La transformada de Laplace es un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante su conversión en ecuaciones algebraicas. El documento presenta la resolución de la ecuación diferencial y" − 2y' − 3y = 1 aplicando la transformada de Laplace. Tras aplicar la transformada y resolver la ecuación algebraica resultante mediante fracciones parciales, la solución de la ecuación diferencial original es y(t) = -1/3e^{3t} + 1/12 + 5/4e^{-t}.

1. TECNOLOGÍAS DE LA PRODUCCIÓN
MATEMÁTICAS AVANZADAS II
LIC. GERARDO EDGAR MATA ORTIZ
Ecuaciones diferenciales por la transformada de
Laplace
Itzel Joselinn Flores Luna
Anahi Geraldine Daza Zamora.
𝐿 𝑒 𝑎𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐿{𝑓(𝑡)} 𝑠→𝑠−𝑎

2. La Transformada de Laplace es un método operacional que
puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas
de una variable compleja s.
Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la
solución de la ecuación diferencial (Transformada inversa de
Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien
mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.
𝑦" − 2𝑦´ − 3𝑦 = 1

3. EJERCICIO
Resolver la siguiente ecuación diferencial
por el método de transformada de Laplace
Con las siguientes condiciones
y
𝑦" − 2𝑦´ − 3𝑦 = 1
𝑦 0 = 1 𝑦´ 0 = −1

4. Aplicamos la transformada de Laplace en ambos miembros de nuestra ecuación:
Multiplicamos la L por los términos que están dentro del paréntesis y lo mismo
después del igual:
Después aplicaremos el teorema de la transformada de la derivada, existen unas
formulas ya establecida que en este caso usaremos:
𝐿 𝑦" − 2𝑦´ − 3𝑦 = 𝐿{1}
𝐿 𝑦"} − 2𝐿{𝑦´} − 3𝐿{𝑦 = 𝐿{1}
𝐿 𝑦´ = 𝑠𝑦 𝑠 − 𝑦(0)
𝐿 𝑦" = 𝑠2
𝑦 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦´(0)
𝐿 𝑦´´´ = 𝑠3
𝑦 𝑠 − 𝑠2
𝑦 𝑠 − 𝑠𝑦´ 0 − 𝑦(0)"

5. Entonces nos quedara de la siguiente manera:
Sustituimos nuestra ecuación con las formulas y reemplazamos los términos por las
condiciones que teníamos al principio:
Nota:
También resolvemos de una vez la
transformada de 1, para comenzar a
simplificar nuestros términos. La puedes
resolver con ayuda de tablas o en la
siguiente diapositiva se explica como
hacerla.
𝐿 𝑦´} = 𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦{0 = 𝑠𝐿 𝑦 − 1
𝐿 𝑦"} = 𝑠2
𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦{0 − 𝑦´ 0 = 𝑠2
𝐿 𝑦 − 𝑠 1 − (−1)
𝑠2 𝐿 𝑦 𝑡 − 𝑠 + 1 − 2 𝑠𝐿 𝑦 − 1 − 3𝐿{𝑦} =
1
𝑠

6. 𝐿 𝑓 𝑡 =
0
∞
𝑒
− 𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝐿 𝑓 1 =
0
∞
𝑒
− 𝑠𝑡 𝑓(1) 𝑑𝑡
Fórmula de integración
𝑒 𝑣 𝑑𝑣= 𝑒 𝑣 + C
V= -st
dv= -s dt
𝐿 𝑓 1 = lim
𝑏→∞
−
1
𝑠
𝑒
− 𝑠𝑡
𝑏
0
𝐿 𝑓 1 = lim
𝑏→∞
−
1
𝑠
𝑒
− 𝑠(∞)
− −
1
𝑠
𝑒
− 𝑠(0)
𝐿 𝑓 1 = −
1
𝑠
𝑒
− 𝑠(∞)
+
1
𝑠
𝑒
− 𝑠(0)
𝐿 𝑓 1 =
𝟏
𝒔
Como realizar la transformada de Laplace sin ayuda de
tablas

7. Seguimos simplificando y el termino que esta multiplicando lo pasamos de otro lado
del igual dividiendo:
Obtenemos una ecuación algebraica, hacemos la suma de fracciones y factorizamos
el denominador y nos queda así:
Aplicamos el método de fracciones parciales
𝐿 𝑦 𝑠2
− 2𝑠 − 3 =
1
𝑠
+ 𝑠 − 3
𝐿 𝑦 𝑡 =
1
𝑠
+ 𝑠 − 3
𝑠2 − 2𝑠 − 3
=
1 + 𝑠2 − 3𝑠
𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1)
𝑠2
− 3𝑠 + 1
𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 − 3
+
𝐶
𝑠 + 1
Agrupamos nuestros términos similares, factorizamos los iguales y los demás los
simplificamos lo más que se pueda:
𝑠2
− 2𝑠 − 3 𝐿 𝑦 𝑡 =
1
𝑡
+ 𝑠 − 1 − 2 =
1
𝑠
+ 𝑠 − 3

8. Para resolver fracciones parciales, lo primero que debemos hacer es tratar
de suponer cuantos términos tenemos y lo podemos saber con los
miembros factorizados que tiene el denominador:
Hacemos la suma de fracciones:
𝐴 𝑠2 − 2𝑠 − 3 + 𝐵 𝑠2 + 𝑠 + 𝑐(𝑠2 − 3𝑠)
𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1)
Asignamos valores y reemplazamos donde haya “s”, es recomendable
empezar con 0. Esto es para averiguar el valor de A.
(0)2 − 3(0) + 1 = 𝐴 02 − 2 0 − 3 + 𝐵 02 + 0 + 𝐶(02 − 3(0))
A=-1/3
𝑠2 − 3𝑠 + 1
𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 − 3
+
𝐶
𝑠 + 1
𝑠2
− 3𝑠 + 1
𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1)
=

9. Asignamos otro valor, por ejemplo el 1. En este caso podremos eliminar A
porque ya sabemos que su valor es -1/3, y quedas así:
(1)2 − 3(1) + 1 = 𝐴 12 − 2 1 − 3 + 𝐵 12 + 1 + 𝐶(02 − 3(0))
2B-2C= -7/3
Volvemos asignar valores para poder resolver el sistema de 2x2 ecuaciones
para obtener los valores de “B” y “C”.
(2)2 − 3(2) + 1 = 𝐴 22 − 2 2 − 3 + 𝐵 22 + 2 + 𝐶(22 − 3(2))
6B-2C= -2
Ahora si podemos resolverlo estas dos ecuaciones por diferentes métodos, a
nuestro parecer es más fácil por reducción.
2B-2C= -7/3 2B-2C= -7/3
(-)6B-2C= -2 -6B+2C= 2
B = 1/12

10. Finalmente obtenemos C sustituyendo en cualquiera de nuestras 2
ecuaciones bases (2x2)
2B-2C= -7/3
-2 C= (-7/3) - 2(1/12
C= 5/4
Acomodamos nuestra ecuación con los valores que ya obtuvimos
anteriormente:
𝑠2
− 3𝑠 + 1
𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 − 3
+
𝐶
(𝑠 + 1)
𝑠2 − 3𝑠 + 1
𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1)
= −
1
3
●
1
𝑠
+
1
12
●
1
𝑠 − 3
+
5
4
●
1
(𝑠 + 1)

11. Para finalizar la resolución de nuestra ecuación diferencial, solo falta
aplicar la transformada inversa. En este caso podemos ayudarnos de unas
tabla que existe con las transformadas más comunes.

12. Aplicamos la transformada inversa:
Y por lo tanto la solución es:
𝑦 𝑡 = 𝐿−1 𝐿 𝑦 𝑡 = −
1
3
𝐿−1
1
𝑠
+
1
12
𝐿−1
1
𝑠 − 3
+
5
4
𝐿−1
1
𝑠 + 1
𝑦 𝑡 = −
1
3
+
1
12
𝑒3𝑡
+
5
4
𝑒−𝑡