2. En matemáticas no se acepta una
proposición como verdadera hasta que se
construye su demostración formal,
aunque la proposición sea válida para un
número finito de casos no significa que
sea válida para todo el universo, por
ejemplo la conjetura de Goldbach
(todo número par mayor que 2 puede
escribirse como suma de dos números
primos) se ha verificado utilizando
computadoras para millones de casos
pero a pesar de ello no se acepta como
verdadera.
3. Veamos el siguiente razonamiento:
Si x=y entonces:
3x=3y
2y=2x
luego:
3x+2y=3y+2x
3x-3y=2x-2y
3(x-y)=2(x-y)
3=2
¿qué paso?
4. Aquí consideraremos los siguientes
métodos de demostración:
a) Método directo de demostración
b) Métodos indirectos de demostración
por contrapositiva
por reducción al absurdo
c) Método de Inducción matemática
d) Método por contraejemplo
5. A) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN
DIRECTA
Aquí se tiene como hipótesis verdaderas
las proposiciones P1, P2,…,Pn
procediendo a la deducción de que la
conclusión Q es verdadera a través de
un proceso lógico deductivo, es decir
como una cadena de implicaciones
lógicas. El esquema de demostración en
el método directo es de la forma:
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
6. El método de demostración directo tiene
como fundamento lógico la regla de
inferencia clásica o esquema
argumentativo válido llamado Modus
Ponens:
[ P∧ (P→Q) ] →Q
que significa: si la hipótesis P es
verdadera y la hipótesis P implica la
conclusión Q entonces la conclusión Q es
verdadera.
7. B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
INDIRECTOS
Método de demostración por
contrapositiva
Tiene como fundamento la equivalencia
lógica entre las proposiciones P→Q y
~Q→~P)
Para realizar una demostración por
contrapositiva se toma como hipótesis la
negación de la conclusión escrita como
8. ~Q para obtener como conclusión la
negación de la hipótesis escrita como ~P,
ello se puede generalizar para el caso que
se tengan varias premisas.
9. Método de demostración por reducción
al absurdo
Se atribuye al filósofo griego Zenón de
Elea, alrededor del siglo V a.C., la
invención del método de reducción al
absurdo que utilizaba en sus argumentos
y en sus famosas paradojas, desde
entonces es un método ampliamente
aplicado en matemáticas.
10. El procedimiento general para demostrar
indirectamente por reducción al absurdo
una proposición de la forma (P1∧P2∧…∧
Pn ) → Q consiste en:
1) Asumimos que la condicional es falsa
luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y
~Q son verdaderas
2) De lo anterior debemos llegar a una
contradicción, por lo que la condicional
tiene que ser verdadera.
11. Aristóteles fundamento lógicamente la
demostración por reducción al absurdo en
dos principios: principio de no
contradicción ~(p∧~p) considerada ley
suprema de la lógica según Kant y
Aristóteles, que significa que una
proposición no es verdadera y falsa
simultáneamente y el principio del tercero
excluido (p∨~p) que significa que una
proposición es verdadera o falsa.
12. Si no son aceptados los principios
anteriores, el método de reducción al
absurdo carece de fundamento lógico.
13. C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR
EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
MATEMÁTICA
El principio de inducción matemática es
un principio universalmente válido en
matemáticas y es fundamentalmente uno
de los axiomas de los números naturales
construidos por el matemático italiano
Giuseppe Peano a finales del siglo XIX.
14. Las demostraciones por el principio de
inducción matemática se consideran
indirectas. El principio de inducción
matemática es utilizado para demostrar la
veracidad de proposiciones p(n) donde n
es un número natural mayor o igual que
un valor inicial no, el principio de inducción
matemática consiste en:
1) Inicialmente se verifica que la
proposición p(n) es verdadera para n=no,
es decir p (no) es verdadera.
15. ii) Se enuncia la hipótesis de inducción:
p(k) es verdadera para el número natural
k.
iii) Usando la hipótesis de inducción
enunciada en (ii) y otras proposiciones
verdaderas demostradas anteriormente se
demuestra que p (k+1) es verdadera.
iv) La conclusión consiste en que p(n) es
verdadera para todo n≥no
16. D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO
Este método se aplica de manera muy
particular para demostrar la falsedad de
proposiciones cuya hipótesis está
construida mediante un "cuantificador
universal". Esto es, se aplica para
demostrar la falsedad de una proposición
que tenga una conclusión referida para
"todos los elementos de un cierto
conjunto".
17. “Una demostración consiste en una
sucesión de formulas que, o bien son
axiomas, o bien son teoremas, o se han
obtenido de éstas mediante inferencias
admisibles”. Hilbert
“Los encantos de esta ciencia sublime, las
matemáticas, sólo se le revelan a aquellos
que tienen el valor de profundizar en ella”.
Carl Friedrich Gauss
18. Un axioma es una proposición que se
considera «evidente» y se acepta sin
requerir demostración previa.
Un postulado es una proposición no
evidente por sí misma, ni demostrada,
pero que se acepta ya que no existe otro
principio al que pueda ser referida.
19. Un lema es
una proposición demostrada, utilizada
para establecer un teorema menor o una
premisa auxiliar que forma parte de un
teorema más general
Un teorema es una afirmación que
puede ser demostrada dentro de
un sistema formal. Demostrar teoremas es
un asunto central en la lógica y la
matemática.
20. Un corolario es una conclusión obvia
o inevitable que se desprende de ciertos
antecedentes