1. CAP´
ITULO 4
TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES
as
atic
atem
eM
4.1. INTRODUCCION
o. d
Utilizando algebra lineal, estudiaremos la E.D.O. lineal de orden n con
coeficientes constantes. ept
,D
dn y dn−1 y dy
an + an−1 n−1 + ... + a1 + a0 y = h(x),
uia
dxn dx dx
donde h(x) es una funci´n continua en I = [a, b] y a0 , a1 , a2 , ..., an son
o
tioq
constantes y an = 0.
An
Notaci´n y conceptos:
o
de
d
i) = Dx
ad
dx
rsid
Si no hay ambigedad con respecto a la variable independiente, tomare-
ive
mos: Dx = D.
Un
d2 d d
dx2
= dx dx
= D x Dx = D x = D 2
2
dm
en general, dxm
= Dx = Dm = Dx (Dx )
m m−1
77

2. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
ii) I = [a, b]
iii) C[a, b] = C(I) : clase de todas las funciones continuas en el intervalo I
C [a, b] = C (I) : clase de todas las funciones que tienen primera
derivada continua en I (o funciones continuamente diferenciables en I).
C (I) ⊂ C(I) ya que toda funci´n que es derivable en I es continua en
o
I.
as
atic
C 2 (I) = C 2 [a, b] : la clase de todas las funciones que tienen segunda
atem
derivada continua en I.
En general, C n (I) = C n [a, b] : clase de todas las funciones que tienen
eM
derivada de orden n continua en I.
o. d
Obsrvese que: C(I) ⊃ C (I) ⊃ C 2 (I) ⊃ . . . ⊃ C n (I) ⊃ . . .
ept
,D
Si f, g ∈ C(I) y α ∈ R , definimos:
uia
a) ∀x ∈ I : (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∈ C(I)
tioq
b) ∀x ∈ I : (αf )(x) = αf (x) ∈ C(I)
An
de
En general, si
ad
f, g ∈ C n (I) ⇒ ∀x ∈ I : (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∈ C n (I)(4.1)
rsid
∀x ∈ I : (αf )(x) = αf (x) ∈ C n (I) (4.2)
ive
Un
Con las operaciones definidas en a) y b) podemos probar que C(I) es
un espacio vectorial sobre R .
Y de (4.1) y (4.2) podemos concluir que C n (I) es un subespacio vecto-
rial de C(I) para n ≥ 1.
78

3. 4.1. INTRODUCCION
En general, si n ≥ m, entonces C n (I) es subespacio vectorial de C m (I).
Nota: estos espacios son de dimensi´n infinita.
o
d d d d
iv) Como dx
(f + g)(x) = dx
(f (x) + g(x)) = dx
f (x) + dx
g(x)
es lo mismo que D(f + g)(x) = D(f (x) + g(x)) = Df (x) + Dg(x)
as
atic
y tambi´n D(αf )(x) = D(αf (x)) = αDf (x),
e
atem
por tanto, podemos decir que D : C (I) → C(I) es una transformaci´n
o
lineal .
eM
Anlogamente, D 2 : C 2 (I) → C(I) es una transformaci´n lineal.
o
o. d
ept
En general, D n : C n (I) → C(I) es una transformaci´n lineal.
o
,D
Por definici´n D 0 : C(I) → C(I) es la transformaci´n identidad, es
o o
uia
decir, f → D 0 f = f .
tioq
En el algebra lineal se tiene que si T1 : U → V y T2 : U → V son
An
transformaciones lineales, entonces,
de
T1 + T 2 : U → V
ad
x → (T1 + T2 )(x) = T1 (x) + T2 (x)
rsid
y
ive
α T1 : U → V
Un
x → (αT1 )(x) = αT1 (x)
son tambi´n transformaciones lineales. Por ejemplo: D + D 2 es una Trans-
e
formacin Lineal, definida por:
D + D2 : C 2 (I) → C(I)
79

4. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
En general:
an (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 + · · · + a1 (x)D + a0 (x)D0 : C n (I) → C(I)
es una Transformacin Lineal.
Esta Transformacin Lineal se le denomina operador diferencial lineal
de orden n, donde an (x), . . . , a0 (x) son funciones continuas en I y an (x) = 0
en I.
as
atic
Este operador diferencial se denota por:
atem
L(D) = an (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 + · · · + a1 (x)D + a0 (x)D0
operador diferencial de orden n con coeficientes variables
eM
Si y ∈ C n (I) ⇒ L(D)y ∈ C(I)
o. d
Ejemplo 1. Si L(D) = D + p(x) = D + 2x y f (x) = x2 . Aplicar L(D)
a la funci´n f (x)
o
Soluci´n:
o
ept
,D
y = x2 ∈ C (I)
uia
L(D)(x2 ) = (D + 2xD 0 )(x2 )
tioq
= D(x2 ) + 2xD0 (x2 ) = 2x + 2xx2
= 2x + 2x3 ∈ C(I)
An
Observaci´n: Resolver la E.D. L(D)y = 0 es lo mismo que hallar el
o
de
n´cleo del operador diferencial L(D).
u
ad
Ejemplo 2. Hallar el n´cleo del operador L(D) = D + 2xD 0
rsid
u
Soluci´n:
o
ive
(D + 2xD0 )y = 0 ⇒ Dy + 2xy = 0 (E.D lineal en y con p(x) = 2x y
Un
Q(x) = 0)
2x dx 2
F.I. = e ⇒ F.I. = ex
2 2 2
yex = ex × 0 dx + C ⇒ y = Ce−x
80

5. 4.1. INTRODUCCION
2
N´cleo L(D) = {Ce−x /C ∈ R }
u
2
como e−x genera todo el n´cleo ⇒ dim n´cleo = 1.
u u
Teorema 4.1 (Principio de superposici´n) . o
Si y1 , y2 , . . . , yn pertenecen al n´cleo de L(D), entonces la combinaci´n li-
u o
n
neal: i=1 Ci yi y n ≥ 1 est´ en el n´cleo de L(D)
a u
as
Demostraci´n: Sea y = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn yn , veamos que y esta en el
o
atic
n´cleo, es decir, veamos que L(D)y = 0 .
u
Como y1 , y2 , . . . , yn estn en el n´cleo de L(D), entonces L(D)yi = 0, para i =
u
atem
1, . . . , n
Como L(D) es un operador lineal, entonces
eM
n n n
L(D)y = L(D)( C i yi ) = L(D)(Ci yi ) = Ci L(D)yi = 0
o. d
i=1 i=1 i=1
luego y esta en el n´cleo de L(D)
u ept
,D
Producto de Operadores Diferenciales:
uia
Analicemos esta operaci´n con un ejemplo, sean:
o
tioq
L1 (D) = D + 2D 0 , L2 (D) = D2 + 3D0
An
L1 (D)L2 (D) : C 3 (I) → C(I)
de
ad
es una Transformacin Lineal
rsid
operador operador
ive
L1 (D)L2 (D)y = (D + 2D0 ) (D2 + 3D0 ) y
Un
donde y es una funci´n
o
= (D + 2D 0 ) (D2 y + 3D0 y)
operador funci´n
o
= D(D y) + D(3D y) + 2D0 (D2 y) + 2D0 (3D0 y)
2 0
= D3 y + 3Dy + 2D 2 y + 6D0 y
81

6. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
= (D3 + 2D2 + 3D + 6D0 )y
L1 (D)L2 (D) = D3 + 2D2 + 3D + 6D0
De la misma manera se calcula L2 (D)L1 (D), con el siguiente resultando:
L2 (D)L1 (D) = D3 + 2D2 + 3D + 6D0 = L1 (D)L2 (D)
lo cual nos permite decir que el producto es conmutativo siempre y cuando
los coeficientes sean constantes.
as
atic
Cuando L1 (D) y L2 (D) tienen coeficientes variables, entonces, en general
L1 (D)L2 (D) = L2 (D)L1 (D).
atem
Ejemplo 3. L1 (D) = D + xD 0 , L2 (D) = xD 2 + D + xD0
eM
Primero hallemos L1 (D) L2 (D), para ello calculemos
o. d
L1 (D) L2 (D)y = (D + xD 0 )(xD2 + D + xD0 )y
ept
= (D + xD 0 )(xD2 y + Dy + xD0 y)
= D(xD2 y) + D2 y + D(xy) + xD 0 (xD2 y) + (xD 0 )Dy+
,D
+ (xD0 )(xD0 y)
uia
= xD3 y + D2 y + D2 y + xDy + y + x2 D2 y + xDy + x2 y
tioq
= xD3 y + (2 + x2 )(D2 y) + 2xDy + (1 + x2 )y
An
por lo tanto
de
L1 (D) L2 (D) = xD 3 + (2 + x2 )D2 + 2xD + (1 + x2 )D0
ad
Ahora hallemos L2 (D) L1 (D) de la siguiente manera:
rsid
L2 (D) L1 (D)y = (xD 2 + D + xD0 )(D + xD 0 )y
ive
= (xD2 + D + xD0 )(Dy + xD 0 y)
Un
= (xD2 + D + xD0 )(Dy + xy)
= xD2 (Dy + xy) + D(Dy + xy) + xD 0 (Dy + xy)
= xD2 (Dy) + xD 2 (xy) + D(Dy) + D(xy) + x(Dy + xy)
= xD3 y + xDD(xy) + D 2 y + xDy + y + xDy + x2 y
= xD3 y + xD(xDy + y) + D 2 y + xDy + y + xDy + x2 y
82

7. 4.1. INTRODUCCION
= xD3 y + x(D(xDy) + Dy) + D 2 y + xDy + y + xDy + x2 y
= xD3 y + x(xD2 y + Dy + Dy) + D 2 y + xDy + y + xDy + x2 y
= xD3 y + x(xD2 y + 2Dy) + D 2 y + Dy + y + xDy + x2 y
= xD3 y + x2 D2 y + 2xDy + D 2 y + xDy + y + xDy + x2 y
= xD3 y + (x2 + 1)D2 y + (3x + 1)Dy + (x2 + 1)y
= (xD3 + (x2 + 1)D2 + (3x + 1)D + (x2 + 1)D0 )y
Luego L2 (D)L1 (D) = xD 3 + (x2 + 1)D2 + (3x + 1)D + (x2 + 1)D0 =
as
L1 (D) L2 (D)
atic
atem
Definici´n 4.1 (Condici´n inicial) Es una o varias condiciones que se le
o o
colocan a una E.D.O. en un punto.
eM
Ejemplo 4. y +k 2 y = 0, con las condiciones iniciales: y(0) = 1, y (0) = 1
o. d
ept
Definici´n 4.2 (Condici´n de Frontera) Es una o varias condiciones que
o o
,D
se le colocan a una E.D.O. en varios puntos.
uia
Ejemplo 5. y + k 2 y = 0, con las condiciones de frontera:
tioq
y(0) = 1, y (1) = 1
An
Los teoremas que se enuncian a continuaci´n son teoremas de existencia
o
y unicidad que se demuestran en el Ap´ndice A.
e
de
ad
Teorema 4.2 (de Picard) .
rsid
Si f, ∂f son continuas en un rect´ngulo R : |x| ≤ a y |y| ≤ b, entonces
∂y
a
existe un intervalo |x| ≤ h ≤ a en el cual existe una soluci´n unica y = φ(x)
o ´
ive
del problema de valor inicial (P.V.I.): y = f (x, y) con y(0) = 0.
Un
Nota:
a) La condici´n inicial y(0) = 0 tambi´n puede ser cambiada por la condi-
o e
ci´n inicial y(a) = b con (a, b) en el rect´ngulo R
o a
83

8. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
b) Es importante anotar que este es un teorema de validez local, es decir, se
cumple en un intervalo que contiene al punto donde se da la condici´n o
inicial, por fuera de este intervalo puede ocurrir que la soluci´n no
o
sea unica; pero cuando el operador diferencial es lineal y todos los
´
coeficientes ai (x) para i = 0, 1, . . . , n son continuos en R y an = 0 en
R (en particular cuando los ai (x) son constantes para i = 0, 1, . . . , n),
entonces la soluci´n es continua y global, es decir, se cumple en todo
o
R , como se demuestra en el corolario A.1 del Ap´ndice.
e
as
Teorema 4.3 :
atic
Sea L(D) un operador diferencial lineal de primer orden en el intervalo I y
sea x0 ∈ I, entonces ∀ y0 el P.V.I.: L(D)y = Q(x) con y(x0 ) = y0 tiene una
atem
soluci´n unica.
o ´
Teorema 4.4 :
eM
Sea L(D) un operador diferencial lineal de orden n en I y sea x0 un elemento
de ese intervalo (x0 ∈ I), entonces ∀ y0 , y1 , . . . , yn−1 reales cualesquiera el
o. d
P.V.I.: L(D)y = h(x), con
ept
y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , y (x0 ) = y2 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 ,
,D
tiene una unica soluci´n.
´ o
uia
tioq
Ejemplo 6. Teniendo en cuenta el Teorema de Picard, analizar la E.D.
An
xy = 2y, y(−2) = 4
de
Soluci´n: obsrvese que esta E.D. es lineal, con a1 (x) = x y por tanto
o
a1 (0) = 0 (es decir, a1 (x) no es diferente de cero ∀x ∈ R ), lo que indica
ad
que la soluci´n no es global, como lo veremos a continuaci´n.
o o
rsid
Separando variables, obtenemos la siguiente soluci´n general
o
ive
y = Cx2 ,
Un
y para la condici´n inicial y(−2) = 4 se tiene que C = 1. De la E.D. tenemos
o
y
que y = f (x, y) = 2 x . Por lo tanto f (x, y) = 2 x y ∂f = x son discon-
y
∂y
2
tinuas en x = 0, como la condici´n esta dada en x = −2, entonces estas
o
funciones son continuas en este punto y por el Teorema de Picard existe un
intervalo, en este caso (−∞, 0), para el cual la soluci´n es unica y es y = x2 ,
o ´
84

9. 4.1. INTRODUCCION
por fuera de este intervalo, por ejemplo en R , puede no ser unica, por ejemplo
´
2 x2 , si x≤0 x2 , si x≤0
y=x , y= 2
y y=
−x , si x>0 0, si x>0
son soluciones en R y todas tres pasan por el punto (−2, 4) como lo vemos
en la figura 4.1
y
as
(−2, 4)
atic
atem
eM
y = x2 y = x2
y=0
x
o. d
y = −x2
ept
,D
uia
tioq
Figura 4.1
An
de
Ejemplo 7. Dada las condiciones iniciales y(−2) = 1, y (−2) = 1 y la
ad
soluci´n general y = C1 + C2 ln |x| de la E.D. xy + y = 0, hallar C1 y C2 .
o
rsid
Soluci´n:
o
ive
Soluci´n general (como lo veremos m´s adelante) es: y = C1 + C2 ln |x|
o a
Un
C2
y = x
y = 1 = C1 + C2 ln | − 2|
C2
y =1= −2
⇒ C2 = −2 ⇒ 1 = C1 + (−2) ln 2
85

10. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
⇒ C1 = 1 + 2 ln 2
luego y = 1 + 2 ln 2 − 2 ln |x| esta es la soluci´n unica en (−∞, 0) que
o ´
pasa por el punto (−2, 1).
4.2. DIMENSIN DEL ESPACIO VECTORI-
´
AL SOLUCION DE UNA E.D.O.
as
atic
Dijimos que C n (I) tiene dimensi´n infinita, pero el espacio soluci´n de la
o o
E.D.O. L(D)y = 0 (con L(D) un operador diferencial lineal de orden n), es el
atem
n´cleo de L(D), el cual tiene dimensi´n n, como lo veremos en los teoremas
u o
que expondremos a continuaci´n.o
eM
Definici´n 4.3 .
o
o. d
a) Decimos que las n funciones y1 , y2 , . . . , yn son linealmente dependi-
ept
entes en un intervalo I si existen constantes C1 , C2 , . . . , Cn no todas
nulas tales que
,D
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) = 0
uia
tioq
para todo x en I.
An
b) Si para todo x en I
de
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) = 0
ad
rsid
implica que C1 = C2 = . . . = Cn = 0, entonces decimos que y1 , y2 , . . . , yn
son linealmente independientesen el intervalo I.
ive
Nota: demostrar que n funciones son linealmente independientes es a veces
Un
complicado, pero cuando las n funciones son soluciones de una E.D. lineal
homog´nea el problema se vuelve m´s sencillo, utilizando el Wronskiano.
e a
Definici´n 4.4 (Wronskiano) Sean y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) en C n−1 (I), el
o
determinante:
86

11. 4.2. DIMENSIN DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O.
y1 (x) y2 (x) ... yn (x)
y1 (x) y2 (x) ... yn (x)
W (y1 , y2 , . . . , yn ) = det .
. .
. ... .
.
. . .
(n−1) (n−1) (n−1)
y1 (x) y2 (x) . . . yn (x)
con x ∈ I, se le llama el Wronskiano de y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x).
Obs´rvese que el Wronskiano depende de la variable x.
e
as
En particular cuando n = 2, el Wronskiano tiene la siguiente propiedad.
atic
Observaci´n (F´rmula de Abel): para n = 2
o o
atem
y1 y2
W (y1 , y2 ) = det
y1 y2
eM
Consideremos la E.D.O. lineal, homog´nea de orden dos:
e
o. d
y + a(x)y + b(x)y = 0,
ept
donde a(x) y b(x) son continuas en I y sean y1 , y2 soluciones de esta E.D.,
,D
luego
uia
y1 + a(x)y1 + b(x)y1 = 0 (4.3)
tioq
y2 + a(x)y2 + b(x)y2 = 0 (4.4)
An
(4,3) × y2 : y1 y2 + a(x)y1 y2 + b(x)y1 y2 = 0 (4.5)
de
(4,4) × y1 : y2 y1 + a(x)y2 y1 + b(x)y1 y2 = 0 (4.6)
ad
rsid
(4,6) − (4,5) : y2 y1 − y1 y2 + a(x)(y2 y1 − y1 y2 ) = 0 (4.7)
ive
como
Un
W (y1 , y2 ) = y1 y2 − y2 y1
W (y1 , y2 ) = y1 y2 + y1 y2 − y2 y1 − y2 y1
= y 1 y2 − y 2 y1
Luego en (4.7): W + a(x)W = 0, lineal en W de primer orden .
87

12. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
a(x)dx
Su soluci´n es W e
o = C, luego la soluci´n general es
o
>0
a(x)dx
W = C e−
Esta soluci´n general es llamada F´rmula de Abel.
o o
Obsrvese que cuando C=0⇒W =0 y si C=0⇒W =0
as
Lema 4.1 :
atic
El Wronskiano de n soluciones y1 , y2 , . . . , yn linealmente dependientes es
id´nticamene cero.
e
atem
Demostracin: supongamos que para todo x en I
eM
C 1 y1 + C 2 y2 + . . . + C n yn = 0
o. d
donde algunas de los Ci = 0.
Derivando n − 1 veces, obtenemos ept
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) =0
,D
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) =0
uia
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) =0
..................................................
tioq
(n−1) (n−1) (n−1)
C 1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) = 0
An
que se cumplen para todo x en I. Este sistema homog´neo de n ecuaciones
e
con n incgnitas tiene soluci´n distinta de la trivial si y solo si el determinante
o
de
del sistema (o sea el Wronskiano) se anula en I, es decir si y solo si W (x) = 0
ad
para todo x en I.
rsid
ive
Un
88

13. 4.2. DIMENSIN DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O.
Teorema 4.5 :
Si y1 , y2 , . . . , yn son n soluciones de la E.D. lineal homog´nea de orden n
e
an (x)y (n) + . . . + a1 (x)y + a0 (x)y = 0
en el intervalo I y en ´ste intervalo las funciones ai (x) son continuas en I.
e
Entonces
a) Si y1 , y2 , . . . , yn son linealmente dependientes, entonces el Wronskiano
W (x) ≡ 0 en I.
as
atic
b) y1 , y2 , . . . , yn son linealmente independientes, si y solo si el Wronskiano
atem
W (x) = 0 para todo x en I.
eM
Demostracin: la parte a) ya se demostr´ en el Lema anterior.
o
b)⇒) Hagamos la demostraci´n por el contra-recproco, es decir, supongamos
o
o. d
que existe a en I tal W (a) = 0 y veamos que y1 , y2 , . . . , yn son linealmente
dependientes. ,D
ept
Como W (a) es el determinante del sistema:
uia
C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = 0
tioq
C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = 0
An
C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = 0
...............................................
de
ad
(n−1) (n−1) (n−1)
C 1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = 0
rsid
donde los Ci son las incgnitas y como W (a) = 0 (determinante de los coefi-
cientes del sistema) y por lo que sabemos del algebra lineal, este tiene una
ive
soluci´n distinta de la trivial, es decir existen Ci = 0.
o
Un
Con esta soluci´n no trivial definamos la siguiente funci´n
o o
Y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x)
y evaluemos esta nueva funci´n y sus derivadas hasta de orden n − 1 en a
o
Y (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = 0
89

14. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Y (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = 0
Y (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = 0
........................................................
(n−1) (n−1)
Y (n−1) (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (n−1)
(a) + . . . + Cn yn (a) = 0
en conclusi´n
o
Y (a) = Y (a) = . . . = Y (n−1) (a) = 0
as
por otro lado sabemos que la funci´n nula H(x) ≡ 0 es tambi´n una soluci´n
o e o
atic
de la E.D.
an (x)y (n) + . . . + a1 (x)y + a0 (x)y = 0
atem
la cual satisface las condiciones iniciales anteriores y por el teorema de exis-
tencia y unicidad, podemos afirmar que
eM
Y (x) = H(x) = 0 = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x)
o. d
y como algunos de estos Ci son diferentes de cero, entonces y1 , y2 , . . . , yn son
linealmente dependientes. ept
,D
⇐) Supongamos que W (x) = 0 para todo x ∈ I y veamos que
uia
y1 , y 2 , . . . , y n
tioq
son linealmente independientes.
An
Supongamos que
y1 , y 2 , . . . , y n
de
son linealmente dependientes, por lo tanto (por la parte a)) W (x) ≡ 0 (Ab-
ad
surdo!)
rsid
Teorema 4.6 :
Sea L(D)y = an (x)Dn y + an−1 (x)Dn−1 y + . . . + a1 (x)Dy + a0 (x)y = 0 una
ive
E.D.O. lineal de orden n con coeficientes continuos definida en el intervalo
Un
I, entonces el espacio soluci´n de L(D) (o sea el n´cleo de L(D)), tiene
o u
dimensi´n n.
o
Demostracin: sea Y (x) una soluci´n de la E.D. y sean y1 , y2 , . . . , yn n
o
soluciones linealmente independientes de la E.D. Veamos que Y (x) se puede
expresar como una combinaci´n lineal de y1 , y2 , . . . , yn .
o
90

15. 4.2. DIMENSIN DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O.
Sea a un punto de I y consideremos el siguiente sistema:
Y (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a)
Y (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a)
Y (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a)
.......................................................
as
(n−1) (n−1)
Y (n−1) (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (n−1)
(a) + . . . + Cn yn (a)
atic
el determinante de los coeficientes del sistema es el Wronskiano evaluado
atem
en a, es decir, W (a) y como y1 , y2 , . . . , yn son linealmente independientes
entonces W (a) = 0, esto quiere decir que existe al menos un Ci = 0.
eM
Con los C1 , C2 , . . . , Cn (al menos uno de ellos es diferente de cero) definimos
la funci´n
o
o. d
G(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x)
luego ept
G(a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = Y (a)
,D
uia
G (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = Y (a)
tioq
G (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (a) + . . . + Cn yn (a) = Y (a)
An
............................................................
(n−1) (n−1)
de
G(n−1) (a) = C1 y1 (a) + C2 y2 (n−1)
(a) + . . . + Cn yn (a) = Y (n−1) (a)
ad
Es decir, las funciones G y Y coinciden en la condici´n inicial, por tanto por
o
rsid
el teorema de existencia y unicidad, G(x) = Y (x) para todo x en I.
Luego
ive
G(x) = Y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x)
Un
Nota:
i. Lo que dice este teorema es que para resolver una E.D. lineal homog´nea
e
de orden n, se debe encontrar n soluciones linealmente independientes
y la soluci´n general es la combinaci´n lineal de las n soluciones.
o o
91

16. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
ii. Si las n-tuplas
(n−1)
(y1 (x0 ), y1 (x0 ), . . . , y1 (x0 ))
(n−1)
(y2 (x0 ), y2 (x0 ), . . . , y2 (x0 ))
.
.
.
(n−1)
(yn (x0 ), yn (x0 ), . . . , yn (x0 ))
son linealmente independientes, entonces las funciones
y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
as
atic
son linealmente independientes en I.
atem
Ejemplo 8. Si y1 = em1 x , y2 = em2 x con m1 = m2 , mostrar que y1 y y2
son linealmente independientes.
eM
Soluci´n: m´s adelante veremos que y1 , y2 son soluciones de una E.D.
o a
lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
o. d
e m1 x e m2 x
W (y1 , y2 ) =
m1 e m1 x ept
m 2 e m2 x
,D
uia
= m2 e(m1 +m2 )x − m1 e(m1 +m2 )x
= (m1 − m2 ) e(m1 +m2 )x
tioq
=0 >0
An
⇒ = 0 por tanto y1 , y2 son linealmente independientes.
de
Ejemplo 9. y1 = emx , y2 = xemx . Hallar W (y1 , y2 ).
ad
rsid
Soluci´n: m´s adelante veremos que y1 , y2 son soluciones de una E.D.
o a
lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
ive
emx xemx
Un
W (y1 , y2 ) =
memx mxemx + emx
= mxe2mx + e2mx − mxe2mx
= e2mx > 0
⇒ y1 , y2 son linealmente independientes.
92

17. ´ ´
4.3. METODO DE REDUCCION DE ORDEN
Ejemplo 10. y1 = eαx sen βx, y2 = eαx cos βx. Hallar W (y1 , y2 )
Soluci´n: m´s adelante veremos que y1 , y2 son soluciones de una E.D.
o a
lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
eαx sen βx eαx cos βx
W (y1 , y2 ) =
βeαx cos βx + αeαx sen βx −βeαx sen βx + αeαx cos βx
= −βe2αx sen 2 βx + αe2αx sen βx cos βx − βe2αx cos2 βx − αe2αx sen βx cos βx
as
= −βe2αx ( sen 2 βx + cos2 βx)
atic
= −β e2αx = 0
atem
>0
⇒ y1 , y2 son linealmente independientes.
eM
4.3. ´ ´
METODO DE REDUCCION DE OR-
o. d
DEN
´
ept
FORMULA DE D’ALEMBERT (Construcci´n de una segunda
o
,D
Soluci´n a partir de una soluci´n conocida).
o o
uia
Dada la E.D.O.: a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = 0 con a2 (x) = 0 en I y
tioq
a2 (x), a1 (x), a0 (x) continuas en I; dividiendo en la E.D.O. original por a2 (x)
y haciendo P (x) = a2 (x) y Q(x) = a0 (x) , se tiene:
a1 (x)
An
a2 (x)
y + P (x)y + Q(x)y = 0 forma can´nica
o (4.8)
de
Sea y1 (x) una soluci´n
o conocida de la E.D. en I y
ad
y1 (x) = 0 en I.
rsid
Supongamos y(x) = u(x)y1 (x) y hallemos u tal que y(x) sea una soluci´n.
o
ive
Un
Derivando dos veces , y = uy1 + u y1 y y = uy1 + u y1 + u y1 + u y1
y sustituyendo en la ecuaci´n diferencial (4.8):
o
uy1 + 2u y1 + u y1 + P (x)(uy1 + u y1 ) + Q(x)uy1 = 0
u[ y1 + P (x)y1 + Q(x)y1 ] + u y1 + u [ 2y1 + P (x)y1 ] = 0
93

18. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Luego, u y1 + u [ 2y1 + P (x)y1 ] = 0
Hagamos W = u (´ste cambio de variable reduce el orden)
e
y1 W + W (2y1 + P (x)y1 ) = 0
2y1
W + + P (x) W = 0, (lineal en W de primer orden)
as
y1
atic
2y1
+P (x) dx 2
Su F.I.= e y1
= eln y1 e P (x) dx 2
= y1 e P (x) dx
, luego
atem
2 P (x) dx
W y1 e = C
eM
De donde
o. d
P (x) dx
e− du
W =C =u =
2
y1 ept dx
,D
e integrando
P (x) dx
e−
uia
u= C 2
dx + C1
y1
tioq
P (x) dx
e−
Por lo tanto y = uy1 = Cy1 dx + C1 y1
An
2
y1
e− P (x) dx
y1 y1 dx
de
combinaci´n lineal de
o y 2
y1
e− P (x) dx
Luego la segunda soluci´n es y2 = y1
o dx con y1 = 0 en I
ad
2
y1
rsid
Veamos que y1 y y2 son linealmente independientes:
ive
P (x) dx
Un
e−
y1 y1 2
y1
W (y1 , y2 ) = − P (x) dx e− P (x) dx
y1 y1 e 2
y1
+ y1 2
y1
dx
P (x) dx P (x) dx
P (x) dx e− e−
= e− + y 1 y1 2
dx − y1 y1 2
dx
y1 y1
P (x) dx
= e− >0
94

19. ´ ´
4.3. METODO DE REDUCCION DE ORDEN
Luego y1 , y2 son soluciones linealmente independientes de la E.D.
y + P (x)y + Q(x)y = 0
En conclusi´n, si y1 es una soluci´n, con y1 = 0 en I, entonces
o o
P (x) dx
e−
y2 = y 1 2
dx (F´rmula de D’Alembert)
o
y1
Nota: el m´todo es aplicable tambi´n para E.D. no homog´neas:
e e e
as
atic
y + P (x)y + Q(x)y = f (x)
atem
en este caso se supone y(x) = u(x)y1 (x) = uy1 y se llega a la E.D. lineal en
W de primer orden:
eM
2y1 f (x)
W + + P (x) W =
y1 y1
o. d
y se continua de la misma manera anterior.
ept
Ejemplo 11. Sea x2 y − xy + 2y = 0, (E.D. de Cauchy), sabiendo que
y1 = x sen (ln x) es una soluci´n de la E.D. Hallar y2
o
,D
uia
Soluci´n. Dividiendo por x2 se tiene:
o
tioq
1 2
y − y + 2y = 0
x x
An
Veremos m´s adelante que y1 = x sen (ln x) es una soluci´n de la ecuaci´n
a o o
de
de Cauchy, entonces la segunda soluci´n es:
o
ad
1
rsid
e− − x dx eln(x)
y2 = x sen (ln x) dx = x sen (ln x) dx
x2 sen 2 (ln x) x2 sen (ln x)
ive
Un
x
= x sen (ln x) dx
x2 sen (ln x)
dx u = ln x
= x sen (ln x) dx
x sen 2 (ln x) du = dx
x
du
= x sen (ln x)
sen 2 u
95

20. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
= x sen (ln x) csc2 u du = −x sen (ln x) cot u = −x sen (ln x) cot(ln x)
= −x cos(ln x)
La soluci´n general es : y = C1 y1 + c2 y2
o
y = C1 x sen (ln x) + C2 (−x cos(ln x))
as
y = C1 x sen (ln x) + C3 x cos(ln x)
atic
atem
Utilizando el m´todo de reducci´n de orden resolver los siguientes ejerci-
e o
eM
cios.
o. d
Ejercicio 1. x2 y − 7xy + 16y = 0 y1 = x4 es una soluci´n. Hallar y2
o
(Rta.: y2 = x4 ln |x|)
ept
Ejercicio 2. x2 y + 2xy − 6y = 0 y1 = x2 es una soluci´n. Hallar y2
o
,D
1
(Rta.: y2 = − 5x3 )
uia
Ejercicio 3. xy + y = 0, y1 = ln x es una soluci´n. Hallar y2
o
tioq
(Rta.: y = −1)
An
Ejercicio 4. x2 y − xy + 2y = 0, y1 = x sen (ln x) es una soluci´n. Hallar
o
y2
de
(Rta.: y2 = −x cos(ln x))
ad
rsid
Ejercicio 5. Hallar la soluci´n general de xy − xf (x)y + f (x)y = 0.
o
−2 f (x) dx
(Rta.: y = c1 x + c2 x x e dx)
ive
Ejercicio 6. Hallar la soluci´n general de y − f (x)y + (f (x) − 1)y = 0
o
Un
(Rta.: y = c1 ex + c2 ex e[−2x+ f (x) dx] dx)
Ejercicio 7. a) Si n es un entero positivo, hallar dos soluciones lineal-
mente independientes de
xy − (x + n)y + ny = 0
96

21. 4.4. E.D.O. LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
b)Hallar la soluci´n general de la E.D. de la parte a) cuando n = 1, 2, 3
o
(Rta.: a) y1 = ex , y2 = ex xn e−x dx, b) y = c1 ex + c2 (x + 1), y =
c1 ex + c2 (x2 + 2x + 2), y = c1 ex + c2 (x3 + 3x2 + 6x + 6).)
Ejercicio 8: Utilizando el m´todo de reducci´n de D’Alembert resolver
e o
la E.D. lineal no homog´nea: (x − 1)y − xy + y = 1 sabiendo que y1 = ex es
e
una soluci´n a la homog´nea asociada. Obsrvese que obtenemos una segunda
o e
soluci´n y una soluci´n particular.
o o
(Rta.: y = 1 + C1 x + C2 ex )
as
atic
4.4. E.D.O. LINEALES CON COEFICIENTES
atem
CONSTANTES
eM
dy
Sabemos que dx
+
ay = 0 es lineal de primer orden, donde p(x) = a.
a dx
luego el F.I. = e = eax y su soluci´n es
o
o. d
yeax = C ⇒ y = Ce−ax
ept
Por similitud con la E.D.O. de primer orden y coeficientes constantes, vamos
,D
a suponer que la E.D. lineal de segundo orden y coeficientes constantes:
uia
ay + by + cy = 0, (4.9)
tioq
tiene por soluci´n una funci´n exponencial de la forma: y = emx , derivando
o o
An
dos veces se tiene
y = memx , y = m2 emx
de
y sustituyendo en la E.D. (4.9): am2 emx + bmemx + cemx = 0
ad
luego
emx (am2 + bm + c) = 0
rsid
o sea que
ive
am2 + bm + c = 0,
Un
la cual llamamos ecuaci´n caracter´
o ıstica o ecuaci´n auxiliar de la E.D.:
o
ay + by + cy = 0
Con las races de la ecuaci´n caracter´
o ıstica suceden tres casos:
1. Que tenga races reales y diferentes.
97

22. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
2. Que tenga races reales e iguales.
3. Que tenga races complejas conjugadas.
Caso 1. Races reales y diferentes
Si las races son m1 y m2 , con m1 = m2 , luego y1 = em1 x y y2 = em2 x son
linealmente independientes y por tanto la soluci´n general es
o
as
y = C 1 e m1 x + C 2 e m2 x .
atic
atem
Ejemplo 12 Hallar la soluci´n general de 2y − 5y − 3y = 0
o
Soluci´n:
o
eM
ıstica: 2m2 − 5m − 3 = 0
Ecuaci´n caracter´
o
√
o. d
5 ± 25 + 24 5±7
m= ⇒ m=
4 4
ept
1
,D
m1 = 3 , m 2 = −
2
uia
1
La soluci´n general es y = C1 e3x + C2 e− 2 x
o
tioq
Caso 2. Races reales e iguales: en este caso las races son de multipli-
An
cidad dos.
de
Sea m (con multiplicidad 2) ⇒ y1 = emx es una soluci´n.
o
ad
Utilicemos el m´todo de D’Alembert para hallar la segunda suluci´n de
e o
rsid
ay + by + cy = 0
ive
dividiendo por a para conseguir la forma can´nica, se tiene
o
Un
b c
y + y + y = 0.
a a
b
P (x) dx
e− mx e− a dx
y2 = y 1 2
dx = e dx
y1 e2mx
98

23. 4.4. E.D.O. LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
como ay + by + cy = 0 ⇒ am2 + bm + c = 0 (ecuaci´n caracter´
√
o ıstica)
−b± b2 −4ac
y sus races son m1,2 = 2a
; pero como las races son iguales, entonces
2 b
el discriminante b − 4ac = 0, por lo tanto m1,2 = m = − 2a , luego:
−b
mx eax
y2 = e dx
e(2 2a x)
−b
= emx dx = xemx
as
luego la soluci´n general es: y = C1 emx + C2 xemx
o
atic
Ejemplo 13. 4y − 4y + y = 0 Hallar la soluci´n general.
o
Soluci´n:
o
atem
Ecuaci´n caracter´
o ıstica: 4m2 − 4m + 1 = 0 = (2m − 1)2 = 0 por lo tanto
m = 1 (con multiplicidad 2)
eM
2
x x
La soluci´n general es: y = C1 e 2 + C2 xe 2
o
o. d
Caso 3. Races complejas y conjugadas ept
,D
Supongamos que m1 = α + βi es una ra´ de la ecuaci´n auxiliar y por
ız o
tanto su conjugada m2 = α − βi es la otra ra´ donde α es la parte real y
ız,
uia
iθ
β es la parte imaginaria; recordando que e = cos θ + i sen θ (F´rmula de
o
tioq
Euler) entonces la soluci´n general es
o
y = C1 e(α+βi)x + C2 e(α−βi) = C1 eαx eβix + C2 eαx e−βix
An
= eαx (C1 eβix + C2 e−βix ) = eαx [(C1 + C2 ) cos βx + i(C1 − C2 ) sen βx]
de
= eαx [K1 cos βx + K2 sen βx]
ad
En resumen:
rsid
y = K1 eαx cos βx + K2 eαx sen βx es la soluci´n general.
o
ive
Ejemplo 14. y − 2y + 3y = 0
Un
Soluci´n:
o
ıstica: m2 − 2m + 3 = 0
Ecuaci´n caracter´
o
√
2± 4 − 4(3) 2 ± −8
m= =
2 2
99

24. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
√
2±2 2i
√
sus races son m1,2 = 2
= 1± 2i
√
o sea que α = 1 , β = 2 .
La soluci´n general es
o
√ √
y = K1 ex cos 2x + K2 ex sen 2x
Nota: (i): observe que si [D 2 − 2αD + α2 + β 2 ]y = 0
ıstica es: m2 − 2αm + α2 + β 2 = 0
entonces la ecuaci´n caracter´
o
as
atic
y las races son:
atem
2α ± 4α2 − 4(α2 + β 2 ) 2α ± 2βi
m= = = α ± βi
2 2
eM
luego, la soluci´n general es: y = K1 eαx cos βx + K2 eαx sen βx
o
o. d
(ii) Para la E.D.: (D − a)y = 0 la ecuaci´n caracter´
o ıstica es
m−a=0⇒m=a ept
,D
por lo tanto y = Ceax es soluci´n de (D − a)y = 0 y recprocamente una
o
soluci´n de (D − a)y = 0 es y = Ceax
uia
o
tioq
Ejercicios. Hallar la soluci´n general o la soluci´n particular de los si-
o o
guientes ejercicios:
An
1. (D2 + 2D − 3)y = 0
de
(Rta.: y = C1 ex + C2 e−3x )
ad
2. D2 − 2D − 3)y = 0 con y(0) = 0, y (0) = −4
rsid
(Rta.: y = e−x − e3x )
3. (D2 − 6D + 9)y = 0
ive
(Rta.: y = (C1 + C2 x)e3x )
Un
4. (D2 + 4D + 4)y = 0 con y(0) = 1, y (0) = −1
(Rta.: y = (1 + x)e−2x )
5. (D2 − 2D + 2)y = 0
(Rta.: y = C1 ex cos x + C2 ex sen x)
100

25. 4.5. E.D. LIN. DE ORDEN MAYOR QUE DOS CON COEF. CONST.
d2 x
6. + 2b dx + k 2 x = 0, k > b > 0 con x(0) = 0, x (0) = v0
dt2 dt √
(Rta.: x = ( va0 )e−bt sen at, donde a = k 2 − b2 )
7. y + 2iy − 10y = 0
(Rta.: y = C1 e3x cos x + C2 e−3x cos x − i(C1 e3x sen x + C2 e−3x sen x))
8. y + iy + 2y = 0
(Rta.: y = C1 cos x + C2 cos 2x + i(C1 sen x − C2 sen 2x))
as
4.5. E.D. LINEALES DE ORDEN MAYOR
atic
QUE DOS CON COEFICIENTES CONS-
atem
TANTES
eM
Sea
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y + a0 y = 0
o. d
donde a0 , a1 , · · · , an son constantes, entonces su polinomio caracter´
ıstico es:
ept
an mn + an−1 mn−1 + · · · + a1 m + a0 = 0 = Pn (m)
,D
Supongamos por ejemplo que este polinomio lo podemos factorizar as´
ı:
uia
Pn (m) = (m−m1 )(m−m2 )(m−m3 )3 (m2 −2α1 m+α1 +β1 )(m2 −2α2 m+
2 2 2
tioq
α2 + β 2 ) 2
2 2
An
entonces la soluci´n general esta dada por
o
de
y = C1 em1 x + C2 em2 x + C3 em3 x + C4 xem3 x + C5 x2 em3 x +
ad
C6 eα1 x cos β1 x + C7 eα1 x sen β1 x + C8 eα2 x cos β2 x+
rsid
C9 eα2 x sen β2 x + C10 xeα2 x cos β2 x + C11 xeα2 x sen β2 x
ive
Un
5 4 3 2
Ejemplo 15. 2 dxy − 7 dxy + 12 dxy + 8 dxy = 0
d
5
d
4
d
3
d
2
Soluci´n:
o
i
En la E.D. reemplazo en cada dxy por mi y obtengo la ecuaci´n carac-
d
i o
ter´
ıstica:
2m5 − 7m4 + 12m3 + 8m2 = 0
101

26. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
m2 (2m3 − 7m2 + 12m + 8) = m2 (2m + 1)(m2 − 4m + 8) = 0
1
luego las races son m1 = 0 con multiplicidad 2, m2 = − 2
√
4± 16 − 32 4 + 4i
m3,4 = = = 2 ± 2i ⇒ α = 2, β = 2
2 2
Para el factor m2 , como el grado es 2, empezamos con la soluci´n b´sica e0x
o a
y luego multiplicamos por x y as´ sucesivamente. O sea que las soluciones
ı
ıan: e0x = 1, xe0x = x
ser´
as
atic
x
Para el factor 2m + 1 la soluci´n ser´ e− 2
o ıa:
atem
Para el factor m2 − 4m + 8 las soluciones ser´
ıan: e2x cos 2x, e2x sen 2x.
eM
x
Solucin general: y = C1 + C2 x + C3 e− 2 + C4 e2x cos(2x) + C5 e2x sen (2x)
o. d
Hallar la soluci´n general o la soluci´n particular seg´n el caso en los
o o u
siguientes ejercicios: ept
Ejercicio 1. y (5) + 5y (4) − 2y − 10y + y + 5y = 0
,D
(Rta.: y = C1 ex + C2 xex + C3 e−x + C4 xe−x + C5 e−5x )
uia
4 2
Ejercicio 2. 16 dxy + 24 dxy +√ = 0
d
4
d
2 9y
tioq
√ √ √
(Rta.: y = C1 cos 2 x + C2 x cos 23 x + C3 sen 23 x + C4 x sen 23 x)
3
An
4 3 2
Ejercicio 3. dxy + dxy + dxy = √
d
4
d
3
d
2 0 √
1 1
de
(Rta.: y = C1 + C2 x + C3 e −2x
cos 23 x + C4 e− 2 x sen 23 x)
ad
4 2
Ejercicio 4. dxy − 7 dxy − 18y = 0
d d
√ √
rsid
4 2
3x −3x
(Rta.: y = C1 e + C2 e + C3 cos 2x + C4 sen 2x)
ive
d4 y
Ejercicio 5. dx4
+ y = 0, (Ayuda: Completar √
cuadrados).
Un
√
2
√ √
2
√ 2
√ √
2
√
x 2 x 2 x 2 x 2
(Rta.: y = C1 e 2 cos 2
x+C2 e 2 sen 2
x+C3 e− 2 cos 2
x+C4 e− 2 sen 2
x)
Ejercicio 6. (D 2 + 4D + 4)y = 0 tal que tenga una soluci´n que pase por
o
los puntos (0, 2), (2, 0)
(Rta.: y = (2 − x)e−2x )
102

27. 4.6. OPERADOR ANULADOR
Ejercicio 7. (D 3 + D2 − D − 1)y = 0 con las siguientes condiciones:
y(0) = 1, y(2) = 0 y l´ y(x)x→∞ = 0
ım
1 −x
(Rta.: y = (1 − 2 x)e )
Ejercicio 8. Hallar el n´cleo del siguiente operador diferencial: L(D) =
u √ √
x x
D + D + D . (Rta.: N ucL(D) = 1, x, e− 2 cos( 23 x), e− 2 sen ( 23 x) )
4 3 2
4.6. OPERADOR ANULADOR
as
atic
Definici´n 4.5 .Si y = f (x) una funci´n que tiene n derivadas y L(D) es
o o
un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, tal que
atem
L(D)y = L(D)f (x) = 0,
entonces decimos que el operador L(D) es el anulador de y = f (x).
eM
Observaciones:
o. d
dk d
1. a) Si y = k constante, entonces dx = 0 ⇒ D = dx es el anulador de
k.
2 d2 ept
b) Si y = x, entonces d x = 0 ⇒ D2 = dx2 es el anulador de x y
dx2
de
k.
,D
d3 d3
c) Si y = x2 , entonces dx3 (x2 ) = 0 ⇒ D3 = dx3 es el anulador de
uia
x2 , x, k.
tioq
n+1 xn dn+1
d) Si y = xn , entonces ddxn+1 = 0 ⇒ Dn+1 = dxn+1 es el anulador de
xn , xn−1 , · · · , x2 , x1 , k con n ∈ N.
An
dn+1
Nota: Observemos que anula la combinaci´n lineal
o
de
dxn+1
C1 k + C2 x + · · · + Cn+1 xn
ad
que es un polinomio de grado n.
rsid
2. (D − a)n es el anulador de las siguientes funciones:
ive
eax , xeax , x2 eax , · · · , xn−1 eax
Un
y tambi´n el anulador de la combinaci´n lineal siguiente:
e o
C1 eax + C2 xeax + C3 x2 eax + · · · + Cn xn−1 eax = Pn−1 (x)eαx
103

28. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
3. (D2 − 2αD + α2 + β 2 )n es el anulador de las funciones:
eαx cos βx, xeαx cos βx, x2 eαx cos βx, . . . , xn−1 eαx cos βx
eαx sen βx, xeαx sen βx, x2 eαx sen βx, . . . , xn−1 eαx sen βx
y tambi´n anula la combinaci´n lineal siguiente:
e o
C1 eαx cos βx + C2 xeαx cos βx + · · · + Cn xn−1 eαx cos βx+
+ k1 eαx sen βx + k2 xeαx sen βx + · · · + kn xn−1 eαx sen βx
= Pn−1 (x)eαx cos βx + Qn−1 (x)eαx sen βx
as
atic
donde Pn−1 (x) y Qn−1 (x) son polinomios de grado n − 1.
atem
Si α = 0, entonces (D 2 + β 2 )n es el anulador de:
cos βx, x cos βx, x2 cos βx, · · · , xn−1 cos βx
eM
sen βx, x sen βx, x2 sen βx, · · · , xn−1 sen βx
y de sus combinaciones lineales:
o. d
C1 cos βx + C2 x cos βx + · · · + Cn xn−1 cos βx+
ept
k1 sen βx + k2 x sen βx + · · · + kn xn−1 sen βx
,D
= Pn−1 (x) cos βx + Qn−1 (x) sen βx
uia
Si n = 1 y α = 0, entonces D 2 + β 2 es el anulador de: cos βx, sen βx o su
combinaci´n lineal: C1 cos βx + C2 sen βx.
o
tioq
Ejemplo 16. Hallar el operador anulador de: ex + 2xex − x2 ex
An
Soluci´n:
o
de
Anulador de ex : D − 1.
ad
Anulador de xex : (D − 1)2 .
rsid
Anulador de x2 ex : (D − 1)3 .
ive
Por lo tanto el anulador de toda la expresi´n es: (D − 1)3
o
Un
Obsrvese que para hallar el anulador no interesan las constantes 1, 2, −1
de la expresi´n original.
o
Ejemplo 17. Hallar el operador anulador de: 3 + ex cos 2x
Soluci´n:
o
104

29. 4.6. OPERADOR ANULADOR
Anulador de 3: D.
Anulador de ex cos 2x: D2 − 2D + 1 + 4 = D 2 − 2D + 5, en este caso α = 1
y β = 2.
Anulador de toda la expresi´n: D(D 2 − 2D + 5).
o
Ejemplo 18. Hallar el operador anulador de: 13x + 9x2 − sen 4x
Soluci´n:
o
as
Anulador de x: D 2 .
atic
Anulador de x2 : D 3 .
Anulador de sen 4x: D 2 + 16 en este caso α = 0 y β = 4.
atem
Anulador de toda la expresi´n: D 3 (D2 + 16).
o
eM
Ejemplo 19. Hallar el operador anulador de: (2 − ex )2
Soluci´n:
o
o. d
Como (2 − ex )2 = 4 − 4ex + e2x , entonces
Anulador de 4: D.
ept
,D
Anulador de ex : D − 1.
Anulador de e2x : D − 2.
uia
tioq
El anulador de toda la expresi´n es: D(D − 1)(D − 2)
o
An
Ejercicio 1. Encontrar el operador anulador de 8x − sen x + 10 cos 5x
(Rta.: D 2 (D2 + 1)(D 2 + 25))
de
Ejercicio 2. Encontrar el operador anulador de 3 + ex cos 2x
ad
(Rta.: D(D 2 − 2D + 5))
rsid
Ejercicio 3. Encontrar el operador anulador de x3 (1 − 5x)
ive
(Rta.: D 5 )
Un
Ejercicio 4. Encontrar el operador anulador de e−x sen x − e2x cos x
(Rta.: (D 2 + 2D + 2)(D 2 − 4D + 5))
Ejercicio 5. Encontrar el operador anulador de x2 ex + sen 2x + 5
(Rta.: D(D − 1)3 (D2 + 4))
105

30. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Observaci´n: la soluci´n de una ecuaci´n diferencial lineal no homog´nea,
o o o e
L(D)y = f (x) = 0 consta de la suma de dos soluciones que son:
i) La soluci´n a la homog´nea asociada, es decir, la soluci´n de
o e o
L(D)y = 0.
ii) La soluci´n particular de la no homog´nea.
o e
La suma de las dos soluciones es la soluci´n general, es decir, si yh es la
o
soluci´n de la homog´nea asociada L(D)y = 0 y yp es la soluci´n particular
o e o
as
de L(D)y = f (x), entonces la soluci´n general es:
o
atic
atem
y = yh + yp
En efecto,
eM
L(D)(yh + yp ) = L(D)yh + L(D)yp = 0 + f (x) = f (x)
o. d
Las siguientes secciones las dedicaremos a desarrollar tres m´todos para
e
o e ept
hallar la soluci´n particular de E.D. no homog´neas.
,D
4.7. ´
METODO DE LOS COEFICIENTES IN-
uia
DETERMINADOS
tioq
Este m´todo se aplica a E.D. lineales, con coeficientes constantes, no ho-
e
An
mog´neas.
e
de
Sea L(D)y = f (x) una E.D. lineal, no homog´nea, de coeficientes
e
ad
constantes y de orden n. Si f (x) tiene una de las siguientes formas:
rsid
a) f (x) = k, k constante
b) f (x) = polinomio en x
ive
c) f (x) = exponencial de la forma eαx
d) f (x) = cos βx, f (x) = sen βx
Un
e) f (x) = a sumas finitas de productos finitos de las expresiones anteriores,
es posible encontrar un operador L1 (D) que anule a f (x) y si esto sucede,
entonces aplicamos L1 (D) a la ecuaci´n diferencial original, es decir:
o
L1 (D)L(D)y = L1 (D)f (x) = 0
106

31. ´
4.7. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Por lo tanto la expresi´n anterior es una E.D. lineal, homog´nea de coefi-
o e
cientes constantes, le aplicamos a esta ecuaci´n el m´todo de las homog´neas
o e e
y hallamos su soluci´n general, de esta soluci´n general descartamos la parte
o o
correspondiente a la homog´nea asociada a la E.D. original, la parte restante
e
corresponde a la soluci´n particular que estamos buscando. Ilustremos esto
o
con un ejemplo.
Ejemplo 20. Hallar la soluci´n particular y la soluci´n general de la E.D.
o o
y + 25y = 20 sen 5x.
as
Soluci´n:
o
atic
El anulador de sen 5x: D 2 + 25 = L1 (D)
atem
Aplicamos este anulador a ambos lados de la E.D. original:
y + 25y = 20 sen 5x
eM
L1 (D)(y + 25y) = L1 (D)(20 sen 5x)
o. d
(D2 + 25)(y + 25y) = (D 2 + 25)(20 sen 5x)
(D2 + 25)2 y = 0
ept
Ecuaci´n caracter´
o ıstica: (m2 + 25)2 = 0 cuyas races son m = ±5i con
,D
multiplicidad 2 y por lo tanto α = 0 y β = 5; en consecuencia la soluci´n
o
uia
general es:
tioq
y = C1 cos 5x + C2 sen 5x + C3 x cos 5x + C4 x sen 5x (4.10)
An
La ecuaci´n diferencial homog´nea asociada es
o e
de
(D2 + 25)y = 0
ad
y su ecuaci´n caracter´
o ıstica es
rsid
m2 + 25 = 0,
ive
o sea que m = ±5i (con α = 0 y β = 5) y su soluci´n es
o
Un
y = C1 cos 5x + C2 sen 5x;
y por tanto en (4.10) descartamos esta expresi´n y nos queda la forma de la
o
soluci´n particular:
o
y = C3 x cos 5x + C4 x sen 5x = yp
107

32. CAP´
ITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Como aparecen las constantes C3 y C4 , las hallamos de la siguiente ma-
nera: derivamos dos veces yp y la sustituimos en la E.D. original:
yp = C3 (−5x sen 5x + cos 5x) + C4 (5x cos 5x + sen 5x)
yp = C3 (−25x cos 5x − 5 sen 5x − 5 sen 5x) +
+C4 (−25x sen 5x + 5 cos 5x + 5 cos 5x)
= C3 (−25x cos 5x − 10 sen 5x) +
+C4 (−25x sen 5x + 10 cos 5x)
as
yp + 25yp = 20 sen 5x
atic
C3 (−25x cos 5x − 10 sen 5x) + C4 (−25x sen 5x + 10 cos 5x) +
atem
+ 25(C3 x cos 5x + C4 x sen 5x) = 20 sen 5x
An´lisis de coeficientes:
a
eM
en x cos 5x : −25C3 + 25C3 = 0
o. d
en sen 5x : −10C3 = 20 ⇒ C3 = −2
ept
en x sen 5x : −25C4 + 25C4 = 0
,D
uia
en cos 5x : 10C4 = 0 ⇒ C4 = 0
tioq
Por lo tanto la soluci´n particular es yp = −2x cos 5x
o
An
y la soluci´n general es:
o
de
y = yh + yp
ad
= C1 cos 5x + C2 sen 5x + C3 x cos 5x
rsid
= C1 cos 5x + C2 sen 5x − 2x cos 5x
ive
Hallar la soluci´n general en los siguientes ejercicios:
o
Un
Ejercicio 1. y + 2y + y = x2 e−x
1
(Rta: y = C1 e−x + C2 xe−x + 12 x4 e−x )
Ejercicio 2. y − y = x2 ex + 5
(Rta: y = C2 ex + C6 e−x − 5 + 1 xex − 1 x2 ex + 1 x3 ex )
4 4 6
108

33. ´ ´
4.8. VARIACION DE PARAMETROS
1
Ejercicio 3. y + y + 4 y = ex ( sen 3x − cos 3x)
Ejercicio 4. y + 4y = cos2 x
(Rta: y = 8 + C2 cos 2x + C3 sen 2x + 1 x sen 2x)
1
8
Ejercicio 5. y +√ + y = x sen x √
y
x x
(Rta: y = C1 e− 2 cos 23 x + C2 e− 2 sen 23 x − x cos x + 2 cos x + sen x)
Ejercicio 6. y − y = 3xex cos 2x
as
atic
Ejercicio 7. y + 25y = 6 sen x
1
(Rta: y = C1 cos 5x + C2 sen 5x + 4 sen x)
atem
Ejercicio 8. y − 2y + 5y = ex sen x
eM
(Rta: y = C1 ex cos 2x + C2 ex sen 2x + 1 ex sen x)
3
o. d
4.8. ´ ´
VARIACION DE PARAMETROS ept
,D
Sea
uia
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x) = h(x)
tioq
con a2 (x), a1 (x), a0 (x), continuas en I y a2 (x) = 0 en I.
La escribimos en forma can´nica o
An
y + p(x)y + g(x)y = f (x)
de
ad
Donde
rsid
a1 (x) a0 (x) h(x)
p(x) = , g(x) = y f (x) = ,
a2 (x) a2 (x) a2 (x)
ive
Un
suponemos que y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la ho-
mog´nea asociada, es decir,
e
y1 + p(x)y1 + g(x)y1 = 0
y2 + p(x)y2 + g(x)y2 = 0
y y h = C 1 y1 + C 2 y2
109