w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
Pergunta:
         1 é igual a 2?



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Para começar, todos concordamos
        que 0 é igual a 0.

                 0 = 0


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Vamos representar a igualdade
  0 = 0 através de subtrações
( 2 − 2 e 4 − 4 , por exemplo)

         2 − 2 = 4 − 4


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Agora, mexemos mais um pouquinho
nessa sentença. Podem ver que ela
        ainda é verdadeira!

      12 − 2 = 22 − 2
...
Usando mais uma vez as
propriedades matemáticas, podemos
“eliminar” os elementos equivalentes
     ( 2 − 2 ) dos dois lado...
Pára tudo: é verdade, 1 é igual a 2!




    w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
Vamos tentar novamente. Dessa vez
 usaremos uma matemática mais …
             elegante.


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Considere dois números a e b ,
   reais e diferentes de zero.

           Suponha que:

                 a = b
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Multiplique os dois lados da
     igualdade por a .

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            a = ab
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Agora vamos subtrair b 2 nos dois
       lados da igualdade.
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       a − b = ab − b...
Fatore cada uma das expressões:
  2       2
 a − b vira a  ba − b
    (diferença de quadrados) e
            2
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a  ba − b = b a − b




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Divida ambos os lados da igualdade
          por a − b .

              a  b = b


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No início da demonstração
supomos que a = b , então
    substitua a por b .

           b  b = b
             2b = b
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Divida ambos os lados da igualdade
 por b para chegar novamente a
     este absurdo matemático.

         2 = 1 ou 1 = 2

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Tudo muito bom, tudo muito bem.
Mas essas demonstrações estão …

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ABSURDOS DA MATEMÁTICA: 1 é igual 2?

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Absurdo da Matemática. Absurdos matemáticos. O Geômetras vai provar que 1 é igual a 2. É claro que isso é um absurdo, mas a brincadeira é bem interessante. Geômetras. 1 é igual a 2? 2 é igual a 1? Geômetras, o blog da Matemática.

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ABSURDOS DA MATEMÁTICA: 1 é igual 2?

  1. 1. w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  2. 2. Pergunta: 1 é igual a 2? w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  3. 3. Para começar, todos concordamos que 0 é igual a 0. 0 = 0 w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  4. 4. Vamos representar a igualdade 0 = 0 através de subtrações ( 2 − 2 e 4 − 4 , por exemplo) 2 − 2 = 4 − 4 w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  5. 5. Agora, mexemos mais um pouquinho nessa sentença. Podem ver que ela ainda é verdadeira! 12 − 2 = 22 − 2 w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  6. 6. Usando mais uma vez as propriedades matemáticas, podemos “eliminar” os elementos equivalentes ( 2 − 2 ) dos dois lados da igualdade. 1 = 2 w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  7. 7. Pára tudo: é verdade, 1 é igual a 2! w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  8. 8. Vamos tentar novamente. Dessa vez usaremos uma matemática mais … elegante. w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  9. 9. Considere dois números a e b , reais e diferentes de zero. Suponha que: a = b w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  10. 10. Multiplique os dois lados da igualdade por a . a . a = a . b 2 a = ab w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  11. 11. Agora vamos subtrair b 2 nos dois lados da igualdade. 2 2 2 a − b = ab − b w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  12. 12. Fatore cada uma das expressões: 2 2 a − b vira a  ba − b (diferença de quadrados) e 2 ab − b se transforma em b a − b (fator comum). w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  13. 13. a  ba − b = b a − b w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  14. 14. Divida ambos os lados da igualdade por a − b . a  b = b w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  15. 15. No início da demonstração supomos que a = b , então substitua a por b . b  b = b 2b = b w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  16. 16. Divida ambos os lados da igualdade por b para chegar novamente a este absurdo matemático. 2 = 1 ou 1 = 2 w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  17. 17. Tudo muito bom, tudo muito bem. Mas essas demonstrações estão … erradas! w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  18. 18. Na matemática mais elementar, não há divisão por zero. Desde pequenos aprendemos isso. Na primeira demonstração não poderíamos eliminar 2 − 2 da igualdade. w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  19. 19. Já na segunda demonstração, dividir ambos os lados da igualdade por a − b nos levou ao absurdo resultado (se a = b , então a − b é igual a zero). w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r
  20. 20. Existem mais desses absurdos matemáticos e em breve estaremos colocando-os no site. w w w . g e o m e t r a s . c o m . b r

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