Apresentação para foz.pptx [salvo automaticamente]

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Apostila de fractais para a oficina do NRE Itinerante, ministrado em Foz do Iguaçu, no colégio Ulysses Guimarães, em 22 de setembro de 2010.

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Apresentação para foz.pptx [salvo automaticamente]

  1. 1. A Magia dos <br />Franciele Buss Frescki Kestring<br />Priscila Pigatto<br />
  2. 2. Problematização<br />Que equação matemática representa a estrutura de uma nuvem? <br />Que sólidos geométrico melhor representa uma montanha? <br />Qual é o comprimento da costa brasileira? <br />Como podemos explicar matematicamente as ramificações dos vasos sanguíneos? <br />Quais as formas de reprodução de uma bactéria numa lâmina de laboratório em função dos alimentos? <br />Como prever a evolução de uma empresa? <br />
  3. 3. Euclides<br />330-260 a.C.<br />Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis. <br />Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples. <br />
  4. 4. Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão.<br />No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).<br />
  5. 5. Para Euclides, os objectos da Natureza podiam ser representados como formas geométricas simples, como quadrados, circunferências, etc...<br />
  6. 6. Geometria Euclidiana<br />O quinto postulado de Euclides equivale ao axioma das paralelas; <br />Por um ponto exterior a uma reta, apenas passa uma outra reta paralela à dada;<br />Este postulado foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os outros postulados<br />
  7. 7. Geometria <br />Século XIX que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski demonstraram que se trata efetivamente de um axioma, necessário e independente dos outros;<br /> Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas: <br />
  8. 8. Geometria<br />Substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição;<br />Desde então, encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes: <br />
  9. 9. Geometria<br />Geometria euclidiana, por vez chamada parabólica;<br />A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica;<br />A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica.<br />
  10. 10. Geometria<br />As duas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas;<br />Permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein (1879 - 1955);<br />
  11. 11. Geometria<br />A geometria não-euclidiana se divide em vários segmentos:<br />A geometria fractal;<br />A geometria projetiva;<br />A geometria esférica; <br />A geometria hiperbólica <br />
  12. 12. Diretrizes Curriculares da Matemática para Educação Básica do Estado do Paraná<br />“[...] o conteúdo estruturante geometrias se desdobra nos seguintes conteúdos específicos: Geometria Plana; Geometria Espacial; Geometria Analítica, e noções básicas de Geometria Não-euclidiana.”, ou seja, o aluno deve ter conhecimento mais amplo da geometria, não se fixando apenas na Geometria Euclidiana, mas congregando, também, ao seu saber, noções da Geometria Não-euclidiana.<br />
  13. 13. Vídeos<br />Fractais na natureza;<br />Dimensão oculta;<br />
  14. 14. Como surgiram os fractais?<br />Benoit Mandelbrot<br /><ul><li> Nasceu a 20 de Novembro de 1924 na Polónia;
  15. 15. Formação Académica realizada em França;
  16. 16. Grande gosto pela geometria, procurando resolver muitos problemas matemáticos com base na mesma;</li></ul>No início dos anos 80, nomeou (ao invés de descobrir ou inventar) os fractais, para classificar certos objetos que não possuíam necessariamente dimensão inteira, podendo ter dimensão fracinária.<br />
  17. 17. “Nuvens não são esferas, montanhas não <br />são cones, continentes não são círculos e<br /> nem o raio viaja em linha reta." <br /> Benoit Mandelbrot (The Fractal Geometry of Nature - 1983)<br />
  18. 18. Como surgiu a palavra Fractal<br />Embora os “monstros matemáticos” existissem há muito tempo, ainda ninguém lhes tinha atribuído nenhum nome. Foi então que Benoit Mandelbrot, ao preparar a sua primeira obra sobre os ditos“monstros”, sentiu necessidade de lhes atribuir um nome.<br />verbo frangere (que significa quebrar, fraturar, irregular)<br />FRACTAL<br />adjetivo fractus<br />
  19. 19. Objetos que não possuem necessariamente dimensão inteira<br />Formas igualmente complexas no detalhe e na forma global<br />FRACTAIS<br />Formas geométricas irregulares e fragmentadas que podem ser subdivididas em partes, e cada parte será uma cópia reduzida da forma toda<br />Objetos que não perdem a sua definição formal à medida que são ampliados, mantendo a sua estrutura idêntica à original<br />
  20. 20. Importância dos Fractais em sala de aula<br /> Segundo Barbosa (2002) a utilização de fractais em sala de aula no Ensino Fundamental e Médio é importante pelas seguintes razões: <br /> a) estabelece conexões com várias ciências;<br /> b) mostra deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza; <br />
  21. 21. Importância dos Fractais em sala de aula<br /> c) utiliza a difusão e acesso às tecnologias computacionais nos vários níveis de escolaridade; <br /> d) explora a beleza dos fractais para o desenvolvimento do senso estético; <br /> e) desenvolve a curiosidade, face ao caráter inesperado de cada iteração.<br />
  22. 22. Propriedades dos Fractais<br /><ul><li>Auto-similaridade: pode ser exata ou estatística, ou seja, mantém a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o objeto ou parte dele);</li></li></ul><li>Exemplo 1<br />Têm infinitos detalhes;<br />São geralmente auto-semelhantes<br />Não dependem de escala<br />
  23. 23. Exemplo 2<br />Auto - semelhança<br />Exata<br />Aproximada<br />
  24. 24. Propriedades dos Fractais<br />Complexidade infinita, isto é, qualquer que seja o número de amplificações de um objeto fractal, nunca obteremos a “imagem final”, uma vez que ela poderá continuar a ser infinitamente ampliada <br />
  25. 25. Propriedades dos Fractais<br /><ul><li>Irregularidade, no sentido de rugosidade (não-suavidade) ou fragmentação;</li></ul>Possuir em geral, dimensão não-inteira. A dimensão fractal quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.<br />
  26. 26. Dimensão <br />Da Geometria Euclidiana sabemos que:<br /> Um ponto é o que não tem parte, isto é, tem dimensão zero;<br /> Uma linha é um comprimento sem largura, ou seja, tem dimensão um; <br /> Uma superfície é o que só tem comprimento e largura (dimensão dois);<br /> Um sólido é o que tem comprimento, largura e profundidade (dimensão 3).<br />
  27. 27. A dimensão de um objeto, ao contrário do que sucede na Geometria Euclidiana, não é necessariamente um número inteiro. Com efeito, ela pode ser um número fracionário. <br />A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, estando relacionada com o seu grau de irregularidade. <br />Definimos então dimensão de uma curva fractal como sendo um número que caracteriza a maneira na qual a medida do comprimento entre dois pontos aumenta à medida que a escala diminui.<br />
  28. 28. Dimensão 1:<br />Considere-se um segmento de reta; após a redução fica-se com 4 (=41) partes iguais.<br />Dimensão 2:<br />Efetuando o mesmo processo para o quadrado, dividir cada um dos lados em 4 partes iguais, fica-se com 16 (= 42) partes iguais.<br />Dimensão 3:<br />Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtém-se 64 (= 43) partes iguais.<br />
  29. 29. Sejam:<br /> N = número de partes em que se divide o objeto;<br /> r = coeficiente de redução. <br /> Dimensão 1 <br /> Dimensão 2<br /> Dimensão 3<br />
  30. 30. Generalizando:<br />(d é a dimensão do objeto em estudo)<br />Este raciocínio é válido para qualquer redução efetuada em objetos com auto-semelhança exata.<br />
  31. 31. Geometria Euclidiana e Geometria Fractal<br />
  32. 32. Observe as seguintes figuras<br />
  33. 33. Observe as seguintes figuras<br />
  34. 34. Observe as seguintes figuras<br />
  35. 35. Atividade 1<br />Cite uma característica que você observou nas figuras mostradas;<br />
  36. 36. Vídeo <br />UFPR;<br />Atividades propostas para sala de aula<br />
  37. 37. Atividade 2<br />Construção de cartões<br />
  38. 38. x<br />a/2<br />a<br />x/4<br />Passo 1: com a folha em pé dobrar ao meio, ao meio novamente, vincar e desdobrar.Com a folha deitada, fazer o mesmo e recortar em ¼ dos dois lados, até a marca feita.<br />
  39. 39. Após recortar, encerramos a iteração nº 1.Abrindo a folha e dobrando o recorte para dentro, teremos o seguinte:<br />
  40. 40. a/4<br />a/2<br />a<br />Vamos repetir o passo 1, tomando como princípio a parte que está dobrada para cima<br />
  41. 41. A segunda iteração está pronta:(lembre-se de dobrar os novos recortes para dentro!)<br />
  42. 42. Continue repetindo as iterações quantas vezes conseguir.<br />A final, você terá um cartão fractal, conhecido por Degraus fractais.<br />Para que ele fique firme, cole-o numa folha do mesmo tamanho (A4).<br />
  43. 43.
  44. 44. Triângulo de Sierpinski<br />
  45. 45. Vídeo<br />Construção do triângulo de Sierpinski;<br />
  46. 46. Atividade 3<br />Construção do Triângulo de Sierpinski;<br />Material:<br /> 1 triângulo com 32cm de lado (vermelho) 1 triângulo com 16cm de lado (amarelo) <br /> 3 triângulos com 8cm de lado (amarelo) <br /> 9 triângulos com 4cm de lado (amarelo) <br />
  47. 47. Encontrar o ponto médio do triângulo de 32 cm de lado (vermelho);<br />Colar os triângulos amarelos;<br />E o processo se repete sucessivamente <br />Passos para a construção do triângulo de Sierpinski<br />
  48. 48. Conteúdos relacionados com Fractais<br />Proporcionalidade;<br />Área;<br />Perímetro;<br />Progressão Aritmética;<br />Progressão Geométrica;<br />Potenciação;<br />
  49. 49. Plano de trabalho docente <br />Série<br />Conteúdo Estruturante<br />Conteúdo específico<br />Justificativa<br />Encaminhamentos metodológicos<br />Critérios e instrumentos de avaliação<br />Referências<br />
  50. 50. Ideias...<br />Conteúdo Estruturante:<br />Geometrias<br />Conteúdo Básico:<br />Geometrias não-euclidiana<br />Conteúdo Específico:<br />Conceitos de Geometria Fractal<br />
  51. 51. Possíveis Relações Interdisciplinares:<br />Ciências, Geografia, Artes<br />Possíveis Articulações de Conteúdos:<br />Números e Álgebra, Geometrias e Grandezas e Medidas (varia conforme a série abordada)<br />
  52. 52. Justificativa<br />No estudo da geometria existem situações em que a Geometria Euclidiana torna-se insuficiente para responder algumas situações, para tal se torna necessário o estudo da geometria fractal, conforme vimos anteriormente.<br />
  53. 53. Encaminhamentos metodológicos<br />Daremos sugestões de atividades que podem ser realizadas nas diferentes séries, nada impedindo que possam ser adaptadas e trabalhadas de outra maneira.<br />
  54. 54. Os conceitos de geometria fractal podem ser trabalhados em qualquer série, por si mesmos ou articulando com outros conteúdos.<br />
  55. 55. Sugestões<br />Passar na TV multimídia imagens da natureza com características fractais (procurar na rede, no dia-a-dia).<br />Ver vídeos sobre fractais.<br />Isto pode ser trazido pelo professor, ou mesmo pesquisado no laboratório de informática.<br />
  56. 56.
  57. 57.
  58. 58.
  59. 59.
  60. 60.
  61. 61.
  62. 62.
  63. 63. Fractais gerados por computador<br />No Paraná Digital está disponível o software Xaos, que cria fractais a partir de iterações<br />É uma boa articulação com os conteúdos de artes.<br />Algumas imagens:<br />
  64. 64.
  65. 65.
  66. 66.
  67. 67.
  68. 68.
  69. 69.
  70. 70.
  71. 71.
  72. 72. 5ª série<br /> Frações, Potenciação, Medidas de comprimento<br />Trabalhar com o triângulo de Sierpinski<br />
  73. 73. 6ª Série<br />Apresentar imagens do Triângulo de Sierpinski e propor a construção de maneiras variadas (quebra-cabeça e desenho);<br />
  74. 74. Nível 0<br />
  75. 75. Nível 1<br />
  76. 76. Nível 2<br />
  77. 77. Nível 3<br />
  78. 78. Nível 4<br />
  79. 79. Sugestão de Conteúdos<br />Números e Álgebra:<br />Razão e Proporção;<br />Grandezas e Medidas:<br /> Ângulos ;<br />Geometrias:<br /> Geometria Plana <br />
  80. 80. 7ª Série<br />Atividade: Construção do Floco de Neve de Koch;<br />Discussão das etapas envolvidas formalizando os conceitos.<br />
  81. 81.
  82. 82. Sugestão de Conteúdos <br />Grandezas e Medidas:<br />Medidas de comprimento;<br />Medidas de área.<br />Números e Álgebra:<br />Números racionais;<br />Potências.<br />Geometrias<br />Geometria Plana.<br />
  83. 83. Atividade<br />A geometria fractal é conteúdo básico da 7ª série, portanto pode-se propor uma atividade onde os alunos criem o seu fractal, utilizando formas geométricas que eles conheçam. <br />
  84. 84. 8ª Série<br />Apresentação e discussão da Árvore Pitagórica <br />
  85. 85.
  86. 86. Sugestão de Conteúdos<br />Grandezas e Medidas:<br />Relações métricas no triângulo retângulo;<br />Trigonometria no triângulo retângulo.<br />Números e Álgebra:<br />Teorema de Pitágoras.<br />Geometrias:<br />Geometria Plana.<br />
  87. 87. Outras atividades que podem ser abordadas em qualquer série<br />Fractal Triminó<br />Construção:<br />1. Considere o triminó não-reto, construído por 3 quadrados , que serão fractal em nível 1.<br />2. O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó L , teremos assim o Fractal em nível 2.<br />
  88. 88. 3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó, obtendo assim o Fractal ao nível 3.<br />Construa o Fractal Triminó ao Nível 4.<br />- Quantas peças foram usadas?<br />- Para construir um Fractal Triminó ao Nível 5, quantas peças serão necessárias?<br />- E para construir um Fractal Triminó ao Nível n?<br />- Agora você e capaz de descobrir que conteúdo da matemática está relacionado com esta atividade?<br />- Qual o perímetro em cada nível? Considere cada peça quadrada com 2,5 cm de lado.<br />
  89. 89. A construção do fractal triminó prioriza alguns objetivos como: reconhecer uma sequência numérica, estimar a quantidade de peças em cada iteração, organizar dados em tabelas, calcular perímetro, etc. <br />
  90. 90. Cartão Fractal<br />Pode ser trabalhado em qualquer série, abordando os conceitos de fractal e suas propriedades e proporcionalidade.<br />
  91. 91.
  92. 92.
  93. 93. Outros Cartões<br />
  94. 94.
  95. 95.
  96. 96. Ensino Médio<br />Os conteúdos a serem abordados:<br />Função;<br />Progressão Aritmética ou Geométrica<br />Triângulo de Pascal <br />
  97. 97. A computação gráfica é uma área que se encontra em franca expansão. O que muita gente não sabe é que algumas das imagens mais belas e complexas são feitas por processos simples que se repetem várias vezes. Veja as etapas de criação do ramo abaixo:<br />
  98. 98.
  99. 99. Sugestão de Conteúdos<br />Função Exponencial;<br />Progressão Geométrica <br />
  100. 100. Qual a relação do Triângulo de Sierpinski com o Triângulo de Pascal?<br />
  101. 101. O importante desta atividade é observar como estes dois triângulos estão intimamente ligados, apesar de que aparentemente não parecer que se relacionam, visto que um deles é um “amontoado” de números e o outro contém no seu interior um padrão geométrico.<br />
  102. 102. Atividade<br />1. Construir o Triângulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas( pode usar a malha de triângulos equiláteros ou hexágonos).<br />2. Colorir em preto as casas correspondentes aos números ímpares.<br />3. Que observas?<br />
  103. 103. Atividade<br />Para essa atividade é necessário explicar o Triângulo Aritmético de Pascal, sua formação, descoberta e propriedades. <br />Como por exemplo: as diagonais de fora<br />são formadas pelo número 1 e que a soma de dois números consecutivos de uma mesma linha do triângulo corresponde ao número que está na linha logo abaixo,<br />bem abaixo dos dois números somados, outra propriedade é que a soma dos elementos de cada linha é uma potência de base 2. <br />Não esquecendo que na segunda diagonal encontram-se os números naturais.<br />
  104. 104. Obrigado<br />

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