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1111 DEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Toda função : → tal que , com
, , ∈ e 0 é chamada função polinomial do 2° grau.
Exemplo 1
2 1, onde, 1, 2, 1;
2 4 , onde, 2, 4, 0.
2222 RAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃO
Chamamos de raízes, ou zeros, da função polinomial do 2°
grau os valores de para os quais a função se anula, ou seja,
0.
Para determinar as raízes de uma função polinomial do 2°
grau, usaremos a fórmula de Bhaskara.
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∆ 4 ∙ ∙
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Exemplo 2
Determinar as raízes da função 4 3.
A quantidade de raízes reais de uma função do 2° grau depende
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Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais e
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Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais e iguais;
Quando ∆ 0, a equação não terá raízes reais, mas sim
raiz complexa, o que veremos nas próximas aulas.
3333 GRÁFICOSGRÁFICOSGRÁFICOSGRÁFICOS
De acordo com as características dos gráficos das funções
quadráticas, podemos organizar o quadro a seguir.
Exemplo 3
Determine a concavidade das funções:
a) 3 2
b) 3 4 12
4444 VÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLA
Quando uma parábola tem concavidade voltada para
baixo, ela tem um ponto de máximo .
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determinadas pelas relações abaixo:
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5555 ESTUDO DO SINALESTUDO DO SINALESTUDO DO SINALESTUDO DO SINAL
Estudar o sinal de uma função quadrática, definida por
" # $#% &# ', consiste em determinar os valores reais de
# para os quais ( é negativo e os valores de # para os quais ( é
positivo.
De acordo com o valor do discriminante ∆ da equação
" # $#% &# ', temos 3 casos a considerar:
∆ ), intervalos positivos, intervalos negativos e duas
raízes reais.
∆ ), intervalos apenas positivos ou apenas negativos e
uma raiz real.
∆ ), intervalos apenas positivos ou apenas negativos.
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Exemplo 5
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02PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com
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Questão 2
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Questão 8 (PUCCAMP)
Na figura a seguir tem-se
representada a curva descrita por
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lançamento (ponto A) até que
atinja o solo (ponto B). Se a curva
descrita é a parábola de equação
( %#% 8#, qual é à distância
AB, em metros?
Questão 9
Utilizando a equação de queda livre dos corpos fornecida por
Galileu e conhecendo-se a velocidade média do som no ar, é
possível determinar quanto tempo demora para se ouvir uma
pedra atingindo o fundo de um poço desde o instante em que ela
é largada. A equação que traduz o modelo matemático para essa
situação é:
Tempo de queda da pedra + tempo do som retornar = Tempo
decorrido entre o instante em que a pedra é largada e aquele em
que se ouve o som dela atingindo o fundo do poço.
Desprezando a resistência do ar, o tempo de queda da pedra é
dada pela equação
9
: ∙ ;%
%
e o tempo do som retornar, pela equação
;
9
5%)
onde: < 10=/? é a aceleração da gravidade; 320=/? é a
velocidade do som no ar e @ é a profundidade do poço.
Supondo que um poço esteja vazio e tenha profundidade de 80=,
depois de quanto tempo após uma pedra ser largada é possível
ouvir o som dela ao atingir o chão?
Questão 10
Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção
expele para fora de sua cratera uma pedra incandescente
localizada 100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a pedra
demora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros
e que sua trajetória é uma parábola, podemos afirmar que a pedra
demora:
a) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura h em
função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t 2 - 10t – 200.
b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em
função do tempo t é dada pela expressão h(t) = -2t 2 + 20t +
150.
c) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície
e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão
h(t) = -t 2 + 20t – 20.
d) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície
e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão
h(t) = -5t 2 +100t – 100.
e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em
função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t 2 - 20t + 51.
Ao longo do tempo muitos homens
conseguiram atingir o êxtase da criação.
A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS.
(Autor desconhecido)

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Funções Polinomial do 2ª Grau (AP 05)

  • 1. 01PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com MATEMÁTICA I ProfProfProfProf.... GiancarloGiancarloGiancarloGiancarlo –––– PRISE IPRISE IPRISE IPRISE I Função Polinomial do 2º Grau APOSTILA 05http://professorgiancarlo.blogspot.com 1111 DEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃO Toda função : → tal que , com , , ∈ e 0 é chamada função polinomial do 2° grau. Exemplo 1 2 1, onde, 1, 2, 1; 2 4 , onde, 2, 4, 0. 2222 RAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃO Chamamos de raízes, ou zeros, da função polinomial do 2° grau os valores de para os quais a função se anula, ou seja, 0. Para determinar as raízes de uma função polinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de Bhaskara. Fórmulas ∆ 4 ∙ ∙ √∆ 2 ∙ Exemplo 2 Determinar as raízes da função 4 3. A quantidade de raízes reais de uma função do 2° grau depende do valor do discriminante ∆ obtido: Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais e diferentes; Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais e iguais; Quando ∆ 0, a equação não terá raízes reais, mas sim raiz complexa, o que veremos nas próximas aulas. 3333 GRÁFICOSGRÁFICOSGRÁFICOSGRÁFICOS De acordo com as características dos gráficos das funções quadráticas, podemos organizar o quadro a seguir. Exemplo 3 Determine a concavidade das funções: a) 3 2 b) 3 4 12 4444 VÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLA Quando uma parábola tem concavidade voltada para baixo, ela tem um ponto de máximo . Quando a parábola tem concavidade voltada para cima, ela tem um ponto de mínimo . Fórmulas As coordenadas do vértice , de uma parábola podem ser determinadas pelas relações abaixo: 2 ! ∆ 4 Exemplo 4 Determinar as coordenadas dos vértices das funções: a) 4 3 b) 3 2 5555 ESTUDO DO SINALESTUDO DO SINALESTUDO DO SINALESTUDO DO SINAL Estudar o sinal de uma função quadrática, definida por " # $#% &# ', consiste em determinar os valores reais de # para os quais ( é negativo e os valores de # para os quais ( é positivo. De acordo com o valor do discriminante ∆ da equação " # $#% &# ', temos 3 casos a considerar: ∆ ), intervalos positivos, intervalos negativos e duas raízes reais. ∆ ), intervalos apenas positivos ou apenas negativos e uma raiz real. ∆ ), intervalos apenas positivos ou apenas negativos. Não existem raízes reais. Exemplo 5 Faça o estudo do sinal das funções quadráticas a seguir. a) 6 5 b) 4 4 c) 2 5 3 d) 2 3
  • 2. 02PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com MATEMÁTICA I ProfProfProfProf.... GiancarloGiancarloGiancarloGiancarlo –––– PRISE IPRISE IPRISE IPRISE I Função Polinomial do 2º Grau APOSTILA 05http://professorgiancarlo.blogspot.com Questão 1 Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo: a) 6 5 b) 3 6 c) 2 Questão 2 Determine as raízes das funções abaixo: a) 3 7 2 b) 3 6 c) 5 7 Questão 3 Uma das raízes da equação - 3 0 é igual a 2. a) Qual é o valor de p? b) Qual é a outra raiz que essa equação possui? Questão 4 (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura . (em metros) dada em função do tempo / (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula . 5/ 20/. Qual é a altura máxima atingida pela bola. Questão 5 (UnB-DF) O esboço do gráfico da função " # #% 0 é: a) c) b) d) Questão 6 (FESP) Considere a função quadrática: " # 1 0 #% 2# 2. a) Para que valores de m o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo? b) Para que valo de m o gráfico da função tangencia o eixo das abscissas? Questão 7 (UF-MG) considere a equação: 3#% 04# 567 % 00% O número de raízes reais distintas dessa equação é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Questão 8 (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se representada a curva descrita por um projétil, desde o seu lançamento (ponto A) até que atinja o solo (ponto B). Se a curva descrita é a parábola de equação ( %#% 8#, qual é à distância AB, em metros? Questão 9 Utilizando a equação de queda livre dos corpos fornecida por Galileu e conhecendo-se a velocidade média do som no ar, é possível determinar quanto tempo demora para se ouvir uma pedra atingindo o fundo de um poço desde o instante em que ela é largada. A equação que traduz o modelo matemático para essa situação é: Tempo de queda da pedra + tempo do som retornar = Tempo decorrido entre o instante em que a pedra é largada e aquele em que se ouve o som dela atingindo o fundo do poço. Desprezando a resistência do ar, o tempo de queda da pedra é dada pela equação 9 : ∙ ;% % e o tempo do som retornar, pela equação ; 9 5%) onde: < 10=/? é a aceleração da gravidade; 320=/? é a velocidade do som no ar e @ é a profundidade do poço. Supondo que um poço esteja vazio e tenha profundidade de 80=, depois de quanto tempo após uma pedra ser largada é possível ouvir o som dela ao atingir o chão? Questão 10 Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção expele para fora de sua cratera uma pedra incandescente localizada 100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a pedra demora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros e que sua trajetória é uma parábola, podemos afirmar que a pedra demora: a) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t 2 - 10t – 200. b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = -2t 2 + 20t + 150. c) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = -t 2 + 20t – 20. d) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = -5t 2 +100t – 100. e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t 2 - 20t + 51. Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS. (Autor desconhecido)