5 intervalo de confiança

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5 intervalo de confiança

  1. 1. Intervalos de Confiança p/ Médias e ProporçõesI.C. p/ a média µ de uma população Normal com variância σ²conhecida X:N(?, σ²)Procedimento p/ Construção do I.C.: 1. Retirar uma amostra casual simples de n elementos; 2. Calcular a média da amostra ‫;ݔ‬ ഥ ఙమ ఙ 3. Calc. desvio padrão da média amostral: ߪ௫̅ =ට = ; ௡ √௡ 4. Fixar o nível de significância α e com ele determina ܼ஑ tal que P(|Z|>ܼ஑ )= α ou P(Z>ܼ஑ )= α/2 e P(Z<-ܼ஑ )= α/2.
  2. 2. Como Z = (‫ߤ − ̅ݔ‬௫̅ )/ߪ௫̅ ou Z = (‫ߪ/)ߤ − ̅ݔ‬௫̅ →P(|(‫ߪ/)ߤ − ̅ݔ‬௫̅ | < ܼ஑ ) = 1− α →P(‫ܼ − ̅ݔ‬α ߪ௫̅ < ߤ < ‫ܼ + ̅ݔ‬α ߪ௫̅ ) = 1− αSignifica que de 100 amostras do mesmo tamanho nPara α = 5% esperamos que 95 dos I.C. assim construídoscontenham o verdadeiro valor de ߤExemplos de aplicação:
  3. 3. 1. De uma população Normal X com ߪ ₂ =9, tiramos uma amostra de 25 observações, obtendo ∑௡ ‫ݔ‬௜ =152 ௜ୀଵ Determinar um IC de 90% para ߤ2. População de 1000 elementos c/ distribuição aprox. normal com ߪ ₂ =400, tira-se uma amostra de 25 elementos sem reposição, obtendo-se ‫ .051= ̅ݔ‬Elaborar um IC para ߤ, ao nível de 5%
  4. 4. 3. De uma população Normal com σ=5, retiramos uma amostra de 50 elementos e obtemos ‫24= ̅ݔ‬ a)Fazer um IC para a média ao nível de 5%; b)Qual o erro de estimação ao nível de 5%? c)Para que o erro seja ≤1, com prob. de acerto de 95%, qual deverá ser o tamanho da amostra?
  5. 5. Intervalo de Confiança para grandes Amostras Estimação de ProporçõesQuando proporção p populacional é conhecida, ௫ ௣௤ ොି௣ ௣‫= ̂݌‬ tem distribuição ‫ ≈ ̂݌‬N(p, ) ou : N(0,1) ௡ ௡ ఙ೛ ෝPara construir I.C. para p desconhecida, determinar ‫ ̂݌‬଴ na ො ෝ ௣బ.೜బamostra e considerar ߪ௣ ≈ ට ො → ao nível α ௡ ො ௣బ ି௣de significância, P(|‫ݖ≤|ݖ‬ఈ )=1 – α sendo z= → ఙ೛ ෝP(‫ ̂݌‬଴ − ‫ݖ‬ఈ . ߪ௣ ≤ p ≤‫ ̂݌‬଴ + ‫ݖ‬ఈ . ߪ௣ ) = 1 – α ො ො
  6. 6. Exemplos 1. Uma amostra de 100 elementos encontrou-se 20 sucessos. Ao nível de 1% contruir IC para a proporção real de sucessos na população. 2. Para estimar a percentagem de alunos favoráveis à modificação do currículo, tomou-se uma amostra de 100 alunos e 80 deles foram favoráveis. a) Fazer um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à mudança ao nível de 4%. b) Qual o valor do erro de estimação cometido em a? IC para média de populações Normais com Variâncias Desconhecidas
  7. 7. Dois procedimentos • Se n ≤ 30 usa-se a distribuição t de Student (Later) • Se n > 30 usa-se Normal com o estimador ܵ ଶ de ߪ ₂ ଵܵଶ = ሾ∑௡ ‫ݔ‬௜ ଶ − ݊‫ ̅ݔ‬ଶ ሿ ௜ୀଵ ௡ିଵComo a amostra é grande, ܵ ଶ ≈ ߪ ₂ ௌమ ௌ ߪ௫̅ ≈ට ≈ → ௡ √௡ P(‫ݖ − ̅ݔ‬ఈ . ߪ௫̅ < μ < ‫ݖ + ̅ݔ‬ఈ . ߪ௫̅ ) = 1 – α Exemplos
  8. 8. 1)De população Normal com parâmetros desconhecidos,tiramos uma amostra de tamanho 100 obtendo ‫݁ 211 = ̅ݔ‬ܵ ଶ = 11. Fazer IC para µ ao nível α = 10%2)A altura dos homens de uma cidade apresenta umadistribuição Normal. Para estimar μ levantou-se uma amostrade 150 homens. Obtendo :∑ଵହ଴ ‫ݔ‬௜ =25800 cm e ∑‫ݔ‬௜ ଶ =4.440.075 ܿ݉ଶ . Ao nível de 2% ௜ୀଵdetermine um IC para a altura média dos homens da cidade.3)De uma população normal com ߪ ₂ =16, levantou-se umaamostra obtendo-se as observações 10, 5, 10, 15. Determinarao nível de 13% um I.C. para a média da população.
  9. 9. 4)A experiência com trabalhadores de uma indústria indicaque o tempo necessário para que um trabalhador,aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuídode maneira aproximadamente normal, com σ=12 mins.. Umaamostra de 25 trabalhadores forneceu ‫= ̅ݔ‬140 ݉݅݊‫ .ݏ‬Determinar os limites de confiança de 95% para amédia µ da população.5)Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma amostra de 100 itens, constatando-se que 4 peçaseram defeituosas. Construir o IC para a proporção “p” daspeças defeituosas ao nível de 10%.
  10. 10. 6)Uma votação realizada entre 400 eleitores, escolhidos aoacaso dentre todos eleitores de um determinado distrito,indicou que 55% deles são a favor do candidato A.Det. Os limites de confiança de 99% para a proporção detodos os eleitores do distrito favorável ao candidato A.Se o número de eleitores deste distrito fosse de 230.000pessoas, qual seria a votação esperada pelo candidato?7)Uma amostra aleatória de 80 notas de matemática de umapopulação com distribuição normal de 5000 notas apresentamédia de 5,5 e desvio padrão de 1,25.a)Quais os limites de confiança de 95% para a média das5000 notas?b)Com que grau de confiança diríamos que a média dasnotas é maior que 5,0 e menor que 6,0?
  11. 11. 8)Para estimar a proporção de defeitos de uma linha deprodução de uma peça, examinou-se uma amostra de 100peças,encontrando-se 30 defeituosas. Sabe-se que oestimador ‫ ̂݌‬para este tamanho de amostra tem desviopadrão de 3%. Encontrar os limites de confiança de 95% parap e o respectivo erro de estimação.9)Querendo estimar a média de idade de uma população Xcom distribuição normal, levantou-se uma amostra de 100observações obtendo ‫ 03= ̅ݔ‬e s = 4. Ao nível de 90%,determinar o limite de confiança para a verdadeiramédia da população.
  12. 12. 10)Que tamanho de amostra seria necessário retirar de umapopulação normal X com σ=12, a fim de estimar a duraçãomédia de uma tarefa em minutos, com um erro de, nomáximo, 2 minutos e com probabilidade de 95% de estarcorreto?11)A ingestão de um remédio adormece os pacientes. Otempo decorrido entre a ingestão do remédio e oadormecimento é distribuído normalmente com σ=10min. Deuma amostra de 25 pacientes, observou-se que ∑ଶହ ‫ݔ‬௜ = 1375 ௜ୀଵmin.a)Construir um IC para µ, com limites ߤଵ e ߤଶ (ߤଵ < ߤଶ ), deforma que seja observada a seguinte especificação: à
  13. 13. desconfiança que µ < ߤଵ , atribuímos o nível de 5%, enquantoà desconfiança que µ > ߤଶ , atribuímos o nível de 10%. Obs.:IC com limites assimétricos.b)Qual é a probabilidade deste intervalo conter o µ?

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