SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 20
Baixar para ler offline
Métodos de Demostración en
       Matemáticas
  Lic. Renzo Hubert Osorio Ccoya
En matemáticas no se acepta una
proposición como verdadera hasta que se
construye su demostración formal,
aunque la proposición sea válida para un
número finito de casos no significa que
sea válida para todo el universo, por
ejemplo la conjetura de Goldbach
(todo número par mayor que 2 puede
escribirse como suma de dos números
primos) se ha verificado utilizando
computadoras para millones de casos
pero a pesar de ello no se acepta como
verdadera.
Veamos el siguiente razonamiento:
Si x=y entonces:
3x=3y
2y=2x
luego:
3x+2y=3y+2x
3x-3y=2x-2y
3(x-y)=2(x-y)
3=2
¿qué paso?
Aquí consideraremos los siguientes
métodos de demostración:
a) Método directo de demostración
b) Métodos indirectos de demostración
   por contrapositiva
   por reducción al absurdo
c) Método de Inducción matemática
d) Método por contraejemplo
A) MÉTODO         DE      DEMOSTRACIÓN
   DIRECTA
   Aquí se tiene como hipótesis verdaderas
   las proposiciones P1, P2,…,Pn
   procediendo a la deducción de que la
   conclusión Q es verdadera a través de
   un proceso lógico deductivo, es decir
   como una cadena de implicaciones
   lógicas. El esquema de demostración en
   el método directo es de la forma:
      P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
El método de demostración directo tiene
como fundamento lógico la regla de
inferencia    clásica     o    esquema
argumentativo válido llamado Modus
Ponens:
  [ P∧ (P→Q) ] →Q
que significa: si la    hipótesis P es
verdadera y la hipótesis P implica la
conclusión Q entonces la conclusión Q es
verdadera.
B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
    INDIRECTOS
 Método       de     demostración    por
 contrapositiva
 Tiene como fundamento la equivalencia
 lógica entre las proposiciones P→Q y
 ~Q→~P)
 Para realizar una demostración por
 contrapositiva se toma como hipótesis la
 negación de la conclusión escrita como
~Q para obtener como conclusión la
negación de la hipótesis escrita como ~P,
ello se puede generalizar para el caso que
se tengan varias premisas.
Método de demostración por reducción
al absurdo
Se atribuye al filósofo griego Zenón de
Elea, alrededor del siglo V a.C., la
invención del método de reducción al
absurdo que utilizaba en sus argumentos
y en sus famosas paradojas, desde
entonces es un método ampliamente
aplicado en matemáticas.
El procedimiento general para demostrar
indirectamente por reducción al absurdo
una proposición de la forma (P1∧P2∧…∧
Pn ) → Q consiste en:
1) Asumimos que la condicional es falsa
luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y
~Q son verdaderas
2) De lo anterior debemos llegar a una
contradicción, por lo que la condicional
tiene que ser verdadera.
Aristóteles fundamento lógicamente la
demostración por reducción al absurdo en
dos       principios: principio de no
contradicción ~(p∧~p) considerada ley
suprema de la lógica según Kant y
Aristóteles, que significa que una
proposición no es verdadera y falsa
simultáneamente y el principio del tercero
excluido (p∨~p) que significa que una
proposición es verdadera o falsa.
Si no son aceptados los        principios
anteriores, el método de reducción al
absurdo carece de fundamento lógico.
C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR
 EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
 MATEMÁTICA
 El principio de inducción matemática es
 un principio universalmente válido en
 matemáticas y es fundamentalmente uno
 de los axiomas de los números naturales
 construidos por el matemático italiano
 Giuseppe Peano a finales del siglo XIX.
Las demostraciones por el principio de
inducción matemática se consideran
indirectas. El principio de inducción
matemática es utilizado para demostrar la
veracidad de proposiciones p(n) donde n
es un número natural mayor o igual que
un valor inicial no, el principio de inducción
matemática consiste en:
1) Inicialmente se verifica que la
proposición p(n) es verdadera para n=no,
es decir p (no) es verdadera.
ii) Se enuncia la hipótesis de inducción:
p(k) es verdadera para el número natural
k.
iii) Usando la hipótesis de inducción
enunciada en (ii) y otras proposiciones
verdaderas demostradas anteriormente se
demuestra que p (k+1) es verdadera.
iv) La conclusión consiste en que p(n) es
verdadera para todo n≥no
D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO
   Este método se aplica de manera muy
 particular para demostrar la falsedad de
 proposiciones cuya     hipótesis     está
 construida mediante un "cuantificador
 universal". Esto es, se aplica para
 demostrar la falsedad de una proposición
 que tenga una conclusión referida para
 "todos los elementos de un cierto
 conjunto".
“Una demostración consiste en una
sucesión de formulas que, o bien son
axiomas, o bien son teoremas, o se han
obtenido de éstas mediante inferencias
admisibles”.                    Hilbert

“Los encantos de esta ciencia sublime, las
matemáticas, sólo se le revelan a aquellos
que tienen el valor de profundizar en ella”.
                   Carl Friedrich Gauss
Un axioma es una proposición que se
considera «evidente» y se acepta sin
requerir demostración previa.

    Un postulado es una proposición no
evidente por sí misma, ni demostrada,
pero que se acepta ya que no existe otro
principio al que pueda ser referida.
Un               lema                es
una proposición demostrada,      utilizada
para establecer un teorema menor o una
premisa auxiliar que forma parte de un
teorema más general
   Un teorema es una afirmación que
puede    ser demostrada     dentro      de
un sistema formal. Demostrar teoremas es
un asunto central en la lógica y la
matemática.
Un corolario es una conclusión obvia
o inevitable que se desprende de ciertos
antecedentes

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Conjuntos demostraciones
Conjuntos demostracionesConjuntos demostraciones
Conjuntos demostracionesRafa Cruz
 
Axiomas y teoremas de los números reales
Axiomas y teoremas de los números realesAxiomas y teoremas de los números reales
Axiomas y teoremas de los números realesoscartl
 
Logica proposicional[1][1]
Logica proposicional[1][1]Logica proposicional[1][1]
Logica proposicional[1][1]Henry Villalba
 
Ejercicios resueltos de tablas de verdad
Ejercicios resueltos de tablas de verdadEjercicios resueltos de tablas de verdad
Ejercicios resueltos de tablas de verdadpaquitogiron
 
Función proposicional y cuantificadores
Función proposicional y cuantificadoresFunción proposicional y cuantificadores
Función proposicional y cuantificadoresPacheco Huarotto, Luis
 
Leyes lógica matemática y conjuntos
Leyes lógica matemática y conjuntosLeyes lógica matemática y conjuntos
Leyes lógica matemática y conjuntosAlejo Tephros
 
Ejemplos de logica proposicional
Ejemplos de logica proposicionalEjemplos de logica proposicional
Ejemplos de logica proposicionalamarilisrivas94
 
Las proposiciones y Las conectivas lógicas.
Las proposiciones y Las conectivas lógicas.Las proposiciones y Las conectivas lógicas.
Las proposiciones y Las conectivas lógicas.CARLOS MASSUH
 
EJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONES
EJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONESEJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONES
EJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONESAlexander Flores Valencia
 
INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONESINTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONESGary Sv
 

Mais procurados (20)

Conjuntos demostraciones
Conjuntos demostracionesConjuntos demostraciones
Conjuntos demostraciones
 
Logica y conjuntos
Logica y conjuntosLogica y conjuntos
Logica y conjuntos
 
Examen1 lógica
Examen1 lógicaExamen1 lógica
Examen1 lógica
 
Modus Ponendo Ponens
Modus Ponendo PonensModus Ponendo Ponens
Modus Ponendo Ponens
 
Logica proposicional
Logica proposicionalLogica proposicional
Logica proposicional
 
Leyes De Lógica
Leyes De LógicaLeyes De Lógica
Leyes De Lógica
 
Axiomas y teoremas de los números reales
Axiomas y teoremas de los números realesAxiomas y teoremas de los números reales
Axiomas y teoremas de los números reales
 
Logica proposicional[1][1]
Logica proposicional[1][1]Logica proposicional[1][1]
Logica proposicional[1][1]
 
Inferencia logica
Inferencia logicaInferencia logica
Inferencia logica
 
Ejercicios resueltos de tablas de verdad
Ejercicios resueltos de tablas de verdadEjercicios resueltos de tablas de verdad
Ejercicios resueltos de tablas de verdad
 
Función proposicional y cuantificadores
Función proposicional y cuantificadoresFunción proposicional y cuantificadores
Función proposicional y cuantificadores
 
Simbolizacion de proposiciones
Simbolizacion de proposicionesSimbolizacion de proposiciones
Simbolizacion de proposiciones
 
Leyes lógica matemática y conjuntos
Leyes lógica matemática y conjuntosLeyes lógica matemática y conjuntos
Leyes lógica matemática y conjuntos
 
1 enunciados y proposiciones 6
1 enunciados y proposiciones 61 enunciados y proposiciones 6
1 enunciados y proposiciones 6
 
Ejemplos de logica proposicional
Ejemplos de logica proposicionalEjemplos de logica proposicional
Ejemplos de logica proposicional
 
TAUTOLOGÍA .
TAUTOLOGÍA .TAUTOLOGÍA .
TAUTOLOGÍA .
 
Las proposiciones y Las conectivas lógicas.
Las proposiciones y Las conectivas lógicas.Las proposiciones y Las conectivas lógicas.
Las proposiciones y Las conectivas lógicas.
 
EJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONES
EJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONESEJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONES
EJERCICIOS DE PERMUTACIONES, COMBINACIONES, VARIACIONES
 
Conjunto ejercicios-y-teoria
Conjunto ejercicios-y-teoriaConjunto ejercicios-y-teoria
Conjunto ejercicios-y-teoria
 
INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONESINTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES
 

Destaque

Métodos de demostración directa e indirecta
Métodos de demostración directa e indirectaMétodos de demostración directa e indirecta
Métodos de demostración directa e indirectapapiolo35
 
Metodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbely
Metodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbelyMetodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbely
Metodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbelyN261190
 
La reducción al absurdo
La reducción al absurdoLa reducción al absurdo
La reducción al absurdoLógica Usp-t
 
Demostracion matematica
Demostracion matematicaDemostracion matematica
Demostracion matematicayoko20142
 
Lógica proposicional
Lógica proposicionalLógica proposicional
Lógica proposicionalMaria Gaitan
 
Metodo de demostracion directa e indirecta
Metodo de demostracion directa e indirectaMetodo de demostracion directa e indirecta
Metodo de demostracion directa e indirectaShoppy Mind'Freak
 
Predicados y cuantificadores autora elsa guédez
Predicados y cuantificadores autora elsa guédezPredicados y cuantificadores autora elsa guédez
Predicados y cuantificadores autora elsa guédezElsa Guédez
 
Lógica matemática
Lógica matemáticaLógica matemática
Lógica matemáticawarrior92
 
Cómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos
Cómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnosCómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos
Cómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnosCindy Martinez
 
Calculo proposicional
Calculo proposicionalCalculo proposicional
Calculo proposicionalherostara
 
Teoremas Fundamentales Algebra de Boole
Teoremas Fundamentales Algebra de BooleTeoremas Fundamentales Algebra de Boole
Teoremas Fundamentales Algebra de BooleEmi Fernandez
 
Modus Ponendo Ponens
Modus Ponendo PonensModus Ponendo Ponens
Modus Ponendo PonensIsidorogg
 
Leyes de la logica e inferencias
Leyes de la  logica  e inferenciasLeyes de la  logica  e inferencias
Leyes de la logica e inferenciasMaria Gaitan
 

Destaque (20)

Métodos de demostración directa e indirecta
Métodos de demostración directa e indirectaMétodos de demostración directa e indirecta
Métodos de demostración directa e indirecta
 
Metodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbely
Metodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbelyMetodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbely
Metodos de demostracion Directa e indirectaasignacion 1 norbely
 
Metodos de demostracion
Metodos de demostracionMetodos de demostracion
Metodos de demostracion
 
La reducción al absurdo
La reducción al absurdoLa reducción al absurdo
La reducción al absurdo
 
Demostracion matematica
Demostracion matematicaDemostracion matematica
Demostracion matematica
 
Lógica proposicional
Lógica proposicionalLógica proposicional
Lógica proposicional
 
La lógica matemática
La lógica matemáticaLa lógica matemática
La lógica matemática
 
Metodo de demostracion directa e indirecta
Metodo de demostracion directa e indirectaMetodo de demostracion directa e indirecta
Metodo de demostracion directa e indirecta
 
Predicados y cuantificadores autora elsa guédez
Predicados y cuantificadores autora elsa guédezPredicados y cuantificadores autora elsa guédez
Predicados y cuantificadores autora elsa guédez
 
Lógica matemática
Lógica matemáticaLógica matemática
Lógica matemática
 
Julio saia
Julio saiaJulio saia
Julio saia
 
Unidad i
Unidad iUnidad i
Unidad i
 
Cómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos
Cómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnosCómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos
Cómo desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos
 
Calculo proposicional
Calculo proposicionalCalculo proposicional
Calculo proposicional
 
Teoremas Fundamentales Algebra de Boole
Teoremas Fundamentales Algebra de BooleTeoremas Fundamentales Algebra de Boole
Teoremas Fundamentales Algebra de Boole
 
Clasificación de las proposiciones
Clasificación de las proposicionesClasificación de las proposiciones
Clasificación de las proposiciones
 
Modulo logica matematica
Modulo  logica matematicaModulo  logica matematica
Modulo logica matematica
 
Modus Ponendo Ponens
Modus Ponendo PonensModus Ponendo Ponens
Modus Ponendo Ponens
 
Leyes de la logica e inferencias
Leyes de la  logica  e inferenciasLeyes de la  logica  e inferencias
Leyes de la logica e inferencias
 
Razonamiento logico matematico
Razonamiento logico matematicoRazonamiento logico matematico
Razonamiento logico matematico
 

Semelhante a Métodos de Demostración en Matemática

3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damaris
3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damaris3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damaris
3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damarisjordycedillo1
 
3ro numero complejos grupal
3ro numero complejos   grupal3ro numero complejos   grupal
3ro numero complejos grupalJeremyPolo1
 
Logicamatematica herney guzman
Logicamatematica herney guzmanLogicamatematica herney guzman
Logicamatematica herney guzmanHerneyGuzman
 
Logicamatematica paula alejandra
Logicamatematica paula alejandraLogicamatematica paula alejandra
Logicamatematica paula alejandrapaula0610
 
Metodos de demostracion
Metodos de demostracionMetodos de demostracion
Metodos de demostracionpuce-si
 
Herney guzman logica matematica
Herney guzman logica matematicaHerney guzman logica matematica
Herney guzman logica matematicaHerneyGuzman
 
Proposiciones
ProposicionesProposiciones
Proposicionesluisv9616
 
métodos de demostración matemática
métodos de demostración matemática métodos de demostración matemática
métodos de demostración matemática LeoNaula1
 
metodos de demostracion
metodos de demostracionmetodos de demostracion
metodos de demostracionCristopher
 
métodos de demostración matemática
métodos de demostración matemáticamétodos de demostración matemática
métodos de demostración matemáticaLeoNaula1
 
Objetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozco
Objetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozcoObjetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozco
Objetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozcoJhonder Orozco
 
Logica matematica
Logica matematicaLogica matematica
Logica matematica28100608
 
Logica matematica
Logica matematicaLogica matematica
Logica matematica08061028
 

Semelhante a Métodos de Demostración en Matemática (20)

3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damaris
3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damaris3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damaris
3ro numero complejos mishel barzallo jeremy polo damaris
 
3ro numero complejos grupal
3ro numero complejos   grupal3ro numero complejos   grupal
3ro numero complejos grupal
 
Deber 19 oct 2010
Deber 19 oct 2010Deber 19 oct 2010
Deber 19 oct 2010
 
Logicamatematica herney guzman
Logicamatematica herney guzmanLogicamatematica herney guzman
Logicamatematica herney guzman
 
Logica matematica
Logica matematicaLogica matematica
Logica matematica
 
Logica matematica
Logica matematicaLogica matematica
Logica matematica
 
Logicamatematica paula alejandra
Logicamatematica paula alejandraLogicamatematica paula alejandra
Logicamatematica paula alejandra
 
Metodos de demostracion
Metodos de demostracionMetodos de demostracion
Metodos de demostracion
 
Herney guzman logica matematica
Herney guzman logica matematicaHerney guzman logica matematica
Herney guzman logica matematica
 
Proposiciones
ProposicionesProposiciones
Proposiciones
 
La demostracion
La demostracionLa demostracion
La demostracion
 
métodos de demostración matemática
métodos de demostración matemática métodos de demostración matemática
métodos de demostración matemática
 
metodos de demostracion
metodos de demostracionmetodos de demostracion
metodos de demostracion
 
métodos de demostración matemática
métodos de demostración matemáticamétodos de demostración matemática
métodos de demostración matemática
 
Proposiciones
ProposicionesProposiciones
Proposiciones
 
Objetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozco
Objetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozcoObjetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozco
Objetivo unidad 1.pdf estructura discreta 1 jhonder orozco
 
Anshi numeros
Anshi numerosAnshi numeros
Anshi numeros
 
Archivo slideshare
Archivo slideshareArchivo slideshare
Archivo slideshare
 
Logica matematica
Logica matematicaLogica matematica
Logica matematica
 
Logica matematica
Logica matematicaLogica matematica
Logica matematica
 

Mais de Wilbert Tapia

Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...
Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...
Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...Wilbert Tapia
 
Doce herramientas de pensamiento generales, Daniel Dennett
Doce herramientas de pensamiento generales, Daniel DennettDoce herramientas de pensamiento generales, Daniel Dennett
Doce herramientas de pensamiento generales, Daniel DennettWilbert Tapia
 
El largo camino del ser humano
El largo camino del ser humanoEl largo camino del ser humano
El largo camino del ser humanoWilbert Tapia
 
Categorías ontológicas
Categorías ontológicasCategorías ontológicas
Categorías ontológicasWilbert Tapia
 
Concepciones ontológicas
Concepciones ontológicasConcepciones ontológicas
Concepciones ontológicasWilbert Tapia
 
Peter Sloterdijk. Técnicas de crianza
Peter Sloterdijk. Técnicas de crianzaPeter Sloterdijk. Técnicas de crianza
Peter Sloterdijk. Técnicas de crianzaWilbert Tapia
 
Jurgen Habermas: Técnica como ideología
Jurgen Habermas: Técnica como ideologíaJurgen Habermas: Técnica como ideología
Jurgen Habermas: Técnica como ideologíaWilbert Tapia
 
Supuestos ontológicos en la ciencia, ejemplos
Supuestos ontológicos en la ciencia, ejemplosSupuestos ontológicos en la ciencia, ejemplos
Supuestos ontológicos en la ciencia, ejemplosWilbert Tapia
 
Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"
Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"
Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"Wilbert Tapia
 
Subdesarrollo, ciencia y tecnología
Subdesarrollo, ciencia y tecnologíaSubdesarrollo, ciencia y tecnología
Subdesarrollo, ciencia y tecnologíaWilbert Tapia
 
Presentación Ontología y Metafísica
Presentación Ontología y MetafísicaPresentación Ontología y Metafísica
Presentación Ontología y MetafísicaWilbert Tapia
 
Investigación en Filosofía, Julio del Valle
Investigación en Filosofía, Julio del ValleInvestigación en Filosofía, Julio del Valle
Investigación en Filosofía, Julio del ValleWilbert Tapia
 
Filosofía de la tecnología, Eduardo García
Filosofía de la tecnología, Eduardo GarcíaFilosofía de la tecnología, Eduardo García
Filosofía de la tecnología, Eduardo GarcíaWilbert Tapia
 
Problemas filosóficos de la tecnología
Problemas filosóficos de la tecnologíaProblemas filosóficos de la tecnología
Problemas filosóficos de la tecnologíaWilbert Tapia
 
Breves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América Latina
Breves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América LatinaBreves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América Latina
Breves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América LatinaWilbert Tapia
 
El pensamiento sobre la tecnología en la historia
El pensamiento sobre la tecnología en la historiaEl pensamiento sobre la tecnología en la historia
El pensamiento sobre la tecnología en la historiaWilbert Tapia
 
El problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnología
El problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnologíaEl problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnología
El problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnologíaWilbert Tapia
 
El hombre postorgánico: un proyecto fáustico
El hombre postorgánico: un proyecto fáusticoEl hombre postorgánico: un proyecto fáustico
El hombre postorgánico: un proyecto fáusticoWilbert Tapia
 
Hans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnico
Hans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnicoHans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnico
Hans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnicoWilbert Tapia
 

Mais de Wilbert Tapia (20)

Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...
Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...
Propuestas de planes de gobierno de candidatos presidenciales. Elecciones Gen...
 
Doce herramientas de pensamiento generales, Daniel Dennett
Doce herramientas de pensamiento generales, Daniel DennettDoce herramientas de pensamiento generales, Daniel Dennett
Doce herramientas de pensamiento generales, Daniel Dennett
 
El largo camino del ser humano
El largo camino del ser humanoEl largo camino del ser humano
El largo camino del ser humano
 
Categorías ontológicas
Categorías ontológicasCategorías ontológicas
Categorías ontológicas
 
Concepciones ontológicas
Concepciones ontológicasConcepciones ontológicas
Concepciones ontológicas
 
Peter Sloterdijk. Técnicas de crianza
Peter Sloterdijk. Técnicas de crianzaPeter Sloterdijk. Técnicas de crianza
Peter Sloterdijk. Técnicas de crianza
 
Jurgen Habermas: Técnica como ideología
Jurgen Habermas: Técnica como ideologíaJurgen Habermas: Técnica como ideología
Jurgen Habermas: Técnica como ideología
 
Supuestos ontológicos en la ciencia, ejemplos
Supuestos ontológicos en la ciencia, ejemplosSupuestos ontológicos en la ciencia, ejemplos
Supuestos ontológicos en la ciencia, ejemplos
 
Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"
Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"
Enrique Verástegui, "Mi casa era el útero al que siempre volvía"
 
Subdesarrollo, ciencia y tecnología
Subdesarrollo, ciencia y tecnologíaSubdesarrollo, ciencia y tecnología
Subdesarrollo, ciencia y tecnología
 
Presentación Ontología y Metafísica
Presentación Ontología y MetafísicaPresentación Ontología y Metafísica
Presentación Ontología y Metafísica
 
Investigación en Filosofía, Julio del Valle
Investigación en Filosofía, Julio del ValleInvestigación en Filosofía, Julio del Valle
Investigación en Filosofía, Julio del Valle
 
Filosofía de la tecnología, Eduardo García
Filosofía de la tecnología, Eduardo GarcíaFilosofía de la tecnología, Eduardo García
Filosofía de la tecnología, Eduardo García
 
Problemas filosóficos de la tecnología
Problemas filosóficos de la tecnologíaProblemas filosóficos de la tecnología
Problemas filosóficos de la tecnología
 
Breves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América Latina
Breves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América LatinaBreves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América Latina
Breves antecedentes sobre ciencia, tecnología y desarrollo en América Latina
 
El pensamiento sobre la tecnología en la historia
El pensamiento sobre la tecnología en la historiaEl pensamiento sobre la tecnología en la historia
El pensamiento sobre la tecnología en la historia
 
El problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnología
El problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnologíaEl problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnología
El problema de que nuestra conciencia no esté al nivel de nuestra tecnología
 
El hombre postorgánico: un proyecto fáustico
El hombre postorgánico: un proyecto fáusticoEl hombre postorgánico: un proyecto fáustico
El hombre postorgánico: un proyecto fáustico
 
Hans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnico
Hans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnicoHans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnico
Hans Jonas. Tanta responsabilidad como poder técnico
 
Noción de Derecho
Noción de DerechoNoción de Derecho
Noción de Derecho
 

Métodos de Demostración en Matemática

  • 1. Métodos de Demostración en Matemáticas Lic. Renzo Hubert Osorio Ccoya
  • 2. En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se construye su demostración formal, aunque la proposición sea válida para un número finito de casos no significa que sea válida para todo el universo, por ejemplo la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos) se ha verificado utilizando computadoras para millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera.
  • 3. Veamos el siguiente razonamiento: Si x=y entonces: 3x=3y 2y=2x luego: 3x+2y=3y+2x 3x-3y=2x-2y 3(x-y)=2(x-y) 3=2 ¿qué paso?
  • 4. Aquí consideraremos los siguientes métodos de demostración: a) Método directo de demostración b) Métodos indirectos de demostración por contrapositiva por reducción al absurdo c) Método de Inducción matemática d) Método por contraejemplo
  • 5. A) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA Aquí se tiene como hipótesis verdaderas las proposiciones P1, P2,…,Pn procediendo a la deducción de que la conclusión Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir como una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de demostración en el método directo es de la forma: P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
  • 6. El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado Modus Ponens: [ P∧ (P→Q) ] →Q que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Q entonces la conclusión Q es verdadera.
  • 7. B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTOS Método de demostración por contrapositiva Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las proposiciones P→Q y ~Q→~P) Para realizar una demostración por contrapositiva se toma como hipótesis la negación de la conclusión escrita como
  • 8. ~Q para obtener como conclusión la negación de la hipótesis escrita como ~P, ello se puede generalizar para el caso que se tengan varias premisas.
  • 9. Método de demostración por reducción al absurdo Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas.
  • 10. El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo una proposición de la forma (P1∧P2∧…∧ Pn ) → Q consiste en: 1) Asumimos que la condicional es falsa luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y ~Q son verdaderas 2) De lo anterior debemos llegar a una contradicción, por lo que la condicional tiene que ser verdadera.
  • 11. Aristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al absurdo en dos principios: principio de no contradicción ~(p∧~p) considerada ley suprema de la lógica según Kant y Aristóteles, que significa que una proposición no es verdadera y falsa simultáneamente y el principio del tercero excluido (p∨~p) que significa que una proposición es verdadera o falsa.
  • 12. Si no son aceptados los principios anteriores, el método de reducción al absurdo carece de fundamento lógico.
  • 13. C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA El principio de inducción matemática es un principio universalmente válido en matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los números naturales construidos por el matemático italiano Giuseppe Peano a finales del siglo XIX.
  • 14. Las demostraciones por el principio de inducción matemática se consideran indirectas. El principio de inducción matemática es utilizado para demostrar la veracidad de proposiciones p(n) donde n es un número natural mayor o igual que un valor inicial no, el principio de inducción matemática consiste en: 1) Inicialmente se verifica que la proposición p(n) es verdadera para n=no, es decir p (no) es verdadera.
  • 15. ii) Se enuncia la hipótesis de inducción: p(k) es verdadera para el número natural k. iii) Usando la hipótesis de inducción enunciada en (ii) y otras proposiciones verdaderas demostradas anteriormente se demuestra que p (k+1) es verdadera. iv) La conclusión consiste en que p(n) es verdadera para todo n≥no
  • 16. D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un "cuantificador universal". Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los elementos de un cierto conjunto".
  • 17. “Una demostración consiste en una sucesión de formulas que, o bien son axiomas, o bien son teoremas, o se han obtenido de éstas mediante inferencias admisibles”. Hilbert “Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”. Carl Friedrich Gauss
  • 18. Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.
  • 19. Un lema es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema menor o una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática.
  • 20. Un corolario es una conclusión obvia o inevitable que se desprende de ciertos antecedentes