Matrizes (AP 01)

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- Tabelas;
- Tipos de Matrizes;
- Soma e subtração de matrizes;
- Multiplicação de uma matriz por um número real;
- Multiplicação de duas matrizes;
- Matriz inversa;
- Dicas para o cálculo da matriz inversa de ordem 2;
- Atividades.

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Matrizes (AP 01)

  1. 1. 01PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com Matemática II Prof. GiancarloProf. GiancarloProf. GiancarloProf. Giancarlo –––– CursCursCursCursiiiinhonhonhonho MATRIZES APOSTILA 01 1.1.1.1. INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO A tabela abaixo mostra a quantidade de alguns modelos de motos vendidas no primeiro quadrimestre do ano passado numa agência. Janeiro Fevereiro Março Abril I 30 38 22 21 II 33 36 18 20 III 18 16 11 10 Tabelas como essas são chamadas de matrizes. Definição Chama-se matriz do tipo (lê-se m por n) toda a tabela com ∙ elementos dispostos em linhas e colunas. 2.2.2.2. REPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZDE UMA MATRIZDE UMA MATRIZDE UMA MATRIZ Um elemento de uma matriz é representado por uma letra minúscula acompanhada de um duplo índice. De modo geral, representa-se um elemento qualquer por , onde mostra a linha em que está o elemento, e mostra a coluna. De modo geral, uma matriz pode ser representada assim: ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ Exemplo 1 Construa a matriz , sabendo-se que 3 . 3.3.3.3. ELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTES Se duas matrizes, A e B, forem do mesmo tipo , então os elementos com o mesmo índice são chamados elementos correspondentes. Exemplo 2 Considere as matrizes e ! " # # # # $, os elementos correspondentes de A e B são: 4.4.4.4. TIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZES Em função dos valores de seus elementos, do número de linhas e colunas ou ainda por serem aplicadas com muita frequência, algumas matrizes possuem nomenclatura especial. Vejamos algumas dessas matrizes. 4.1 Matriz quadrada É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Em uma matriz quadrada de ordem , os elementos , onde formam a diagonal principal e os elementos , onde 1 formam a diagonal secundária. & ' • Diagonal principal: , , , → . • Diagonal secundária: , , , → 4 1. • Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. 4.2 Matriz Diagonal É toda matriz quadrada , onde 0 para todo , . Exemplo 3: 1 0 0 -1 ! . 2 0 0 0 -1 0 0 0 3 0 4.3 Matriz Escalar É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais. Exemplo 4: -1 0 0 -1 ! . 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 4.4 Matriz Identidade É toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Exemplo 5: 1 0 0 1 ! . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4.5 Matriz Linha É toda matriz da forma , onde … . Exemplo 6: 2 1 3 4.6 Matriz Coluna É toda matriz que apresentam uma coluna, onde . Exemplo 7: 2 3 4 ⋮ 5 6 7 ! 8 2 4 5 6 ; 4.7 Matriz Nula É toda matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero. Exemplo 8: 8 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ; 4.8 Matriz simétrica É toda matriz quadrada onde cada elemento . Exemplo 9: . 2 4 6 4 5 3 6 3 2 0 ! . 1 5 6 5 3 2 6 2 7 0 4.9 Matriz Antissimétrica É toda matriz quadrada onde - . Exemplo 10: . 0 2 3 -2 0 -5 -3 5 0 0 4.10 Matriz Transposta Seja uma matriz = >, chama-se transposta de e representa-se por ?, a matriz ? > =, que se obtem trocando linhas por colunas. Exemplo 11: 8 2 1 4 3 2 7 0 4 ; ⟹ ? 2 1 4 3 2 7 0 4 Model o Mês
  2. 2. 02PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com Matemática II Prof. GiancarloProf. GiancarloProf. GiancarloProf. Giancarlo –––– CursCursCursCursiiiinhonhonhonho MATRIZES APOSTILA 01 5.5.5.5. IGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZES Dadas as matrizes e !, dizemos que essas matrizes são iguais se, e somente se, elas possuem a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais. AB C DB C ⇔ FGH IGH 6.6.6.6. OPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZES 6.16.16.16.1 ADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃO Dadas as matrizes e ! # , a soma delas, representada por !, é a matriz J K , em que K # . Isto é, cada elemento de J é a soma dos elementos correspondentes das matrizes e !. Propriedades da adição P1. ! J ! J → associatividade P2. ! ! → comutatividade P3. L → elemento neutro P4. - L → elemento oposto 6.26.26.26.2 SUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃO Dadas as matrizes e ! # , a soma delas, representada por - !, é a matriz J K , em que K - # . Isto é, cada elemento de J é a soma dos elementos correspondentes das matrizes e !. A - D A -D . 6.36.36.36.3 MULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃO Multiplicação de um número real por uma matriz Sejam as matrizes e um número real M. Ao multiplicarmos M pela matriz , obtemos a matriz ! # , tal que # M ∙ . Multiplicação de matriz por matriz Dadas as matrizes do tipo e ! # do tipo N, o produto de por !, é a matriz J K do tipo N, em que cada elementoK é a soma dos produtos dos elementos da linha de pelos elementos da coluna de !, tomados ordenadamente. Indicamos o produto dessas matrizes por ∙ ! ou !. O produto ∙ ! de duas matrizes só é possível se o número de colunas da for igual ao número de linhas da !. Dessa forma, a matriz J terá o mesmo número de linhas de e o mesmo número de colunas de !: AB C ∙ DC O PB O Propriedades da multiplicação P1. Dadas as matrizes , ! = e J= Q, temos ∙ ! ∙ J ∙ ! ∙ J → associativa P2. Dadas as matrizes , ! = e J =, temos ∙ ! J ∙ ! ∙ J → distributiva à esquerda P3. Dadas as matrizes , ! e J =, temos ! ∙ J ∙ J ! ∙ J → distributiva à direita P4. Dadas as matrizes e as matrizes identidade R e R , temos R ∙ e ∙ R → elemento neutro P5. Dadas as matrizes e ! = e o número M ∈ T, temos M ∙ ∙ ! ∙ M ∙ ! M ∙ ∙ ! P6. Dadas as matrizes , ! =, temos ∙ ! ? ? ∙ !? 7.7.7.7. MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA Seja uma matriz quadrada A de ordem n. Quando existe uma matriz B, também de ordem n, tal que ∙ ! ! ∙ R , B é chamada matriz inversa de A, a qual indicamos por U . Se existe a matriz inversa de uma matriz dada, dizemos que esta é invertível ou não-singular. Caso contrário, dizemos que esta é não-invertível ou singular. 8.8.8.8. MODELO GSSPMODELO GSSPMODELO GSSPMODELO GSSP Proposição: Seja a matriz V # K W X WXYV , 0, então VU Z W WXYV - # WXYV - K WXYV WXYV [ Exemplo 12 Determine a inversa da matriz 1 3 1 2 , caso exista. QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 1111 Determine as seguintes matrizes. a) , tal que 2 . b) ! # , tal que # 3 - 2 . c) J K , tal que K - , ]X , , ]X d) W ^W _ , tal que W ` ∙ , ]X , ]X a , ]X b QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 2222 A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atleta) e colunas (dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo G a ordem das linhas e H a ordem das colunas e FGH cd. G fd. H o elemento genérico desta tabela, com e dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no terceiro dia foi de: a) 1 hora e 30 minutos. b) 1 hora e 50 minutos. c) 2 horas. d) 2 horas e 10 minutos. e) 2 horas e 30 minutos QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 3333 O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4. A matriz associada a esse mapa é definida da seguinte forma: Sabendo-se que e referem-se as cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, construa a matriz . Atividades
  3. 3. 03PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com Matemática II Prof. GiancarloProf. GiancarloProf. GiancarloProf. Giancarlo –––– CursCursCursCursiiiinhonhonhonho MATRIZES APOSTILA 01 Questão 4 Determine os valores de x e y para que as matrizes 7 4g - 5h -2 3 e ! " 7 8 2g - 4h 3 $ sejam iguais. Questão 5 (UPM–SP) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz , tal que , é: a) 3 b)2j c) 5 d) 4 e) 2k Questão 6 (Ufersa–RN) Se , ! e J são matrizes do tipo 4 3, 3 4 e 4 2, respectivamente, a transposta do produto ∙ ! ∙ J é uma matriz do tipo: a) 4 2 b) 3 2 c) 2 4 d) 2 3 Questão 7 As matrizes l 3 1 5 2 m e l -3 4 1 -8 m são tais que 3n 2 - !. Calcule a matriz n. Questão 8 (Unesp) Considere três lojas o , o e o , e três tipos de produtos, p , p e p . A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido em cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento da matriz indica a quantidade do produto p vendido pela loja o , com , 1, 2, 3. o o o p p p q 30 19 20 15 10 8 12 16 11 s Analisando a matriz, podemos afirmar que: a) a quantidade de produtos do tipo p vendidos pela loja o é 11. b) a quantidade de produtos do tipo p vendidos pela loja o é 30. c) a soma das quantidades de produtos do tipo p vendidos pelas três lojas é 40. d) a soma das quantidades de produtos do tipo p vendidos pelas lojas o , com 1, 2, 3 é 52. e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos p e p vendidos pela loja o é 45. Questão 9 (Esam–RN) O produto ∙ ! de duas matrizes só é possível quando o número de colunas de for igual ao número de linhas de !. Então, identifique a alternativa incorreta. a) Se e ! são matrizes quadradas de ordem 3, então o produto ∙ ! será, também, uma matriz quadrada de ordem 3. b) Se é uma matriz 5 2 e ! é uma matriz 5 2, existe o produto ! ∙ . c) Se q 3 2 5 0 1 4 s e ! l 3 1 6 2 m, então ∙ ! é uma matriz do tipo 3 2. d) Se é uma matriz 2 2, então a matriz é, também, do tipo 2 2. e) Só podemos calcular ! quando ! é uma matriz quadrada. Questão 10 (Facceba–BA) Considerando-se as matrizes V 1 2 2 5 e t 5 -2 -2 1 , conclui-se: a) V é a matriz oposta de t. b) V 2t c) V t 6 0 0 2 d) V ∙ t 1 0 0 1 e) t é a matriz transposta de V. Questão 11 (PUC–SP) Na matriz l 20 18 5 18 21 4 m, os elementos da primeira linha representam os preços unitários em reais de três artigos diferentes na loja X e os da segunda linha, os respectivos preços unitários em reais dos mesmos artigos na loja Y. Os elementos da matriz ∙ !, com ! q 1 2 1 s, representam os preços a serem pagos pela compra de 1 unidade do primeiro artigo, 2 do segundo e 1 d terceiro, nessas lojas. Se fizermos a compra em Y, gastaremos, em relação ao que seria gasto na loja X: a) R$ 3,00 a mais b) R$ 3,00 a menos c) R$ 4,00 a mais d) R$ 4,00 a menos e) N.R.A. Questão 12 (PUC–MG) Multiplicando as matrizes " 1 g h 3 $ ∙ -1 2 3 0 , obtemos 11 2 11 -4 . O produto dos elementos x e y da primeira matriz é: a) 4 b) 6 c) -4 d) -6 e) -8 RASCUNHO

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