Matrices, opérations élémentaires (addition, produit, transposition), déterminant, inverse, méthodes d'inversion, lien avec les systèmes d'équations linéaires, résolution des systèmes d'équations linéaires, système de Cramer

1. MA3 (GEII - S3)
D - MATRICES
frederic.nicolier@univ-reims.fr
2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes

2. PLAN
1. NOTION DE MATRICE
1.1 Définition
1.2 Matrices élémentaires
2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.1 Addition
2.2 Multiplication par un scalaire
2.3 Transposition
2.4 Produit matriciel
3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.1 Définition
3.2 Existence
3.3 Déterminant
3.4 Inversion d’une matrice
4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
4.1 Système de Cramer

3. 1. NOTION DE MATRICE
1.1 DÉFINITION :
Soit deux espaces vectoriels E et F, avec
dim E = p (1)
dim F = n. (2)
Si f est une application linéaire de E dans F, il est possible de
caractériser f par un jeu de coefficients que l’on place dans un
tableau de n lignes et p colonnes : la matrice de f .
REMARQUE
Si M est la matrice de f , on écrit M 2Mn,p pour indiquer que
c’est une matrice de n lignes et p colonnes. On note (ai,j) son
terme général.
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4. 1. NOTION DE MATRICE
1.1 DÉFINITION : CONSTRUCTION D’UNE MATRICE
DÉFINITION
Si (
!e
j )1jp est une base de E, la matrice de f est obtenue en
rangeant en colonnes les composants de f (
!e
j )
EXEMPLE
Matrice d’une rotation de centre O dans la base (
!i
,
!j
)
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5. 1. NOTION DE MATRICE
1.2 MATRICES ÉLÉMENTAIRES :
I matrice ligne (ie vecteur ligne),
I matrice colonne (ie vecteur colonne),
I matrice carrée,
I matrices diagonales,
I matrice nulle 0,
I matrice identité I.
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6. PLAN
1. NOTION DE MATRICE
1.1 Définition
1.2 Matrices élémentaires
2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.1 Addition
2.2 Multiplication par un scalaire
2.3 Transposition
2.4 Produit matriciel
3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.1 Définition
3.2 Existence
3.3 Déterminant
3.4 Inversion d’une matrice
4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
4.1 Système de Cramer

7. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.1 ADDITION :
DÉFINITION
Soient A et B sont deux matrices deMn,p, la somme A + B est
une matrice deMn,p de terme général (ai,j + bi,j).
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8. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.2 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE :
DÉFINITION
Soit A 2Mn,p et a 2 C, le produit aA est une matrice deMn,p
de terme général (aai,j).
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9. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.3 TRANSPOSITION :
DÉFINITION
Soit A 2Mn,p, sa transposée At est la matrice deMp,n, de
terme général (aj,i).
REMARQUE
Une matrice carrée est symétrique si A = At.
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10. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.4 PRODUIT MATRICIEL :
Soient A et B deux matrices, on souhaite définir le produit AB.
DÉFINITION
Soient A = (ai,j) 2Mn,p et B = (bi,j) 2Mp,q, le produit AB est
la matrice deMn,q de terme général
på
k=1
ai,kbk,j. (3)
REMARQUE
Le calcul est aisé en disposant les matrices A et B en quinconce.
REMARQUE
Le produit AB n’est défini que si : nb colA = nb ligB.
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11. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.4 PRODUIT MATRICIEL : PROPRIÉTÉS
Le produit matriciel
I n’est pas commutatif ;
I est associatif et distributif.
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12. PLAN
1. NOTION DE MATRICE
1.1 Définition
1.2 Matrices élémentaires
2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.1 Addition
2.2 Multiplication par un scalaire
2.3 Transposition
2.4 Produit matriciel
3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.1 Définition
3.2 Existence
3.3 Déterminant
3.4 Inversion d’une matrice
4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
4.1 Système de Cramer

13. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.1 DÉFINITION :
Si f est l’application linaire sous-jacente à une matrice M, alors
et si elle existe, la matrice associées à la fonction f1 est la
matrice inverse de M.
DÉFINITION
On appelle inverse de A, si elle existe, la matrice notée A1
telle que
A.A1 = A1A = I (4)
(I étant la matrice identité).
REMARQUE
Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.
EXEMPLE
Inverse d’un produit.
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14. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.2 EXISTENCE :
Cherchons à calculer l’inverse de
A =
0
@
1 0 1
2 3 5
1 1 4
1
A. (5)
Pour cela :
I cherchons à résoudre le système d’équations représenté
par AX = Y avec X =
0
@
xyz
1
A et Y =
0
@
abc
1
A.
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15. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.2 EXISTENCE :
On obtient
A1 =
1
12
0
@
7 1 3
13 5 3
5 1 3
1
A. (6)
REMARQUE
Il est possible de vérifier que AA1 = A1A =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A.
REMARQUE
Le nombre 12 qui apparait au dénominateur du terme en
facteur est important : il s’agit du déterminant de A. Il permet
de déterminer si A est inversible ou non.
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16. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.3 DÉTERMINANT :
Formellement, le déterminant est obtenu de la façon suivante.
DÉFINITION
Soit A une matrice carrée deMn,n, de terme général (ai,j). Son
déterminant, noté jAj ou detA est le nombre
jAj = å
p2P
e(p)a1,p1)a2,p(2) . . . an,p(n), (7)
P étant l’ensemble des permutations possibles des n indices (au
nombre de n!) et e(p) la parité d’une permutation (définie à
partir de l’ordre des indices).
EXEMPLE
Déterminant de matrices 2 2 et 3 3.
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17. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.3 DÉTERMINANT : CALCUL PRATIQUE
Pratiquement, on calcule le déterminant selon d’autres
méthodes :
I développement par rapport à une rangée,
I simplification du déterminant par des opérations sur les
lignes et les colonnes,
I en se ramenant à une matrice triangulaire.
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18. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.3 DÉTERMINANT : DÉVELOPPEMENT PAR RAPPORT
À UNE RANGÉE
Soient une matrice A = (ai,j).
I Le mineur du terme ai,j est le déterminant noté Di,j, obtenu
en supprimant la ligne i et la colonne j.
I Le cofacteur du terme ai,j est la quantité (1)i+jDi,j.
DÉFINITION
Le déterminant jAj est alors égal à la somme des produits de
chacun des éléments d’une rangée (ligne ou colonne) par leur
cofacteurs respectifs :
jAj =åi
(1)i+jDi,jai,j (8)
=åj
(1)i+jDi,jai,j (9)
(i et j sont à choisir librement).
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19. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.3 DÉTERMINANT :
EXEMPLE
Calculons

25. 2 1 2
4 3 1
2 6 5

31. en développant par rapport à la
seconde colonne.
REMARQUE
Il vaut mieux choisir une rangée simple (comportant des 0).
REMARQUE
Il est possible (et conseillé) de faire apparaitre des zéros dans
une rangée en ajoutant à une rangée une combinaison linéaire
des rangées parallèles. C’est une opération qui conserve le
déterminant.
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32. 3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.4 INVERSION D’UNE MATRICE : DÉTERMINANT DE
L’INVERSE
On montre aisément que
detA1 =
1
detA
. (10)
REMARQUE
Une matrice carrée n’est inversible que si son déterminant est
nul.
DÉFINITION
L’inverse de A, s’il existe, est donné par
A1 =
1
A
(comA)t. (11)
I comA est la comatrice (ou matrice adjointe) de A, obtenue
en remplaçant chaque terme par son cofacteur.
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33. PLAN
1. NOTION DE MATRICE
1.1 Définition
1.2 Matrices élémentaires
2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.1 Addition
2.2 Multiplication par un scalaire
2.3 Transposition
2.4 Produit matriciel
3. INVERSE D’UNE MATRICE
3.1 Définition
3.2 Existence
3.3 Déterminant
3.4 Inversion d’une matrice
4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
4.1 Système de Cramer

34. 4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
4.1 SYSTÈME DE CRAMER :
DÉFINITION
Un système de Cramer est un système de n équations à n
inconnues, admettant une solution unique.
THÉORÈME
Un système de Cramer admet la solution unique (x1, x2, . . . , xn)
donnée par
xi =
Di
D
, (12)
D étant le déterminant de la matrice des coefficients du système et Di
le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la colonne i par le
vecteur colonne des seconds membres des équations.
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35. 4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
4.1 SYSTÈME DE CRAMER : RÉSOLUTION MATRICIELLE
En écrivant le système
AX = B, (13)
une résolution matricielle est toujours envisageable (si l’inverse
existe) :
X = A1B. (14)
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