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Principais Distribuições Contínuas


1.Distribuição Uniforme




2.Distribuição Exponencial
Seja o intervalo de tempo decorrido entre duas
chegadas de um processo Poisson de parâmetro λ (isto é,
o número de sucessos em um intervalo de observação
segue uma distribuição Poisson de média         ). A
distribuição da variável aleatória é conhecida como
distribuição Exponencial.


A função de repartição no ponto será


Derivando-se a função de repartição em relação a t,
temos a função densidade de probabilidade
.




3.Distribuição Normal ou de Gauss
A função densidade de probabilidade é:

                                          .

μ e σ são respectivamente média e variância da
distribuição.
Teorema do limite central: Uma variável aleatória
resultante de uma soma de variáveis aleatórias
independentes, no limite quando tende a tem
distribuição normal.
Aproximação Pela Normal
Binomial resulta da soma de Bernoullis → se n grande
(pelo teorema do limite central) pode ser aproximada
pela distribuição Normal.
são suficientes para aproximar por Normal com razoável
precisão.
O mesmo pode ser dita da distribuição de Poisson
(resulta de um caso limite da Binomial)
                     é condição suficiente para fazer a
aproximação.
Para aproximar discretas por uma distribuição contínua
tem que fazer correção de continuidade.
Exemplo:             aproximar por
                            na Normal

Ou                  →
Outras distribuições contínuas serão introduzidas ao
longo do curso...

        é uma transformação importante

 é         As tabelas são sempre baseadas em .
Exemplos
  1. Certo tipo de fusível tem duração de vida média que
     segue uma distribuição exponencial com média de
     100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10 e, se
     durar menos de 200 horas, existe uma penalidade de
     R$8.
     a) Qual a probabilidade de um fusível durar mais de
        150 horas?
     b) Foi proposta a compra de uma outra marca com
        vida média de 200 horas a um custo de R$15 cada.
        Considerando também a incidência do custo
        adicional, deve ser feita a troca?
  2. A duração de um certo tipo de pneu, em quilômetros
     rodados, é uma variável normal com duração média
     60.000 km e desvio 10.000 km.
     a) Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao
        acaso durar mais de 75.000km?
     b) Qual a probabilidade de um pneu durar entre
        63.500 e 70.000km?
     c) Qual a probabilidade de um pneu durar entre
        50.000 e 70.000km?
     d) Qual a probabilidade de um pneu durar
        exatamente 65.555,3 km?
e) O fabricante deseja fixar uma garantia de
      quilometragem, de tal forma que, se a duração do
      pneu for inferior à garantia, o pneu será trocado.
      De quanto deve ser essa garantia para que
      somente 1% dos pneus sejam trocados?
3. Uma variável com distribuição normal é tal que 90%
   dos valores estão simetricamente distribuídos entre
   40 e 70. Qual a proporção de valores abaixo de 35?
4. Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5
   xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se
   normalmente com média de 190g e variância 100g2.
   Os pesos das xícaras também são normais com
   média 170g e variância 150g2. O peso da embalagem
   é praticamente constante e igual a 100g.
      a) Qual a probabilidade da caixa pesar menos de
         2000g?
      b) Qual a probabilidade de uma xícara pesar mais
         que um pires numa escolha ao acaso?
5. No lançamento de 30 moedas honestas, qual a
   probabilidade de saírem
      a) Exatamente 12 caras?
      b) Mais de 20 caras?
6. Em uma indústria acontecem, em média, 0,6
   acidentes de trabalho por dia, e o número de
   acidentes segue bem aproximadamente uma
   distribuição de Poisson. Calcular a probabilidade de
   que, em 30 dias trabalhados, ocorram
     a) Exatamente 18 acidentes;
     b) Mais que 10 e não mais que 20 acidentes.

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3 distribuições continuas

  • 1. Principais Distribuições Contínuas 1.Distribuição Uniforme 2.Distribuição Exponencial Seja o intervalo de tempo decorrido entre duas chegadas de um processo Poisson de parâmetro λ (isto é, o número de sucessos em um intervalo de observação segue uma distribuição Poisson de média ). A distribuição da variável aleatória é conhecida como distribuição Exponencial. A função de repartição no ponto será Derivando-se a função de repartição em relação a t, temos a função densidade de probabilidade
  • 2. . 3.Distribuição Normal ou de Gauss A função densidade de probabilidade é: . μ e σ são respectivamente média e variância da distribuição. Teorema do limite central: Uma variável aleatória resultante de uma soma de variáveis aleatórias independentes, no limite quando tende a tem distribuição normal.
  • 3. Aproximação Pela Normal Binomial resulta da soma de Bernoullis → se n grande (pelo teorema do limite central) pode ser aproximada pela distribuição Normal. são suficientes para aproximar por Normal com razoável precisão. O mesmo pode ser dita da distribuição de Poisson (resulta de um caso limite da Binomial) é condição suficiente para fazer a aproximação. Para aproximar discretas por uma distribuição contínua tem que fazer correção de continuidade. Exemplo: aproximar por na Normal Ou → Outras distribuições contínuas serão introduzidas ao longo do curso... é uma transformação importante é As tabelas são sempre baseadas em .
  • 4. Exemplos 1. Certo tipo de fusível tem duração de vida média que segue uma distribuição exponencial com média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10 e, se durar menos de 200 horas, existe uma penalidade de R$8. a) Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas? b) Foi proposta a compra de uma outra marca com vida média de 200 horas a um custo de R$15 cada. Considerando também a incidência do custo adicional, deve ser feita a troca? 2. A duração de um certo tipo de pneu, em quilômetros rodados, é uma variável normal com duração média 60.000 km e desvio 10.000 km. a) Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar mais de 75.000km? b) Qual a probabilidade de um pneu durar entre 63.500 e 70.000km? c) Qual a probabilidade de um pneu durar entre 50.000 e 70.000km? d) Qual a probabilidade de um pneu durar exatamente 65.555,3 km?
  • 5. e) O fabricante deseja fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu será trocado. De quanto deve ser essa garantia para que somente 1% dos pneus sejam trocados? 3. Uma variável com distribuição normal é tal que 90% dos valores estão simetricamente distribuídos entre 40 e 70. Qual a proporção de valores abaixo de 35? 4. Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190g e variância 100g2. Os pesos das xícaras também são normais com média 170g e variância 150g2. O peso da embalagem é praticamente constante e igual a 100g. a) Qual a probabilidade da caixa pesar menos de 2000g? b) Qual a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires numa escolha ao acaso? 5. No lançamento de 30 moedas honestas, qual a probabilidade de saírem a) Exatamente 12 caras? b) Mais de 20 caras?
  • 6. 6. Em uma indústria acontecem, em média, 0,6 acidentes de trabalho por dia, e o número de acidentes segue bem aproximadamente uma distribuição de Poisson. Calcular a probabilidade de que, em 30 dias trabalhados, ocorram a) Exatamente 18 acidentes; b) Mais que 10 e não mais que 20 acidentes.