1. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
7
7.1. CAMPOS VECTORIALES EN n
7.1.
7.2. DEFINICIONES
7.2.
7.3. PROPIEDADES
7.3.
7.4. CAMPOS VECTORIALES
7.4. CONSERVATIVOS
7.5. INTEGRALES DE LÍNEAS
7.6. TEOREMA DE GREEN
7.7. INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE
UNA REGIÓN PLANA
7.8. INTEGRALES DE SUPERFICIE
7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE
FUNCIONES ESCALARES.
7.8.2 TEOREMA DE STOKES
7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO
7.8.4 TEOREMA DE GAUSS
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Calcule integrales de línea.
• Aplique el Teorema de GREEN.
• Calcule el área de regiones planas empleando integrales de
líneas.
• Calcule integrales de Superficie.
• Aplique el Teorema de Stokes.
• Aplique el teorema de Gauss
227

2. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
En el capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales
generales de la forma F :U ⊆ n
→ m
, ahora trataremos con funciones
de la forma F :U ⊆ n → n
n
7.1. CAMPOS VECTORIALES EN
Sean f1 , f 2 , , fn funciones escalares de
las variables x1, x2 , , xn definidas en una
región Ω de n . La función F : U ⊆ n
→ n
tal que F = ( f1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , , x ) , , f n ( x x ,
1, 2 n 1, 2 n 1, 2
, xn ) ) se
llama Campo vectorial sobre Ω .
Si F :U ⊆ 2
→ 2
se lo denota como F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) .
Si F : U ⊆ 3 → 3 se lo denota como:
F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) )
Ejemplo
F :U ⊆ 2
→ 2
(
tal que F = 2 x + y, x 2 − y 2 )
Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son:
• Campos de velocidades
• Campos gravitacionales.
• Campos de fuerzas eléctricas.
Un campo conocido es el Gradiente, ∇f , de una función escalar f .
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
Si llamamos el vector ∇ = ⎜ , , ⎟ , operador NABLA, podemos
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
obtener la definición del gradiente y otras definiciones más.
7.2 DEFINICIONES
Sea f una función escalar y F = ( M , N , P )
un campo vectorial. Se define:
1. El gradiente de f como el vector
228

3. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
∇f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
2. La Divergencia de F como
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
∇ • F = ⎜ , , ⎟ • (M , N, P)
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂M ∂N ∂P
= + +
∂x ∂y ∂z
3. El rotacional de F como el vector
i j k
∂ ∂ ∂
∇× F =
∂x ∂y ∂z
M N P
4. El Lapalciano de f como
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
∇ 2 f = ∇ • ∇f = ⎜ , , ⎟ • ⎜ , , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂2 f ∂2 f ∂2 f
= 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z
7.3 PROPIEDADES
Sea f una función escalar y sean F y G
campos vectoriales. Entonces:
( )
1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G
2. ∇ • ( f F ) = f ( ∇ • F ) + ( ∇f ) • F
3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇f ) × F
4. ∇ • ( F × G ) = ( ∇ × F ) • G + ( ∇ × G ) • F
5. ∇ × ( ∇f ) = 0
( )
6. ∇ • ∇ × F = 0
229

4. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
(
7. ∇ × ∇f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F )
Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector.
7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS
Un campo vectorial F se dice que es
conservativo si existe alguna función
diferenciable f tal que F = ∇f . La función
f se llama función potencial de F .
7.4.1 Teorema.
Un campo vectorial F es conservativo y si
sólo si ∇ × F = 0 .
Ejemplo 1
Determine si F = ( 2 xy, x 2 − y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la
función potencial.
SOLUCIÓN:
El rotacional de F sería:
i j k i j k
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇× F = = = ( 0, 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 )
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
M N P 2 xy x2 − y 0
Por tanto, F si es conservativo.
∂N ∂M
Note que para campos de 2
, basta que = para ser conservativos. ¿Por qué?.
∂x ∂y
Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además:
⎛ ∂f ∂f ⎞
F = ∇f = ⎜ , ⎟ = ( 2 xy, x 2 − y )
⎝ ∂x ∂y ⎠
Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces:
∫
∂f
= 2 xy ⇒ f = 2 xy dx ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C1
∂x
∫(
∂f y2
= x2 − y ⇒ f = x 2 − y ) dy ⇒ f ( x, y ) = x 2 y − + h ( x ) + C2
∂y 2
Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería:
y2
f ( x, y ) = x 2 y − +C
2
230

5. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
Ejemplo 2
Determine si F = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) es conservativo. En caso de serlo encuentre
la función potencial.
SOLUCIÓN:
El rotacional de F sería:
i j k i j k
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇× F = = = ( 2 z − 2 z , 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 )
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
M N P 2 xy x2 + z 2 2 zy
Por tanto, F si es conservativo.
Ahora tenemos:
⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy )
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Entonces
∫
f = 2 xy dx ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + g ( y, z ) + C1
f =
∫( x 2 + z 2 ) dy ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + h ( x, z ) + C2
f =
∫( 2 zy ) dz ⇒ f ( x, y, z ) = z 2 y + h ( x, y ) + C3
Haciendo Superposición de soluciones:
f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + C
7.5 INTEGRALES DE LÍNEAS
En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre
regiones de 2 o regiones de 3 , ahora trataremos integrales de funciones
escalares y funciones vectoriales sobre curvas.
7.5.1 Integrales de líneas de funciones escalares.
Sea f : U ⊆ n una función escalar de n
variables definida en una región U que
contiene una curva suave C de longitud finita,
la integral de línea de f sobre C se define
como:
n
∫ f (x ,x ,
1 2
, xn ) ds = lim
Δ →0 ∑ f (x ,x ,
i =1
1 2 , xn ) Δs i
C
Supuesto que este límite exista.
231

6. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
7.5.1.1 Teorema. Calculo de una integral de línea como
integral definida.
Sea f continua en una región que contiene
una curva suave C, definida por
r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b,
entonces:
∫ f ds = ∫ ⎡⎣ f
C C
r ( t ) ⎤ r´( t ) dt
⎦
b
=
∫ f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) [ x1´( t )] + [ x2´( t )] + + [ xn ´( t )] dt
2 2 2
a
Si f = 1 entonces tenemos
∫ ds , la longitud de la curva.
C
Ejemplo.
Calcular
∫(x
C
2
− y + 3 z ) ds donde C : segmento de recta desde el punto
( 0, 0, 0 ) al punto (1, 2,1) .
SOLUCIÓN:
⎧x = 0 + t
⎪
La ecuación de C es ⎨ y = 0 + 2t ; es decir: r ( t ) = ( t , 2t , t ) .
⎪
⎩z = 0 + t
Entonces:
∫ ∫
C
fds =
C
⎡ f r ( t ) ⎤ r´( t ) dt
⎣ ⎦
1
=
∫
0
(t 2
− 2t + 3t ) 1 + 22 + 12 dt
1
= 6
∫(
0
t 2 + t )dt
1
⎛ t3 t2 ⎞
= 6⎜ + ⎟
⎝ 3 2 ⎠0
⎛1 1⎞
= 6⎜ + ⎟
⎝3 2⎠
5 6
=
6
232

7. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
Ejemplo 2
Calcular
∫ xds
C
donde C : es la curva que se presenta en el gráfico:
y
(1,1)
y=x
y = x2
( 0, 0 ) x
SOLUCIÓN:
Por la forma de C debemos hacer dos integrales; es decir:
∫ xds = ∫ xds + ∫ xds
C C1 C2
donde C1 : y = x y C2 : y = x 2 .
⎧x = t
Para la primera integral C1 = ⎨
⎩y = t
1
∫ ∫
1
⎛ t2 ⎞ 2
xds = t 1 + 1 dt = 2 ⎜ ⎟ =
2 2
⎝ 2 ⎠0 2
C1 0
⎧x = t
Para la segunda integral C2 = ⎨
⎩y = t
2
1
2 (1 + 4t )
0 0 3
∫ ∫ ∫
2 2
1 1 32
xds = t 12 + ( 2t ) dt = t 1 + 4t 2 dt = = − 5
2
3 8 12 12
C2 1 1 0
Por tanto:
∫ ∫ ∫
2 1 1 32
xds = xds + xds = + − 5
2 12 12
C C1 C2
233

8. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
7.5.2 Integrales de línea de Campos vectoriales.
Sea F : U ⊆ n → n un campo vectorial
continuo definido sobre una curva suave C dada
por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . La
integral de línea de F sobre C se define como:
∫ F • d r = ∫ F • T ds
C C
r´( t )
Reemplazando T= y ds = r´( t ) dt
r´( t )
r´( t )
b
∫
C
F • T ds = F • ∫
a
r´( t )
r´( t ) dt
Entonces:
∫ F • d r == ∫ ⎡( F ( x ( ) , x ( ) ,
C
⎣
C
1
t 2
t , xn ( t ) ) ) • ( r´( t ) )⎤ dt
⎦
Ejemplo
Calcular
∫
C
F • d r donde F = ( x, − xy, z 2 ) y C es la curva definida por
r ( t ) = ( cos t , sent , t ) desde el punto ( 0, 0, 0 ) hasta el punto (1, 0, 2π ) .
SOLUCIÓN:
2π
∫
C
F • dr =
∫( 0
x, − xy, z 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt
2π
=
∫(
0
cos t , − cos tsent , t 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt
2π
=
∫
0
( − cos tsent − cos 2
tsent + t 2 ) dt
2π
⎛ cos 2 t cos3 t t 3 ⎞
=⎜ + + ⎟
⎝ 2 3 3⎠0
⎛ 1 1 8π 3 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
=⎜ + + ⎟ − ⎜ + + 0⎟
⎝ 2 3 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠
8π 3
=
3
234

9. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
La integral de línea que acabamos de definir se la puede interpretar
como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula
sobre la curva C , si denotamos al trabajo como W , entonces:
W = F • dr ∫
C
7.5.2.1 Forma Diferencial
En la integral
∫ ⎡ F • r´( t )⎤ dt
C
⎣ ⎦
Suponga que F = ( M , N , P ) y que C : r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) )
⎛ dx dy dz ⎞
entonces tenemos que r´(t ) = ⎜ , , ⎟
⎝ dt dt dt ⎠
Reemplazando:
⎡ dx dy dz ⎤
⎡ F • r´( t ) ⎤ dt = ⎢( M , N , P ) • ⎛ , , ⎞ ⎥ dt
∫
C
⎣ ⎦
C⎣
∫ ⎜ ⎟
⎝ dt dt dt ⎠ ⎦
Entonces:
∫ ⎡ F • r´( t )⎤ dt = ∫ Mdx + Ndy + Pdz
C
⎣ ⎦
C
Ejemplo
Calcular
∫
C
F • d r donde F = ( y, x 2 ) y C : y = 4 x − x 2 desde el punto ( 4, 0 )
hasta el punto (1,3) .
SOLUCIÓN:
Empleando la forma diferencial
∫
C
F •dr =
∫ C
Mdx + Ndy
=
∫C
ydx + x 2 dy
En este caso y = 4 x − x 2 entonces dy = ( 4 − 2 x ) dx
Reemplazando:
235

10. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
1
∫C
ydx + x dy =
2
∫ 4
( 4 x − x ) dx + x ( 4 − 2 x ) dx
2 2
1
=
∫
4
( 4x − x 2
+ 4 x 2 − 2 x3 ) dx
1
=
∫(
4
4 x + 3 x 2 − 2 x3 ) dx
1
⎛ x2 x3 x4 ⎞
= ⎜4 +3 −2 ⎟
⎝ 2 3 4 ⎠4
69
=
2
Ejercicios Propuestos 7.1
1. Calcular
∫ F • dr siendo C la trayectoria C (t ) = (t − 1)3 + 1, cos 5 (πt ), − cos 8 (πt ) ,
C
(
t ∈ [1,2] y F ( x, y, z ) = 2 xz 3 + 6 y, 6 x − 2 yz, 3x 2 z 2 − y 2 )
2. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada
situada en un punto (x,y,z) , con vector posición r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) es F (r ) = k
r
3
r
,donde k es una constante. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula se mueve a lo
largo de una recta de (2,0,0) a (2,1,5).
Veamos ahora que existen campos vectoriales que producen el mismo
efecto independientemente de la trayectoria.
7.5.3 Independencia de la Trayectoria
Ejemplo
Calcular
∫
C
F • d r donde F = ( 4 xy, 2 x 2 ) y C : y = x 2 desde el punto ( 0, 0 )
hasta el punto (1,1) .
SOLUCIÓN:
Empleando la forma diferencial
∫
C
F •dr =
∫ C
Mdx + Ndy
=
∫ C
4 xydx + 2 x 2 dy
236

11. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
En este caso y = x 2 entonces dy = 2 xdx
Reemplazando:
1
∫
C
4 xydx + 2 x 2 dy =
∫ 0
4 x ( x 2 ) dx + 2 x 2 ( 2 xdx )
1
=
∫ 0
8 x3 dx
1
8x4
=
4 0
=2
• Si empleamos la trayectoria y = x 3 entonces dy = 3x dx
2
Reemplazando:
1
∫
C
4 xydx + 2 x dy =
2
∫ 0
4 x ( x3 ) dx + 2 x 2 ( 3 x 2 dx )
1
=
∫ 0
10 x 4 dx
1
10 x5
=
5 0
=2
• Si empleamos la trayectoria y = x entonces dy = dx
Reemplazando:
1
∫
C
4 xydx + 2 x dy =
2
∫ 0
4 x ( x ) dx + 2 x 2 ( dx )
1
=
∫ 0
6 x 2 dx
1
6 x3
=
3 0
=2
Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes trayectorias,
además observe que el campo F es conservativo debido a que:
∂N ∂M
=
∂x ∂y
∂ ( 2 x2 ) ∂ ( 4 xy )
=
∂x ∂y
4x = 4x
237

12. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
7.5.3.1 Teorema
Si F es continuo en una región abierta conexa,
entonces la integral de línea ∫ F •dr
C
es
independiente del camino si y sólo si F es
conservativo.
Ejemplo
Calcular
∫C
F • d r donde F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) y C : r ( t ) = (1 − cos t , sent )
desde el punto ( 0, 0 ) hasta el punto ( 2, 0 ) .
SOLUCIÓN:
Empleando la forma diferencial
∫C
F •dr =
∫ C
Mdx + Ndy
=
∫(
C
y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy
⎧ x = 1 − cos t ⎧dx = sentdt
En este caso ⎨ entonces ⎨
⎩ y = sent ⎩dy = cos tdt
Reemplazando:
∫(
C
y 3 + 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy =
∫(
C
sen3t + 1) ( sentdt ) + ( 3 (1 − cos t ) sen 2 t + 1) ( cos tdt )
Se observa que a integral está difícil de evaluar.
Ahora veamos si F es conservativo:
∂N ∂M
=
∂x ∂y
∂ ( 3xy 2 + 1) ∂ ( y 3 + 1)
=
∂x ∂y
3y = 3y 2 2
Como F si es conservativo, entonces es independiente de la trayectoria:
238

13. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
y
( x − 1) + y2 = 1
2
⎧ x = 1 − cos t
⎨
⎩ y = sent
x
( 0,0 ) ( 2,0 )
Mejor empleemos una trayectoria simple:
y = 0 entonces dy = 0
Reemplazando:
2
∫(
C
y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy =
∫( 0
0 + 1) dx + ( 0 + 1)( 0 )
2
=
∫ 0
dx
= x0
2
=2
Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para
campos conservativos.
7.5.3.2 Teorema Fundamental
Sea C una curva suave a trozos situada en una
región abierta R dada por dada por
r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . Si
F = ( M , N , P ) es conservativo en R ; y M , N y P
son continuas en R entonces:
∫ F • d r = ∫ ∇f •d r = f
C C
final − finicial
Siendo f una función potencial de F .
Es decir:
239

14. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
∫
C C
∫
F • d r = ∇f •d r = ⎜ , , ⎟ • ( dx, dy, dz )
C⎝
∂x ∂y ∂z ⎠ ∫
⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
C⎝
∫
= ⎜ dx + dy + dz ⎟
∂x ∂y ∂z ⎠
= df ∫
C
= f final − f inicial
Ejemplo 1
En el ejemplo anterior, como F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) es conservativo podemos
encontrar su función potencial y aplicar el teorema anterior:
Hallando la función potencial.
∂f
= y 3 + 1 ⇒ f = ( y 3 + 1) x + g ( y ) + C1
∂x
∂f
= 3 xy 2 + 1 ⇒ f = xy 3 + y + h ( x ) + C2
∂y
Entonces:
f ( x, y ) = xy 3 + x + y + C
∫
C
F • d r = f final − finicial
= ⎡ 2 ( 03 ) + 2 + 0 + C ⎤ − ⎡ 0 ( 0 3 ) + 0 + 0 + C ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=2
Ejemplo 2
∫
⎛z z ⎞ ⎛ 1 ⎞
Calcular F • d r donde F = ⎜ , , ln xy ⎟ y C : r (t ) = ⎜ , t 2 + t + 1, t ⎟
⎝ x y ⎠ ⎝ 1+ t2 ⎠
C
−1 ≤ t ≤ 1 .
SOLUCIÓN:
Realizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. Veamos
si F es conservativo:
i j k i j k
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ x 1 y 1 ⎞
∇× F = = = ⎜ − , − , 0 − 0 ⎟ = ( 0, 0, 0 )
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎝ xy y xy x ⎠
M N P z z
ln xy
x y
240

15. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
Entonces F es conservativo y por ende independiente de la trayectoria; se podría utilizar una
trayectoria simple, por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto:
⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞
r ( −1) = ⎜ , ( −1) + ( −1) + 1, ( −1) ⎟ = ⎜ ,1, −1⎟
2
⎜ 1 + ( −1)2 ⎟ ⎝2 ⎠
⎝ ⎠
al punto:
⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞
r (1) = ⎜ , (1) + (1) + 1, (1) ⎟ = ⎜ ,3,1⎟
2
⎜ 1 + (1)2 ⎟ ⎝2 ⎠
⎝ ⎠
O mejor aún, se podría utilizar la función potencial, hallémosla:
⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ⎛ z z ⎞
F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ⎜ , ´, ln xy ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ x y ⎠
∫
z
f = dx = z ln x + g ( y, z ) + C1
x
∫
z
f = dy = z ln y + h ( x, z ) + C2
y
f =
∫ ln xydz = z ln xy + I ( x, y ) + C3 = z ln x + z ln y + g ( x, y ) + C3
Por tanto f ( x, y, z ) = z ln xy + C
∫
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞
F • d r = f ⎜ ,3,1⎟ − f ⎜ ,1, −1⎟
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
C
⎡ ⎛1 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛1 ⎞ ⎤
= ⎢1ln ⎜ ( 3) ⎟ + C ⎥ − ⎢( −1) ln ⎜ (1) ⎟ + C ⎥
⎣ ⎝2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝2 ⎠ ⎦
3 1
= ln + ln
2 2
3
= ln
4
Ejercicios Propuestos 7.2
1. Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = (2 xyz + sen x )i + x 2 zj + x 2 yk , demostrar que F
es un campo conservativo y encontrar su función potencial.
Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo y continuo
dentro de la región que encierra la curva entonces:
∫ F •dr = 0
C
Ejemplo
∫
⎛ −y x ⎞
Calcular F • d r donde F = ⎜ 2 , 2 2 ⎟
y C : x2 + y2 = 1
⎝x +y x +y ⎠
2
C
SOLUCIÓN:
Veamos si F es conservativo. Como es un campo de 2
:
241

16. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
⎞ 1( x + y ) − x ( 2 x )
2 2
∂N ∂ ⎛ x − x2 + y 2
= ⎜ ⎟ = =
∂x ∂x ⎝ x 2 + y 2 ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 )
2 2
⎠
⎞ −1( x + y ) − y ( 2 y )
2 2
∂M ∂ ⎛ −y − x2 + y2
= ⎜ ⎟ = =
∂y ∂x ⎝ x 2 + y 2 ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 )
2 2
⎠
Por tanto F si es conservativo.
Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser
cero, pero observe que el campo no es continuo en ( 0, 0 ) , entonces debemos evaluar la integral
de línea.
⎧ x = cos t
La curva en forma paramétrica es C : ⎨ y en forma vectorial r ( t ) = ( cos t , sent )
⎩ y = sent
La Integral de línea sería:
2π
∫ ∫ ∫
⎛ −y x ⎞
2 ⎟(
F •dr = F • r´ dt = ⎜ 2 , 2 − sent , cos t ) dt
⎝x +y x +y ⎠
2
C C 0
2π
∫
⎛ − sent cos t ⎞
= ⎜ , ⎟ ( − sent , cos t ) dt
⎝ 1 1 ⎠
0
2π
=
∫(0
sen 2 t + cos 2 t ) dt
2π
=
∫ 0
dt
= 2π
Existe otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de
caminos cerrados.
7.6 TEOREMA DE GREEN
Sea F = ( M , N ) un campo vectorial de 2 . Sea
R una región simplemente conexa con frontera
C suave a trozos orientada en sentido
∂N ∂M
antihorario. Si M , N , , son continuas en
∂x ∂y
una región abierta que contiene a R , entonces:
⎛ ∂N ∂M ⎞
C
∫ C
∫
F • d r = Mdx + Ndy = ⎜
R ⎝
−
∂x ∂y ⎠
⎟dA ∫∫
242

17. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
Ejemplo 1
Calcular
∫C
F • d r donde F = ( y 3 , x 3 + 3 xy 2 ) y C : es el camino desde ( 0, 0 )
a (1,1) sobre y = x 2 y desde (1,1) a ( 0, 0 ) sobre y = x .
SOLUCIÓN:
La evaluaremos primero empleando una integral de línea y luego por el Teorema de
Green para comparar procedimientos y comprobar resultados.
y
(1,1)
y=x
y = x2
x
( 0,0 )
PRIMER MÉTODO: Por integral de línea:
∫C
F •dr =
∫C
Mdx + Ndy =
∫C
y 3 dx + ( x 3 + 3xy 2 ) dy
Hay 2 trayectorias:
C1 : y = x 2 entonces dy = 2 xdx
1
∫ y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy =
∫ (x ) 2 3
(
dx + x3 + 3x ( x 2 )
2
) ( 2 xdx )
C1 0
1
=
∫ 0
(x 6
+ 2 x 4 + 6 x 6 )dx
1
=
∫ 0
(7x 6
+ 2 x 4 )dx
1
x7 x5
=7 +2
7 5 0
7
=
5
243

18. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
C2 : y = x entonces dy = dx
0
∫ y dx + ( x + 3 xy ) dy =
∫( ) (
x dx + x 3 + 3 x ( x ) ) ( xdx )
3 3 2 3 2
C2 1
0
=
∫(
1
x 3 + x 3 + 3 x 3 )dx
0
=
∫(
1
5 x 3 )dx
0
x4
=5
4 1
5
=−
4
Por lo tanto:
∫ ∫ ∫
7 5 3
F •dr = F •dr + F •dr = − =
5 4 20
C C1 C2
SEGUNDO METODO: Empleando el TEOREMA DE GREEN
⎛ ∂ ( x 3 + 3xy 2 ) ∂ ( y 3 ) ⎞
∫ ∫∫ ∫∫
⎛ ∂N ∂M ⎞
F •dr = ⎜ − ⎟dA = ⎜ − ⎟dA
⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎜ ∂x ∂y ⎟
C R R
⎝ ⎠
La región R es:
y
(1,1)
R
y=x
y = x2
x
( 0,0 )
244

19. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
1 x
∫∫ ∫∫
⎛ ∂N ∂M ⎞
⎜ − ⎟dA = ( 3x 2
+ 3 y 2 − 3 y 2 ) dydx
⎝ ∂x ∂y ⎠
R 0 x2
1 x
=
∫∫(
0 x3
3x 2 ) dydx
1
∫
x
= 3x 2 y dx
x2
0
1
=
∫
0
3x 2 ( x − x 2 ) dx
1
=
∫
0
( 3x 3
− 3x 4 ) dx
x4 x5
=3 −3
4 5
3 3
= −
4 5
3
=
20
Ejemplo 2
Calcular
∫
C
F • d r donde F = ( arc senx + y 2 , cos y − x 2 ) y C : es el camino
que se describe en la gráfica:
y
2
x2 + y 2 = 4
x2 + y 2 = 1 1
x
−2 −1 1 2
SOLUCIÓN:
Aquí es mejor por GREEN, ¿Porqué?
245

20. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
∫ ∫∫
⎛ ∂N ∂M ⎞
F •dr = ⎜ − ⎟dA
⎝ ∂x ∂y ⎠
C R
⎛ ∂ ( cos y − x 2 ) ∂ ( arc senx + y 2 ) ⎞
=
∫∫
R
⎜
⎜
⎝
∂x
−
∂y
⎟dA
⎟
⎠
=
∫∫ (
R
−2 x − 2 y )dA
Pasando a Polares:
π 2
∫∫ (R
−2 x − 2 y )dA = −2
∫∫( 0 1
r cos θ + rsenθ ) rdrdθ
π 2
= −2
∫∫(
0 1
cos θ + senθ ) r 2 drdθ
π
∫
2
r3
= −2 ( cos θ + senθ ) dθ
31
0
⎛ 23 13 ⎞ π
= −2 ⎜ − ⎟ ( senθ − cos θ ) 0
⎝ 3 3⎠
⎛8 1⎞
= −2 ⎜ − ⎟ ⎡1 − ( −1) ⎤
⎣ ⎦
⎝3 3⎠
28
=−
3
7.7 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA
REGIÓN PLANA.
Con integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones
1 1
planas. En la formula de Green, si tomamos M =− y y N= x entonces
2 2
⎛ ∂N ∂M ⎞
∫∫
R
⎜
⎝
− ⎟dA =
∂x ∂y ⎠ ∫ Mdx + Ndy
C
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞⎞ 1 1
∫∫
R
⎜ 2 − ⎜ − 2 ⎟ ⎟dA =
⎝ ⎝ ⎠⎠ ∫
C
− ydx + xdy
2 2
1
∫∫
R
dA =
2 ∫ xdy − ydx
C
246

21. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
7.7.1 Teorema
Sea R una región plana limitada por una curva
cerrada simple a trozos C . El área de R viene
dada por:
1
A=
2C
xdy − ydx ∫
Ejemplo 1
Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por
⎧ y = 2x +1
⎨
⎩y = 4 − x
2
SOLUCIÓN:
Haciendo un dibujo de la región
y
4
C2 : y = 4 − x 2 3 (1,3)
R
−3 1 x
C1 : y = 2 x + 1
( −3, −5) −5
La curva C que encierra R está compuesta por dos trayectorias diferentes,
calcularemos la integral de línea por cada trayectoria, y luego sumaremos los resultados.
Primero: C1 : y = 2 x + 1 entonces dy = 2dx
Reemplazando y evaluando:
247

22. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
1
∫ ∫(
1 1
xdy − ydx = x 2dx ) − ( 2 x + 1) dx
2 2
C1 −3
1
∫(
1
= 2 x − 2 x − 1) dx
2
−3
1
∫
1
= −dx
2
−3
1 1
= − x −3
2
= −2
Segundo: C2 : y = 4 − x 2 entonces dy = −2 xdx
Reemplazando y evaluando:
−3
∫ ∫ x ( −2 xdx ) − ( 4 − x 2 ) dx
1 1
xdy − ydx =
2 2
C2 1
−3
∫( −2 x 2 + x 2 − 4 ) dx
1
=
2
1
−3
∫( − x 2 − 4 ) dx
1
=
2
1
−3
1 ⎛ x3 ⎞
= − ⎜ + 4x ⎟
2⎝ 3 ⎠1
38
=
3
Finalmente, sumando:
38 32
A = −2 + =
3 3
Ejemplo 2
x2 y2
Hallar el área de la elipse con ecuación + =1
a 2 b2
SOLUCIÓN:
⎧ x = a cos t
Las ecuaciones paramétrica de la elipse son: C : ⎨
⎩ y = bsent
⎧dx = − asent dt
Entonces ⎨
⎩dy = b cos t dt
Reemplazando en la formula anterior y luego evaluando, resulta:
248

23. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
2π
∫ ∫(
1 1
A= xdy − ydx = a cos t )( b cos tdt ) − ( bsent )( −asentdt )
2 2
C 0
2π
∫
1
= ab cos 2 tdt + absen 2 tdt
2
0
2π
∫ ab ( cos 2 t + sen 2 t ) dt
1
=
2
0
2π
∫
1
= abdt
2
0
2π
∫
1
= ab dt
2
0
1 2π
= ab t 0
2
= π ab
Ejercicios Propuestos 7.3
∫x dy − y 3 dx
3
3. Calcular donde C es el círculo unitario centrado en el origen.
C
4. Sea F ( x, y ) = xe − y , − x 2 ye − y + 1 x 2 + y 2
2 2
( ) , calcular el trabajo de F en el
contorno del cuadrado determinado por: x ≤ a ; y ≤a
∫x ydx − y 2 xdy ; donde C es la curva que consta del arco
2
5. Evaluar la integral
C
4 y = x de (0,0) a (2,2) y del segmento de recta que va de (2,2) a (0,0)
3
∫ 2 (x )
+ y 2 dx + ( x + y )2 dy , siendo C el
2
6. Verificar el teorema de Green en la integral
C
contorno del triángulo con vértices en los puntos (1,1),(2,2), (1,3).
∫ xydx + 2 x
2
7. Hallar dy donde C consta de los segmentos de recta que van desde (0,2) a (-
C
2,0) y de allí a (2,0) y luego la parte de la circunferencia x 2 + y 2 = 4 para x>0 y y>0.
8. Una partícula empieza en el punto (-2,0), se mueve a lo largo del eje x hacia (2,0) y luego a lo
largo de la semicircunferencia y = 4 − x 2 hacia el punto inicial. Encontrar el trabajo sobre
esta partícula por el campo de fuerzas F ( x, y ) = x, x 3 + 3 xy 2 . ( )
⎡ ⎞⎤ dy
9. Calcular:
∫ x 2 + y 2 dx + y ⎢ xy + ln⎛ x + x 2 + y 2
⎜ ⎟⎥ , donde C es la
⎣ ⎝ ⎠⎦
circunferencia x 2 + y 2 = a 2
10. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva
2 2 2
x 3 +y 3 =a 3
11. Empleando una integral de línea, encuentre el área de la región R limitada por las
gráficas y = x 2 + 2 ; y = − x ; x = −2 ; x = 2 .
249

24. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
7.8 INTEGRALES DE SUPERFICIE
7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES
ESCALARES.
En el capítulo de integrales Dobles se estableció la manera de calcular
área de una superficie, ahora se trata de calcular el efecto de una función
escalar sobre una superficie. Es decir, evaluar integrales del tipo:
∫∫ f ( x, y, z ) dS
S
Ejemplo.
Calcular
∫∫ (
S
xyz ) dS donde S : porción del plano x + y + z = 3 en el primer
octante.
SOLUCIÓN:
Primero hacemos un dibujo de la superficie:
z
3
S : z = 3− x − y
3 y
3
x
Proyectamos la superficie en el plano xy , por tanto:
∫∫S
( xyz ) dS =
∫∫
R
( xyz ) 1 + z x 2 + z y 2 dydx
La región de integración sería:
250

25. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
y
3
y = 3− x
x
3
Haciendo las sustituciones correspondientes y evaluando la integral doble:
3 3− x
∫∫ ( xyz ) 1 + z x + z y dydx =
∫ ∫( xy ( 3 − x − y ) ) 1 + ( −1) + ( −1) dydx
2 2 2 2
R 0 0
3 3− x
= 3
∫∫
0 0
( 3xy − x 2
y − xy 2 )dydx
3
3− x
∫
⎡ 2
y3 ⎤
⎢( 3 x − x ) − x ⎥ dx
2 y
= 3
⎣ 2 3 ⎦0
0
3
⎡ (3 − x ) (3 − x ) ⎤
∫
2 3
= 3 ⎢ x (3 − x ) −x ⎥ dx
⎢
⎣ 2 3 ⎥ ⎦
0
3
∫
⎛1 1⎞
= 3⎜ − ⎟ x ( 3 − x ) dx
3
⎝ 2 3⎠ u
dv
0
3
⎡ ⎤
3 ⎢ (3 − x ) (3 − x )
∫
4 4
= x − dx ⎥
6 ⎢ −4 −4 ⎥
⎢
⎣ ⎥0
⎦
3
3 ⎡ (3 − x ) (3 − x ) ⎤
4 5
= ⎢x − ⎥
6 ⎢⎣ −4 20 ⎥0
⎦
3 ⎡ 35 ⎤
= ⎢ ⎥
6 ⎣ 20 ⎦
81 3
=
40
Las integrales de funciones escalares sobre superficies parametrizas
serían de la forma:
∫∫
R´
f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) r u × r v dudv
251

26. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
Ejercicios propuestos 7.4
∫∫ (x ) ( )
2
1. Evaluar + y 2 dS , siendo S la superficie del cono z 2 = 3 x 2 + y 2 entre z=0 y
S
z=3
2. Considere la superficie S = S1 ∪ S 2 , siendo S1 la superficie del cilindro x 2 + y 2 = 4
entre z=1 y z=2, S2 la superficie semiesférica x + y + ( z − 2 ) = 4,
2
2 2
z ≥ 2 . Si
F = (z , x, y ) , evaluar la integral ∫∫ (∇ × F )• ndS
S
Las integrales de superficies nos permitirán evaluar integrales de
funciones vectoriales sobre curvas que encierran superficies, para lo cual
tenemos una generalización del teorema de GREEN.
7.8.2 TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada con vector unitario N cuyo
contorno es una curva cerrada simple C , suave a trozos. Si F
es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen
derivadas parciales continuas en una región abierta R que
contiene a S y a C , entonces:
∫ F • d r = ∫∫ ( ∇ × F ) • N dS
C S
Ejemplo.
Comprobar el Teorema de Stokes para F = ( 2 z , x, y 2 ) , S : superficie del
paraboloide z = 5 − x 2 − y 2 y C : traza de S en el plano z = 1 .
SOLUCIÓN:
Identificando S y C :
z
S : x2 + y 2 + z = 5
∇S
N=
∇S
C : x2 + y 2 = 4
z =1
y
x
252

27. MOISES VILLENA Análisis Vectorial
POR INTEGRAL DE LÍNEA.
∫ C
F •dr =
∫ C
Mdx + Ndy + Pdz
=
∫C
2 zdx + xdy + y 2 dz
⎧ x = 2 cos t ⎧dx = −2 sent dt
⎪ ⎪
En este caso C : ⎨ y = 2 sent entonces ⎨ dy = 2 cos t dt
⎪z = 0 ⎪dz = 0
⎩ ⎩
Reemplazando y evaluando:
2π
∫ 2 zdx + xdy + y dz =
∫ 2 ( 0 ) [ −2sentdt ] + ( 2 cos t ) [ 2 cos tdt ] + ( 2 sent ) ( 0 )
2 2
C 0
2π
=
∫0
4 cos 2 tdt
2π
(1 + cos 2t )
=4
∫ 0
2
dt
2π
⎛ sen 2t ⎞
= 2⎜t + ⎟
⎝ 2 ⎠0
= 4π
APLICANDO EL TEOREMA DE STOKES. POR INTEGRAL DE SUPERFICIE.
∫C
F •dr =
∫∫ (
S
)
∇ × F • N dS
Calculando el rotacional, el vector normal a la superficie y el diferencial de superficie:
i j k
∂ ∂ ∂
∇× F = = ( 2 y, 2,1)
∂x ∂y ∂z
2z x y2
∇S ( 2 x, 2 y,1)
N= =
∇S ( 2x) + ( 2 y ) +1
2 2
dS = ( 2x ) + ( 2 y ) + 1 dydx
2 2
Reemplazando:
( 2 x, 2 y,1)
∫∫ (∇ × F ) • N dS = ∫∫ ( 2 y, 2,1) • ( 2 x ) + ( 2 y ) + 1 dydx
2 2
( 2x) + (2 y ) +1
2 2
S R
=
∫∫ (R
4 xy + 4 y + 1) dydx
En este caso la región de integración es el círculo centrado en el origen de radio 2, pasando a
coordenadas cilíndricas:
253