUAÇÃO 2º GRAU: <ul><li>Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós. </li></ul><ul><li>O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma. </li></ul>

38.
SEJA A EQUAÇÃO: <ul><li>a x² + b x + c = 0 </li></ul><ul><li>com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos: </li></ul><ul><li>x² + (b/a) x + c/a = 0 </li></ul><ul><li>Passando o termo constante para o segundo membro, teremos: </li></ul><ul><li>x² + (b/a) x = -c/a </li></ul><ul><li>Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter </li></ul>

39.
DEDUÇÃO: <ul><li>x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² </li></ul><ul><li>Simplificando ambos os lados da equação, obteremos: </li></ul><ul><li>[x+(b/2a)] 2 = (b² - 4ac) / 4a² </li></ul>

40.
OBSERVE: <ul><li>Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação: </li></ul><ul><li>x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²] </li></ul><ul><li>ou </li></ul><ul><li>x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²] </li></ul>

41.
CONCLUSÃO: <ul><li>A FORMULA: </li></ul>

42.
<ul><li>x² - 5 x + 6 = 0 </li></ul><ul><li>Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 </li></ul><ul><li>Escrever o discriminante D = b²-4ac. </li></ul><ul><li>Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1 </li></ul><ul><li>Escrever a fórmula de Bhaskara: </li></ul><ul><li>Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula: </li></ul><ul><li>x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 x&quot; = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2 </li></ul>

43.
VEJA:

44.
veja <ul><li>Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau. </li></ul><ul><li>Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos: </li></ul><ul><li>l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são: </li></ul><ul><li>a = 2, b = - 4 e c = 5 </li></ul><ul><li>l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são: </li></ul><ul><li>a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x) </li></ul><ul><li>l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são: </li></ul><ul><li>a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x) </li></ul>

45.
Incompleta: <ul><li>l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são: </li></ul><ul><li>a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos) </li></ul><ul><li>A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula. </li></ul>

46.
OBS: <ul><li>Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos </li></ul><ul><li>que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0. A equação ficará assim: </li></ul><ul><li>0 . x + bx + c = 0 </li></ul><ul><li>bx + c = 0 ® equação do 1º grau. </li></ul><ul><li>Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau. </li></ul>

47.
RESOLVENDO: <ul><li>Resolução de uma equação </li></ul><ul><li>Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor. </li></ul><ul><li>No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação. </li></ul>

48.
EXEMPLO 1: <ul><li>EXEMPLO 1 </li></ul><ul><li>a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da </li></ul><ul><li>equação. </li></ul><ul><li>A equação é: x2 + 6x - 16 = 0 </li></ul><ul><li>Substituindo x por 2, temos: </li></ul><ul><li>2.2 + 6 . 2 - 16 = 0 </li></ul><ul><li>4 + 12 - 16 = 0 </li></ul><ul><li>16- 16 = 0 ® sentença verdadeira </li></ul><ul><li>Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0. </li></ul>

49.
VERIFIQUE: <ul><li>b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução. </li></ul><ul><li>Substituindo x por 1, temos: </li></ul><ul><li>1.2 + 6 . 1 - 16 = 0 </li></ul><ul><li>1 + 6 - 16 = 0 </li></ul><ul><li>7- 16 = 0 ® sentença falsa </li></ul><ul><li>Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0. </li></ul>

50.
EXEMPLO 2: <ul><li>EXEMPLO 2 </li></ul><ul><li>Resolver a equação 3x2 - 27 = 0 </li></ul><ul><li>3x2 = 27 x2 = 27 3 </li></ul><ul><li>x2 = 9 </li></ul><ul><li>x = x = ± 9 ® x = + 3 </li></ul><ul><li>As soluções da equação são +3 e -3. </li></ul>

51.
2º CASO: <ul><li>Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax2 + bx = 0) </li></ul><ul><li>Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência: </li></ul><ul><li>x (ax + b) = 0 </li></ul><ul><li>Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo: </li></ul><ul><li>x = 0 </li></ul><ul><li>ì </li></ul><ul><li>Se x (ax + b) = 0, então ou </li></ul><ul><li>î </li></ul><ul><li>ax + b = 0 ® ax = -b </li></ul><ul><li>x = -b </li></ul><ul><li>a </li></ul><ul><li>As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = -b </li></ul><ul><li>a </li></ul>

52.
EXEMPLO: <ul><li>Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. </li></ul><ul><li>x (3x - 15) = 0 x = 0 </li></ul><ul><li>ou </li></ul><ul><li>3x - 15 = 0 </li></ul><ul><li>15 </li></ul><ul><li>3x = 15 ® x = </li></ul><ul><li>3 </li></ul><ul><li>® x = 5 </li></ul><ul><li>As soluções são x1 = 0 e x2 = 5. </li></ul>