El documento explica los pasos para diseñar controladores mediante el método del lugar geométrico de las raíces (LGR). Describe cómo determinar los parámetros de controladores proporcionales, integrales y derivativos analizando el efecto de sus polos y ceros en el LGR para cumplir las especificaciones de diseño.

1. Diseño de Controladores: Receta para controlar un sistema: 1.- Determine qué debe hacer el sistema y cómo debe hacerlo, estas serán las especificaciones de diseño . Con estas Ud. guiará el resto de los pasos y al final evaluará si su diseño cumple con lo deseado. 2.- Determine cuál es la mejor configuración del sistema de control a implementar. Esto se logra con un poco de conocimiento teórico y otro tanto de experiencia. Se debe especificar el esquema y el algoritmo. 3.- Determine los valores exactos (o sus rangos) de los parámetros operativos del sistema de control de tal forma que este sea capaz de alcanzar las especificaciones de diseño. Este paso se denomina sintonización o ajuste del sistema de control, se puede realizar en forma analítica como en forma práctica empírica (error y ensayo). 4.- Compruebe que el sistema de control diseñado cumple las especificaciones de diseño y de ser necesario repita los pasos 2 y 3 nuevamente. Esto se llama Validación .

2. Diseño de Controladores: Las especificaciones de diseño: Son únicas para una aplicación dada, inclusive, son únicas para un mismo sistema en dos aplicaciones diferentes por ejemplo, un mismo modelo de caldera en dos plantas diferentes. En general son un conjunto de valores específicos de los parámetros ya conocidos en el análisis de sistemas y pueden ser tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Es muy común que las especificaciones de diseño se presenten en términos de: Parámetros de la Respuesta Temporal Parámetros de la Respuesta de Frecuencia Estabilidad Marginal o relativa En la teoría de control avanzado se puede incluir sensibilidad a la variación de parámetros (robustez), rechazo a perturbaciones y otros.

3. Diseño de Controladores mediante LGR: El método del lugar geométrico de las raíces es un enfoque gráfico que permite determinar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicaciones de los polos y ceros en lazo abierto conforme algún parámetro (por lo general la ganancia) varía de cero a infinito. En la práctica, una gráfica del lugar geométrico de las raíces de un sistema indica que el desempeño deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia (solo acción P). En estos casos, es necesario que el controlador incorpore dinámica, es decir un arreglo de polos y ceros (algoritmos PI, PD y redes de adelanto o atraso de fase). Cuando se diseña un sistema de control que requiera dinámica, se debe modificar los lugares geométricos de las raíces originales insertando un el conjunto de polos y ceros necesarios. Para esto, primero deben comprenderse los efectos de la adición de los polos y/o ceros sobre el lugar geométrico de las raíces.

4. Diseño de Controladores mediante LGR: Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de mover el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disrnimrir la estabilidad relativa del sistema y a relentar el asentamiento de la respuesta. LGR orginal de 1 polo LGR agregando 1 polo LGR agregando 2 polos

5. Diseño de Controladores mediante LGR: Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de mover el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta. LGR orginal de 2 polos LGR agregando 1 cero

6. Diseño de Controladores mediante LGR: Consideraciones para el diseño: 1. En sistemas de 2do orden, la respuesta quedará determinada por la naturaleza de los polos en sub, sobre o criticamente amortiguada. 2. La respuesta de cualquier sistema estará gobernada por los polos más cercanos al origen en el plano S o más cercanos al Z=1 en el plano Z ( polo dominante ). 3. Mientras los polos dominantes están más a la izquierda en el plano S o más cerca del origen en el plano Z, la respuesta del sistema será más rápida y con mayor ancho de banda.

7. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño de Controlador Proporcional: La escencia del diseño con LGR es en la mayoría de los casos, mover los polos de la EC hacia un lugar tal que el desempeño del sistema sea mejor. Para lograr esto existen muchas formas, pero la más sencilla es agregar una ganancia K en la cadena directa del sistema en Lazo Cerrado (Algoritmo P). Al incorporar una simple ganancia es posible mover los polos hacia los lugares deseados, de esta forma el diseño se reduce a encontrar el exacto valor de K (o el rango) que mueva los polos lo más cerca posible de la ubicación deseada.

8. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño de Controlador Proporcional: Poe ejemplo, sea (s +3) G(s) = ------- ------------- y H(s) = 1 s (s+1) (s+2) Veamos la respuesta del sistema en LC para K= [ 0.1, 0.3, 0.7, 1, 1.5, 2]

9. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño de Controlador Proporcional: En el lado izquierdo se observa la ubicación de las raíces del sistema en LC de G(s) a medida que se varía K. En el lado derecho se observa el LGR del mismo sistema para todos los valores de K posibles.

10. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño de Controlador Proporcional: En el lado izquierdo se observa el LGR de G(s) y en el derecho el LGR de 2G(s) Entonces, ¿Cuál es la diferencia?

11. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño de Controlador Proporcional: En el lado izquierdo se observa el LGR de G(s) y en el derecho el LGR de 2G(s) La diferencia es en el valor de ganancia para una misma posición de un polo. En el caso de la derecha la ganancia es menor por que ya se ha incuido una ganancia de 2 a G(s).

12. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño de Controlador Proporcional: Para diseñar un compensador con algoritmo solo Proporcional se deben considerar los requerimientos y su aparición en el plano S y/o Z según sea el caso. Usualmente los requerimientos se traducen en unos valores de zeta y wn en el mapa del plano respectivo. LGR de G(s) resaltanto el K para un zeta Respuesta al escalón unitario en lazo aproximado de 0.707 cerrado de G(s) con K para zeta 0.707

13. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño de Controlador Proporcional: Para diseñar un compensador con algoritmo solo Proporcional se deben considerar los requerimientos y su aparición en el plano S y/o Z según sea el caso. Usualmente los requerimientos se traducen en unos valores de zeta y wn en el mapa del plano respectivo. LGR de 2*G(s) resaltanto el K para un zeta Respuesta al escalón unitario en lazo aproximado de 0.707 cerrado de 2*G(s) con K para zeta 0.707

14. Diseño de Controladores mediante LGR: Condición de Angulo y de Magnitud: Para un sistema de control de lazo cerrado siempre se cumple que: Extrayendo la E.C. Del sistema en lazo cerrado se tiene: Considerando que s es una variable compleja que tiene magnitud y fase, para satisfacer la E.C. Es necesario que se cumplan las siguientes dos condiciones en forma simultánea: Condición de Angulo Condición de Magnitud Σ R(s) G(s) + - C(s) Gc(s) H(s)

15. Diseño de Controladores mediante LGR: Condición de Angulo y de Magnitud: Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como la de magnitud son las raíces de la ecuación característica o los polos en lazo cerrado. El lugar de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que solo satisfacen la condición de ángulo. La raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor especifico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud. En resumen: La C.A. y la C.M. Se usarán para calcular los ceros y/o polos de los controladores y compensadores a diseñar

16. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: Recordar que la FT de este controlador es: (s + 1/Ti) Gc(s) = K ---------------- s Sus parametros de ajuste son: K y Ti y solo aceptan valores reales positivos. La estrategia de diseño es ubicar el cero lo más cerca del origen posible con la finalidad de mantener el comportamiento del sistema lo más parecido al sistema original. Para esto se usará como fórmula de cálculo: 1 --- = 0.1 PDD Ti Donde PDD es el polo dominante del sistema original. -1/Ti

17. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: Recordar que la FT de este controlador es: (s + 1/Ti) Gc(s) = K ---------------- s Sus parametros de ajuste son: K y Ti y solo aceptan valores reales positivos. Una vez obtenido el cero, K se calcula con la misma metodología que en el caso del controlador proporcional. -1/Ti

18. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: Ejemplo: Sea la siguiente planta: 4 G(s) = ---------------- s + 2 Se desea diseñar un controlador PI tal que el Tss = 0.1 seg Solución: K (s + 1/Ti) El controlador buscado es: Gc(s) = ------------------- s 1 --- = 0.1 PDD = 0.1 * 2 --> Ti = 5 Ti LGR de G: LGR de Gc*G

19. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: Para obtener el valor de K se debe escribir la E.C. Del sistema total en lazo cerrado, esto es: 1+Gc(s)G(s)=0 Lo que resulta en: s 2 + (2+4K) s + 0.8K = 0 Si esto se iguala a la E.C. De un sistema de segundo orden: s 2 + 2zwn s + wn 2 = 0 Por otro lado, como Tss=0.1seg se tiene: Tss= 4/(zwn) Con estas 3 ecuaciones se forma un sistema y se determina que K=19.5 Finalmente: 19.5 (s+0.2) Gc(s) = -------------------- s

20. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: 19.5 (s+0.2) Gc(s) = -------------------- S En la simulación se observa que no se alcanza exactamente el Tss deseado pero es una muy buena aproximación.

21. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: En el caso de que la planta tenga un modelo de segundo orden con z>=1 entonces el procedimiento cambia y se debe usar las condiciones de magnitud y de angulo. Ejemplo: Sea el sistema: 1 G(s) = ------------------ (s+2)(s+1) Se desea que la respuesta en lazo cerrado sea determinada por un polo dominante en s=-1+-1/2j Solución: K (s + 1/Ti) El controlador buscado es: Gc(s) = ------------------- s La ubicación de las raíces queda: -1/Ti -1 -2 -1/2 PDD -1/2 a1 a2 a3 b

22. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: Para determinar la ubicación del cero se usa la C.A. De tal forma que el LGR pase por PDD: a1 + a2 + a3 + b = 180º a1 = arctan(1/0.5) = 26.5651º a2 = 90º a3 = 90º + arctan(2/1) = 153.4349º b = 180º – 273º = 93º 1 – 1/Ti = tan(b-90º)/2 => 1/Ti = 0.9738 Para determinar la K del controlador se usa la C.M.: K db ------------ = 1 d1 d2 d3 db = 0.5006 d1 = 1.1180 d2 = 0.5 d4 = 1.1180 --> K = 2.2334

23. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PI: El controlador queda: 2.2334 (s+0.9738) Gc(s) = -------------------------------- s Comparando G en L.A. Y GcG en L.C.:

24. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PD: Recordar que la FT de este controlador es: Gc(s) = K ( 1 + Td s ) = Kd ( s + 1/Td ) Sus parametros de ajuste son: K y Td y solo aceptan valores reales positivos. El método general es para mejorar la respuesta transitoria. A partir de las especificaciones de diseño se obtiene el PDD en lazo cerrado a satisfacer. Para lograr que el LGR del sistema incluyendo el controlador pase por el PDD se ubicará el cero de tal forma que atraiga las ramas del LGR al PDD. Para fijar el cero, se impone la condición de angulo. Para establecer la Kd se impone la condición de magnitud. -1/Td

25. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PD: Ejemplo: Sea la siguiente planta: 1 G(s) = ---------------------- s (s+2)(s+3) Se desea diseñar un controlador PD tal que el essp <10% y los polos dominantes sean s=-1+-2j Solución: Claramente el polo dominante deseado no pertenece al LGR pero el error siempre se satisface por ser un sistema de tipo 1. PDD

26. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PD: El ángulo necesario a añadir será: Ð G ½ PDD = - Ð s ½ PDD - Ð (s+1) ½ PDD - Ð (s+3) ½ PDD Ð G ½ PDD = - 116,56 ° - 90 ° - 45 ° = - 251,56 °

27. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PD: El controlador queda: Gc(s) = 6 (s+1.667)

28. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PD: Comparando G en L.A. Y GcG en L.C.:

29. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador PID: Para diseñar un controlador PID se debe diseñar un PD para cumplir las especificaciones de respuesta transitoria y un PI para las de respuesta estacionaria.

30. Diseño de Controladores mediante LGR: Diseño del Controlador de adelanto de Fase: Procedimiento de diseño: 1) A partir de las especificaciones que debe cumplir el sistema a lazo cerrado, se determina la localización de los polos dominantes deseados (P.D.D) 2) Se traza el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado y se verifica si los polos dominantes deseados pertenecen al LGR. Si no se dispone del LGR se verifica utilizando la condición de ángulo. 3) Se calcula el ángulo necesario para que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. ( Ф ). Se ubica el cero del compensador abajo del polo dominante deseado y Se ubica el polo de forma tal que se satisfaga la condición de ángulo α z - α p = Ф 4) Sea cual sea, el método de diseño, se debe calcular por condición de Módulo la ganancia tal que, los polos dominantes deseados sean la solución de la ecuación característica.