Ensino de matemática com materiais didáticos alternativos

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DA MATEMÁTICA

ENSINO DE MATEMÁTICA COM
MATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS

DOCENTE:

JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO

Fortaleza-Ceará
2008

ACCESSU EDUCAÇÃO SUPERIOR
FACULDADE ATENEU
COORDENADOR GERAL:
PROF. JOSÉ WILLIAM FORTE
COORDENADORAS PEDAGÓGICAS:
PROF.ª LUCIDALVA BACELAR/PROF.ª SOLANGE MESQUITA

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO

DISCIPLINA:

ENSINO DE MATEMÁTICA COM
MATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS

DOCENTE:

JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO

Fortaleza-Ceará
2008

Sumário
A. Objetivo do módulo ........................................................................................... 7
B. Ementa do módulo ............................................................................................. 7
C. Carga horária...................................................................................................... 7
1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAIS
DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS ................................................................................... 8
1.1. Introdução .......................................................................................................... 8
1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) ............................................... 9
1.2.1. Algumas concepções de LEM ........................................................................ 9
1.2.2. A construção do LEM .................................................................................. 10
1.2.3. Objeções ao uso do LEM ............................................................................. 12
1.3. Material didático (MD) .................................................................................... 16
1.3.1. MD manipulável ........................................................................................... 16
1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem ................................................... 18
1.3.3. O professor e o uso do MD .......................................................................... 19
1.3.4. Potencialidades do MD ................................................................................ 21
1.3.5. Obstáculos ao uso do MD ............................................................................ 25
1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM ....................................................... 25
1.5. Referências bibliográficas do texto.................................................................. 26
2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DIDÁTICOS NO
ENSINO DE MATEMÁTICA ..................................................................................... 27
Referências bibliográficas do texto ............................................................................ 36
3. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS ........................................... 37
3.1. Construindo um Dodecaedro com Canudos .................................................... 38
3.2. Lista de materiais ............................................................................................. 39
3.3. Atividade 1: Construção de um tetraedro regular ............................................ 40
3.4. Atividade 2: Construção de um octaedro regular ............................................ 41
3.5. Atividade 3: Construção de um icosaedro regular ........................................... 42
3.6. Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonais ............................... 42
4. APROXIMAÇÃO TEÓRICA À REALIDADE DO JOGO .......................... 44
4.1. Introdução ........................................................................................................ 44
4.2. Sobre a etimologia do termo jogo .................................................................... 45
4.3. Sobre o conceito de jogo .................................................................................. 49

Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos
Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org
5

4.4. Sobre a definição do jogo ................................................................................ 51
4.5. Origem do jogo ................................................................................................ 55
4.6. Características do jogo ..................................................................................... 57
4.7. Conclusões ....................................................................................................... 58
5. JOGOS DIDÁTICOS: SEU USO E IMPORTÂNCIA NA
APRENDIZAGEM ....................................................................................................... 60
5.1. Introdução ........................................................................................................ 60
5.2. Motivação ........................................................................................................ 60
5.3. O Jogo Didático ............................................................................................... 61
6. COMO MINISTRAR CONTEÚDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS . 64
6.1. Introdução ........................................................................................................ 64
6.2. Como ministrar conteúdos com o autódromo? ................................................ 65
6.3. Como ministrar conteúdos com o jogo do telefone? ....................................... 67
6.4. Como ministrar conteúdos com o cochicho? ................................................... 68
6.5. Como ministrar conteúdos com o arquipélago? .............................................. 69
6.6. Como ministrar conteúdos com o hiper-arquipélago? ..................................... 70
6.7. Como ministrar conteúdos com o torneio? ...................................................... 71
6.8. Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? ............................ 72

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A. Objetivo do módulo
O módulo se insere em uma perspectiva teórica que propõe discutir a metodologia do
ensino da matemática, diante das novas necessidades de mudanças no paradigma de
ensinar e aprender, no contexto social e tecnológico.
Também, como forma de incitar questionamentos e ampliar as possibilidades de refle-
xão e ação dos professores sobre as próprias vivências de sala de aula.

B. Ementa do módulo
1. O papel do professor de Matemática na formação do pensamento científico.
2. A influência da concepção desse papel na prática pedagógica.
3. Análise de temas do ensino da matemática, como: dificuldades básicas, materiais
didáticos convencionais, materiais didáticos alternativos, etc.
4. Aplicar materiais didáticos manipuláveis e alternativos através da utilização de
experimentos em aulas teóricas e práticas.
5. Despertar o interesse pela matemática experimental como método de ensino.
6. Possibilitar aos alunos docentes contato com novas abordagens do conteúdo ma-
temático e ampliar o repertório de estratégias do professor.

C. Carga horária
12 horas-aula

7

1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E
MATERIAIS DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS1
2
Sérgio Lorenzato
1.1. Introdução
Muitos foram os educadores famosos que, nos últimos séculos, ressaltaram a
importância do apoio visual ou do visual-tátil como facilitador para a aprendizagem.
Assim, por exemplo, por volta de 1650, Comenius escreveu que o ensino deveria dar-se
do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e que
só se aprende fazendo. Locke, em 1680, dizia da necessidade da experiência sensível
para alcançar o conhecimento. Cerca de cem anos depois, Rousseau recomendou a
experiência direta sobre os objetos, visando à aprendizagem. Pestalozzi e Froebel, por
volta de 1800, também reconheceram que o ensino deveria começar pelo concreto; na
mesma época, Herbart defendeu que a aprendizagem começa pelo campo sensorial.
Pelos idos de 1900, Dewey confirmava o pensamento de Comenius, ressaltando a
importância da experiência direta como fator básico para construção do conhecimento, e
Poincaré recomendava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemáticas. Mais
recentemente, Montessori legou-nos inúmeros exemplos de materiais didáticos e
atividades de ensino que valorizam a aprendizagem através dos sentidos, especialmente
do tátil, enquanto Piaget deixou claro que o conhecimento se dá pela ação refletida
sobre o objeto; Vygotsky, na Rússia, e Bruner, nos Estados Unidos, concordaram que as
experiências no mundo real constituem o caminho para a criança construir seu
raciocínio. Enfim, cada educador, a seu modo, reconheceu que a ação do indivíduo
sobre o objeto é básica para a aprendizagem. Em termos de sala de aula, durante a ação
pedagógica, esse reconhecimento evidencia o fundamental papel que o material didático
pode desempenhar na aprendizagem.
Nessa lista de pensadores e educadores podem constar, por justiça, nomes como
o de Claparède (defensor da inclusão de brincadeiras e jogos na escola) e o de Freinet
(que recomendava o uso de cantinhos temáticos na sala de aula), que valorizavam a
ativida-de como fator básico para a aprendizagem.
Essa lista de nomes de expoentes da educação que reconheceram a eficácia do
material didático na aprendizagem poderia ser muito maior, mesmo se restrita ao ensino
da matemática, se lembrarmos das contribuições de Willy Servais, Caleb Gattegno,
Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga, Georges Cuisenaire, Jean-Louis
Nicolet, Luigi Campedelli e Zoltan P. Dienes, entre muitos outros. No Brasil, Júlio
César de Mello e Souza3 - isto é, Malba Tahan - e Manoel Jairo Bezerra4, entre outros,
muito contribuíram para a divulgação do uso de material didático como apoio às aulas

1
In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) –
Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 3.
2
É licenciado em matemática pela UNESP (Rio Claro), mestre em educação pela UnB (Brasília), doutor
em educação pela UNICAMP (Campinas) e pós-doutor em educação matemática pela Université Laval
(Canadá). Docente da Faculdade de Educação da UNICAMP.
3
J ú l i o César de Mello e Souza (1957), Técnicas e procedimentos didáticos no ensino da matemática,
Rio de Janeiro, Aurora.
4
Manoel Jairo Bezerra (1962), O material didático no ensino da matemática, Rio de Janeiro,
Diretoria do Ensino Secundário/ Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário/
MEC.

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de matemática. Seria injusto faltar o registro a um excepcional matemático que
percebeu a influência do ver e do fazer na aprendizagem: Arquimedes. Ele evidenciou
isso quando escreveu a Eratóstenes, mais ou menos no ano 250 a.C, dizendo: “é meu
dever comunicar-te particularidades de certo método que poderás utilizar para descobrir,
mediante a mecânica, determinadas verdades matemáticas [...] as quais eu pude
demonstrar, depois, pela Geometria” (apud NICOLET, 1967). Desse modo, Arquimedes
revelou o modo pelo qual fazia descobertas matemáticas e confirmou a importância das
imagens e dos objetos no processo de construção de novos saberes. Nessa mesma linha
de pensamento está um antigo provérbio chinês, que diz: “se ouço, esqueço; se vejo,
lembro; se faço, compreendo”, o que é confirmado plenamente pela experiência de
todos, especialmente daqueles que estão em sala de aula. Enfim, não faltam argumentos
favoráveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas,
como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isso, decorre uma inescapável
necessidade de as escolas possuírem laboratórios de ensino dotados de materiais
didáticos de diferentes tipos.
1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM)
Nossa sociedade pressupõe e, até mesmo, exige que muitos profissionais tenham
seus locais apropriados para desempenharem o trabalho. É assim para o dentista,
cozinheiro, médico-cirurgião, veterinário, cabeleireiro, porteiro, ator, entre muitos
outros. E por que local apropriado para trabalhar? Porque o bom desempenho de iodo
profissional depende também dos ambientes e dos instrumentos disponíveis. Em muitas
profissões, a prática difere pouco do planejamento; não é o caso do magistério, devido à
criatividade dos alunos, que torna o LEM simplesmente indispensável à escola. Assim
como nossas casas se compõem de partes essenciais, cada uma com uma função
específica, nossas escolas também devem ter seus componentes, e um deles deve ser o
Laboratório de Ensino de Matemática (LEM).
No entanto, alguém poderia lembrar-se de que foi, e ainda é possível, ensinar
assuntos abstratos para alunos sentados em carteiras enfileiradas e com o professor
dispondo apenas do quadro-negro. Afinal, muitos de nós aprendemos (e ensinamos?) a
fazer contas desse modo. Porém, para aqueles que possuem uma visão atualizada de
educação matemática, o laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológica
porque, mais do que nunca, o ensino da matemática se apresenta com necessidades
especiais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades.
1.2.1. Algumas concepções de LEM
Mas o que é um LEM? Existem diferentes concepções de LEM. Inicialmente ele
poderia ser um local para guardar materiais essenciais, tornando-os acessíveis para as
aulas; neste caso, é um depósito/arquivo de instrumentos, tais como: livros, materiais
manipuláveis, transparências, filmes, entre outros, inclusive matérias-primas e
instrumentos para confeccionar materiais didáticos. Ampliando essa concepção de
LEM, ele é um local da escola reservado preferencialmente não só para aulas regulares
de matemática, mas também para tirar dúvidas de alunos; para os professores de
matemática planejarem suas atividades, sejam elas aulas, exposições, olimpíadas,
avaliações, entre outras, discutirem seus projetos, tendências e inovações; um local para
criação e desenvolvimento de atividades experimentais, inclusive de produção de
materiais instru-cionais que possam facilitar o aprimoramento da prática pedagógica.
Facilitando a realização de experimentos e a prática do ensino-aprendizagem da
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matemática, o LEM deve ser o centro da vida matemática da escola; mais que um
depósito de materiais, sala de aula, biblioteca ou museu de matemática, o LEM é o lugar
da escola onde os professores estão empenhados em tornar a matemática mais com-
preensível aos alunos.
O LEM pode ser um espaço especialmente dedicado à criação de situações
pedagógicas desafiadoras e para auxiliar no equacionamento de situações previstas pelo
professor em seu planejamento mas imprevistas na prática, devido aos questionamentos
dos alunos durante as aulas. Nesse caso, o professor pode precisar de diferentes
materiais com fácil acesso. Enfim, o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para
estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para
facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar,
experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender.
Para muitos professores, todas as salas de aula e todas as suas aulas devem ser
um laboratório onde se dão as aprendizagens da matemática. Essa é uma utopia que
enfraquece a concepção possível e realizável do LEM, porque ela pode induzir
professores a não tentarem construir o LEM num certo local da escola em que traba-
lham, seja este numa sala, num canto ou num armário.
O LEM, mesmo em condições desfavoráveis, pode tornar o trabalho altamente
gratificante para o professor e a aprendizagem compreensiva e agradável para o aluno,
se o professor possuir conhecimento, crença e engenhosidade. Conhecimento porque,
tendo em vista que ninguém ensina o que não sabe, é preciso conhecer matemática mas
também metodologia de ensino e psicologia, enfim, possuir uma boa formação
matemática e pedagógica; crença porque, como tudo na vida, é preciso acreditar naquilo
que se deseja fazer, transformar ou construir; e engenhosidade porque, muito frequen-
temente, é exigida do professor uma boa dose de criatividade, não só para conceber,
planejar, montar e implementar o seu LEM, como também para orientar seus alunos e
transformá-los em estudantes e, de preferência, em aprendizes também.
Assim, por exemplo, diante dos poliedros de Platão, convém que surjam
questionamentos pelos alunos ou pelo professor, tais como: Por que assim são
denominados? Quem foi Platão? Quais foram suas contribuições para a matemática?
Por que os poliedros de Platão são somente cinco, isto é, quais são suas características?
Quais são os outros tipos de poliedros? Onde os poliedros estão presentes?
Uma lista de indagações, tal como essa, poderia ser afixada no LEM para que o
professor e os alunos se ponham à procura das respostas ao longo dos dias seguintes
para, então, darem retorno de suas descobertas. Note que aprender a procurar, e mesmo
a encontrar respostas, é mais importante para a formação do indivíduo do que as
respostas às indagações. Note, também, que, mesmo dispondo de um LEM, o professor
pode simplesmente mostrar aos alunos os cinco poliedros, dando o nome e a definição
de cada um. Assim, temos dois modos diferentes de utilizar um mesmo LEM... e
provavelmente dois professores com concepções bem diferentes de educação e de LEM.
1.2.2. A construção do LEM
É difícil para o professor construir sozinho o LEM e, mais ainda, mantê-lo.
Convém que o LEM seja consequência de uma aspiração grupai, de uma conquista de
professores, administradores e de alunos. Essa participação de diferentes segmentos da
escola pode garantir ao LEM uma diferenciada constituição, por meio das possíveis e

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indispensáveis contribuições dos professores de história, geografia, educação artística,
educação física, português, ciências, entre outros.
A contribuição dos alunos para a construção da LEM é muito Importante para o
processo educacional deles, pois é fazendo que se aprende. Orientados pelo professor
responsável pelo LEM, os alunos, distribuídos em grupos, podem solicitar, dos
professores das áreas mencionadas, exemplos de interseção dessas áreas com a ma-
temática. Certamente, a coleta será quantitativamente maior do que esperavam,
principalmente se contarem com o apoio bibliográfico ou computacional; em seguida,
será necessário preparar o material para apresentação do que foi coletado. Assim, o
LEM irá constituindo-se de acordo com as condições locais e até mesmo tornará pos-
sível uma exposição escolar dos trabalhos produzidos pelos alunos. Mas, para que tudo
aconteça, é preciso que a escola possua professores que acreditem no LEM, que
reconheçam a necessidade de a escola possuir seu LEM, que se empenhem na
construção dele e que considerem as possibilidades da escola.
A respeito da construção do LEM, é também fundamental considerar a quem ele
se destina; se o LEM se destina para crianças de educação infantil, os materiais devem
estar fortemente centrados para apoiar o desenvolvimento delas no que se refere aos
processos mentais básicos - correspondência, comparação, classificação, se-qiienciação,
seriação, inclusão e conservação -, os quais são essenciais para a formação do conceito
de número; além desses materiais, o LEM deve possuir aqueles que poderão favorecer a
percepção espacial (formas, tamanhos, posições, por exemplo) e a noção de distância,
para a construção do conceito de medida.
Se o LEM se destina às quatro primeiras séries do ensino fundamental, o apelo
ao tátil e visual ainda deve manter-se forte, mas os materiais devem visar mais
diretamente à ampliação de conceitos, à descoberta de propriedades, à percepção da
necessidade do emprego de termos ou símbolos, à compreensão de algoritmos, enfim,
aos objetivos matemáticos.
Essa característica deve continuar presente no LEM para as séries seguintes do
ensino fundamental, mas agora também devem
compor o LEM aqueles materiais que desafiam o raciocínio lógico-dedutivo
(paradoxos, ilusões de ótica) nos campos aritmético, geométrico, algébrico,
trigonométrico, estatístico.
Ao LEM do ensino médio, podem ser acrescidos artigos de jornais ou revistas,
problemas de aplicação da matemática, questões de vestibulares, desafios ao raciocínio
topológico ou combinatório, entre outros. E também várias questões ou situações-
problema referentes a temas já abordados no ensino fundamental, mas que agora
demandam uma análise e interpretação mais aprofundadas por parte dos alunos.
E o que dizer do LEM para os cursos de formação de professores? Que ele é,
simplesmente, mais que necessário para as instituições de ensino que oferecem tais
cursos. É inconcebível que, em suas aulas, os professores desses cursos realcem a
necessidade da autoconstrução do saber, a importância dos métodos ativos de apren-
dizagem, o significado dos sentidos para a aprendizagem, o respeito às diferenças
individuais, mas, na prática de ensino e no estágio supervisionado, os seus alunos não
disponham de instrumentos para a realização da prática pedagógica. Se lembrarmos que
mais importante do que ter acesso aos materiais é saber utilizá-los corretamente, então
não há argumento que justifique a ausência do LEM nas instituições responsáveis pela

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formação de professores, pois é nelas que os professores devem aprender a utilizar os
materiais de ensino; é inconcebível um bom curso de formação de professores de mate-
mática sem LEM. Afinal, o material deve estar, sempre que necessário, presente no
estudo didatico-metodológico de cada assunto do programa de metodologia ou didática
do ensino da matemática, pois conteúdo e seu ensino devem ser planejados e ensinados
de modo simultâneo e integrado.
Existem diversos tipos de LEM, em razão dos seus diferentes objetivos e
concepções. Apesar dessa diversificação, a lista seguinte de sugestões de materiais
didáticos, instrumentos ou equipamentos pode ser a base para a constituição de muitos
LEM, cada um adaptado ao contexto em que estiver inserido.
De modo geral, o LEM pode constituir-se de coleções de:
• Livros didáticos;
• Livros paradidáticos;
• Livros sobre temas matemáticos;
• Artigos de jornais e revistas;
• Problemas interessantes;
• Questões de vestibulares;
• Registros de episódios da história da matemática;
• Ilusões de ótica, falácias, sofismas e paradoxos;
• Jogos;
• Quebra-cabeças;
• Figuras;
• Sólidos;
• Modelos estáticos ou dinâmicos;
• Quadros murais ou pôsteres;
• Materiais didáticos industrializados;
• Materiais didáticos produzidos pelos alunos e professores;
• Instrumentos de medida;
• Transparências, fitas, filmes, softwares;
• Calculadoras;
• Computadores;
• Materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos.
A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; uma
vez construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige que
o professor se mantenha atualizado.
1.2.3. Objeções ao uso do LEM
Na prática escolar, é facilmente constatável que muitos professores não
conhecem o LEM, outros o rejeitam sem ter experimentado, e alguns o empregam mal.
Apesar de o LEM ser uma excelente alternativa metodológica, ele possui
limitações didáticas, sofre prejulgamentos, e algumas crendices o perseguem. Vejamos
algumas questões referentes a esses assuntos:
1. O LEM é caro, exige materiais que a escola não dá ao professor e raríssimas
escolas possuem um LEM.
Lecionar numa escola que não possui LEM é uma ótima oportunidade para construí-lo
com a participação dos alunos, utilizando sucatas locais. Assim, o custo é diminuto e
todos, alunos e professor, conhecem a aplicabilidade dos materiais produzidos; dessa

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forma, evita-se um fato comum nas escolas que recebem os materiais: muitos não são
utilizados por desconhecimento de suas aplicações. Afinal, mais importante do que
receber pronto ou comprar o LEM é o processo de construção dele.
2. O LEM exige do professor uma boa formação.
É nossa obrigação estar bem preparados para propiciar a aprendizagem da matemática
àqueles que nos são confiados. Além disso, qual é o método de ensino que não exige do
professor uma boa formação matemática e didático-pedagógica? Na verdade, com
professor despreparado, nenhum método produz aprendizagem significativa.
3. O LEM possibilita o “uso pelo uso”.
Sim, como todo instrumento ou meio. Daí a importância dos saberes do professor,
indispensáveis para a utilização tia quadra e dos equipamentos de esportes, da
biblioteca, dos computadores, entre outros. O LEM possibilita o “uso pelo uso” dele
como também o seu mau uso. Tudo dependerá do professor. Aqui cabe uma analogia:
dize-me como usas o LEM e eu saberei que tipo de professor és.
4. O LEM não pode ser aplicado a todos os assuntos do programa.
Realmente o LEM não é uma panaceia para o ensino, não é um caminho para todos os
momentos da prática pedagógica, mas seguramente pode disponibilizar uma diversifi-
cação de meios e uma excelente prontidão ao uso deles como nenhuma outra alternativa
oferece.
5. O LEM não pode ser usado em classes numerosas.
Em educação, a quantidade e a qualidade geralmente se desenvolvem inversamente. Por
isso, em turmas de até trinta alunos, é possível distribuí-los em subgrupos, todos estu-
dando um mesmo tema, utilizando-se de materiais idênticos, e com o professor dando
atendimento a cada subgrupo. Para turmas maiores, infelizmente o “fazer” é substituído
pelo “ver”, e o material individual manipulável é, inevitavelmente, substituído pelo
material de observação coleti-va, pois a manipulação é realizada pelo professor, caben-
do aos alunos apenas a observação.
6. O LEM exige do professor mais tempo para ensinar.
Antes de considerar o tempo dispendido para que os alunos aprendam, é preciso
considerar a qualidade da aprendizagem, questionando: com o LEM o rendimento dos
alunos melhora? Os alunos preferem aulas com ou sem o LEM? Por quê? Apesar de as
respostas a essas questões de penderem do perfil profissional do professor, dos interes-
ses dos alunos e dos objetivos da escola, é provável que o uso do LEM desperte nos
alunos indagações não previstas pelo professor e, nesse sentido, se eles forem atendidos,
o ensino demandará mais tempo que o previsto. Em contrapartida, muitas vezes, o uso
do LEM, por facilitar a aprendizagem, faz o professor ganhar tempo.
7. É mais difícil lecionar utilizando o LEM.
Essa frase insinua uma limitação do LEM. Se a dificuldade aqui se refere ao aumento de
movimentação e de motivação dos alunos e de troca de informações entre eles, causadas
pelo LEM, podemos dizer que o LEM exige do professor uma conduta diferente da
exigida pela aula tradicional; se a dificuldade for referente ao fato de que os alunos,
influenciados pelo LEM, passam a fazer perguntas difíceis ou fora do planejamento da
aula, então, realmente, usar o LEM pode ser mais difícil para parte dos professores. Em
ambos os casos, não se trata de limitação própria ao LEM, mas sim de situações em que
os alunos efetivamente trabalham mais do que quando apenas assistem à explanação do

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professor. Em outras palavras, o LEM pode ocasionar nos alunos uma mudança de
comportamento.
8. O LEM pode induzir o aluno a aceitar como verdadeiras as propriedades
matemáticas que lhes foram propiciadas pelo material manipulável ou gráfico.
Dependendo do nível de desenvolvimento dos alunos, é altamente desejável que essa
afirmação seja verdadeira, pois, até o aparecimento do raciocínio lógico-dedutivo por
volta dos 13 ou 14 anos de idade, a aquisição do conhecimento apóia-se fortemente no
verbal (audição), no gráfico (visão) e na manipulação (tato). Confiando plenamente
naquilo que vêem, pois praticam o “é verdade porque vi”, “vale porque tem a mesma
medida”, “se vale para dois ou ires casos então valerá para todos”, confundem
constatação de natureza perceptual com demonstração, e não sentem a necessidade de
provas lógico-dedutivas porque tomam a percepção visual como prova. Quando os
jovens adquirem o poder de dedução lógica, é importante mostrar-lhes sofismas,
falácias e paradoxos matemáticos com o objetivo de eles perceberem que conclusões
baseadas apenas na intuição ou naquilo que se vê podem contrapor-se ao que o
raciocínio lógico-dedutivo aponta como verdadeiro. Raciocínio dedutivo será
fundamental para todos os estudos posteriores: ele vai logicamente permitir-nos, de
agora em diante, separar aquilo que parece ser verdadeiro daquilo que essencialmente é
verdadeiro.
Mas onde encontrar uma coleção de sofismas, falácias e paradoxos? No LEM.
Seguem-se alguns exemplos:
a) Se 2 - 2 = 3 - 3, então 2 (1 - 1) = 3 (1 - 1) e cancelando o fator (1 - 1) comum aos
dois termos, resulta 2 = 3. Qual seria a causa desse desfecho absurdo?
b) Veja as figuras 1 e 2. Monte um quadrado de 8cm por 8cm. Divida-o em dois
trapézios e dois triângulos, conforme mostra a figura 1, cuja área é 64cm2. Agora,
com as mesmas quatro partes obtidas do quadrado, monte um retângulo, conforme
mostra a figura 2, cuja área é 65cm2. Assim, você acabou de descobrir que 64 =
65.

c) Veja a figura 3. A medida da semicircunferência de raio igual a 1 é n ou 2? Sa-
bendo que o comprimento da circunferência é dado por C = 2nr, temos que o
comprimento da semicircunferência da figura é 7ir e, se o raio vale 1, então o
comprimento pedido mede 7r. Simples, não é? No entanto, observemos as figuras
4 e 5, em cuja construção cada curva gera duas outras menores e o diâmetro de
cada curva maior é igual ao dobro do da menor. Continuando indefinidamente este
processo (figura 6), a curva limite se constituirá de círculos infinitamente peque-

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nos, quando então ela se confundirá com o segmeto AE, cuja medida é 2, porque
vale o dobro do raio que mede 1. Afinal, o arco mede n ou 2?

d) Observe a figura 7, em que estão
representadas duas rodas A e B, de
tamanhos diferentes e firmemente
unidas entre si; elas rolam ao mesmo
tempo sobre dois trilhos C e D co-
locados em níveis diferentes. As rodas
partem da posição 1 e rolam até a posi-
ção 2, conforme mostra a figura 8, sem
deslizarem, percorrendo uma distância
igual ao comprimento da roda maior.
Nessas condições,
quando a roda maior
completar uma volta a
menor também
completará uma volta
porque uma está fixa
na outra, percorrendo,
assim, a mesma
distância que vai do
ponto 1 ao 2. Mas
como explicar que as medidas das circunferências
são iguais se as rodas são de diferentes tamanhos?
e) Veja a figura 9. As retas r e 5 são paralelas? Elas
se parecem paralelas?
Se, por um lado, é importante o professor
propor situações que realcem o perigo de se acreditar em
conclusões baseadas apenas no que foi percebido pelos
sentidos, por outro lado, não menos desastroso será
conduzir os alunos à total descrença em tudo que a observação e a intuição nos revelam
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ou sugerem. Estas são um bom começo para investigar e para aprender.
1.3. Material didático (MD)
Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-
aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um
quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros.
Apesar dessa enorme gama de possibilidades, todos os MD constituem apenas
um dos inúmeros fatores que interferem no rendimento escolar do aluno. Os MD podem
desempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, o
professor deve perguntar-se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar um
assunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, para
facilitar a redescoberta pelos alunos? São as respostas a essas perguntas que facilitarão a
escolha do MD mais conveniente à aula.
Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de
ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o
MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não
substitui o professor.
Devido à impossibilidade de abordar a utilização didática dos distintos tipos de
MD que podem compor um LEM, aqui vamos referir-nos apenas ao MD manipulável
concreto.
1.3.1. MD manipulável
Existem vários tipos de MD. Alguns não possibilitam modificações em suas
formas; é o caso dos sólidos geométricos construídos em madeira ou cartolina, por
exemplo, que, por serem estáticos, permitem só a observação. Outros já permitem uma
maior participação do aluno: é o caso do ábaco, do material montessoriano (cuisenaire
ou dourado), dos jogos de tabuleiro.
Existem, ainda, aqueles dinâmicos, que, permitindo transformações por continui-
dade, facilitam ao aluno a realização de redescobertas, a percepção de propriedades e a
construção de uma efetiva aprendizagem. É o caso da estrela (ver figura 10) construída

com 18 palitos ou cotonetes iguais e unidos por borrachas (pedaços de garrote simples
nos pontos ímpares e transpassados nos pontos pares); ela pode ser dobrada de várias
maneiras e, assim, pode facilitar o estudo de simetria, rotação, reflexão, triângulo,

16

hexágono, tetraedro, hexaedro, isomeria ótica, entre outros assuntos. Seguem algumas
das formas possíveis:
a) Ponha os vértices ímpares no centro da estrela (figura 11)
b) Coloque 1 e 7 no centro da estrela (figura 12)
c) Superponha 1 ao 7 (figura 13)
d) Coloque 1, 5, 7 e 11 no centro da estrela (figura 14)

Utilizando-se de questões tais como as seguintes, será possível estimular os
alunos para operações além das simplesmente manipulativas:
• Que figura plana pode ser construída colocando-se o 4 junto ao 10?
• Quantas diferentes figuras planas podem ser construídas?
• Qual delas tem o maior perímetro? E a maior área?
• Qual é a relação entre a área da figura estrelada inicial e da figura hexagonal em a?
• É possível formar um tetraedro (espacial)?
• Qual é a área total do hexaedro?
• Qual é a diferença entre a representação de uma figura e a sua imagem mental?
Convém termos sempre em mente que
a realização em si de atividades manipulativas
ou visuais não garante a aprendizagem. Para
que esta efetivamente aconteça, faz-se
necessária também a atividade mental, por
parte do aluno. E o MD pode ser um excelen-
te catalisador para o aluno construir seu saber
matemático. Neste tipo de saber, os lados não
possuem largura nem espessura, só compri-
mento. Largura e espessura são necessárias à
representação, seja por imagem, seja por
material concreto.
Um outro exemplo de MD é aquele que se refere ao Teorema de Pitágoras: ele
compõe-se de um triângulo retângulo com quadrados construídos sobre os respectivos
lados do triângulo. Este material estático pode transformar-se em dinâmico,
interessante, desafiador e inspirador, se for construído em acrílico: são duas placas
idênticas (no formato do estático), coladas uma sobre a outra, de modo que elas possam
reter algum material moldável, como óleo, Agua ou areia. Fazendo um furo de A a B e
de C a D, como mostra a figura seguinte, quando o MD for mudado da posição 1 (figura
15) para a posição 2 (figura 16), o líquido (ou areia) interno se transferirá dos dois
17

quadrados menores para o quadrado maior, sugerindo a existência de uma equivalência
entre os quadrados. Qual será o tipo de MD que os alunos irão preferir: o estático ou o
dinâmico?

1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem
A utilização do MD está sempre intimamente relacionada com um processo de
ensino que possui uma característica aparentemente paradoxal. Vejamos por quê.
É muito difícil, ou provavelmente impossível, para qualquer ser humano
caracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto, tocado ou
utilizado esses objetos. Para as pessoas que já conceituaram esses objetos, quando
ouvem o nome do objeto, flui em suas mentes a ideia correspondente ao objeto, sem
precisarem dos apoios iniciais que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento,
forma e peso. Os conceitos evoluem com o processo de abstração; a abstração ocorre
pela separação mental das propriedades inerentes a objetos (DAVIDOV, 1982, p. 332).
Esse processo começa com o apoio dos nossos sentidos e, assim, ele é aparentemente
paradoxal porque, pan se chegar no abstrato, é preciso partir do concreto. O abstrato,
segundo Kopnin (1978, p. 54), é o “isolamento de alguma propriedade sensorialmente
acessível do objeto”. Faz-se necessário partir do concreto. O concreto pode ter duas
interpretações: uma delas refere-se ao palpável, manipulável, e outra, mais ampla, inclui
também as imagens gráficas; ainda sobre o concreto, às vezes, o real tem sido
confundido com o concreto. Essa trajetória é semelhante à que se deve fazer para
conseguir o rigor matemático: para consegui-lo, com seus vocábulos, expressões,
símbolos e raciocínios, é preciso começar pelo conhecimento dos alunos, que é um
ponto distante e oposto ao rigor matemático, porque é empírico e baseado no concreto.
O avião retrata bem essa característica aparentemente contraditória do processo
educacional: ele é feito para voar, mas, para voar, precisa partir do chão. Tal
característica poderia ser considerada de somenos importância se não conduzisse alguns
profissionais à falsa conclusão de que o uso do MD retarda o desenvolvimento
intelectual do aluno. Não seria a ausência do MD a causa de possíveis retardamentos?

18

Uma das pesquisas5 que comprovaram a eficiência do ensino com MD foi realizada em
Brasília, com cerca de 180 crianças cursando a 5” série, com idades variando entre 11 e
12 anos e com semelhantes condições de conhecimento matemático, conforme resultado
de pré-teste. Essas crianças pertenciam a distintas escolas e a diferentes níveis
socioeconômicos, e 70% delas consideravam a matemática uma disciplina difícil para
aprender; em cada escola, um mesmo professor lecionou para duas turmas, numa
utilizando MD, na outra, não. Os resultados revelam que o grupo que foi ensinado com
MD reagiu de for-ma muito mais positiva, tanto diante de questões fáceis como de mé-
dias e de difíceis, do que o grupo que foi ensinado sem MD.
1.3.3. O professor e o uso do MD
A atuação do professor é determinante para o sucesso ou fracasso escolar. Para
que os alunos aprendam significativamente, não basta que o professor disponha de um
LEM. Tão importante quanto a escola possuir um LEM é o professor saber utilizar
corretamente os MDs, pois estes, como outros instrumentos, tais como o pincel, o re-
vólver, a enxada, a bola, o automóvel, o bisturi, o quadro-negro, o batom, o sino,
exigem conhecimentos específicos de quem os utiliza.
Assim, o professor de matemática, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se:
será conveniente, ou até mesmo necessário, facilitar a aprendizagem com algum
material didático? Com qual? Em outras palavras, o professor está respondendo as
questões: “Por que material didático?”, “Qual é o material?” e “Quando utilizá-lo?”. Em
seguida, é preciso perguntar-se: “Como este material deverá ser utilizado?”. Esta última
questão é fundamental, embora não suficiente, para que possa ocorrer uma
aprendizagem significativa.
Tomemos, por exemplo, a representação de um triângulo qualquer, feita em
cartolina ou em madeira: com ele, o professor pode mostrar aos alunos, justapondo os
três “vértices”, que a “soma dos três ângulos dá 180 graus”. Note que essa atitude do
professor, que se resume em apenas apresentar um resultado aos alunos, é um mero
reforço à memorização do enunciado matemático que pode ser encontrado nos livros
didáticos. No entanto, as consequências do uso do material podem ser mais abrangentes
e positivas, se cada aluno desenhar um triângulo qualquer (equilátero, isósceles,
escaleno ou retângulo, grande ou pequeno, e em diferentes posições), recortar e dobrar
sua figura e mostrar aos colegas suas observações, descobertas ou conclusões. Algumas
destas podem ser:
• Quando juntados os três ângulos, dá meio círculo;
• Dá sempre 180 graus, em qualquer tipo de triângulo;
• Mas tem que dobrar os lados ao meio, se não, não junta os três ângulos;
• O ponto onde se juntam os três ângulos depende das medidas dos ângulos;
• O ponto onde se juntam os três ângulos varia de triângulo para triângulo;
• O ponto onde se juntam os três ângulos é o pé da altura do triângulo;
• Todo triângulo pode ser transformado em dois retângulos;
• A área do triângulo é o dobro da área de cada retângulo;
• O perímetro do triângulo é maior do que o de cada retângulo.

5
Sérgio Lorenzato (1976), Subsídios metodológicos para o ensino da matemática:cáculo de áreas das
figuras planas, Tese (Doutorado) - FE-UNICAMP, Campinas.

19

A diferença entre as duas maneiras distintas de utilização de MD aqui
apresentadas ressalta que a eficiência do MD depende mais do professor do que do
próprio MD, e ainda mostra a importância que a utilização correta do MD tem no
desenvolvimento cognitivo e afetivo do aluno.
O modo de utilizar cada MD depende fortemente da concepção do professor a
respeito da matemática e da arte de ensinar. Um pro-fessor que concebe a matemática
como um conjunto de proposições dedutíveis, auxiliadas por definições, cujos
resultados são regras ou fórmulas que servem para resolver exercícios em exames,
avaliações, roncursos, seguramente poderia, utilizando-se apenas do quadro-negro,
mostrar ou provar aos alunos que a soma dos três ângulos dá ISO graus e, em seguida,
dar alguns exercícios para auxiliar a memorização dessa propriedade. Para muitos de
nós, a matemática foi ensinada assim e, por isso, não conseguimos admirar a beleza e
harmonia dela, nem ver nela um essencial instrumento para cotidianamente lei colocado
a nosso serviço. Para o aluno, mais importante que co-nhecer essas verdades
matemáticas, é obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, a
melhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazer
constatações, a satisfa-çlo do sucesso, e compreender que a matemática, longe de ser um
bicho-papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar.
Com referência à manipulação propriamente dita do MD pelos alunos, convém
lembrar que, num primeiro momento, o MD pode gerar alguma estranheza ou
dificuldade e propiciar noções superficiais, ideias incompletas e percepções vagas ou
erróneas; por isso, quando o MD for novidade aos alunos, a eles deve ser dado um tem-
po para que realizem uma livre exploração. Todas as pessoas passam por essa primeira
etapa em que, através da observação, conhecem o superficial do MD, tal como suas
partes e cores, tipos de peças e possibilidade de dobra ou decomposição. São esses
banais conhecimentos que possibilitarão, com ou sem o auxílio do professor, a procura e
a descoberta de novos conhecimentos. Para ilustrar, tomemos o MD representado pela
figura 17, feito em papelão, onde os pontos A a B são fixos e Pé móvel; os três pontos
A, B, P são unidos por um fio; para representar vários triângulos, o P deve deslocar-se
pelo corte no papelão, entre C e D. Os triângulos são diferentes quanto às formas, mas
todos têm a mesma medida de base. E o que acontece com as medidas das alturas, se AB
for paralelo a CD? O que se pode dizer das áreas desses diferentes triângulos? E de seus
perímetros?

20

Diante desse MD, é provável que os alunos se deparem inicialmente observando
e testando o possível movimento do fio e percebendo o paralelismo entre AB e CD.
Feito isso, as questões anteriores se tornarão fáceis aos alunos, se souberem os conceitos
de perímetro e de área. Aqui, é importante que seja realizada entre os alunos a
verbalização dos pensamentos, isto é, a comunicação das ideias, raciocínios, ações e
conclusões deles. Será nesse momento que o professor poderá avaliar como e o que os
alunos aprenderam; além disso, a socialização das estratégias, processos, erros e conclu-
sões, entre os alunos, não é menos importante para a formação deles. Após a
verbalização, é recomendável que cada aluno tente registrar em seu caderno, conforme
suas possibilidades, as novas conquistas decorrentes das atividades, concretas e
abstraías, por eles realizadas.
1.3.4. Potencialidades do MD
Todo MD tem um poder de influência variável sobre os alunos, porque esse
poder depende do estado de cada aluno e, também, elo modo como o MD é empregado
pelo professor. Assim, por exemplo, para um mesmo MD, há uma diferença pedagógica
entre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com um
MD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD é o mesmo, mas os
resultados do segundo tipo de aula serão mais benéficos à formação dos alunos porque,
de posse do MD, as observações e reflexões deles serão mais profícuas, uma vez que
poderão, em ritmos próprios, realizar suas descobertas e, mais facilmente, memorizar os
resultados obtidos durante suas atividades.
Existem também diferenças de potencialidade
entre o MD manipulável e sua representação gráfica,
porque, apesar de todas as contribuições da perspectiva,
ela não retrata as reais dimensões e posições dos lados e
faces dos objetos, uma vez que ela camufla o
perpendicularismo e o paralelismo laterais, como mostra
a figura 18.
Talvez a melhor das potencialidades do MD seja
revelada no momento de construção do MD pelos
próprios alunos, pois é durante esta que surgem
imprevistos e desafios, os quais conduzem os alunos a fazer conjecturas e a descobrir
caminhos e soluções.
Vejamos, então, algumas potencialidades mais específicas dos MD.
Raios X
Analise o seguinte diálogo, frequente em nossas salas de aula, até mesmo em
cursos de aperfeiçoamento para experientes professores de ensino fundamental.
Aos alunos é dado um MD (figura 19) formado por quatro palitos de mesmo
comprimento, representando um losango, flexível nos
pontos 1, 2, 3 e 4.
Professor - Procurem transformar esta figura em outras
e digam o que observaram.
Alunos - “Um segmento”; “um triângulo”; “outros
losangos”; “quando o ângulo 1 aumenta, o ângulo 2
diminui”; “os ângulos opostos são iguais”, “outros
paralelogramos”, “um quadrado”.

21

Professor - A sequência de movimentos que transformou losango em quadrado
destruiu alguma característica (propriedade) dos losangos?
Alunos - Não, os lados continuaram iguais.
Professor - Então, o quadrado é losango?
Alunos - Não, losango é losango, quadrado é quadrado.
Note que:
a) Esta última resposta indica que esses alunos estão no primeiro nível da proposta de
Van Hiele6.
b) Nesse exemplo, o MD possibilitou ao professor constatar
conceitos que precisam ser revistos ou ampliados.
c) O MD foi para o professor o mesmo que o aparelho de raios
X é para o médico ou dentista.
Complicador
Se o MD pode ser para o aluno um facilitador, para o professor, às vezes, ele
pode ser um complicador. Em outras palavras, é muito mais fácil dar aula sem MD, mas
também é mais difícil aprender sem o MD. O uso do MD planejado para atingir um
determinado objetivo, frequentemente, possibilita ao aluno a realização de observações,
constatações, descobertas e até mesmo o levantamen-to de hipóteses e a elaboração e
testagem de estratégias que, às vezes, não estavam previstas no planejamento nem eram
do conhecimento do professor. No entanto, é preciso reconhecer que essa dificuldade
vem no intuito de melhorar a qualidade do processo de rnsino-aprendizagem. Um
exemplo disso (figura 20) é o que pode acontecer quando se dá ao aluno um triângulo
(dobrável pelos pontos médios dos lados), esperando que ele redescubra que “a soma
dos três ângulos é 180 graus” (figura 21), como foi sugerido em 3.3:

Quando se pergunta aos alunos o que eles observaram na transformação anterior,
frequentemente dizem que “o triângulo se transformou em dois retângulos”, o que é
uma verdade geralmente inesperada por alguns professores e que não consta nos livros
didáticos; ou, então, os alunos dizem que “no triângulo sempre cabem seis triângulos”,
referindo-se à propriedade “todo triângulo pode ser decomposto em seis triângulos
menores congruentes dois a dois”. Outra observação dos alunos que pode surpreender
alguns professores é a de que a área do retângulo (figura 21) é a metade da área do
triângulo inicial (figura 20). Tal constatação é válida, mas, também, é contraditória para
6
Van Hiele propõe que o desenvolvimento do pensamento geométrico pode se dar em cinco níveis.

22

quem se lembrar das fórmulas para cálculo da área de retângulo e de triângulo. Como se
explica essa contradição?
Só para crianças
A experiência tem mostrado que o MD facilita a aprendizagem, qualquer que
seja o assunto, curso ou idade, o que conflita com a crendice de que MD só deve ser
utilizado com crianças. Justificando essa crendice, alguns dizem que, como a abstração
é essencial para a aprendizagem da matemática, quanto mais o MD concreto for
utilizado, mais retardado será o processo de abstração, de matematização do aluno.
Aqueles que assim pensam provavelmente ainda não fizeram a seguinte
experiência: escolha pessoas adultas que não estudaram geometria espacial e diga a elas
que “todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides”. Se elas não
compreenderem a mensagem, e certamente não a compreenderão, apresente o desenho
da figura em questão; mesmo assim, diante da imagem, a maioria das pessoas não
compreenderá o que está sendo dito e mostrado. No entanto, se a todas elas for dado um
modelo tridimensional para manusear, imediatamente indicarão ter compreendido o
significado da frase. Então, por que utilizar MD só com crianças?
Na verdade, o importante é verificar se o assunto é novidade para os alunos, e
não a idade deles.
Regulador
O MD pode ser um eficiente regulador do ritmo de ensino para.i aula, uma vez
que ele possibilita ao aluno aprender em seu próprio ritmo e não no pretendido pelo
professor. Por isso, o emprego de MD pode “atrasar o programa”, e essa é uma das
críticas mais frequentes ao seu uso. Na verdade, a utilização de MD pode inicialmente
tornar o ensino mais lento, mas em seguida, devido à compreensão adquirida pelo aluno,
o ritmo aumentará e o tempo gasto no início será, de longe, recompensado em
quantidade e principalmente em qualidade. Em outras palavras, é uma questão de opção:
valorizar mais o ensino ou a aprendizagem, dar o programa ou aprender com
compreensão, lembrando que, se não há aprendizagem, não podemos considerar que
houve ensino, e mais: o professor pode acelerar o ritmo das atividades dos alunos
apresentando questões que os auxiliem em suas reflexões, fazendo acontecer a chamada
descoberta dirigida. Portanto, é possível interferir no ritmo dos alunos.
Modificador
Pelo exemplo do prisma que foi decomposto em três pirâmides pode-se verificar
que a utilização do MD favorece a alteração de ordem de abordagem do conteúdo
programático, pois a dupla MD e imaginação infantil quase sempre abre um leque de
possibilidades, muitas delas imprevistas. Se de um lado o processo se torna rico, por
outro se torna mais difícil para ser conduzido dentro de uma visão fechada, diretiva e
predeterminada. É importante registrar que o MD nunca favorece o adiamento do
assunto; ao contrário, ele quase sem-pre propicia a antecipação da abordagem. Outro
exemplo que ilus-n.i liem isso é o seguinte: diante do triângulo cujos ângulos se juntam
para mostrar que a soma é 180 graus (assunto de 7a e 8a séries), crianças de 1a série
disseram que “as três pontas dá meia roda”. Longe de observar erro de português ou
falta de rigor na linguagem matemática, é preciso exaltar que intuitivamente as crianças
em fase escolar inicial já conseguem detectar a verdade matemática e expressá-la em
sua linguagem. E isso é uma façanha, porque eles ainda não construíram os conceitos de
triângulo, ângulo, grau, adição, círculo e medida. Será que isso significa que é preciso

23

abrir mão do rigor para se conseguir o rigor? Será que isso indica que a dosagem seriada
deve merecer uma atenção maior do que a escola tem dado? Ou será isso uma indicação
de que o MD permite antecipar a abordagem de conteúdos programáticos no currículo
escolar?
Outro tipo de alteração que quase sempre o uso de MD ocasiona se refere ao
nível de atividade dos alunos em sala de aula, pois, em decorrência da motivação que
ele gera nos alunos, estes falam e movimentam-se mais que de costume, o que para
muitas pessoas pode significar bagunça.
Dosagem seriada
A prática pedagógica tem confirmado a necessidade e a conveniência da adoção
do currículo em espiral, tão recomendado por ilustres educadores; nele, ao longo das
séries, os mesmos assuntos são retomados e, a cada vez, os conhecimentos são
ampliados e aprofundados. Por exemplo, se pretendermos que alunos de 5a série cal-
culem áreas de figuras planas sem usar fórmulas (por equivalência de áreas), o processo
pode começar na educação infantil através da montagem/desmontagem de figuras
quaisquer; em seguida, na la/4a séries, devem vir jogos livres com figuras de diferentes
formas e cores, explorando a equivalência de suas áreas (por transformação) para, então,
finalmente na 5a série, serem calculadas as áreas por meio de medidas.
Um mesmo MD pode ser utilizado para um assunto, porém, em diferentes níveis
de conhecimento. É o caso do MD sobre o chamado Teorema de Pitágoras, apresentado
no item 3.1: num primeiro momento, o objetivo era facilitar a percepção da existência
de uma equivalência entre “os quadrados”; mais tarde, com o apoio de con-tagcm ou
medida, os conhecimentos avançam para a constatação numérica (área), a condicional
(triângulo retângulo), depois para a demonstração (prova) e finalmente para ampliações
do tipo: o teorema vale para outras formas ou somente para quadrados? A palavra
“quadrado” no enunciado refere-se à forma ou à área de figura? Em quais condições o
teorema vale para três dimensões (volume)? Quais aplicações práticas são previsíveis?
Computador
Uma outra crítica contra o uso de MD se baseia no argumento de que, com a
chegada do computador, o MD se tornou obsoleto e desnecessário. Primeiramente, é
preciso lembrar que infelizmente o computador não chegou à grande maioria das
escolas brasileiras; e isso é mais sério do que parece, porque muitas escolas que já se
equiparam com computadores não sabem bem o que fazer com eles. tudo indica que
comprar o equipamento e conseguir o espaço físi-CO para ele é o mais fácil: o mais
difícil é conseguir software (programa) adequado e principalmente professor preparado
para elaborar, desenvolver e avaliar um processo de ensinar e aprender dilcrente dos que
tivemos até hoje. Em segundo lugar, o MD manipulável tem-se mostrado um eficiente
recurso para muitos alunos que, não compreendendo a mensagem (visual) da tela do
computador, recorrem ao MD (manipulável) e então prosseguem sem dificul-dades com
o computador. Assim sendo, para muitos alunos, o MD desempenha a função de um
pré-requisito para que se dê a aprendiam através do computador.
Funciona sempre?
Apesar de o MD geralmente despertar o interesse de quem aprende, ele pode não
apresentar o sucesso esperado pelo professor. Como já vimos no item 3, para que se dê
uma significativa aprendizagem, faz-se necessário que haja uma atividade mental, e não
somente a manipulativa, por parte do aluno. Ao professor cabe acreditar no MD como

24

um auxiliar do processo de ensino-aprendizagem, pois como muitas coisas na vida, ele
só produz bons resultados para quem nele acredita. E mais: o MD necessita ser
corretamente empregado, isto é, é preciso conhecer o porquê, o como e o quando
colocá-lo em cena. Caso contrário, o MD pode ser ineficaz ou até prejudicial à
aprendizagem.
Efeitos colaterais
Se for verdadeiro que “ninguém ama o que não conhece”, então fica explicado
porque tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a eles não foi dado conhecer a
matemática, como podem vir a admirá-la? No entanto, com o auxílio de MD, o
professor pode, se empregá-lo corretamente, conseguir uma aprendizagem com com-
preensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o risco de serem
criadas ou reforçadas falsas crenças referentes à matemática, como a de ser ela uma
disciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, e outras
semelhantes. Outra consequência provável se refere ao ambiente predominante durante
as aulas de matemática, onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídos
pela satisfação, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será o
aumento da autoconfiança e a melhoria da auto-imagem do aluno.
1.3.5. Obstáculos ao uso do MD
De modo geral, pode-se dizer que os obstáculos ao uso do MD são de ordem
extrínseca a ele, pois é fácil constatar que a própria política educacional emanada pelos
governos federal, estaduais ou municipais geralmente não preconiza ou orienta os
educadores ao uso do MD; que raras são as escolas de ensino fundamental ou médio que
possuem seu LEM; que poucas são as instituições responsáveis pela formação de
professores que ensinam seus alunos a usarem MD. Em decorrência, muitos professores
não sentem falta de MD em suas práticas pedagógicas, ou não dispõem de MD, ou não
acreditam nas influências positivas do uso do MD na aprendizagem, ou não sabem
utilizar corretamente o MD. A esses todos se somam aqueles que, por diferentes
motivos, resistem às mudanças didáticas e, pior ainda, aqueles que opinam contra o uso
do MD sem o conhecerem ou sem o terem experimentado7.
Enfim, as causas da ausência do MD nas salas de aulas não são devidas a ele
propriamente.
1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM
• O que é um LEM?
• Quais são os fatores a serem considerados no planejamento de um LEM?
• Por que escolas de formação de professores devem possuir seus LEMs?
• O que você pode fazer para que sua escola venha a ter um LEM?
• Como o MD pode influir no processo ensino-aprendizagem?
• Quando o uso do MD é recomendável? Justifique.
• Quais aspectos educacionais devem ser considerados ao planejar e ao empregar MD:
o cognitivo, o afetivo, o histórico, o pedagógico ou o epistemológico?
• Por quais maneiras se pode dar a má aplicação do MD?
• Como construir MD de boa qualidade e de baixo custo?
• O uso de MD facilita ou dificulta o magistério? Justifique.

7
Sérgio Lorenzatto, trabalho apresentado no Seminário sobre Prática do Ensino, UNESP, Rio Claro, em
1989; e apresentado no III Encontro Nacional de Educação Matemática, UFRN, em 1990.

25

• A ausência de MD torna deficiente o ensino? Justifique.
• Quais dificuldades os professores enfrentam para produzir, adquirir ou utilizar MD?
• Quais são as características de um bom MD?
• Por que os alunos preferem aulas com MD?
• Quais são os argumentos favoráveis ao uso de MD no ensino?
• Quais são os seus argumentos para não usar MD em suas aulas?
• Dê exemplo de caso em que o uso de MD provocou a reflexão dos alunos.
• Comente: O uso do MD garante uma aprendizagem com compreensão.
• Comente: O MD só deve ser usado com crianças.
• Comente: A aritmética e a álgebra escolares podem tornar-se mais fáceis aos alunos
se ilustradas com o apoio das formas, pois é a geometria que, por possibilitar as
representações visuais, intermedeia as sensações iniciais do mundo físico com as
abstrações exigidas pelo processo de formação dos conceitos matemáticos.
• Comente: As características dos MD devem ser distintas de acordo com os níveis
escolares ou com as faixas etárias a que se destinam.
• Comente: As secretarias de educação deveriam implantar LEM em suas escolas.
1.5. Referências bibliográficas do texto
CASTELNUOVO, E. (1973). Didáctica de la matemática moderna. Tradução de Felipe
Roblelo Vasquez. México (DF), Trillas.
DAVIDOV, V.V. (1982). Tipos de generalización en la ensenanza. 2. reimpresión.
Ciudad de La Habana, Editorial Pueblo y Educación.
FIORENTINI, D. & MIORIM, M.A. (1993). “Uma reflexão sobre o uso de materiais
concretos e jogos no ensino da matemática”. Boletim SBEM, São Paulo, ano 4, n. 7.
KOPNIN, P.V. (1978). A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro,
Civilização Brasileira, vol. 123 (Coleção Perspectivas do Homem).
LOVELL, K. (1988). O desenvolvimento dos conceitos matemáticos e científicos na
criança. Tradução de Auriphebo B. Simões. Porto Alegre, Artmed.
MANSUTTI, M. A. (1993). “Concepção e produção de materiais institucionais em
educação matemática”. Revista de Educação Matemática - SBEM, São Paulo, ano 1, n.
l, pp. 17-29.
NICOLET, J.L. (1967). “Intuición matemática y dibujos animados”. In: COMISION
INTERNACIONAL PARA EL ESTÚDIO Y MEJORA DE LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS.
El material para la ensenanza de las matemáticas. Tradução de Gonzalo Medina.
Madrid, Aguilar, pp. 55-73.
POLYA, G. (1978). A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo.
Rio de Janeiro, Interciência.
RÊGO, R.G. & RÊGO, R.M. (2000). Matematicativa. João Pessoa, Ed. UFPb.
STRATHERN, P. (1998). Arquimedes e a alavanca em 90 minutos. Tradução de Maria
Helena Geordane. Rio de Janeiro, Zahar.
THE MATHEMATICAL ASSOCIATION (1968). Mathematics Laboratories in Schools.
London, G. Bell e Sons.

26

2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DI-
DÁTICOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA8
Rômulo Marinho do Rego9e Rogéria Gaudêncio do Rego10
A filosofia e política do Laboratório de Estudos e Pesquisa da Aprendizagem
Científica (LEPAC), vinculado ao Departamento de Matemática do Centro de Ciên-
cias Exatas e da Natureza da Universidade Federal da Paraíba (CCEN/UFPb), vêm
sendo elaboradas e discutidas desde a sua fundação, em 1991. Baseiam-se na crença
de que a construção do saber matemático é acessível a todos e que a superação dos
baixos índices de desempenho de nossos alunos requer também conhecimentos exter-
nos à matemática; compromissos políticos na direção de mudanças, envolvendo a es-
cola, a comunidade, administradores escolares; a luta por melhores condições de tra-
balho e por uma formação inicial e continuada de qualidade. Ao lado da pesquisa,
visando o desenvolvimento de materiais didáticos adequados à realidade das nossas
escolas e de sua divulgação por meio de livros, as ações da equipe do LEPAC estavam
inicialmente direcionadas para a formação de especialistas, lançando as condições
de superar as limitações dos cursos de pós-graduação de caráter tecnicista, passando
posteriormente a abranger a assessoria em projetos de implantação de clubes e labora-
tórios de matemática; na montagem de módulos e projetos de feiras de ciências na
área de matemática; oficinas, palestras e cursos para alunos e professores de matemá-
tica, além da realização de uma exposição anual intitulada "Matemática e imagina-
ção", nos moldes da exposição francesa "Horizontes matemáticos".
As diversas linhas de desenvolvimento de conhecimentos matemáticos a-
pontadas como mais apropriadas dentro da perspectiva de mudanças - entre as quais:
resolução de problemas, jogos e quebra-cabeças, história da matemática - estão inte-
gradas às diversas ações da equipe do LEPAC, que já executou mais de vinte projetos
institucionais (SPEC/PADCT/CAPES, PROGRAD, PROLICEN, PROBEX)11 e realizou
cursos e exposições em instituições de ensino fundamental, médio e superior em es-
tados do Norte e Nordeste, baseados em um acervo material constantemente renova-
do e ampliado, fruto de pesquisas realizadas na área de ensino de matemática, com-
posto de kits didáticos, jogos e quebra-cabeças, coleção de elementos da natureza,
ricos de conexões com a matemática, entre outros recursos.
As novas demandas sociais educativas apontam para a necessidade de um en-
sino voltado para a promoção do desenvolvimento da autonomia intelectual, criati-
vidade e capacidade de ação, reflexão e crítica pelo aluno. Para tanto, faz-se neces-
8
In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) –
Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 39.
9
Bacharel e mestre em matemática e doutor em educação matemática. E professor do Departamento de Matemá-
tica e Estatística da Universidade Estadual da Paraíba (UEPb) e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de
Educação da Universidade Federal da Paraíba (UFPb).
10
Bacharel em matemática, mestre em filosofia e doutora em educação matemática. É professora do Departa-
mento de Matemática da UFPb e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da mesma
universidade.
11
Significado das siglas: SPEC - Subprograma Educação para a Ciência; PADCT -Programa de Apoio ao Desen-
volvimento Científico e Tecnológico; CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; PRO-
GRAD - Programa de Apoio aos Cursos de Graduação - UFPb; PROLICEN - Programa de Licenciatura - UFPb;
PROBEX - Programa Institucional de Bolsas de Extensão - UFPb

27

sário a introdução da aprendizagem de novos conteúdos de conhecimentos e de me-
todologias que, baseadas na concepção de que o aluno deve ser o centro do processo de
ensino-aprendizagem, reconheça, identifique e considere seus conhecimentos pré-
vios como ponto de partida e o prepare para realizar-se como cidadão em uma socie-
dade submetida a constantes mudanças.
O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) em uma escola constitui um
importante espaço de experimentação para o aluno e, em especial, para o professor,
que tem a oportunidade de avaliar na prática, sem as pressões do espaço formal tradi-
cional da sala de aula, novos materiais e metodologias, resultados de pesquisas dis-
ponibilizados na literatura (ver sugestões em Rego & Rego, 2004), ampliando sua
formação de modo crítico, ou seja, quando associado à formação docente, oportuniza
a realização de atividades em que professores da educação básica e alunos de cursos
de licenciatura possam refletir e elaborar sua avaliação pessoal do sistema de ensino
adotado em nossas escolas e construir modelos viáveis de superação de seus aspectos
negativos.
Quando instalados em instituições de ensino superior, os laboratórios de en-
sino, além de incentivar a melhoria da formação inicial e continuada de educadores
de matemática, promovendo a integração das ações de ensino, pesquisa e extensão,
possibilitam:
i. Estreitar as relações entre a instituição e a comunidade, atuando como parceira na
solução dos problemas educacionais que esta apresenta, buscando a melhoria do ensi-
no e constituindo um espaço de divulgação e de implantação de uma cultura de base
científica;
ii. Estimular a prática da pesquisa em sala de aula, baseada em uma sólida forma-
ção teórica e prática; e
iii. Firmar projetos de parceria com os sistemas locais de ensino, visando à instalação
de clubes e laboratórios de matemática, além de oficinas e cursos de formação conti-
nuada para seus professores.
Uma das linhas de investigação e ação em um LEM compreende a elaboração,
adaptação e uso de materiais didáticos de matemática, considerando-se os objetivos
educacionais a serem atingidos, sua potencialidade para auxiliar a aprendizagem de
conhecimentos de naturezas diversas (informações, conceitos, habilidades ou atitu-
des), seu alcance e suas limitações e a sua adequação à competência dos alunos, le-
vando-se em conta conhecimentos prévios, faixa etária, entre outros elementos. Se
concebermos uma aula de matemática como um espaço em que os alunos vão expe-
rimentar, descobrir significados e processos para essas experiências ou atividades de
aprendizagem, como afirmam Grossnickle e Brueckner (1965, p. 87), materiais
adequados são necessários.
Manoel Jairo Bezerra destacou, na obra O material didático no ensino da
matemática, suas principais funções (1962, pp. 10-13):
i. Auxiliar o professor a tornar o ensino da matemática mais atraente e acessível;
ii. Acabar com o medo da matemática que, criado por alguns professores e alimentado
pelos pais e pelos que não gostam de matemática, está aumentando cada vez mais a
dificuldade do ensino dessa matéria e
iii. Interessar maior número de alunos no estudo dessa ciência.
Uma vez trabalhado e avaliado em sala de aula um recurso didático pode ser,
caso indicado, reestruturado, compreendendo-se que a aprendizagem não reside em
28

sua estrutura física ou na simples ação sobre ele, mas resulta do aprofundamento de
reflexões sobre essa ação.
Acreditava-se, há até relativamente pouco tempo, que os alunos aprendiam de
igual maneira, acumulando informações e regras. Sabemos, entretanto, que cada alu-
no tem um modo próprio de pensar e que este varia em cada fase de sua vida, es-
tando seu pensamento em constante processo de mudança. A aprendizagem pela
compreensão é um processo pessoal e único que acontece no interior do indivíduo,
embora relacionado a fatores externos, exigindo do raciocínio o que quase sempre é
deixado apenas como tarefa para a memória. As interações do indivíduo com o mun-
do possibilitam-lhe relacionar fatos, estruturar idéias e organizar informações, inter-
nalizando-os.
Por meio de experiências pessoais bem-sucedidas, o aluno desenvolve o gos-
to pela descoberta, a coragem para enfrentar desafios e para vencê-los, desenvolven-
do conhecimentos na direção de uma ação autônoma. Porém, como afirmava Igná-
tiev, ainda no ano de 1911, "a independência mental, a reflexão e a criatividade não
podem ser metidas em nenhuma cabeça", sendo seguros apenas os resultados dos
casos em que a introdução no campo da matemática ocorrer de forma prazerosa, "ba-
seando-se em objetos e exemplos do ambiente cotidiano, selecionados com a criativi-
dade e interesse correspondentes" (IGNÁTIEV, 1986). Nessa concepção de aprendi-
zagem, o material concreto tem fundamental importância, pois, a partir de sua utiliza-
ção adequada, os alunos ampliam sua concepção sobre o que é, como e para que a-
prender matemática, vencendo os mitos e preconceitos negativos, favorecendo a a-
prendizagem pela formação de idéias e modelos.
Assim, as atividades realizadas em um LEM estão voltadas para o desenvol-
vimento de conhecimentos matemáticos e a formação geral do aluno, auxiliando-o a:
i. Ampliar sua linguagem e promover a comunicação de idéias matemáticas;
ii. Adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações;
iii. Desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais;
iv. Iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação matemática;
v. Estimular sua concentração, perseverança, raciocínio e criatividade;
vi. Promover a troca de idéias através de atividades em grupo;
vii. Estimular sua compreensão de regras, sua percepção espacial, discriminação
visual e a formação de conceitos.
Em razão das características socioeconômicas da nossa população, um dos
grandes desafios enfrentados pelos pesquisadores que atuam à frente de LEMs com-
preende a socialização dos resultados de seus trabalhos. Nossa experiência pessoal
aponta para a possibilidade de produção e de massificação de materiais de baixo cus-
to e grande potencial didático, dentro de padrões de segurança que não coloquem em
risco o seu usuário, com um acabamento que torne as atividades a serem realizadas
agradáveis aos sentidos, contribuindo para formação do senso estético e direcionan-
do a atenção e a percepção para os aspectos cognitivos a serem trabalhados.
Para exemplificar a potencialidade de recursos simples na promoção de ativi-
dades didáticas em um LEM, apresentamos algumas sugestões, aqui descritas de mo-
do sucinto, cujos objetivos e uso em sala de aula poderão ser encontrados com deta-
lhes nos textos já publicados (REGO & REGO, 1999a, 1999b, 2004; REGO, RE-
GO & GAUDENCIO JR., 2003) ou em vias de publicação pela equipe do LEPAC. É

29

importante lembrar que os roteiros de sugestão de uso de qualquer recurso instrumen-
tal devem ser vistos como possíveis caminhos que poderão ou deverão ser reestrutu-
rados de acordo com as especificidades dos alunos e dos conhecimentos a serem de-
senvolvidos, e não como receituários, seguidos fielmente sem a promoção de refle-
xões.
A primeira atividade, intitulada estudo de quadriláteros (RÊGO & REGO,
1999a), demanda apenas papel (ofício, de revistas, jornal etc.), cola e tesoura. Suge-
rimos que seja desenvolvida no estudo de quadriláteros, sendo indicada para alunos
de todas as séries da educação básica. O que deverá variar, em cada caso, são as exi-
gências formais envolvidas, no que trata da análise das propriedades das figuras ob-
tidas e na nomenclatura apresentada, com menos ou mais rigor, dependendo do nível
da turma e dos objetivos a serem alcançados. O procedimento a ser adotado inicia-se
com o corte de algumas tiras de papel com aproximadamente 30 cm de comprimento
e 4cm de largura. Depois de recortadas, colar as tiras formando cada uma um anel
comum, como indicado na figura 1.
Iniciar a discussão questionando aos alunos
o que acontece quando cortamos um desses anéis ao
meio, ao longo da linha pontilhada, como indicado na
figura l (o pontilhado não precisa ser feito, na ilustra-
ção serve apenas para indicar onde deverá ser realiza-
do o corte). Depois de feitas as previsões, cortar o
anel e conferir o resultado.
Em seguida, colar dois anéis iguais ao pri-
meiro, com mesmo diâmetro e largura, um perpendi-
cular ao outro, como indicado na figura 2, estimando
o que acontece quando cortarmos ao meio os dois
anéis colados, como feito no anel da questão inicial.
Verificar o resultado obtido confrontando-o com as
hipóteses levantadas.
Vale notar que, quando o primeiro anel é cor-
tado, o conjunto fica semelhante a uma algema (uma
tira com duas argolas, uma em cada extremidade).
Em seguida, cortar a tira ao meio, pois esta cor-
responde a uma das argolas que estavam inicialmen-
te coladas. Os alunos poderão em seguida investigar:
i. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-
los) para que o resultado seja um losango (não quadrado)?
ii. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-
los) para que o resultado seja um retângulo (não quadrado)?
iii. Como devem ser os anéis, e como colá-los, para que o resultado seja um paralelo-
gramo (não quadrado)?
Outras investigações podem ser feitas:
i. Colar três anéis de mesmo tamanho, cada um perpendicular ao seguinte e cortar
os três ao meio, tentando estimar e verificando o resultado;

30

ii. Colar três anéis de tamanhos diferentes, dispostos entre si como no caso anterior,
ou três iguais colados inclinados um em relação ao outro, estimando e verificando os
resultados, entre outras.
Solicitar aos alunos que façam um pequeno relatório ou tabela, descrevendo a
dimensão dos anéis (se todos são de mesmo tamanho ou não); a quantidade de anéis
utilizada em cada caso; como estavam colados uns em relação aos outros (se perpen-
diculares, inclinados etc.) e os resultados obtidos. Dependendo do nível da turma, os
alunos podem analisar e explorar os elementos das figuras obtidas, suas definições e
interseções entre estas como, por exemplo, concluindo que todo quadrado é um re-
tângulo, embora o contrário não aconteça. Essa atividade enseja oportunidade de
abordar de maneira intuitiva questões relativas aos quantificadores universais e exis-
tenciais e de suas negações; levar o aluno a diferenciar o que é uma definição e um
conceito, bem como o desenvolvimento de atitudes como ver a matemática como
um conhecimento social, em permanente processo de construção. Após cada ativi-
dade, além do registro e da busca de associação do conhecimento desenvolvido den-
tro da linguagem, abre-se um espaço para discutir as habilidades que estão sendo
desenvolvidas com a realização e reflexão sobre ela.
Ainda em geometria, sugerimos para a confecção de esqueletos de poliedros,
que poderão ser explorados posteriormente no estudo de propriedades de sólidos,
planos de simetria, Teorema de Euler, dentre outros, o uso de grampos pequenos de
cabelo (de metal, comuns) e canudos de refrigerante. O processo de confecção dos
poliedros é bastante simples e as vantagens do material são muitas: baixo custo, faci-
lidade de uso, rapidez do processo e possibilidade de reaproveitamento do material.
O número de canudos utilizados em um poliedro será igual a seu número de arestas e
o número de grampos será igual à soma do número de arestas que convergem para ca-
da vértice do sólido. Acompanhe o seguinte exemplo, com a construção do esqueleto
de um tetraedro (pirâmide de base triangular) regular, para o qual iremos precisar de
seis canudos e doze grampos de cabelo. Inicialmente prender cada grupo de três
grampos entre si, formando quatro sistemas de articulação, como indicado na ilustra-
ção do centro na figura 3.

Depois de prontas as articulações, inserir a parte ondulada dos grampos no in-
terior dos canudos (ilustração da direita na figura 3), correspondendo a cada con-
junto de três grampos um vértice do tetraedro. Este poderá ser posteriormente
desmontado e grampos e canudos serem utilizados na construção de outros
poliedros, modificando-se a quantidade de canudos e/ou a quantidade de grampos
em cada sistema de articulações, de acordo com a necessidade.
Nesse caso, como em qualquer caso de construção de esqueletos de
poliedros, a rigidez da figura dependerá da forma de suas faces: se apenas

31

triangulares a figura será rígida, caso contrário ficará flexível. Os grampos de cabelo
poderão ainda ser substituídos por clipes de papel de tamanho adequado, isto é, com
largura igual ao diâmetro interno do canudo, onde eles serão inseridos após serem
agrupados entre si, de modo semelhante aos grampos.
Em cursos de formação inicial ou continuada, uma experiência interessante
consiste em dividir a turma em grupos, cada um deles produzindo esqueletos de
poliedros utilizando um material específico (canudos de refrigerante e grampos de
cabelo, clipes de papel, barbante, fita adesiva, arame ou outros, e conexões feitas
com borracha de soro e canudos de churrasco ou pirulito. Ver foto 1), conversando,
depois, sobre as vantagens e desvantagens de cada um dos materiais empregados,
referentes a custo, disponibilidade local dos insumos, tempo de elaboração, riscos de
acidentes no processo, durabilidade, resistência, direcionamento para os objetivos
cognitivos programados e resultados estéticos.

Dentre os diversos materiais didáticos que "evoluíram" no LEPAC
destacamos o Geoespaço, aqui exemplificando o processo de constante
aperfeiçoamento de nosso acervo, visando criar ou adaptar kits existentes à
realidade das escolas, considerando, como já afirmamos, objetivos, potencialidade e
limitações, custo, durabilidade, resistência, segurança e apresentação. Baseado em
um material sugerido para a construção e o estudo de prismas e pirâmides em uma
publicação de uma mostra de materiais concretos para o ensino de matemática,
realizada em Madrid em 1958 (ADAM, 1958), desenvolvemos um modelo de fácil
confecção e uso.

32

Simplificamos o
modelo apresentado
utilizando uma base de
madeira, quatro cantoneiras
que dão sustentação a uma
placa quadrada de acrílico
transparente de 4 mm. Nos
dois planos (base de
madeira e placa de
acrílico) são traçadas
malhas quadriculadas
semelhantes, com
quadrados de 3 cm de
lado, em cujos vértices
são fixados pequenos
ganchos de cobre,
utilizados pela indústria de
mobiliário (e facilmente encontrados em casas de ferragens). Os esqueletos dos
sólidos são construídos com ligas de borracha, presas entre os ganchos dos dois
planos, delimitados por ligas que formam polígonos nas duas malhas quadriculadas
(ver exemplo na foto 2).
Um simples deslocamento de um dos polígonos e das borrachas
correspondentes possibilita a rápida transformação de um prisma reto em um prisma
oblíquo de mesma base, tendo-se a visualização das vistas do poliedro facilitada pela
transparência do acrílico, assim como a identificação e compreensão dos elementos
que caracterizam um determinado tipo de sólido. O modelo pode ser desmontável,
facilitando o seu transporte e armazenamento.
Os dois últimos recursos apresentados, além da grande versatilidade, possibilitam
trabalhar com geometria espacial em sala de aula com modelos tridimensionais, evitando-
se recorrer apenas a figuras planas (no quadro ou livro) com representações de sólidos para
tal. O desenvolvimento de
habilidades específicas,
como a percepção
espacial, a visualização de
cortes e planos de
simetria, relações entre
volumes, entre outras,
requer a realização de
atividades voltadas para
esses fins,
preferencialmente
iniciando-se com mate-
riais presentes no
cotidiano do aluno, a
exemplo de uma eoleção
de embalagens diversas, e

33

posteriormente ampliando-se o estudo dos sólidos geométricos por meio das figuras obtidas
com os canudos ou no Geoespaço, na direção da representação destes no plano. Os recursos
apresentados nas fotos seguintes, descritos de modo sucinto, indicam a possibilidade de
concretização de ideias criativas para um LEM, facilmente reprodutíveis, sem demandar
custos financeiros de
grande monta.
O material da foto
3 é utilizado para substituir
os blocos lógicos, nas
diversas atividades
possíveis de serem
realizadas com esse
material, sendo
socialmente mais
significativo e rico em
termos de propriedades
gerais, o que amplia
consideravelmente as
categorias para
classificação em
subconjuntos, entre outras
vantagens.
Na foto 4, temos dois jogos para as séries iniciais, um compreendendo uma trilha
com círculos concêntricos feita com uma base descartável para bolo e outro uma mancala12
com copos de iogurte.
Na foto 5, temos um
jogo de pares, feito com
potes para filmes
fotográficos, com materiais
semelhantes em seu interior
(dois potes cheios até a
metade com areia, dois
outros com arroz, dois com
clipes de papel, etc.) que,
depois de misturados,
devem ser separados pelos
alunos em pares,
identificados pela
semelhança do som que
produzem. Estimulam, além
do trabalho com a idéia de
par e a classificação de elementos sonoros, a concentração e a prática da auto-avaliação,
uma vez que o próprio aluno pode, abrindo as tampas, conferir se suas respostas estão

12
Mancala é um jogo de tabuleiro de origem africana, com mais de quatro mil anos, e que apresenta
inúmeras variantes. As regras podem ser encontradas na internet ou em livros sobre jogos.

34

corretas. As roletas, confeccionadas em EVA e tampas de potes de mostarda ou ketchup, ou
com tampas plásticas circulares, substituem com eficiência os dados comuns, podendo ser
numeradas de acordo com as necessidades específicas de uma atividade. O terceiro e último
material da foto é produzido em EVA e restos de espirais de encadernação, compreendendo
um quebra-cabeça com peças articuladas que, quando dobrado, pode gerar figuras de
diversas formas, que podem ser classificadas pelos alunos de acordo com o número de
lados, concavidade ou convexidade, ângulos internos, número de diagonais, entre outros.
Na foto 6 um bingo feito
com garrafas PET de diferentes
tamanhos transforma-se em um
atraente material para a prática
do cálculo mental em sala de
aula. O ábaco aberto, com base
em EVA, pinos em lápis
marcadores para quadro-
branco e argolas de bases
fixadoras de tampas de
garrafas PET (de refrigerante
ou água mineral) pode ser
usado na representação e
leitura de números na base
dez, destacando-se as características de nosso sistema de numeração, a exemplo do
valor posicional.
É importante frisar que a utilização de todo e qualquer recurso didático exige
cuidados básicos por parte do professor, entre os quais destacamos:
i. Dar tempo para que os alunos conheçam o material (inicialmente é importante
que os alunos o explorem livremente);
ii. Incentivar a comunicação e troca de ideias, além de discutir com a turma os
diferentes processos, resultados e estratégias envolvidos;
iii. Mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento das ati-vidades por meio de
perguntas ou da indicação de materiais de apoio, solicitando o registro
individual ou coleti-vo das ações realizadas, conclusões e dúvidas;
iv. Realizar uma escolha responsável e criteriosa do material;
v. Planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer bem os recursos a
serem utilizados, para que possam ser explorados de forma eficiente, usando o
bom senso para adequá-los às necessidades da turma, estando aberto a sugestões
e modificações ao longo do processo, e
vi. Sempre que possível, estimular a participação do aluno e de outros professores
na confecção do material.
Alguns princípios a serem promovidos em sala de aula, defendidos por Irene
Albuquerque (1951), dentre os quais, possibilitar variadas experiências de ensino
relativas a um mesmo conceito matemático; atribuir significado para a
aprendizagem; criar situações para que o aluno redescubra padrões, regras e relações
e "criar um ambiente agradável em torno do ensino de matemática, promovendo o
sucesso e evitando o fracasso", são facilitados no espaço de um LEM.

35

Tais princípios, desenvolvidos em todos os níveis de ensino, deverão estar
teoricamente bem fundamentados, baseados em um profundo conhecimento dos
conteúdos matemáticos, dos resultados de pesquisas, da elaboração, estudo e
confecção de recursos didáti-cos e na execução de projetos envolvendo escolas da
região, o que possibilita uma permanente avaliação qualitativa do trabalho realizado.
Finalizamos defendendo a importância de um LEM em escolas de educação
básica e em instituições superiores envolvidas em cursos de formação de professores,
considerando em especial o grande distanciamento entre a teoria e a prática, hoje
ainda predominante nas salas de aula em todos os níveis de ensino; a baixa conexão
entre os conteúdos de matemática e destes com as aplicações práticas do dia-a-dia e a
necessidade de promoção do desenvolvimento da criatividade, da agilidade e da
capacidade de organização do pensamento e comunicação de nossos alunos.
Referências bibliográficas do texto
ADAM, P. Puig (1958). El material didático matemático actual. Madrid, Espanha,
Inspeccion Central de Ensenanza Media.
ALBUQUERQUE, Irene de (1951). Metodologia da matemática. Rio de Janeiro,
Conquista.
BEZERRA, Manoel Jairo (1962a). Recreações e material didático de matemática. Rio
de Janeiro.
________ . (1962b). O material didático no ensino de matemática. Rio de Janeiro,
MEC/Caderno CEDES.
GROSSNICKLE, F.E. &BftUECKNER,Leo J. (1965). O ensino da aritmética pela
compreensão. Rio de Janeiro, Fundo de Cultura.
IGNÁTIEV, E.I. (1986). En el reino dei ingenio. Moscou, Mir.
REGO, Rogéria G. & REGO, Rômulo M. (2004). Matematicativa. 3. ed. João Pessoa,
EdUFPb.
________ (1999a). Matematicativa II. João Pessoa, EdUFPb.
_________. (1999b). Figuras mágicas. João Pessoa, EdUFPb.
REGO, Rogéria G.; REGO, Rômulo M. & GAUDENCIO JR., Severino (2003). A geometria
do origami. João Pessoa, EdUFPb.

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