El documento describe la ley de Biot-Savart, que proporciona una expresión matemática para el campo magnético en un punto debido a una corriente eléctrica. El campo magnético depende de factores como la distancia al elemento de corriente, la magnitud de la corriente y el ángulo entre el elemento de corriente y la línea que une este punto con el punto de interés. También se discuten aplicaciones como el campo magnético producido por un lazo de corriente circular.

2. Biot y Savart llegaron a una expresión matemática que proporciona el
campo magnético en algún punto en el espacio en términos de la corriente
que produce el campo. He aquí algunas observaciones:
•El vector dB es perpendicular tanto a ds como al vector unitario r dirigido de
ds a P.
•La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2
, donde r es la distancia
desde ds hasta P.
•La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds del
elemento de longitud ds.
•La magnitud de dB es proporcional a senθ, donde θ es el angulo entre los
vectores ds y unitario r.

3. La ley de Biot-Savart
2
ˆ
4 r
rsId
Bd o ×
=

π
µ
µo: permeabilidad del espacio libre
A
mT
o
⋅
×= −7
104πµ

4. Una trayectoria de corriente de la forma mostrada en la figura produce un
campo magnético en P, el centro del arco. Si el arco subtiende un ángulo de
30.0º y el radio del arco es de 6.00 m, ¿cuáles son la magnitud y dirección del
campo producido en P si la corriente es de 3.00 A.
A
C
dsr
2
0
ˆ
4 r
rsId
Bd
×
=

π
µ dsrsd =× ˆ

2
0
4 R
dsI
dB
π
µ
=
s
R
I
ds
R
I
dB 2
0
2
0
44 π
µ
π
µ
∫ == ( )θ
π
µ
R
R
I
dB 2
0
4
=
páginala
deadentrohaciaesBdedirecciónLa
4
0
θ
π
µ
R
I
B =
R

5. )cos(cos
4
21 θθ
π
µ
−=
a
I
B o
Si tenemos un alambre infinito recto: θ1 = 0 y θ2 = π.
a
I
B o
π
µ
2
=
Campo magnético alrededor de un conductor recto delgado
VER ANIMACION

6. Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular
222
4
ˆ
4 ax
dsI
r
rsdI
dB oo
+
=
×
=
π
µ
π
µ

0=∫= yy dBB
∫=∫ −=∫= θθ dBsendBdBB xx )90cos(
∫ 





+






+
= 2222
4 ax
a
ax
dsI
B o
π
µ
( ) ∫
+
= ds
ax
Ia
B o
2/322
4π
µ
( ) 2/322
2
2 ax
Ia
B o
+
=
µ
∫ = ads π2donde

7. Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular
( ) 2/322
2
2 ax
Ia
B o
+
=
µ
En el centro del lazo (x = 0):
a
I
B o
2
µ
=
En puntos muy lejanos (x >> a):
3
2 x
B o µ
π
µ
=

8. Un conductor consiste de una espira circular de radio R = 0.100 m y de dos
largas secciones rectas, como se muestra en la figura. El alambre yace en el
plano del papel y conduce una corriente I = 7.00 A. Determine la magnitud y
dirección del campo magnético en el centro de la espira.
El campo en el centro es la
superposición de un largo
alambre y de un círculo.
R
I
R
I
B
22
00 µ
π
µ
+=






+=
π
µ 1
1
2
0
R
I
B 





+
×
××
=
−
π
π 1
1
100.02
00.7104 7
B
TB 5
108.5 −
×=

9. Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Dos alambres que conducen corriente ejercen fuerzas magnéticas entre sí.
La dirección de la fuerza depende de la dirección de la corriente.
121 LBIF =
d
I
B
π
µ
2
10
1 =
d
LII
F
π
µ
2
210
1 =
212 LBIF =
d
I
B
π
µ
2
20
2 =
d
LII
F
π
µ
2
210
2 =

10. Conductores paralelos que conducen corriente en la misma dirección se atraen
entre sí, en tanto que conductores paralelos que conducen corriente en
direcciones opuestas se repelen entre sí.
Si un conductor conduce una corriente estable de 1 A, entonces la
cantidad de carga que fluye por sección transversal del conductor
en 1 s es 1 C.

11. a
b
c

12. Los tramos horizontales de la espira y el alambre recto y muy largo forman una
configuración de alambres paralelos, en consecuencia la fuerza resultante sobre la
espira será:






−=
−=
ba
cII
F
c
b
II
c
a
II
F
11
2
22
210
210210
π
µ
π
µ
π
µ
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan.
a
b
c

13. En la figura la corriente en el largo alambre recto es I1 = 5.00 A y el alambre
se ubica en el plano de la espira rectangular, la cual conduce 10.0 A. Las
dimensiones son c = 0.100 m, a = 0.150 m y l = 0.450 m. Determine la
magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida sobre la espira por el campo
magnético creado por el alambre.
d
lII
F
π
µ
2
210
=
F1
F2
c
lII
F
π
µ
2
210
1 =
( )ca
lII
F
+
=
π
µ
2
210
2
21 FFF −= 





+
−=
cac
lII
F
11
2
210
π
µ






+
−
××××
=
−
100.0150.0
1
100.0
1
2
450.000.1000.5104 7
π
π
F
izquierda.lahaciadirigido107.2 5
NF −
×=

14. LEY DE AMPERE
La integral de línea de B·ds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual
a µ0I, donde I es la corriente estable total que pasa a través de cualquier
superficie delimitada por la trayectoria cerrada.
IsdB 0µ=∫ ⋅

IaB 0)2( µπ ==
a
I
B
π
µ
2
0
=

15. EL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN
LARGO ALAMBRE QUE CONDUCELARGO ALAMBRE QUE CONDUCE
CORRIENTECORRIENTE

16. 00)2( IrBdsBd µπ∫ ∫ ===⋅ sB
)(para
2
00
Rr
r
I
B ≥=
π
µ
I0µ
•Un largo alambre recto de radio R conduce una corriente estable que está
distribuida de manera uniforme a través de la sección transversal del
alambre. Calcule el campo magnético a una distancia r del centro del
alambre en las regiones r > R y r < R.

17. 2
2
0 R
r
I
I
π
π
=
02
2
I
R
r
I =
( ) 





===⋅∫ 02
2
002 I
R
r
IrBd µµπsB
)(para
2 2
00
Rr
R
rI
B <=
π
µ

18. Fuera del toroide (r<R):
00 ==∫ ⋅ IsdB µ
0=BDentro del toroide:
BsdsBBdssdB =∫=∫=∫ ⋅

NIrB 02 µπ =
r
NI
B
π
µ
2
0
=
Fuera del toroide (r>R):
00 ==∫ ⋅ IsdB µ
0=B

19. ( ) ( )





−×=×= k
x
I
idxIBsdIFd B
ˆ
2
ˆ 10
22
π
µ

20. Si suponemos que el solenoide
es muy largo comparado con el
radio de sus espiras, el campo
es aproximadamente uniforme y
paralelo al eje en el interior del
solenoide y es nulo fuera del
solenoide.
BxdlBBdlldB BCBC =∫=∫=∫ ⋅

NIBx 0µ=
x
NI
B 0µ
=
nIB 0µ=

21. Campo magnético producido por un solenoide en un punto de su eje:
( )
ndx
ax
Ia
dB o
2/322
2
2 +
=
µ
θθ tantan xa
x
a
=⇒= θ
θ 2
2
cos
1
tan1 =+
∫ −=
2
1
2
θ
θ
θθ
µ
dsen
nI
B o
)cos(cos
2
12 θθ
µ
−=
nI
B o
DEBER

22. En el punto medio del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo
comparado con a:
nIB oµ=
En el punto extremo del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo
comparado con a:
nIB oµ2
1
=

23. Vector de magnetización e intensidad de campo magnético
El estado magnético de una sustancia se describe por medio de una cantidad
denominada vector de magnetización M, cuya magnitud se define como el
momento magnético por unidad de volumen de la sustancia.
MBB 0ext

µ+=
El campo magnético total en un punto en una sustancia depende tanto del
campo externo aplicado como de la magnetización de la sustancia.
La intensidad de campo magnético H de una sustancia representa el efecto
de la corriente de conducción en alambres sobre una sustancia (Bext =µ0H)
)MH(B 0

+µ=

24. Clasificación de sustancias magnéticas
Ferromagnetismo
Son sustancias cristalinas cuyos átomos tienen momentos magnéticos
permanentes que muestran intensos efectos magnéticos.
Todos los materiales ferromagnéticos están constituidos con regiones
microscópicas llamadas dominios. Ejemplos: hierro, cobalto, níquel.

25. Si sobre un material ferromagnético se aplica una corriente, la magnitud del
campo magnético H aumenta linealmente con I.
La curva B versus H se denomina curva de magnetización:
Este efecto se conoce como histéresis magnética.
La forma y tamaño de la histéresis dependen de las propiedades de la
sustancia ferromagnética y de la intensidad del campo aplicado.
La histéresis para materiales ferromagnéticos “duros” es característicamente
ancha, lo que corresponde a una gran magnetización remanente.
El área encerrada por la curva de magnetización representa el trabajo
requerido para llevar al material por el ciclo de histéresis.

26. Paramagnetismo y diamagnetismo
Al igual que los ferromagnéticos, los materiales paramagnéticos están
hechos de átomos que tienen momentos magnéticos permanentes, mientras
que los diamagnéticos carecen de ellos.
Aluminio, calcio, cromo son ejemplos de sustancias paramagnéticas mientras
que el cobre, oro y plomo son ejemplos de sustancias diamagnéticas.
Para las sustancias paramagnéticas y diamagnéticas, el vector de
magnetización M es proporcional a la intensidad de campo magnético H:
HM

χ=
Donde χ es un factor adimensional llamado susceptibilidad magnética.
Para sustancias paramagnéticas χ es positiva y para sustancias
diamagnéticas χ es negativa.

27. sea nulo?
7. Dos hilos conductores rectilíneos y paralelos están separados entre sí por 10
cm, y uno de ellos está recorrido por una corriente de 6 A dirigida de arriba hacia
abajo, tal y como se indica en la figura. ¿Cuál ha de ser la intensidad y dirección
de la corriente en el otro hilo para que el campo magnético en el punto A sea nulo?
contrariosentidodeAI
II
II oo
23/6
15
5
)5(2)510(2
2
12
21
==
=⇒
=
+ π
µ
π
µ

28. FLUJO MAGNETICO
El flujo magnético a través del
plano es cero cuando el campo
magnético es paralelo a la
superficie del plano.
El flujo a través
del plano es un
máximo cuando el
campo magnético
es perpendicular
al plano.

29. Un lazo rectangular de ancho a y longitud b está colocado cerca de un alambre
largo que lleva una corriente I. La distancia entre el alambre y el lado más
cercano del lazo es c. El alambre es paralelo al lado largo del lazo. Calcule el
flujo magnético total a través del lazo debido a la corriente en el alambre.

30. LEY DE GAUSS EN EL MAGNETISMO
A diferencia del flujo eléctrico que se refiere a cargas encerradas dentro de una
superficie cerrada, el flujo magnético es cero porque las líneas de campo
magnético no comienzan o terminan en un punto. El número de líneas que
entran a una superficie es igual al número de líneas que salen de ella.
Las líneas de campo magnético de un imán de barra forman
lazos cerrados. Note que el flujo magnético a través de una
superficie cerrada que rodea uno de los polos (o cualquier
otra superficie) es cero.

31. Corriente de desplazamiento y la forma
general de la ley de Ampère
IsdB 0µ=⋅∫

Se va a mostrar que la ley de Ampere en esta forma sólo es válida si
cualquier campo eléctrico presente es constante en el tiempo. Maxwell fue
quien reconoció esta limitación y modificó la ley de Ampere para incluir
campos eléctricos que varían con el tiempo.

32. IsdB 0µ=⋅∫

Los campos magnéticos son producidos
tanto por campos eléctricos constantes
como por campos eléctricos que varían
con el tiempo.
La ley de Ampere de la forma anterior sólo
es válida si el campo eléctrico es constante
en el tiempo.
)II(sdB d0 +µ=⋅∫

dt
d
I E
0d
Φ
ε=
Se debe aclarar que la expresión anterior sólo es válida en el vacío. Si un
material magnético está presente, se debe utilizar la permeabilidad y la
permitividad características del material.
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

33. SOLUCION
( ) tsentsenVV 4
max 1088.10.30 ×==∆ ω
( ) ( ) ( )[ ]tsenV
dt
d
FId
46
1088.10.301000.8 ××= −
( ) ( )tAId
4
1088.1cos51.4 ×=

35. Determine el campo magnético en un punto P ubicado a una distancia x de la
esquina de un alambre largo infinito doblado en ángulo recto, como se muestra
en la figura. El alambre tiene una corriente estable I
Para el brazo 2, el alambre sólo es semi-infinito, por lo tanto:
papel.delplanoalentrando
422
1 00
x
I
x
I
B
π
µ
π
µ
=





=
)cos(cos
4
21 θθ
π
µ
−=
a
I
B o

36. (a) Un conductor tiene la forma de un lazo cuadrado de 0,400 m de lado y
conduce una corriente I = 10 A como en la figura. Calcule la magnitud y
dirección del campo magnético en el centro del cuadrado.
(b) Si este conductor se forma como una espira de una sola vuelta y conduce la
misma corriente, ¿cuál es el valor del campo magnético en el centro?
Para una espira circular de una sola vuelta:
π
π
l
RRl
4
224 =⇒=
)cos(cos
4
21 θθ
π
µ
−=
a
I
B o

37. Un conductor cilíndrico largo de radio R conduce una corriente I como se
muestra en la figura. La densidad de corriente es J, sin embargo, no es uniforme
sobre la sección transversal del conductor pero es una función del radio de
acuerdo a J = br, donde b es una constante. Encuentre una expresión para el
campo magnético B:
a)a una distancia r1 < R y
b)a una distancia r2 > R, medida desde el eje
Usando la densidad de corriente, se convierte
en:
∫ ∫ ⋅=⋅ AdJsdB

0µ
∫ =⋅ IsdB 0µ

Para r<R:( ) ( )( )
3
22
2
1
0
0
01
1
r
bBrdrbrrB
r
µπµπ =⇒= ∫
Para r>R:( ) ( )( ) ( ) ∫∫ =⇒=
RR
drrbrBrdrbrrB
0
2
02
0
02 2222 µπππµπ
2
3
0
3r
bR
B
µ
=

38. ¿Qué corriente se requiere en los devanados de un solenoide largo que tiene
1000 vueltas uniformemente distribuidas sobre una longitud de 0.400m,, para
producir un campo magnético de magnitud 1.00 x 10-4
T en el centro del
solenoide
L
NI
B 0µ
=
( )
( ) mA
A
mT
mT
N
BL
I 8.31
1000104
400.01000.1
7
4
0
=
×⋅×
××
== −
−
πµ

39. La figura muestra una vista de la sección transversal de un cable coaxial. El
conductor del centro está rodeado por una capa de caucho, el cual está
rodeado por otro conductor, el cual está rodeado de otra capa de caucho. En
una aplicación particular, la corriente en el conductor del centro conduce
1.00 A saliendo de la página y la corriente en el conductor de afuera es de
3.00 A entrando a la página. Determine la magnitud y dirección del campo
magnético en los puntos a y b.
( ) IrB a 02 µπ =
( ) TT
m
A
A
Tm
B µ
π
π
200102
100.12
1104
4
3
7
=×=
×
××
= −
−
−
Hacia
arriba de
la página
Para el punto a
Para el punto b: ( ) ( )1202 IIrB b −= µπ
( )
( ) T
m
A
A
Tm
B µ
π
π
133
1000.32
00.100.3104
3
7
=
×
−×
= −
−
Hacia abajo de la página.

40. Considere la superficie hemisférica cerrada en la figura. El hemisferio está
dentro de un campo magnético uniforme el cual forma un ángulo θ con la
vertical. Calcule el flujo magnético a través de:
a)La superficie plana S1
b)La superficie curva S2
( ) ( )
θπ
θπ
cos
180cos
2
2
RB
RBABplanaB
−=
=−=⋅=Φ

Como el flujo neto de la superficie cerrada
debe ser cero:
( ) ( ) 0=Φ+Φ curvaBplanaB
( ) θπ cos2
RBcurvaB +=Φ