A Magia dos <br />Franciele Buss Frescki Kestring<br />Priscila Pigatto<br />
Problematização<br />Que equação matemática representa a estrutura de uma nuvem? <br />Que sólidos geométrico melhor repre...
Euclides<br />330-260 a.C.<br />Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela prai...
Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão.<br />No en...
Para Euclides, os objectos da Natureza podiam ser representados como formas geométricas simples, como quadrados, circunfer...
Geometria Euclidiana<br />O quinto postulado de Euclides equivale ao axioma das paralelas; <br />Por um ponto exterior a u...
Geometria <br />Século XIX que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski demonst...
Geometria<br />Substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidi...
Geometria<br />Geometria euclidiana, por vez chamada parabólica;<br />A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbóli...
Geometria<br />As duas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas;<br />Permitiram às ciências exatas do século ...
Geometria<br />A geometria não-euclidiana se divide em vários segmentos:<br />A geometria fractal;<br />A geometria projet...
Diretrizes Curriculares da Matemática para Educação Básica do Estado do Paraná<br />“[...] o conteúdo estruturante geometr...
Vídeos<br />Fractais na natureza;<br />Dimensão oculta;<br />
Como surgiram os fractais?<br />Benoit Mandelbrot<br /><ul><li> Nasceu a 20 de Novembro de 1924 na Polónia;
 Formação Académica realizada em França;
 Grande gosto pela geometria, procurando resolver muitos problemas matemáticos com base na mesma;</li></ul>No início dos a...
“Nuvens não são esferas, montanhas não <br />são cones, continentes não são círculos e<br /> nem o raio viaja em linha ret...
Como surgiu a palavra Fractal<br />Embora os “monstros matemáticos” existissem há muito tempo, ainda ninguém lhes tinha at...
Objetos que não possuem necessariamente dimensão inteira<br />Formas igualmente complexas no detalhe e na forma global<br ...
Importância dos Fractais em sala de aula<br />  Segundo Barbosa (2002) a utilização de fractais em sala de aula no Ensino ...
Importância dos Fractais em sala de aula<br />  c) utiliza a difusão e acesso às tecnologias computacionais nos vários nív...
Propriedades dos Fractais<br /><ul><li>Auto-similaridade: pode ser exata ou estatística, ou seja, mantém a mesma forma e e...
Exemplo 2<br />Auto - semelhança<br />Exata<br />Aproximada<br />
Propriedades dos Fractais<br />Complexidade infinita, isto é, qualquer que seja o número de amplificações de um objeto fra...
Propriedades dos Fractais<br /><ul><li>Irregularidade, no sentido de rugosidade (não-suavidade) ou fragmentação;</li></ul>...
Dimensão <br />Da Geometria Euclidiana sabemos que:<br /> Um ponto é o que não tem parte, isto é, tem dimensão zero;<br /...
A dimensão de um objeto, ao contrário do que sucede na Geometria Euclidiana, não é necessariamente um número inteiro. Com ...
Dimensão 1:<br />Considere-se um segmento de reta; após a redução fica-se com 4 (=41) partes iguais.<br />Dimensão 2:<br /...
Sejam:<br /> N = número de partes em que se divide o objeto;<br /> r = coeficiente de redução. <br />                Dimen...
Generalizando:<br />(d é a dimensão do objeto em estudo)<br />Este raciocínio é válido para qualquer redução efetuada em o...
Geometria Euclidiana e Geometria Fractal<br />
Observe as seguintes figuras<br />
Observe as seguintes figuras<br />
Observe as seguintes figuras<br />
Atividade 1<br />Cite uma característica que você observou nas figuras mostradas;<br />
Vídeo <br />UFPR;<br />Atividades propostas para sala de aula<br />
Atividade 2<br />Construção de cartões<br />
x<br />a/2<br />a<br />x/4<br />Passo 1: com a folha em pé dobrar ao meio, ao meio novamente, vincar e desdobrar.Com a fol...
Após recortar, encerramos a iteração nº 1.Abrindo a folha e dobrando o recorte para dentro, teremos o seguinte:<br />
a/4<br />a/2<br />a<br />Vamos repetir o passo 1, tomando como princípio a parte que está dobrada para cima<br />
A segunda iteração está pronta:(lembre-se de dobrar os novos recortes para dentro!)<br />
Continue repetindo as iterações quantas vezes conseguir.<br />A final, você terá um cartão fractal, conhecido por Degraus ...
Triângulo de Sierpinski<br />
Vídeo<br />Construção do triângulo de Sierpinski;<br />
Atividade 3<br />Construção do Triângulo de Sierpinski;<br />Material:<br />   1 triângulo com 32cm de lado (vermelho)  1 ...
Encontrar o ponto médio do triângulo de 32 cm de lado (vermelho);<br />Colar os triângulos amarelos;<br />E o processo se ...
Conteúdos relacionados com Fractais<br />Proporcionalidade;<br />Área;<br />Perímetro;<br />Progressão Aritmética;<br />Pr...
Plano de trabalho docente <br />Série<br />Conteúdo Estruturante<br />Conteúdo específico<br />Justificativa<br />Encaminh...
Ideias...<br />Conteúdo Estruturante:<br />Geometrias<br />Conteúdo Básico:<br />Geometrias não-euclidiana<br />Conteúdo E...
Possíveis Relações Interdisciplinares:<br />Ciências, Geografia, Artes<br />Possíveis Articulações de Conteúdos:<br />Núme...
Justificativa<br />No estudo da geometria existem situações em que a Geometria Euclidiana torna-se insuficiente para respo...
Encaminhamentos metodológicos<br />Daremos sugestões de atividades que podem ser realizadas nas diferentes séries, nada im...
Os conceitos de geometria fractal podem ser trabalhados em qualquer série, por si mesmos ou articulando com outros conteúd...
Sugestões<br />Passar na TV multimídia imagens da natureza com características fractais (procurar na rede, no dia-a-dia).<...
Fractais gerados por computador<br />No Paraná Digital está disponível o software Xaos, que cria fractais a partir de iter...
5ª série<br />   Frações, Potenciação, Medidas de comprimento<br />Trabalhar com o triângulo de Sierpinski<br />
6ª Série<br />Apresentar imagens do Triângulo de Sierpinski e propor a construção de maneiras variadas (quebra-cabeça e de...
Nível 0<br />
Nível 1<br />
Nível 2<br />
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Nível 4<br />
Sugestão de Conteúdos<br />Números e Álgebra:<br />Razão e Proporção;<br />Grandezas e Medidas:<br /> Ângulos ;<br />Geome...
7ª Série<br />Atividade: Construção do Floco de Neve de Koch;<br />Discussão das etapas envolvidas formalizando os conceit...
Sugestão de Conteúdos <br />Grandezas e Medidas:<br />Medidas de comprimento;<br />Medidas de área.<br />Números e Álgebra...
Atividade<br />A geometria fractal é conteúdo básico da 7ª série, portanto pode-se propor uma atividade onde os alunos cri...
8ª Série<br />Apresentação e discussão da Árvore Pitagórica <br />
Sugestão de Conteúdos<br />Grandezas e Medidas:<br />Relações métricas no triângulo retângulo;<br />Trigonometria no triân...
Outras atividades que podem ser abordadas em qualquer série<br />Fractal Triminó<br />Construção:<br />1. Considere o trim...
3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó, obtendo assim o Fractal ao nível 3.<br />Construa o Fract...
A construção do fractal triminó prioriza alguns objetivos como: reconhecer uma sequência numérica, estimar a quantidade de...
Cartão Fractal<br />Pode ser trabalhado em qualquer série, abordando os conceitos de fractal e suas propriedades e proporc...
Outros Cartões<br />
Ensino Médio<br />Os conteúdos a serem abordados:<br />Função;<br />Progressão Aritmética ou Geométrica<br />Triângulo de ...
A computação gráfica é uma área que se encontra em franca expansão. O que muita gente não sabe é que algumas das imagens m...
Sugestão de Conteúdos<br />Função Exponencial;<br />Progressão Geométrica <br />
Qual a relação do Triângulo de Sierpinski com o Triângulo de Pascal?<br />
O importante desta atividade é observar como estes dois triângulos estão intimamente ligados, apesar de que aparentemente ...
Atividade<br />1. Construir o Triângulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas( pode usar a malha de triângulos equiláter...
Atividade<br />Para essa atividade é necessário explicar o Triângulo Aritmético de Pascal, sua formação, descoberta e prop...
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Apostila de fractais para a oficina do NRE Itinerante, ministrado em Foz do Iguaçu, no colégio Ulysses Guimarães, em 22 de setembro de 2010.

Publicada em: Educação
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  1. 1. A Magia dos <br />Franciele Buss Frescki Kestring<br />Priscila Pigatto<br />
  2. 2. Problematização<br />Que equação matemática representa a estrutura de uma nuvem? <br />Que sólidos geométrico melhor representa uma montanha? <br />Qual é o comprimento da costa brasileira? <br />Como podemos explicar matematicamente as ramificações dos vasos sanguíneos? <br />Quais as formas de reprodução de uma bactéria numa lâmina de laboratório em função dos alimentos? <br />Como prever a evolução de uma empresa? <br />
  3. 3. Euclides<br />330-260 a.C.<br />Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis. <br />Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples. <br />
  4. 4. Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão.<br />No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).<br />
  5. 5. Para Euclides, os objectos da Natureza podiam ser representados como formas geométricas simples, como quadrados, circunferências, etc...<br />
  6. 6. Geometria Euclidiana<br />O quinto postulado de Euclides equivale ao axioma das paralelas; <br />Por um ponto exterior a uma reta, apenas passa uma outra reta paralela à dada;<br />Este postulado foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os outros postulados<br />
  7. 7. Geometria <br />Século XIX que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski demonstraram que se trata efetivamente de um axioma, necessário e independente dos outros;<br /> Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas: <br />
  8. 8. Geometria<br />Substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição;<br />Desde então, encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes: <br />
  9. 9. Geometria<br />Geometria euclidiana, por vez chamada parabólica;<br />A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica;<br />A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica.<br />
  10. 10. Geometria<br />As duas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas;<br />Permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein (1879 - 1955);<br />
  11. 11. Geometria<br />A geometria não-euclidiana se divide em vários segmentos:<br />A geometria fractal;<br />A geometria projetiva;<br />A geometria esférica; <br />A geometria hiperbólica <br />
  12. 12. Diretrizes Curriculares da Matemática para Educação Básica do Estado do Paraná<br />“[...] o conteúdo estruturante geometrias se desdobra nos seguintes conteúdos específicos: Geometria Plana; Geometria Espacial; Geometria Analítica, e noções básicas de Geometria Não-euclidiana.”, ou seja, o aluno deve ter conhecimento mais amplo da geometria, não se fixando apenas na Geometria Euclidiana, mas congregando, também, ao seu saber, noções da Geometria Não-euclidiana.<br />
  13. 13. Vídeos<br />Fractais na natureza;<br />Dimensão oculta;<br />
  14. 14. Como surgiram os fractais?<br />Benoit Mandelbrot<br /><ul><li> Nasceu a 20 de Novembro de 1924 na Polónia;
  15. 15. Formação Académica realizada em França;
  16. 16. Grande gosto pela geometria, procurando resolver muitos problemas matemáticos com base na mesma;</li></ul>No início dos anos 80, nomeou (ao invés de descobrir ou inventar) os fractais, para classificar certos objetos que não possuíam necessariamente dimensão inteira, podendo ter dimensão fracinária.<br />
  17. 17. “Nuvens não são esferas, montanhas não <br />são cones, continentes não são círculos e<br /> nem o raio viaja em linha reta." <br /> Benoit Mandelbrot (The Fractal Geometry of Nature - 1983)<br />
  18. 18. Como surgiu a palavra Fractal<br />Embora os “monstros matemáticos” existissem há muito tempo, ainda ninguém lhes tinha atribuído nenhum nome. Foi então que Benoit Mandelbrot, ao preparar a sua primeira obra sobre os ditos“monstros”, sentiu necessidade de lhes atribuir um nome.<br />verbo frangere (que significa quebrar, fraturar, irregular)<br />FRACTAL<br />adjetivo fractus<br />
  19. 19. Objetos que não possuem necessariamente dimensão inteira<br />Formas igualmente complexas no detalhe e na forma global<br />FRACTAIS<br />Formas geométricas irregulares e fragmentadas que podem ser subdivididas em partes, e cada parte será uma cópia reduzida da forma toda<br />Objetos que não perdem a sua definição formal à medida que são ampliados, mantendo a sua estrutura idêntica à original<br />
  20. 20. Importância dos Fractais em sala de aula<br /> Segundo Barbosa (2002) a utilização de fractais em sala de aula no Ensino Fundamental e Médio é importante pelas seguintes razões: <br /> a) estabelece conexões com várias ciências;<br /> b) mostra deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza; <br />
  21. 21. Importância dos Fractais em sala de aula<br /> c) utiliza a difusão e acesso às tecnologias computacionais nos vários níveis de escolaridade; <br /> d) explora a beleza dos fractais para o desenvolvimento do senso estético; <br /> e) desenvolve a curiosidade, face ao caráter inesperado de cada iteração.<br />
  22. 22. Propriedades dos Fractais<br /><ul><li>Auto-similaridade: pode ser exata ou estatística, ou seja, mantém a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o objeto ou parte dele);</li></li></ul><li>Exemplo 1<br />Têm infinitos detalhes;<br />São geralmente auto-semelhantes<br />Não dependem de escala<br />
  23. 23. Exemplo 2<br />Auto - semelhança<br />Exata<br />Aproximada<br />
  24. 24. Propriedades dos Fractais<br />Complexidade infinita, isto é, qualquer que seja o número de amplificações de um objeto fractal, nunca obteremos a “imagem final”, uma vez que ela poderá continuar a ser infinitamente ampliada <br />
  25. 25. Propriedades dos Fractais<br /><ul><li>Irregularidade, no sentido de rugosidade (não-suavidade) ou fragmentação;</li></ul>Possuir em geral, dimensão não-inteira. A dimensão fractal quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.<br />
  26. 26. Dimensão <br />Da Geometria Euclidiana sabemos que:<br /> Um ponto é o que não tem parte, isto é, tem dimensão zero;<br /> Uma linha é um comprimento sem largura, ou seja, tem dimensão um; <br /> Uma superfície é o que só tem comprimento e largura (dimensão dois);<br /> Um sólido é o que tem comprimento, largura e profundidade (dimensão 3).<br />
  27. 27. A dimensão de um objeto, ao contrário do que sucede na Geometria Euclidiana, não é necessariamente um número inteiro. Com efeito, ela pode ser um número fracionário. <br />A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, estando relacionada com o seu grau de irregularidade. <br />Definimos então dimensão de uma curva fractal como sendo um número que caracteriza a maneira na qual a medida do comprimento entre dois pontos aumenta à medida que a escala diminui.<br />
  28. 28. Dimensão 1:<br />Considere-se um segmento de reta; após a redução fica-se com 4 (=41) partes iguais.<br />Dimensão 2:<br />Efetuando o mesmo processo para o quadrado, dividir cada um dos lados em 4 partes iguais, fica-se com 16 (= 42) partes iguais.<br />Dimensão 3:<br />Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtém-se 64 (= 43) partes iguais.<br />
  29. 29. Sejam:<br /> N = número de partes em que se divide o objeto;<br /> r = coeficiente de redução. <br /> Dimensão 1 <br /> Dimensão 2<br /> Dimensão 3<br />
  30. 30. Generalizando:<br />(d é a dimensão do objeto em estudo)<br />Este raciocínio é válido para qualquer redução efetuada em objetos com auto-semelhança exata.<br />
  31. 31. Geometria Euclidiana e Geometria Fractal<br />
  32. 32. Observe as seguintes figuras<br />
  33. 33. Observe as seguintes figuras<br />
  34. 34. Observe as seguintes figuras<br />
  35. 35. Atividade 1<br />Cite uma característica que você observou nas figuras mostradas;<br />
  36. 36. Vídeo <br />UFPR;<br />Atividades propostas para sala de aula<br />
  37. 37. Atividade 2<br />Construção de cartões<br />
  38. 38. x<br />a/2<br />a<br />x/4<br />Passo 1: com a folha em pé dobrar ao meio, ao meio novamente, vincar e desdobrar.Com a folha deitada, fazer o mesmo e recortar em ¼ dos dois lados, até a marca feita.<br />
  39. 39. Após recortar, encerramos a iteração nº 1.Abrindo a folha e dobrando o recorte para dentro, teremos o seguinte:<br />
  40. 40. a/4<br />a/2<br />a<br />Vamos repetir o passo 1, tomando como princípio a parte que está dobrada para cima<br />
  41. 41. A segunda iteração está pronta:(lembre-se de dobrar os novos recortes para dentro!)<br />
  42. 42. Continue repetindo as iterações quantas vezes conseguir.<br />A final, você terá um cartão fractal, conhecido por Degraus fractais.<br />Para que ele fique firme, cole-o numa folha do mesmo tamanho (A4).<br />
  43. 43.
  44. 44. Triângulo de Sierpinski<br />
  45. 45. Vídeo<br />Construção do triângulo de Sierpinski;<br />
  46. 46. Atividade 3<br />Construção do Triângulo de Sierpinski;<br />Material:<br /> 1 triângulo com 32cm de lado (vermelho) 1 triângulo com 16cm de lado (amarelo) <br /> 3 triângulos com 8cm de lado (amarelo) <br /> 9 triângulos com 4cm de lado (amarelo) <br />
  47. 47. Encontrar o ponto médio do triângulo de 32 cm de lado (vermelho);<br />Colar os triângulos amarelos;<br />E o processo se repete sucessivamente <br />Passos para a construção do triângulo de Sierpinski<br />
  48. 48. Conteúdos relacionados com Fractais<br />Proporcionalidade;<br />Área;<br />Perímetro;<br />Progressão Aritmética;<br />Progressão Geométrica;<br />Potenciação;<br />
  49. 49. Plano de trabalho docente <br />Série<br />Conteúdo Estruturante<br />Conteúdo específico<br />Justificativa<br />Encaminhamentos metodológicos<br />Critérios e instrumentos de avaliação<br />Referências<br />
  50. 50. Ideias...<br />Conteúdo Estruturante:<br />Geometrias<br />Conteúdo Básico:<br />Geometrias não-euclidiana<br />Conteúdo Específico:<br />Conceitos de Geometria Fractal<br />
  51. 51. Possíveis Relações Interdisciplinares:<br />Ciências, Geografia, Artes<br />Possíveis Articulações de Conteúdos:<br />Números e Álgebra, Geometrias e Grandezas e Medidas (varia conforme a série abordada)<br />
  52. 52. Justificativa<br />No estudo da geometria existem situações em que a Geometria Euclidiana torna-se insuficiente para responder algumas situações, para tal se torna necessário o estudo da geometria fractal, conforme vimos anteriormente.<br />
  53. 53. Encaminhamentos metodológicos<br />Daremos sugestões de atividades que podem ser realizadas nas diferentes séries, nada impedindo que possam ser adaptadas e trabalhadas de outra maneira.<br />
  54. 54. Os conceitos de geometria fractal podem ser trabalhados em qualquer série, por si mesmos ou articulando com outros conteúdos.<br />
  55. 55. Sugestões<br />Passar na TV multimídia imagens da natureza com características fractais (procurar na rede, no dia-a-dia).<br />Ver vídeos sobre fractais.<br />Isto pode ser trazido pelo professor, ou mesmo pesquisado no laboratório de informática.<br />
  56. 56.
  57. 57.
  58. 58.
  59. 59.
  60. 60.
  61. 61.
  62. 62.
  63. 63. Fractais gerados por computador<br />No Paraná Digital está disponível o software Xaos, que cria fractais a partir de iterações<br />É uma boa articulação com os conteúdos de artes.<br />Algumas imagens:<br />
  64. 64.
  65. 65.
  66. 66.
  67. 67.
  68. 68.
  69. 69.
  70. 70.
  71. 71.
  72. 72. 5ª série<br /> Frações, Potenciação, Medidas de comprimento<br />Trabalhar com o triângulo de Sierpinski<br />
  73. 73. 6ª Série<br />Apresentar imagens do Triângulo de Sierpinski e propor a construção de maneiras variadas (quebra-cabeça e desenho);<br />
  74. 74. Nível 0<br />
  75. 75. Nível 1<br />
  76. 76. Nível 2<br />
  77. 77. Nível 3<br />
  78. 78. Nível 4<br />
  79. 79. Sugestão de Conteúdos<br />Números e Álgebra:<br />Razão e Proporção;<br />Grandezas e Medidas:<br /> Ângulos ;<br />Geometrias:<br /> Geometria Plana <br />
  80. 80. 7ª Série<br />Atividade: Construção do Floco de Neve de Koch;<br />Discussão das etapas envolvidas formalizando os conceitos.<br />
  81. 81.
  82. 82. Sugestão de Conteúdos <br />Grandezas e Medidas:<br />Medidas de comprimento;<br />Medidas de área.<br />Números e Álgebra:<br />Números racionais;<br />Potências.<br />Geometrias<br />Geometria Plana.<br />
  83. 83. Atividade<br />A geometria fractal é conteúdo básico da 7ª série, portanto pode-se propor uma atividade onde os alunos criem o seu fractal, utilizando formas geométricas que eles conheçam. <br />
  84. 84. 8ª Série<br />Apresentação e discussão da Árvore Pitagórica <br />
  85. 85.
  86. 86. Sugestão de Conteúdos<br />Grandezas e Medidas:<br />Relações métricas no triângulo retângulo;<br />Trigonometria no triângulo retângulo.<br />Números e Álgebra:<br />Teorema de Pitágoras.<br />Geometrias:<br />Geometria Plana.<br />
  87. 87. Outras atividades que podem ser abordadas em qualquer série<br />Fractal Triminó<br />Construção:<br />1. Considere o triminó não-reto, construído por 3 quadrados , que serão fractal em nível 1.<br />2. O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó L , teremos assim o Fractal em nível 2.<br />
  88. 88. 3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó, obtendo assim o Fractal ao nível 3.<br />Construa o Fractal Triminó ao Nível 4.<br />- Quantas peças foram usadas?<br />- Para construir um Fractal Triminó ao Nível 5, quantas peças serão necessárias?<br />- E para construir um Fractal Triminó ao Nível n?<br />- Agora você e capaz de descobrir que conteúdo da matemática está relacionado com esta atividade?<br />- Qual o perímetro em cada nível? Considere cada peça quadrada com 2,5 cm de lado.<br />
  89. 89. A construção do fractal triminó prioriza alguns objetivos como: reconhecer uma sequência numérica, estimar a quantidade de peças em cada iteração, organizar dados em tabelas, calcular perímetro, etc. <br />
  90. 90. Cartão Fractal<br />Pode ser trabalhado em qualquer série, abordando os conceitos de fractal e suas propriedades e proporcionalidade.<br />
  91. 91.
  92. 92.
  93. 93. Outros Cartões<br />
  94. 94.
  95. 95.
  96. 96. Ensino Médio<br />Os conteúdos a serem abordados:<br />Função;<br />Progressão Aritmética ou Geométrica<br />Triângulo de Pascal <br />
  97. 97. A computação gráfica é uma área que se encontra em franca expansão. O que muita gente não sabe é que algumas das imagens mais belas e complexas são feitas por processos simples que se repetem várias vezes. Veja as etapas de criação do ramo abaixo:<br />
  98. 98.
  99. 99. Sugestão de Conteúdos<br />Função Exponencial;<br />Progressão Geométrica <br />
  100. 100. Qual a relação do Triângulo de Sierpinski com o Triângulo de Pascal?<br />
  101. 101. O importante desta atividade é observar como estes dois triângulos estão intimamente ligados, apesar de que aparentemente não parecer que se relacionam, visto que um deles é um “amontoado” de números e o outro contém no seu interior um padrão geométrico.<br />
  102. 102. Atividade<br />1. Construir o Triângulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas( pode usar a malha de triângulos equiláteros ou hexágonos).<br />2. Colorir em preto as casas correspondentes aos números ímpares.<br />3. Que observas?<br />
  103. 103. Atividade<br />Para essa atividade é necessário explicar o Triângulo Aritmético de Pascal, sua formação, descoberta e propriedades. <br />Como por exemplo: as diagonais de fora<br />são formadas pelo número 1 e que a soma de dois números consecutivos de uma mesma linha do triângulo corresponde ao número que está na linha logo abaixo,<br />bem abaixo dos dois números somados, outra propriedade é que a soma dos elementos de cada linha é uma potência de base 2. <br />Não esquecendo que na segunda diagonal encontram-se os números naturais.<br />
  104. 104. Obrigado<br />

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