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A complexidade do pensamento matemático
e a qualidade das aprendizagens:
usando a teoria da atividade*
Fernando Luís Santos , António Domingos
1

XXIV SIEM

2

ESE Jean Piaget de Almada, UIED FCT-UNL, fsantos@almada.ipiaget.orgl
2
Universidade Nova de Lisboa, UIED FCT-UNL, amdd@fct.unl.pt

1

Resumo.

A forma como os alunos respondem às questões colocadas é um instrumento importante para analisar a
complexidade do seu pensamento matemático. Propomos um modelo de análise utilizando como enquadramento teórico as
teorias de David Tall sobre a complexidade do pensamento matemático e o modelo SOLO de Biggs e Collis. Mostramos como,
recorrendo à teoria da atividade (TA), esta permite descrever a avaliação das respostas produzidas pelos alunos evidenciando os
diferentes níveis de pensamento matemático envolvidos em três respostas analisadas.

Objetivo. Neste estudo pretende-se aumentar a coerência da
fundamentação teórica relativa ao papel das respostas dos alunos
usando um modelo de análise baseado na TA, nas teorias de Tall (2002,
2007) e no modelo SOLO (Structure of Observed Learning Outcomes) de
Biggs e Collis (1982) e Biggs e Tang (2007).
No segmento apresentado aplicou-se o modelo de análise a três
respostas de alunos de formação inicial de professores à questão:

“Do porto de Leixões sai um navio de seis em seis dias e
outro com destino diferente de 18 em 18 dias. Partiram
juntos no dia 1 de Janeiro. Qual o primeiro dia em que
tornam a sair juntos? Justifique.”

Metodologia. Qualitativa e interpretativa integrando três
respostas (alunos A, B e C), todas corretas, a análise das respostas foi
efetuada recorrendo ao modelo de Engeström (Engeström et al, 1999)
e à categorização das mesmas que fornece um enquadramento
unificador utilizando o modelo SOLO e a TA. O que possibilita uma
explicação da pluralidade dos resultados observados.

A questão foi classificada como possivelmente
relacional indicando uma orquestração entre os factos
e os conceitos envolvidos, suas ações e objetivos.
Teorias de Tall (Proceito, bifurcação proceptual)
Modelo SOLO
ARTEFACTOS
Aritmética
Teoria dos Números
Mínimo Múltiplo Comum
Professor

Qualidade da aprendizagem

OBJETO

SUJEITO

Resposta

Alunos

simples, identifica e memoriza procedimentos apontando apenas um
dado relevante), definiu em extensão os múltiplos dos valores
apresentados no enunciado identificando de seguida o menor múltiplo
comum para chegar à resposta.

Aprendizagem

Correção e classificação
Avaliação qualitativa

Resultados. Aluno A (nível uni-estrutural onde efetua conexões

RESULTADO

DIVISÃO DO
TRABALHO

REGRAS
Frequência individual
Sem consulta
Sem calculadora
Legenda:

COMUNIDADE

Resposta Individual

Formação inicial de professores

x Aluno x Professor

Modelo de análise da Teoria da Atividade (Engeström et al, 1999)

Conclusão. Este modelo de análise das

Aluno B (nível multi-estrutural, efetua algumas conexões, agrupa e
trabalha com algoritmos conseguindo identificar os dados relevantes),
utilizou a definição de mínimo múltiplo comum para chegar à resposta
fatorizando os valores apresentados no enunciado.

Aluno C (nível relacional, efetua conexões mais complexas, compara e
utiliza dados relevantes e interrelações), respondeu de forma simples
indicando que um dos valores apresentados no enunciado era múltiplo
do outro.

Referências.

respostas dos alunos, com a utilização da TA
permite expor a conceptualização de Tall pela
análise dos raciocínios envolvidos, passando pela
utilização dos níveis SOLO enquanto indicador do
desempenho por intermédio da categorização.
Apesar das três respostas estarem corretas a
resposta do aluno C pressupõe que este tenha
evidenciado sinais da bifurcação proceptual, pois
consegue sintetizar o conhecimento matemático
de forma a explicar o seu raciocínio. Enquanto que
o aluno B utiliza um algoritmo e o aluno A vai
definir os conjuntos em extensão.
Pensamos que este modelo de análise centrado
nas três dimensões: i) categorização do
pensamento matemático utilizando os níveis SOLO;
ii) a concepção de bifurcação proceptual sustentada
pelas teorias de Tall e iii) a TA segundo o modelo de
Engeström como instrumento de análise permitem
um estudo mais mais global e dinâmico dos
processos utilizados pelos alunos na resolução de
problemas matemáticos, permitindo assim aferir
sobre a qualidade das aprendizagens.

Biggs, J. & Collis, K. (1982). Evaluating the quality of learning. London: Academic Press.
Biggs, J. & Tang, C. (2007). Teaching for Quality Learning at University. Berkshire. McGraw-Hill.
Engeström, Y, Miettinen, R. & Punamäki, R-L (Eds) (1999). Perspectives on Activity Theory. Cambridge: Cambridge University Press.
Tall, D. (2007). Developing a theory of mathematical growth. ZDM 39 (1-2), 145-154, DOI: 10.1007/s11858-006-0010-3.
Tall, D. (Ed.). (2002). Advanced Mathematical Thinking. New York: Kluwer Academic Publishers.

*Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto Promover o Sucesso em Matemática (contrato PTDC/CPE-CED/121774/2010).

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A complexidade do pensamento matemático e a qualidade das aprendizagens: usando a teoria da atividade

  • 1. A complexidade do pensamento matemático e a qualidade das aprendizagens: usando a teoria da atividade* Fernando Luís Santos , António Domingos 1 XXIV SIEM 2 ESE Jean Piaget de Almada, UIED FCT-UNL, fsantos@almada.ipiaget.orgl 2 Universidade Nova de Lisboa, UIED FCT-UNL, amdd@fct.unl.pt 1 Resumo. A forma como os alunos respondem às questões colocadas é um instrumento importante para analisar a complexidade do seu pensamento matemático. Propomos um modelo de análise utilizando como enquadramento teórico as teorias de David Tall sobre a complexidade do pensamento matemático e o modelo SOLO de Biggs e Collis. Mostramos como, recorrendo à teoria da atividade (TA), esta permite descrever a avaliação das respostas produzidas pelos alunos evidenciando os diferentes níveis de pensamento matemático envolvidos em três respostas analisadas. Objetivo. Neste estudo pretende-se aumentar a coerência da fundamentação teórica relativa ao papel das respostas dos alunos usando um modelo de análise baseado na TA, nas teorias de Tall (2002, 2007) e no modelo SOLO (Structure of Observed Learning Outcomes) de Biggs e Collis (1982) e Biggs e Tang (2007). No segmento apresentado aplicou-se o modelo de análise a três respostas de alunos de formação inicial de professores à questão: “Do porto de Leixões sai um navio de seis em seis dias e outro com destino diferente de 18 em 18 dias. Partiram juntos no dia 1 de Janeiro. Qual o primeiro dia em que tornam a sair juntos? Justifique.” Metodologia. Qualitativa e interpretativa integrando três respostas (alunos A, B e C), todas corretas, a análise das respostas foi efetuada recorrendo ao modelo de Engeström (Engeström et al, 1999) e à categorização das mesmas que fornece um enquadramento unificador utilizando o modelo SOLO e a TA. O que possibilita uma explicação da pluralidade dos resultados observados. A questão foi classificada como possivelmente relacional indicando uma orquestração entre os factos e os conceitos envolvidos, suas ações e objetivos. Teorias de Tall (Proceito, bifurcação proceptual) Modelo SOLO ARTEFACTOS Aritmética Teoria dos Números Mínimo Múltiplo Comum Professor Qualidade da aprendizagem OBJETO SUJEITO Resposta Alunos simples, identifica e memoriza procedimentos apontando apenas um dado relevante), definiu em extensão os múltiplos dos valores apresentados no enunciado identificando de seguida o menor múltiplo comum para chegar à resposta. Aprendizagem Correção e classificação Avaliação qualitativa Resultados. Aluno A (nível uni-estrutural onde efetua conexões RESULTADO DIVISÃO DO TRABALHO REGRAS Frequência individual Sem consulta Sem calculadora Legenda: COMUNIDADE Resposta Individual Formação inicial de professores x Aluno x Professor Modelo de análise da Teoria da Atividade (Engeström et al, 1999) Conclusão. Este modelo de análise das Aluno B (nível multi-estrutural, efetua algumas conexões, agrupa e trabalha com algoritmos conseguindo identificar os dados relevantes), utilizou a definição de mínimo múltiplo comum para chegar à resposta fatorizando os valores apresentados no enunciado. Aluno C (nível relacional, efetua conexões mais complexas, compara e utiliza dados relevantes e interrelações), respondeu de forma simples indicando que um dos valores apresentados no enunciado era múltiplo do outro. Referências. respostas dos alunos, com a utilização da TA permite expor a conceptualização de Tall pela análise dos raciocínios envolvidos, passando pela utilização dos níveis SOLO enquanto indicador do desempenho por intermédio da categorização. Apesar das três respostas estarem corretas a resposta do aluno C pressupõe que este tenha evidenciado sinais da bifurcação proceptual, pois consegue sintetizar o conhecimento matemático de forma a explicar o seu raciocínio. Enquanto que o aluno B utiliza um algoritmo e o aluno A vai definir os conjuntos em extensão. Pensamos que este modelo de análise centrado nas três dimensões: i) categorização do pensamento matemático utilizando os níveis SOLO; ii) a concepção de bifurcação proceptual sustentada pelas teorias de Tall e iii) a TA segundo o modelo de Engeström como instrumento de análise permitem um estudo mais mais global e dinâmico dos processos utilizados pelos alunos na resolução de problemas matemáticos, permitindo assim aferir sobre a qualidade das aprendizagens. Biggs, J. & Collis, K. (1982). Evaluating the quality of learning. London: Academic Press. Biggs, J. & Tang, C. (2007). Teaching for Quality Learning at University. Berkshire. McGraw-Hill. Engeström, Y, Miettinen, R. & Punamäki, R-L (Eds) (1999). Perspectives on Activity Theory. Cambridge: Cambridge University Press. Tall, D. (2007). Developing a theory of mathematical growth. ZDM 39 (1-2), 145-154, DOI: 10.1007/s11858-006-0010-3. Tall, D. (Ed.). (2002). Advanced Mathematical Thinking. New York: Kluwer Academic Publishers. *Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto Promover o Sucesso em Matemática (contrato PTDC/CPE-CED/121774/2010).