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C. E. Dr. Félix Miranda
7ª Série – Ensino Fundamental
Apostila organizada pela professora Gloria Maria de S. P. T. da Silva, com base no sistema de cartões
idealizado pela professora Estela Fainguelernt, apresentado no encontro Psicology of Mathematics
Education, em Lisboa, 1994, segundo artigo publicado na Revista Nova Escola, Ano X – nº 85 – Junho de
1995
Operações de polinômios com material concreto
Você está recebendo cartões de cartolina: 4 quadrados vermelhos, 12 retângulos vermelhos, 20
quadradinhos vermelhos; 4 quadrados azuis, 12 retângulos azuis e 20 quadradinhos azuis.
Agora você deverá seguir as orientações das atividades abaixo, utilizando o material :
ATIVIDADE 1 (Jogo livre):
Após examinar o material e contar as peças; identifique as relações entre as dimensões e formas das
figuras. Estabeleça medidas para: o quadrado, o retângulo e o quadradinho.
Se chamarmos então, as duas dimensões diferentes de x e y, teremos:
Obs: 1- A partir da atividade 2, utilize sempre o código de letras estabelecido acima.
2- Para efeito didático considere a partir da atividade seguinte, figuras listradas como figuras
vermelhas.
ATIVIDADE 2 (Só peças vermelhas):
Analise as peças vermelhas que dispõe e monte juntando como quiser pelo menos 5 representações
algébricas:
Observe os exemplos:
Formas Representação algébrica
ATIVIDADE 3 (Só peças vermelhas):
Dê 5 exemplos de representações algébricas e monte-as com as peças. Depois faça o registro.
Representação algébrica Formas
4 quadrados
vermelhos e 4
quadrados azuis
12 retângulos
vermelhos e 12
retângulos azuis
20 quadradinhos
vermelhos e 20
quadradinhos azuis
x² + x² = 2x²
x² + y²
Área Área Área
ATIVIDADE 4 (Só peças vermelhas):
Cada grupo deverá organizar atividades para que outro grupo responda. Isto acontecerá através de sorteio.
As atividades deverão ser baseadas nas atividades 2 e 3 da apostila, apresentando formas para que o outro
grupo faça a representação algébrica e vice-versa.
A partir da atividade 5, deve-se obedecer o seguinte código: peças vermelhas têm valor positivo e peças
azuis têm valor negativo:
Assim:
Polinômios opostos:
ATIVIDADE 5:
Construa com o material os seguintes polinômios e complete as representações algébricas
correspondentes:
Representação algébrica
1)
+ x² + xy + y²
- xy - y²
+ x² - x² = 0 + xy - xy = 0 + y² - y² = 0
-2x² - xy –2y²
+2x² + xy +2y²
= 0
- x²
2)
3)
Podemos dizer que os polinômios dos itens 2) e 3) são polinômios ___________________.
4)
5)
6)
Agora crie 5 exemplos com suas respectivas representações algébricas.
ATIVIDADE 6 (Operações com polinômios):
Adição – Modelo
mais +
x² + 2xy +3y²
5)
_________________
igual a =
Modelo:
mais +
________________
igual a =
Agora é com você:
1)
mais
2x² + xy + 2y²
3x² + 3xy + 5y²
2x² - 2xy – y²
- x² + 4xy
x² + 2xy – y²
0
igual
2)
mais
igual a
3)
mais
igual a
Calcular: a) (3x² - 2xy – 3y²) + (-2x² + 2xy + 2y²)
b) (-3x² + xy – 2y²) + (4x² - 2xy – y²)
c) (-2x² + 3xy - 4y²) + (2x² -3xy + 4y²)
ATIVIDADE 7:
Subtração – Modelo
Calcular (2x² - 2xy - 3y²) – (- x² - 10xy + 3y²)
mais +
__________________
igual a =
Modelo:
Calcular (- 3x² + 2xy – 4y²) - (- x² - 2xy + 3y²)
mais +
x² + 10xy – 3y²
3x² + 8xy – 6y²
2x² - 2xy – 3y²
0
x² + 2xy – 3y²
- 3x² + 2xy – 4y²
0
igual a = ____________________
Agora é com você:
Calcular: a) (-2x² + 3xy + 2y²) – (x² + 3xy –2y²)
b) (4x² - 2xy + 3y²) – (-3x² -2xy + y²)
c) (x² + 2xy – 4y²) – (x² + 3xy – 5y²)
ATIVIDADE 8:
Multiplicação – Modelo
Calcular: x (x + 2y)
Sugestão: Montar um quadrado ou um retângulo, de forma que uma das dimensões seja x e a outra seja
x + 2y. Observe:
Dimensões do retângulo formado: x e x + 2y
Área do retângulo formado: x² + 2xy
Conclusão:
Modelo:
Calcular: (x + 3y) (2x + y)
Montando um retângulo com dimensões x + 3y e 2x + y:
Observe que a figura ficou incompleta; para formar o retângulo vamos completar a figura:
Dimensões do retângulo formado: (x + 3y) (2x + y)
Área do retângulo formado: 2x² + 7xy + 3y²
Conclusão:
Agora é com você:
Calcular: a) (2x + 3y) (x + 2y)
b) (x + y) (x + 2y)
-2x² + 4xy – 7y²
x y y
x
x²
xyxy
x (x + 2y) = x² + 2xy
x y y y
x
x
y
x y y y
x
x
y
(x + 3y) (2x + y) = 2x² + 7xy + 3y²
c) (3x + y) (x + y)
d) (x + y) (x + y)
e) (x – y) (x – y)
f) (x + y) (x – y)
Observação: Os produtos dos itens d), e), f); são chamados PRODUTOS NOTÁVEIS
ATIVIDADE 9:
Divisão – Modelo
Calcular: (x² + 4xy + 3y²) : (x + y)
Separa-se as peças que representam o dividendo:
Depois constrói-se um retângulo com as peças separadas, de tal maneira que uma das dimensões da figura
formada seja representada pelo divisor (x + y), observe:
Visualizando o outro lado do retângulo formado, podemos obter o quociente
desejado: (x + 3y)
Então: (x + y) (x + 3y) = x² + 4xy + 3y², e podemos, pela reversibilidade, concluir:
Modelo:
Calcular: (x² + 3xy + 2y²) : (x + y)
Separando as peças que representam o dividendo:
Construindo um retângulo com as peças, lembre-se que uma das dimensões deve ser o divisor:
O outro lado do retângulo formado: x + 2y
Logo:
x
y
x y y y
(x² + 4xy + 3y²) : (x + y) = x + 3y
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(x² + 3xy + 2y²) : (x + y) = x + 2y
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Apostila sobre operações de polinômios com material concreto

  • 1. C. E. Dr. Félix Miranda 7ª Série – Ensino Fundamental Apostila organizada pela professora Gloria Maria de S. P. T. da Silva, com base no sistema de cartões idealizado pela professora Estela Fainguelernt, apresentado no encontro Psicology of Mathematics Education, em Lisboa, 1994, segundo artigo publicado na Revista Nova Escola, Ano X – nº 85 – Junho de 1995 Operações de polinômios com material concreto Você está recebendo cartões de cartolina: 4 quadrados vermelhos, 12 retângulos vermelhos, 20 quadradinhos vermelhos; 4 quadrados azuis, 12 retângulos azuis e 20 quadradinhos azuis. Agora você deverá seguir as orientações das atividades abaixo, utilizando o material : ATIVIDADE 1 (Jogo livre): Após examinar o material e contar as peças; identifique as relações entre as dimensões e formas das figuras. Estabeleça medidas para: o quadrado, o retângulo e o quadradinho. Se chamarmos então, as duas dimensões diferentes de x e y, teremos: Obs: 1- A partir da atividade 2, utilize sempre o código de letras estabelecido acima. 2- Para efeito didático considere a partir da atividade seguinte, figuras listradas como figuras vermelhas. ATIVIDADE 2 (Só peças vermelhas): Analise as peças vermelhas que dispõe e monte juntando como quiser pelo menos 5 representações algébricas: Observe os exemplos: Formas Representação algébrica ATIVIDADE 3 (Só peças vermelhas): Dê 5 exemplos de representações algébricas e monte-as com as peças. Depois faça o registro. Representação algébrica Formas 4 quadrados vermelhos e 4 quadrados azuis 12 retângulos vermelhos e 12 retângulos azuis 20 quadradinhos vermelhos e 20 quadradinhos azuis x² + x² = 2x² x² + y² Área Área Área
  • 2. ATIVIDADE 4 (Só peças vermelhas): Cada grupo deverá organizar atividades para que outro grupo responda. Isto acontecerá através de sorteio. As atividades deverão ser baseadas nas atividades 2 e 3 da apostila, apresentando formas para que o outro grupo faça a representação algébrica e vice-versa. A partir da atividade 5, deve-se obedecer o seguinte código: peças vermelhas têm valor positivo e peças azuis têm valor negativo: Assim: Polinômios opostos: ATIVIDADE 5: Construa com o material os seguintes polinômios e complete as representações algébricas correspondentes: Representação algébrica 1) + x² + xy + y² - xy - y² + x² - x² = 0 + xy - xy = 0 + y² - y² = 0 -2x² - xy –2y² +2x² + xy +2y² = 0 - x²
  • 3. 2) 3) Podemos dizer que os polinômios dos itens 2) e 3) são polinômios ___________________. 4) 5) 6) Agora crie 5 exemplos com suas respectivas representações algébricas. ATIVIDADE 6 (Operações com polinômios): Adição – Modelo mais + x² + 2xy +3y² 5)
  • 4. _________________ igual a = Modelo: mais + ________________ igual a = Agora é com você: 1) mais 2x² + xy + 2y² 3x² + 3xy + 5y² 2x² - 2xy – y² - x² + 4xy x² + 2xy – y² 0
  • 6. Calcular: a) (3x² - 2xy – 3y²) + (-2x² + 2xy + 2y²) b) (-3x² + xy – 2y²) + (4x² - 2xy – y²) c) (-2x² + 3xy - 4y²) + (2x² -3xy + 4y²) ATIVIDADE 7: Subtração – Modelo Calcular (2x² - 2xy - 3y²) – (- x² - 10xy + 3y²) mais + __________________ igual a = Modelo: Calcular (- 3x² + 2xy – 4y²) - (- x² - 2xy + 3y²) mais + x² + 10xy – 3y² 3x² + 8xy – 6y² 2x² - 2xy – 3y² 0 x² + 2xy – 3y² - 3x² + 2xy – 4y² 0
  • 7. igual a = ____________________ Agora é com você: Calcular: a) (-2x² + 3xy + 2y²) – (x² + 3xy –2y²) b) (4x² - 2xy + 3y²) – (-3x² -2xy + y²) c) (x² + 2xy – 4y²) – (x² + 3xy – 5y²) ATIVIDADE 8: Multiplicação – Modelo Calcular: x (x + 2y) Sugestão: Montar um quadrado ou um retângulo, de forma que uma das dimensões seja x e a outra seja x + 2y. Observe: Dimensões do retângulo formado: x e x + 2y Área do retângulo formado: x² + 2xy Conclusão: Modelo: Calcular: (x + 3y) (2x + y) Montando um retângulo com dimensões x + 3y e 2x + y: Observe que a figura ficou incompleta; para formar o retângulo vamos completar a figura: Dimensões do retângulo formado: (x + 3y) (2x + y) Área do retângulo formado: 2x² + 7xy + 3y² Conclusão: Agora é com você: Calcular: a) (2x + 3y) (x + 2y) b) (x + y) (x + 2y) -2x² + 4xy – 7y² x y y x x² xyxy x (x + 2y) = x² + 2xy x y y y x x y x y y y x x y (x + 3y) (2x + y) = 2x² + 7xy + 3y²
  • 8. c) (3x + y) (x + y) d) (x + y) (x + y) e) (x – y) (x – y) f) (x + y) (x – y) Observação: Os produtos dos itens d), e), f); são chamados PRODUTOS NOTÁVEIS ATIVIDADE 9: Divisão – Modelo Calcular: (x² + 4xy + 3y²) : (x + y) Separa-se as peças que representam o dividendo: Depois constrói-se um retângulo com as peças separadas, de tal maneira que uma das dimensões da figura formada seja representada pelo divisor (x + y), observe: Visualizando o outro lado do retângulo formado, podemos obter o quociente desejado: (x + 3y) Então: (x + y) (x + 3y) = x² + 4xy + 3y², e podemos, pela reversibilidade, concluir: Modelo: Calcular: (x² + 3xy + 2y²) : (x + y) Separando as peças que representam o dividendo: Construindo um retângulo com as peças, lembre-se que uma das dimensões deve ser o divisor: O outro lado do retângulo formado: x + 2y Logo: x y x y y y (x² + 4xy + 3y²) : (x + y) = x + 3y x y x y y (x² + 3xy + 2y²) : (x + y) = x + 2y