Logaritmos para estudiantes de bachillerato

1. Logaritmos
Jes´s Garc´ de Jal´n de la Fuente
u ıa o
IES Avenida de los Toreros
Madrid
jesus.garciadejalon@gmail.com
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 1 / 13

2. Definici´n 1.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N a la soluci´n de la ecuaci´n ax = N :
o o
ax = N =⇒ x = loga N
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 2 / 13

3. Definici´n 1.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N a la soluci´n de la ecuaci´n ax = N :
o o
ax = N =⇒ x = loga N
Ejemplos:
3x = 81 =⇒ x = log3 81 = 4
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 2 / 13

4. Definici´n 1.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N a la soluci´n de la ecuaci´n ax = N :
o o
ax = N =⇒ x = loga N
Ejemplos:
3x = 81 =⇒ x = log3 81 = 4
2x = 8 =⇒ x = log2 8 = 3
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 2 / 13

5. Definici´n 1.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N a la soluci´n de la ecuaci´n ax = N :
o o
ax = N =⇒ x = loga N
Ejemplos:
3x = 81 =⇒ x = log3 81 = 4
2x = 8 =⇒ x = log2 8 = 3
1 1
5x = 5 =⇒ x = log5 5 = −1
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 2 / 13

6. Definici´n 1.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N a la soluci´n de la ecuaci´n ax = N :
o o
ax = N =⇒ x = loga N
Ejemplos:
3x = 81 =⇒ x = log3 81 = 4
2x = 8 =⇒ x = log2 8 = 3
5x = 1 =⇒ x = log5 1 = −1
5 5
x =
√ √ 1
3 3 =⇒ x = log3 3 = 2
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 2 / 13

7. Definici´n 2.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N al exponente que hay que poner a a
para obtener N .
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 3 / 13

8. Definici´n 2.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N al exponente que hay que poner a a
para obtener N .
Ejemplos:
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 3 / 13

9. Definici´n 2.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N al exponente que hay que poner a a
para obtener N .
Ejemplos:
log7 49 = 2 ya que 72 = 49
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 3 / 13

10. Definici´n 2.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N al exponente que hay que poner a a
para obtener N .
Ejemplos:
log7 49 = 2 ya que 72 = 49
log5 125 = 3 ya que 53 = 125
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 3 / 13

11. Definici´n 2.
o
Definici´n
o
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N
u u
y se representa mediante loga N al exponente que hay que poner a a
para obtener N .
Ejemplos:
log7 49 = 2 ya que 72 = 49
log5 125 = 3 ya que 53 = 125
1
1
log4 2 = 2 ya que 42 = 2
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 3 / 13

12. Primeras propiedades
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 4 / 13

13. Primeras propiedades
Puesto que si a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´n
o
a x = N no tiene soluci´n en el caso de que N sea negativo o cero.
o
En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los n´meros
u
positivos.
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 4 / 13

14. Primeras propiedades
Puesto que si a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´n
o
a x = N no tiene soluci´n en el caso de que N sea negativo o cero.
o
En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los
n´ meros positivos.
u
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 4 / 13

15. Primeras propiedades
Puesto que si a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´n
o
a x = N no tiene soluci´n en el caso de que N sea negativo o cero.
o
En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los
n´ meros positivos.
u
Puesto que para todo a > 0 e cumple que a0 = 1, el logaritmo de 1
es igual a 0 en cualquier base:
a0 = 1 ⇐⇒ loga 1 = 0
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 4 / 13

16. Primeras propiedades
Puesto que si a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´n
o
a x = N no tiene soluci´n en el caso de que N sea negativo o cero.
o
En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los
n´ meros positivos.
u
Puesto que para todo a > 0 e cumple que a0 = 1, el logaritmo
de 1 es igual a 0 en cualquier base:
a0 = 1 ⇐⇒ loga 1 = 0
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 4 / 13

17. Primeras propiedades
Puesto que si a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´n
o
a x = N no tiene soluci´n en el caso de que N sea negativo o cero.
o
En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los
n´ meros positivos.
u
Puesto que para todo a > 0 e cumple que a0 = 1, el logaritmo
de 1 es igual a 0 en cualquier base:
a0 = 1 ⇐⇒ loga 1 = 0
Puesto que a1 = a, el logaritmo de la base es igual a 1:
a1 = a ⇐⇒ loga a = 1
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 4 / 13

18. Primeras propiedades
Puesto que si a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´n
o
a x = N no tiene soluci´n en el caso de que N sea negativo o cero.
o
En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los
n´ meros positivos.
u
Puesto que para todo a > 0 e cumple que a0 = 1, el logaritmo
de 1 es igual a 0 en cualquier base:
a0 = 1 ⇐⇒ loga 1 = 0
Puesto que a1 = a, el logaritmo de la base es igual a 1:
a1 = a ⇐⇒ loga a = 1
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 4 / 13

19. Logaritmo de un producto
Propiedad
El logaritmo del producto de dos n´meros es igual a la suma de los
u
logaritmos de los factores:
loga (M N ) = loga M + loga N
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 5 / 13

20. Logaritmo de un producto
Propiedad
El logaritmo del producto de dos n´meros es igual a la suma de los
u
logaritmos de los factores:
loga (M N ) = loga M + loga N
Demostraci´n
o
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 5 / 13

21. Logaritmo de un producto
Propiedad
El logaritmo del producto de dos n´meros es igual a la suma de los
u
logaritmos de los factores:
loga (M N ) = loga M + loga N
Demostraci´n
o
loga M = x =⇒ ax = M
=⇒
loga N = y =⇒ ay = N
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 5 / 13

22. Logaritmo de un producto
Propiedad
El logaritmo del producto de dos n´meros es igual a la suma de los
u
logaritmos de los factores:
loga (M N ) = loga M + loga N
Demostraci´n
o
loga M = x =⇒ ax = M
=⇒
loga N = y =⇒ ay = N
loga (M N ) = loga (ax ay ) = loga ax+y
= x + y = loga M + loga N
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 5 / 13

23. Logaritmo de un cociente
Propiedad
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos:
M
loga = loga M − loga N
N

24. Logaritmo de un cociente
Propiedad
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos:
M
loga = loga M − loga N
N
Demostraci´n
o

25. Logaritmo de un cociente
Propiedad
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos:
M
loga = loga M − loga N
N
Demostraci´n
o
loga M = x =⇒ ax = M
=⇒
loga N = y =⇒ ay = N

26. Logaritmo de un cociente
Propiedad
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos:
M
loga = loga M − loga N
N
Demostraci´n
o
loga M = x =⇒ ax = M
=⇒
loga N = y =⇒ ay = N
M ax
loga = loga y = loga ax−y
N a
= x − y = loga M − loga N
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 6 / 13

27. Logaritmo de una potencia
Propiedad
El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de
la base:
loga M n = n loga M
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 7 / 13

28. Logaritmo de una potencia
Propiedad
El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de
la base:
loga M n = n loga M
Demostraci´n
o
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 7 / 13

29. Logaritmo de una potencia
Propiedad
El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de
la base:
loga M n = n loga M
Demostraci´n
o
n factores
n
loga M = loga M · M · . . . · M
n sumandos
=loga M + loga M + . . . + loga M
= n loga M
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 7 / 13

30. Logaritmo de una ra´z
ı
Propiedad
El logaritmo de una ra´ es igual al logaritmo del radicando dividido
ız
por el ´
ındice de la ra´
ız:
√
n 1
loga M= loga M
n
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 8 / 13

31. Logaritmo de una ra´z
ı
Propiedad
El logaritmo de una ra´ es igual al logaritmo del radicando dividido
ız
por el ´
ındice de la ra´
ız:
√
n 1
loga M= loga M
n
Demostraci´n
o
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 8 / 13

32. Logaritmo de una ra´z
ı
Propiedad
El logaritmo de una ra´ es igual al logaritmo del radicando dividido
ız
por el ´
ındice de la ra´
ız:
√
n 1
loga M= loga M
n
Demostraci´n
o
√
n 1
loga M = loga M n
1
= loga M
n
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 8 / 13

33. Cambio de base
Propiedad
Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los
logaritmos en otra base b mediante:
loga N
logb N =
loga b
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 9 / 13

34. Cambio de base
Propiedad
Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los
logaritmos en otra base b mediante:
loga N
logb N =
loga b
Demostraci´n
o
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 9 / 13

35. Cambio de base
Propiedad
Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los
logaritmos en otra base b mediante:
loga N
logb N =
loga b
Demostraci´n
o
Supongamos que queremos calcular logb N . Si llamamos x a este
n´mero:
u
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 9 / 13

36. Cambio de base
Propiedad
Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los
logaritmos en otra base b mediante:
loga N
logb N =
loga b
Demostraci´n
o
Supongamos que queremos calcular logb N . Si llamamos x a este
n´mero:
u
logb N = x =⇒ bx = N
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 9 / 13

37. Cambio de base
Propiedad
Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los
logaritmos en otra base b mediante:
loga N
logb N =
loga b
Demostraci´n
o
Supongamos que queremos calcular logb N . Si llamamos x a este
n´mero:
u
logb N = x =⇒ bx = N
Aplicando el logaritmo base a en esta ultima igualdad:
´
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 9 / 13

38. Cambio de base
Propiedad
Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los
logaritmos en otra base b mediante:
loga N
logb N =
loga b
Demostraci´n
o
Supongamos que queremos calcular logb N . Si llamamos x a este
n´mero:
u
logb N = x =⇒ bx = N
Aplicando el logaritmo base a en esta ultima igualdad:
´
loga bx = loga N =⇒ x loga b = loga N
loga N
=⇒ x = logb N =
loga b
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 9 / 13

39. Aplicaciones
1 Calcular con una aproximaci´n a las mil´simas log5 60.
o e
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 10 / 13

40. Aplicaciones
1 Calcular con una aproximaci´n a las mil´simas log5 60.
o e
Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos:
ln 60
log5 60 = 2,544
ln 5
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 10 / 13

41. Aplicaciones
1 Calcular con una aproximaci´n a las mil´simas log5 60.
o e
Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos:
ln 60
log5 60 = 2,544
ln 5
2 Obtener sin calculadora log32 16.
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 10 / 13

42. Aplicaciones
1 Calcular con una aproximaci´n a las mil´simas log5 60.
o e
Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos:
ln 60
log5 60 = 2,544
ln 5
2 Obtener sin calculadora log32 16.
Puesto que los dos n´meros son potencias de 2, pasando a esta
u
base:
log2 16 4
log32 16 = =
log2 32 5
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 10 / 13

43. Aplicaciones
1 Calcular con una aproximaci´n a las mil´simas log5 60.
o e
Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos:
ln 60
log5 60 = 2,544
ln 5
2 Obtener sin calculadora log32 16.
Puesto que los dos n´meros son potencias de 2, pasando a esta
u
base:
log2 16 4
log32 16 = =
log2 32 5
3 Demostrar que log 1 N = − loga N .
a
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 10 / 13

44. Aplicaciones
1 Calcular con una aproximaci´n a las mil´simas log5 60.
o e
Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos:
ln 60
log5 60 = 2,544
ln 5
2 Obtener sin calculadora log32 16.
Puesto que los dos n´meros son potencias de 2, pasando a esta
u
base:
log2 16 4
log32 16 = =
log2 32 5
3 Demostrar que log 1 N = − loga N .
a
Cambiando a la base a:
loga N loga N
log 1 N = 1 = = − loga N
a loga a −1
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 10 / 13

45. Simplificaci´n entre exponenciales y logaritmos
o
Propiedad
Como consecuencia de la definici´n de logaritmo se cumple que:
o
aloga x = x; loga ax = x
Para logaritmos neperianos:
eln x = x; ln ex = x
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 11 / 13

46. Simplificaci´n entre exponenciales y logaritmos
o
Propiedad
Como consecuencia de la definici´n de logaritmo se cumple que:
o
aloga x = x; loga ax = x
Para logaritmos neperianos:
eln x = x; ln ex = x
Demostrar la propiedad del logaritmo de la potencia.
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 11 / 13

47. Simplificaci´n entre exponenciales y logaritmos
o
Propiedad
Como consecuencia de la definici´n de logaritmo se cumple que:
o
aloga x = x; loga ax = x
Para logaritmos neperianos:
eln x = x; ln ex = x
Demostrar la propiedad del logaritmo de la potencia.
n
loga M n = loga aloga M = loga an loga M = n loga M
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 11 / 13

48. Simplificaci´n entre exponenciales y logaritmos
o
Propiedad
Como consecuencia de la definici´n de logaritmo se cumple que:
o
aloga x = x; loga ax = x
Para logaritmos neperianos:
eln x = x; ln ex = x
Demostrar la propiedad del logaritmo de la potencia.
n
loga M n = loga aloga M = loga an loga M = n loga M
Escribir ax como una potencia de base e.
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 11 / 13

49. Simplificaci´n entre exponenciales y logaritmos
o
Propiedad
Como consecuencia de la definici´n de logaritmo se cumple que:
o
aloga x = x; loga ax = x
Para logaritmos neperianos:
eln x = x; ln ex = x
Demostrar la propiedad del logaritmo de la potencia.
n
loga M n = loga aloga M = loga an loga M = n loga M
Escribir ax como una potencia de base e.
x
ax = eln a = ex ln a
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 11 / 13

50. Gr´fica de la funci´n logar´tmica
a o ı
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 12 / 13

51. Gr´fica de la funci´n logar´tmica
a o ı
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 12 / 13

52. Gr´fica de la funci´n exponencial
a o
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 13 / 13

53. Gr´fica de la funci´n exponencial
a o
JGJ (IES Avenida de los Toreros) Logaritmos 13 / 13