Análise de VariânciaComparação de várias médiasA Análise de Variância é um métodosuficientemente poderoso para identificar...
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2-Estimativa entre amostras Wͧ (Variância                                            amostral da média amostral estima    ...
3-Estimativa residual WWCada amostra individual fornecerá umaestimativa da variância $ :                 –                ...
Exemplo para ilustrar a ANOVAAmostra 1: 64 66 59 65 62Amostra 2: 71 73 66 70 68Amostra 3: 52 57 53 56 53ExemploTrês chapas...
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ExemploNuma experiência agrícola foram usados 6diferentes fertilizantes em duas variedadesde milho, tendo sido obtidas as ...
tratamentos. Representamos estaestimativa por ˟ $ e a respectiva soma dequadrados por ˟˝ˠJ˟˝ˠJ =    (#         (#   −˟˝H =...
ExemploForam observados os tempos, emsegundos, gastos por 4 operários paramontar certa peça por três métodosdiferentes. Ca...
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11 análise de variância

  1. 1. Análise de VariânciaComparação de várias médiasA Análise de Variância é um métodosuficientemente poderoso para identificardiferenças entre as médias populacionaisdevidas a várias causas atuandosimultaneamente sobre os elementos dapopulação.Uma Classificação – Amostras demesmo tamanhoK amostras de tamanho n retiradas de kpopulações cujas médias (i=1,2,...,k)queremos comparar (testar a hipótese):H" : # = $ =⋯=Contra a alternativa de que pelo menosuma das médias populacionais sejadiferente.
  2. 2. Se considerarmos as médias sob aforma + , ˩ = 1,2, … ˫, poderemosformular alternativamente,H" : # = $ =⋯= =0Hipóteses básicas :Homocedasticidade: ˫ populações tenhama mesma variância e que a variável deinteresse seja normalmente distribuída emtodas as populações.Notações:˲ (˩ = 1,2, … , ˫; ˪ = 1,2, … , J) é o ˪-ésimovalor da ˩-ésima amostra de J elementos;ˠ = (# ˲ = soma dos valores da ˩-ésima amostra;˝ = (# ˲ $ = soma dos quadrados;
  3. 3. ˠ= (# ˠ = (# (# ˲ = soma total;˝ = (# ˝ = (# (# ˲ $ = soma total dosquadrados;˲ = ˠ /J= média da ˩-ésima amostra;˲ = ˠ/J˫=média de todos os valores. $Três formas de estimar a variância :1-Estimativa total WY (Junta todas asamostras numa grande amostra) ( )WY = & & = # & & ( ) Ӛ & & / ӛ / = # #O numerador ˝ − ˠ $ /J˫ denominaremosde soma de quadrados total, ou SQT.
  4. 4. 2-Estimativa entre amostras Wͧ (Variância amostral da média amostral estima ) ( )Wͧ = J = # Ӡ (# ˲$− ӡ= # $ @ (# Ә ә − D= # / / #O numerador (# ˠ $ /J − ˠ $ /J˫denominaremos de soma de quadradosentre amostras, ou SQE.
  5. 5. 3-Estimativa residual WWCada amostra individual fornecerá umaestimativa da variância $ : – /˟ = $ = = # # / #Sendo as amostras de mesmo tamanho, aestimativa resultante para o conjunto deamostras será a média aritmética das kestimativas individuais: / /˟ = $ = (# ( = #) ( #)O numerador ˝ − (# ˠ $ /J é soma dosquadrados residual, ou SQR.
  6. 6. Exemplo para ilustrar a ANOVAAmostra 1: 64 66 59 65 62Amostra 2: 71 73 66 70 68Amostra 3: 52 57 53 56 53ExemploTrês chapas de uma liga metálica demesma procedência foram submetidas atrês diferentes tratamentos térmicos, A, B eC. Após o tratamento, foram tomadas cincomedidas de dureza superficial de cadachapa, obtendo-se:Tratamento Dureza A 68 74 77 70 71 B 67 65 69 66 67 C 73 77 76 69 80
  7. 7. Verificar, aos níveis de 1 e 5% designificância, se existe diferençasignificativa entre os tratamentos térmicosaplicados.Uma Classificação – Amostras deTamanhos DiferentesNeste caso, o índice ˪ referente àcaracterização do elemento dentro de cadaamostra ˩ variará de 1 a J , sendo J otamanho da ˩-ésima amostra. →ˠ = (# ˲ , ˝ = (# ˲$ˠ= (# ˠ = (# (# ˲˝= (# ˝ = (# (# ˲$˲ = ˠ /J , ˲ = ˠ/ (# J .→ /WY = = # #
  8. 8. ( / ) /Wͧ = = # # ( / )WW = = Duas Classificações – (Sem Repetição)No caso dos elementos serem classificadossegundo dois critérios (n amostras de kelementos ou k amostras de n elementos) Segundo critério ˲## ˲#$ ... ˲# ... ˲# ˲$# ˲$$ ... ˲$ ... ˲$Primeiro !Critério ˲ # ˲ $ ... ˲ ... ˲ ! ˲ # ˲ $ ... ˲ ... ˲
  9. 9. podemos testar:H# : # = $ =⋯=H$ : # = $ =⋯=A aceitação de H# significa a não-comprovação de diferença significativaentre as médias segundo o critério daslinhas, enquanto que a aceitação de H$chega à mesma conclusão em relação aodas colunas.Admitindo as mesmas hipóteses implícitas: $ = $ e Normalmente distribuída esupondo a inexistência de interação entreas duas classificações a aditividade dosefeitos das linhas e das colunas é válida:˲ = + + +
  10. 10. Sendo: : a média geral teórica : efeito da ˩-ésima linha : efeito da ˪-ésima coluna : variação aleatóriaAs notações passam a ser:ˠ = (# ˲ = soma dos valores da ˩-ésima linha;˝ = (# ˲ $ = soma dos quadrados...;ˠ = (# ˲ = soma dos valores da ˪-ésimacoluna;˝ = (# ˲ $ = soma dos quadrados...;ˠ= (# ˠ = (# ˠ = soma total;˝ = (# ˝ = (# ˝ soma total dosquadrados;
  11. 11. ˲ = ˠ /J= média da ˩-ésima linha;˲ = ˠ /˫= média da ˪-ésima coluna;˲ = ˠ/J˫=média de todos os valores.A variância comum $ pode ser estimadade 4 maneiras agora: ( ) / /Wͮ = J = # # / /WV = ˫ = # # / / /WW = ( #)( #)As duas hipóteses são testadasindependentemente por respectivamente:˘ = e˘ =
  12. 12. ExemploNuma experiência agrícola foram usados 6diferentes fertilizantes em duas variedadesde milho, tendo sido obtidas as colheitasdadas a seguir, em sacas:Fert.: A B C D E FVar.1: 5,4 3,2 3,8 4,6 5,0 4,4Var.2: 5,7 4,0 4,2 4,5 5,3 5,0Utilizar a ANOVA para verificar se existemdiferenças significativas entre osfertilizantes e entre as variedades ao nívelde 1% de significância.Duas Classificações – (Com Repetição)Estender o teste anterior para Jobservações sob cada tratamentoCom possibilidade de replicações podemosobter uma estimativa de $ dentro dos nk
  13. 13. tratamentos. Representamos estaestimativa por ˟ $ e a respectiva soma dequadrados por ˟˝ˠJ˟˝ˠJ = (# (# −˟˝H = (# .. −˟˝˕ = (# . . −Pode-se verificar que˟˝ˠJ ˟˝H + ˟˝˕ e a soma dosrespectivos graus de liberdade (˫ − 1) +(J − 1) J˫ − 1. Isto se deve a umaparcela da interação entre linhas e colunas.A tabela da ANOVA fica então:
  14. 14. ExemploForam observados os tempos, emsegundos, gastos por 4 operários paramontar certa peça por três métodosdiferentes. Cada operário montou 2 peçaspor cada método, com os tempos na tabelaa seguir. Verificar, pela ANOVA, se existediferença significativa entre os métodose/ou entre os operários, a nível de 5% designificância. Operários 1 2 3 4 I 54 46 55 51 52 47 54 60Métodos II 59 61 59 56 57 55 61 57
  15. 15. III 59 63 63 59 62 58 61 60

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