1. DAN ETWINNINGA
~ HISTORY OF MATH ~
Gordana Divić, prof. mentor
Srednja škola Novska
7. svibnja 2015.
2. Mrežno sjedište ili web platforma na kojoj surađuju
nastavnici iz raznih europskih država
Rade na zajedničkim projektima (eTwinning i
Erasmus+)
Uključuju učenike u suradnju
Stručno se usavršavaju (u vlastitoj zemlji ili
inozemstvu)
webinari,
mrežene edukacije,
radionice profesionalnog razvoja i
konferencije
3. YOUTH LEISURE TIME (2012./2013.)
Kako mladi provode svoje slobodno vrijeme?
Španjolska, Italija, Hrvatska, Slovačka i Poljska
4. SCHOOL AS HOME (2013./2014.)
Rumunjska, Ukrajina i Hrvatska
Izrađivali predmete
prodavali ih
Uredili školu i njen okoliš
5. HISTORY OF MATH
eTwinning projekt
Surađujemo s Grčkom
Istražujemo:
razvoj matematičke misli od Sumerana do
modernog doba
istaknute matematičare od Antičke Grčke do
modernog doba
6. Što smo napravili?
Prezentacije (.ppt) kojima smo predstavili:
Sebe
Školu
Grad
12. Što smo napravili?
Kolege iz Grčke posjetili su Tehnički muzej
Antičke Grčke u Solunu
13. Što smo napravili?
Mjerili opseg Zemlje – Eratostenov pokus
Izračunali opseg Zemlje (39 635 km)
Mjerili duljinu sjene škole
Računali visinu škole
14. ... and our outcome
for Novska school
is 8.322 m !!!
Greek Team
15. … and our outcome for Edessa school is
𝟏𝟏, 𝟗𝟖 ± 𝟎, 𝟏𝟒 𝒎
Croatian Team
19. Što radimo?
Pišemo na forumu
TwinSpacea rječnik
matematičkih pojmova s
grčkim korijenom na:
Engleskom
Grčkom
Hrvatskom
20. Što radimo?
Završavamo dokumente:
Spajamo dokumente .doc u knjigu
Prevodimo sve na engleski jezik
Slažemo prezentacije na engleskom jeziku u
jedinstvene, koje ćemo objaviti na TwinSpace-u
TwinSpace projekta:
http://twinspace.etwinning.net/490/home
22. Naše prvo znanje o matematici dolazi od
Egipćana i Babilonaca
Babilonska matematika je datirana za 4000
godina prije Krista zajedno sa Sumeranima u
Mezopotamiji
23. Malo se zna o Sumeranima
Prvi put je naseljen 4500 i 4000 godina prije
Krista
Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi
Još manje se zna o njihovoj matematici
24. Koristili su klinasto pismo, a pisali su na
glinenim pločicama
Koristili su preko 2000 znakova
Slika 1. Sumerski zapis
klinastim pismom
25. Razvili su heksagezimalni brojevni sustav koji
su preuzeli Babilonci
Babilonci, Asirci i Hiti su naslijedili sumerski
zakon i književnost i važnije njihov način
pisanja
Ono što smo od Sumerana zadržali do danas je
podjela tjedna na 7 dana, dana na 24 sata, sata
na 60 minuta i minutu na 60 sekundi
26. Propašću Sumerske civilizacije u Mezopotamiji
razvija se Babilonska
Od Sumerana su naslijedili klinasto pismo i
heksagezimalni brojevni sustav
Slika 2. Znamenke u
Babilonskom brojevnom
sustavu
27. Za prikaz brojeva koristili su 2 osnovna oblika:
Nisu imali sumbol za nulu ili decimalnu točku
pa je bilo teško tumačiti nalaz iz tog doba
Slika 3. Babilonski simbol za
broj 10
Slika 4. Babilonski prikaz za
broj 1 ili 60
28. 40-ih godina prošlog stoljeća
Njemački povijesničari Otto Neugebauer i
Abraham Sachs
Primijetili kako reci na pločici zadovoljavaju
zanimljivo svojstvo
Uređene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje
zadovoljavaju jednakost a²+b²=c²
29. Dokaz postojanja Pitagorine trojke tisućama
godine prije pojave matematičara antičke Grčke
Slika 5. Plimpton 322
30. Nalazište u Nipuru-nađeno oko 50 000 glinenih
pločica
Svjedoče znatnom poznavanju matematike
Slika 7. Nalazište u Nipuru
31. Izgrađivali su nizove koji uključuju trokutaste
brojeve (1, 3, 6, 10 ,15...), kvadratne brojeve (1,
4, 9, 16, 25...) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30,
50...)
Slike 8. i 9. Prikazuju nizove
brojeva
32. Primjer korištenja niza piramidalnih brojeva je
slaganje municije u Calcutti i lako
izračunavanje broja đuladi
Slika 10. Složena municija
u Calcutti
34. Moskovski papirus
- otkriven je 1893., a autor je nepoznat
- najveća dostignuća egipatske geometrije
- dužine je oko pola metra i širine manje od 8 cm
- čuva se u Moskovskom muzeju
36. Rhindov papirus
• 1858. otkrio ga je škotski egiptolog Henry Rhind u
Luxoru
• Napisao ga je pisar Ahmes oko 1600. pr. Kr.
• Dug je 6 metara , širok 30 cm, čuva se u British
Museumu u Londonu
37. • Zbirka tablica i vježbi sa
87 matematičkih
problema
• U njemu se nalaze i
najstariji poznati i
sačuvani zapis broja π
Rhindov papirus
40. Razlomci
• Poznavali su samo jedinične razlomke
• Iznimka je bio 2/3
• Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove
simbola oka boga Horusa.
cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1
41. Geometrija
• Za izgradnju piramida i hramova Egipćani su morali imati
dobro razvijenu geometriju i stereometriju
• Znali su računati nagib i obujam piramide, te obujam krnje
piramide
42. Algebra
• Staroegipatska algebra bila je retorička
• problemi i rješenja dani su riječima
• Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, a u
svojim računima imali su mješavinu jednostavnosti i
kompliciranosti
44. temeljena na grčkim tekstovima
razvijena od 7. st. pr. Kr. do 4. st. po.
Kr.
duž istočnih obala Mediterana
matematika – grčki mathema –
znanost
korištenje općih matematičkih dokaza
i teorija
45.
46. presjedali najvažnijom i
najdramatičnijom revolucijom u
matematici ikad
osnovni cilj: shvaćanje čovjekova
mjesta u svemiru
matematika dosegla najviši nivo
razvitka
počeli upotrebljavati papirus
grčki doprinos matematike u tri faze:
1. od Talesa i Pitagore do Demokrita
2. Euklidov sustav
3. Aleksandrijska faza
47. Tales – osnivač grčke matematike
nema dokumentiranih dokaza
klasična filozofija pomogla da se
rekonstruiraju tekstovi iz bližeg perioda
izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija itd.
teško pratiti tijek povijesnog razvitka
o grčkoj matematici zaključujemo pomoću:
manjih sastavnica i zapažanja filozofa i
drugih autora
48. Grčki brojevni sustav
(oko 900. pr. Kr. – 200. poslije Kr.)
prvi zasnovan na početnim slovima imena
brojeva
49. drugi je upotrebljavao sva slova iz grčkog
alfabeta i tri iz feničkog
baza – 10
50. ideja dokaza i deduktivna metoda
korištenja logičkih koraka za dokazivanje ili
opovrgavanje teorija
dalo je matematici snagu
osigurava da su dokazane teorije istinite
postavilo temelje za sustavni pristup
matematici
Najvažniji doprinos Grka
52. Općenito...
prvi “pravi” matematičar
rođen na grčkom otoku Samosu
Tales ga je zainteresirao za matematiku
otputovao je u Egipat oko 535. pr. Kr.
osnovao je Pitagorejsku skolu
danas ga svi znamo po Pitagorinom
poučku
53. Kroz život...
filozof u Egiptu
hramski svećenik u Diospolisu
zarobljenik u Babilonu
oženio se u 60. godini
gladovao do smrti
najsavršeniji broj 10
broj – bit u filozofiji
54. Pitagorejska škola
osnovana u Krotoni
naglasak na tajnosti i zajedništvu
Pitagorin poučak
otkriće iracionalnih brojeva
pet pravilnih geometrijaskih tijela
55. Pitagorin poučak
površina kvadrata
nad hipotenuzom
pravokutnog
trokuta jednaka je
zbroju površina
kvadrata nad
katetama
56. Pitagorine trojke
3, 4, 5 9+16=25
Egipatski trokut
možemo dobiti još beskonačno mnogo
Pitagorinih trojki tako što ćemo brojeve
3, 4 i 5 umnožavati istim brojem
6, 8 i 10 36+64=100
57. PLATON (428.-347.god.
p.n.e.)
-živio i djelovao u Ateni
-387. g.p.n.e. osnovao
filozofsku školu
AKADEMIJU u kojoj se
poučavala i matematika
aritmetika,
trigonometrija i
planimetrija
Slika 1.Platon
Marija
Kožari
ć,
4.g
58. „Neka ne ulazi onaj koji ne zna
geometriju!”
Slika 2. Natpis na ulazu u Akademiju
66. • u 2. tisućljeću pr.Kr. u Kini su imali simbole
za brojeve
• računali su štapićima dok se u
16. st. nije pojavio abakus
Slika 1. kineski brojevi
Slika 2. abakus
• ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, no prilično je
sigurno da počeci astronomije i matematike drevne Kine
sežu barem u 2. tisućljeće pr.n.e. ,u to doba Kinezi su već
imali detaljno razrađen kalendar
• najstariji sačuvani matematički tekstovi potječu tek iz doba
oko 200. pr.Kr.
67. • Doprinosi kineskih matematičara:
• Sveta knjiga o aritmetici (2. – 12.st.) – indirektno govori o
Pitagorinom poučku
• Aritmetika u devet knjiga (oko 150. g.pr.Kr.) - postupak
izračunavanja površine trokuta, četverokuta, kruga, kružnog
odsječka i isječka, obujam prizme, piramide, valjka, stošca,
prikraćene (krnje) piramide i stošca
• Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih
očuvanih knjiga - koristila se za proricanje i gatanje, sadrži
elemente binarne notacije brojeva
68. • Poznati matematičari:
• Zhang Qiu-Jian (5. st.) - dao je formulu za sumu
aritmetičkog niza
• Tsu Chung – chih (430. – 500.) – za vrijednost broja π
uzima daje šest točnih decimalnih mjesta
• Quin Jiu - Shao (1202. -1261.) - tražio je rješenja
jednadžbi metodom koju nazivamo Hornerova (William
Horner, 1819.), iako je u Kini bila poznata 500 godina
ranije
• Chu Shih - kieh (1270. - 1330.) - napisao je dva važna
teksta koji su vrhunac kineske matematike, tekstovi
sadrže ˝Pascalov˝ trokut binomnih koeficijenata, koji je u
Kini poznat četiri stoljeća prije no što ga je Pascal
˝otkrio˝.
70. • u staroindijskoj matematici nema velikih djela
isključivo posvećenih matematici; matematika je
prisutna tek kao dio, kao pojedinačno poglavlje u
astronomskim ili astrološkim djelima
• najstariji poznati matematički tekstovi su Sulvasutre,
dodaci vjerskim tekstovima
u njima se nalaze pravila za mjerenje i izgradnju
hramova i oltara na razini elementarne geometrije
• karakteristike indijskih matematičkih tekstova je da su
općenito pisani u stihovima
Slika 1. indijski brojevi
71. Staroindijskimatematičari:
• Aryabhatta (476. – 550.) - znao je vaditi
drugi i treći korijen podjelom radikanda u
grupe
• dao je točne formule za površinu trokuta i
kruga, piše o, kvadratnim jednadžbama,
potencijama
• Brahmagupta (598. – oko 670.)
• Brahmaguptina formula: poopćenje
Heronove formule na tetivne četverokute;
72. • Mahavira (9. st.) – bavio se elementarnom matematikom
i prvi je indijski matematičar koji je napisao samo
matematici posvećen tekst
• Bhaskara (1114. – 1185.) - najpoznatiji je indijski
matematičar do 12. stoljeća, puno je doprinjeo
razumijevanju brojevnih sustava i rješavanju
jednadžbi, dokazivao je i Pitagorin poučak
• glavna su mu matematička djela
Lilavati i Bijaganita, bavio se
ravninskom i sfernom trigonometrijom,
74. • današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija
matematici kakvu susrećemo u arapskim doprinosima, nego
onoj u starogrčkim, mnoge ideje koje su pripisane
Europljanima pokazale su se zapravo arapskim
Slika 1. arapski brojevi
75. Arapski matematičari:
• Al-Karaji (953.g. - 1029.g.) - smatra se prvom
osobom koja je potpuno oslobodila algebru od
geometrijskih operacija i zamijenila ih aritmetičkim
• osnovao je utjecajnu algebarsku školu
koja će uspješno raditi više stoljeća
76. • Al-Haytham (965.g. - 1040.g.) je vjerojatno prvi
koji je pokušao klasificirati parne savršene brojeve
• također je prva poznata osoba koja je izrekla
Wilsonov teorem (ako je p prost broj, onda p dijeli
1 + (p - 1)!), nije jasno je li to znao dokazati
• Omar Khayyam (1048.g. – 1131.g.) uz matematiku
bavio se astronomijom, filozofijom i poezijom
• dao je potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi (14 tipova)
i prvi uočio da ne moraju imati jedinstveno rješenje
77. (12. – 13. stoljeće)
Slika 1. FibonacciBarbara Mašunjac, 4.g
78. talijanski matematičar
mladost proveo u Arabiji
temelj njegove matematike je broj
iza sebe ostavio niz otkrića
81. FIBONACCIJEV NIZ U PRIRODI
Slika 3. Fibonaccijev niz u suncokretu
Slika 4. Fibonaccijev niz u školjci puža Nautilus
Slika 5. Fibonaccijev niz u
ljudskom tijelu
82. FIBONACCIJEV NIZ U UMJETNOSTI
Slika 6. Fibonaccijev niz u
portretu Mona Lise Slika 7. Fibonaccijev niz u
Partenonu
89. LIBER ABACI
najpoznatije djelo o
aritmetici
jedna od prvih zapadnih
knjiga u kojoj su opisane
arapske brojke
četiri dijela
Slika 8. Liber Abaci
91. OPĆENITO:
• rođen u Edinburghu 1550.god, a umro 4.travnja 1617.god
• Upisao se na sveučilište St. Andrews
• Diplomu je stekao u Parizu, te je nakon toga boravio u
Nizozemskoj i Italiji
• Poznat je u matematičkim i inženjerskim krugovima
• Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama, Napierovih kostiju, te
popularizaciji decimalnog zareza
• Radio je na područjima matematike, fizike, astronomije i
astrologije
93. NAJPOZNATIJA DJELA
• Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John,
1593.
• Statistical Account
• Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614.
• Construction of Logarithms, 1619.
95. Henry Briggs
engleski matematičar
Profesor geometrije u
Oxfordu
rođen u Warleywoodu u
Yorkshireu 1561.
studirao je na St. John’s
Collegeu u Cambridgeu
Patricia Kujundžić, 3.g
96. kao profesor na Oxfordu saznaje
za Napiera
1615. putuje k njemu u
Edinburgh
Napier se slaže s Briggsovim
prijedlogom za logaritme s bazom
10
Nakon Napierove smrti nastavja
njegov rad
1624. objavljuje tablicu
Arithmetica Logarithmica
Umro je u Oxfordu 1630.
98. Životopis
Blaise Pascal
Blaise Pascal bio je francuski
matematičar, fizičar, izumitelj, pisac i
kršćanski filozof. Bio je ''čudo od
djeteta'', a školovao ga je otac.
Pascalovi najraniji poslovi bili su u
primjenjenim i prirodnim znanostima,
gdje je doprinio proučavanju tekućina te
je pojasnio pojmove tlaka i vakuuma
generalizacijom rada Evangelista
Torricellija.
100. Pascalov doprinos matematici
Prvi značajan rad, Blaise je napisao sa samo
šesnaest godina, a bio je to osnovni nacrt njegove
čuvene rasprave o presjecima stožca.
101. Blaise Pascal, također je stvorio i svoj čuveni
mistični heksagram (Pascalov teorem), koji nije
sačuvan.
U njegovoj ''Raspravi o aritmetičkom trokutu''
(Traité du triangle arithmétique), opisao je zgodan,
praktičan tablični prikaz za binomne koeficijente,
sada nazvan 'Pascalov trokut'.
102. Pascalov doprinos fizici
Njegov rad na području hidordinamike i hidrostatike bio je
usmjeren na načelima hidrauličkih tekućina.
Njegovi izumi uključuju hidrauličku prešu (koristi hidraulični
tlak da umnoži snagu) i špricu.
Hidrostatski tlak povećava se dubinom, djeluje jednako u
svim smjerovima te je jednak na svim mjestima na istoj
dubini.
103. Pascalov zakon
Temeljni je zakon hidrostatike:
◦ U tekućini koja se nalazi u zatvorenoj posudi
vanjski tlak p širi se jednako na sve strane,
odnosno čestice tekućine prenose tlak u svim
smjerovima jednako.
105. Gottfried Wilhelm Leibniz
• Leipzig 1.7.1646.
• Filozof, matematičar, fizičar i diplomat
• Preteča Georgea Boolea i simboličke logike
• „diferencijal“ i „integral“
• 1559. Francuska akademija znanosti
• Prvi model računalnog stroja
Slika 1.1.: Gottfried Wilhelm LeibnizSlika 1.2.: Leibnizovo mehaničko računalo
106. Isaac Newton
• Woolsthorpe-by-Colsterworth 4.1.1643.
• Astronom, matematičar i fizičar
• Metode fluksije
• Opći zakon gravitacije
• Zrcalni teleskop
• Kraljevska akademija
Slika 2.1.: Isaac Newton
Slika 2.2.: Zrcalni teleskop
107. Infinitezimalni račun
• Fukcije, derivacije, integralne granične
vrijednosti i limesi funkcije
• Diferencijalni račun
• Integralni račun
Slika 3.1.: Integral
Slika 3.2.: Derivacija
108. Newton – Leibnizova formula
• Ako je 𝐹 po volji odabrana primitivna funkcija
funkcije 𝑓 na intervalu 𝑎, 𝑏 , onda vrijedi:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
109. Povijest infinitezimalnog računa
• 5. st. pr. Kr.- Zenon
• 4. st. pr. Kr.- Eudokso
• 225. g. pr. Kr.- Arhimed
• 17. st.- Bonaventura Francesco Cavalieri
Slika 4.1.: Metoda ekshaustije
Slika 4.2.: Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota
110. Sukob Newtona i Leibniza
• Isaac Newton- 1671.- De Methodis Serierum et
Fluxionum (objavljen 60 godina kasnije), fizikalni
pristup
• Gottfried Wilhelm Leibniz- 1684.- prvi objavljeni
rezultati, geometrijski pristup
Slika 5.2.: De Methodis Serierum et Fluxionum
Slika: 5.3.: Transactions of the
Royal Society of London
112. DE MOIVREOVI POČETCI:
rođen je u mjestu Vitry u Francuskoj,
26.svibnja 1667.godine.
francuski matematičar poznat po formuli koja
povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju
Bio je protestant, pa je neko vrijeme nakon
edikta iz Nantesa (1685.) proveo u zatvoru, a
nakon toga se odselio u Englesku gdje je
proživio ostatak svog života.
113. Za život je zarađivao kao privatni učitelj
matematike te je učenike podučavao u
njihovim domovima, ali i u londonskim
kafićima.
Nadao se da će jednom postati profesor
matematike, ali u svakoj državi je zbog
nečega bio diskriminiran.
114. DE MOIVREOVA ANEGDOTA:
Njegova poznata anegdota je da je predvidio
dan svoje smrti tako što je utvrdio da svaki
dan spava po 15 minuta dulje te je
sumacijom odgovarajućeg aritmetičkog niza
izračunao da će umrijeti na dan kad
prespava puna 24 sata, i bio je u pravu.
115. THE DOCTRINE OF CHANCE: A METHOD
OF CALCULATING THE PROBABILITIES OF
EVENTS IN PLAY
Glavno De Moivrevo djelo
U toj se knjizi može naći
definicija statističke nezavisnosti
događaja te niz zadataka
vezanih za razne igre.
Slika 1. De Moivrevo
djelo :The Doctrine
of Chance: A
method of
calculating the
probabilities of
events in play
116. DE MOIVREOVE FORMULE:
Slika 2. Formula
za binomne
koeficijente
Slika 3. Formula kojom je mogao
dokazati sve cjelobrojne brojeve n
Slika 4. Poznata DE
MOIVREOVA formula
118. njemački matematičar (1777. – 1855.)
osim matematikom, bavio se astronomijom,
fizikom, geodezijom i topografijom
osmislio “neeuklidsku geometriju” sa šesnaest
godina
s dvadeset i četiri godine objavio je majstorsko
djelo Disquisitiones Arithmeticae
1801. je prema njegovim izračunima otkriven
planetoid Ceres
otkrio Kirchhoffove zakone
napravio primitivni telegraf
stvorio vlastite novine - Magnetischer Verein
120. osmislio brži način rješavanja zadataka zbrajanja
brojeva od 1 do 100:
(1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 * 101 =
5050
spoznao kriterij konstruiranja pravilnog
sedamnaesterokuta
dokazao osnovni teorem algebre
stvorio Gaussovu ravninu
stvorio Gaussovu krivulju koja se koristi u mnogim
znanostima, posebno u psihologiji
121. Slika 4. Gaussova ravnina
Slika 5. Pravilan sedamnaesterokut
Slika 6. Gaussova krivulja
123. John Nash (1928.) je
ekonomist i matematičar.
Objavio je nekoliko teorija
koje ste koriste i koje su
doprinjele ekonomiji.
Osvojio je 1994. godine Nobelovu
nagradu za ekonomiju.
Njegova najpoznatija teorija je:
Nash Equilibrium (teorija igara)
124. Što je Nashov Equilibrium?
Koncept koji je na početku bio
napravljen kao taktika za jednostavne
igre
Nije najbolja strategija koja se može
iskoristiti, ali je najbolja taktika da se ne
koriste drugi igrači kako bi se došlo do
cilja
125. Zanimljivosti
Patio od shizofrenije (do 1990.)
Film Beautiful mind je snimljen o
njegovom životu.