Ficha de trabalho gave exercicios de matemática a

3.977 visualizações

Publicada em

ficha de exercicios Probabilidades e Combinatória

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.977
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
69
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Ficha de trabalho gave exercicios de matemática a

  1. 1. Caderno de Exercícios do GAVE Questões de Resposta Média-Longa Matemática-A 12ºanoTema 1 – Probabilidades e Combinatória1.Uma turma de 12.º ano é constituída por 14 raparigas e 10 rapazes.1
  2. 2. 1.1. Os alunos da turma vão dispor-se em duas filas para tirarem uma fotografia degrupo. Combinaram que:•  os rapazes ficam sentados na fila da frente;•  as raparigas ficam na fila de trás, em pé, ficando a delegada numa das extremidades e asubdelegada na outra extremidade, podendo cada uma destas duas alunas ocupar qualqueruma das extremidades.Escreva uma expressão que dê o número de maneiras diferentes de, nestas condições,os jovens se poderem dispor para a fotografia.1.2. Vão ser escolhidos aleatoriamente dois jovens desta turma, para constituírem umacomissão que participará num congresso. Seja Xo número de raparigas que integram acomissão. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X.Apresente as probabilidades na forma de fracção irredutível.2.Uma caixa, que designaremos por caixa 1, tem uma bola branca e duas bolas pretas.2.1. Considere a experiência que consiste em tirar, ao acaso, uma bola da caixa 1,observar a sua cor e voltar a colocar a bola na caixa. Efetua-se esta experiência cincovezes. Qual é a probabilidade de sair bola preta pelo menos quatro vezes?2.2.Outra caixa, que designaremos por caixa 2, tem três bolas brancas e quatro bolaspretas. Realiza-se a seguinte experiência: ao acaso, tiram-se duas bolas da caixa 1 ecolocam-se na caixa 2; em seguida, tiram-se simultaneamente duas bolas da caixa 2.Sejam A e B os acontecimentos:A: «As bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»B: «As bolas retiradas da caixa 2 são da mesma cor»Determine o valor de P( B|A), sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada. Numapequena composição, justifique a sua resposta. A sua composição deve contemplar:•  o significado de P( B|A), no contexto da situação descrita;•  a explicação do conteúdo da caixa 2 após a realização do acontecimento A•  a explicação do número de casos possíveis;•  a explicação do número de casos favoráveis;•  a apresentação do valor da probabilidade pedida.3. A Ana dispõe de sete cartas todas diferentes: quatro cartas do naipe de espadas e trêscartas do naipe de copas.3.1. A Ana vai dispor essas sete cartas sobre uma mesa, lado a lado, da esquerda para adireita, de modo a formar uma sequência com as sete cartas. A Ana pretende que a2
  3. 3. primeira e a última cartas da sequência sejam ambas do naipe de espadas. Quantassequências diferentes, nestas condições, pode a Ana fazer?3.2. Admita que a Ana baralha essas sete cartas e, em seguida, tira três, ao acaso. Qual éa probabilidade de, nessas três cartas, haver pelo menos uma carta de copas? Apresenteo resultado na forma de fracção irredutível.3.3. As cartas de que a Ana dispõe são:•  o ás, o rei, a dama e o valete do naipe de espadas;•  o rei, a dama e o valete do naipe de copas.Depois de introduzir as sete cartas num saco, a Ana retira uma carta ao acaso.Sejam A e B os acontecimentos:A : «A carta retirada é do naipe de espadas»B : «A carta retirada é um rei»Averigúe se os acontecimentos A e B são independentes.4.Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.Sejam A e B dois acontecimentos. Sabe-se que:•  P (B) = 0,3•  P (A|B) = 0,2•  P( = 0,4Determine P(B|A). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.5.Uma caixa contém quatro bolas brancas e quatro bolas pretas. Considere a experiênciaseguinte:Tira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Se a bola for branca, repõe-se na caixa;se a bola for preta, deixa‑se ficar fora da caixa. Em seguida, tira-se, também ao acaso,uma segunda bola da caixa, e procede-se do mesmo modo: se a bola for branca,repõe‑se na caixa; se a bola for preta, deixa‑se ficar fora da caixa.Seja Xo número de bolas que, no final da experiência, estão fora da caixa.Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Apresenteas probabilidades na forma de fracção.6.Seja o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória.Sejam A e B doisacontecimentosambos com probabilidade diferente de zero. Prove que:P (A ) P (A|B) P ( ) ⇔ P (A) + P (B) P (A|B)3
  4. 4. 7.Lança-se um dado não equilibrado, com as faces xi 1 2 3 4 5 6numeradas de 1 a 6. Seja X a variável aleatória «númerosaído no lançamento efectuado». Admita que, para certos P (X=xi) 0.2 a 0.2 b 0.1 0.15números reais a eb, a tabela de distribuição deprobabilidades da variável aleatória X é:7.1.Determine a e b, sabendo que o valor médio da variável aleatória X é 3,4.7.2.Em relação ao lançamento dado não equilibrado, sejam C e D os acontecimentos:C: ««Sair um número ímpar» D:««Sair um número maior do que 4»Averigúe se os acontecimentos C e D são independentes.8.8.1. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam Ae B dois acontecimentos pertencentes a esse espaço de resultados, sendo que P(A) 0.Prove que: P(A) [P(B|A) – 1] + P( ) = P( )8.2. Num encontro desportivo, participam atletas de vários países, entre os quaisPortugal. Metades dos atletas portugueses que participam no encontro são do sexofeminino. Escolhido ao acaso um atleta participante no encontro, a probabilidade de eleser estrangeiro ou do sexo masculino é 90%. Participam no encontro duzentos atletas.Quantos são os atletas portugueses?Nota: se desejar, pode utilizar a igualdade do item 3.1. na resolução deste problema; nessecaso, comece por explicitar os acontecimentos A e B , no contexto do problema.9. Um saco contém onze bolas, numeradas de 1 a 11.9.1. Ao acaso, tiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco.Sejam A e B os acontecimentos:A: «o número da primeira bola retirada é par»;B: «o número da segunda bola retirada é par».Indique o valor de P (B| ), na forma de fracção irredutível, sem utilizar a fórmula daprobabilidade condicionada. Justifique a sua resposta, começando por explicar osignificado de P (B| ), no contexto da situação descrita.9.2. Considere novamente o saco com a sua constituição inicial. Ao acaso, extraem-sesimultaneamente três bolas do saco e anotam-se os respectivos números. Qual é aprobabilidade de o produto desses números ser ímpar? Apresente o resultado na formade dízima, arredondado às centésimas.4
  5. 5. 10.11.12.5
  6. 6. 13.Numa escola, realizou-se um estudo sobre os hábitos alimentares dos alunos. Noâmbito desse estudo, analisou-se o peso de todos os alunos. Sabe-se que:• 55% dos alunos são raparigas;• 30% das raparigas têm excesso de peso;• 40% dos rapazes não têm excesso de peso;13.1. Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola. Determine a probabilidade de oaluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem excesso de peso. Apresente o resultado naforma de fracção irredutível.13.2. Considere agora que a escola onde o estudo foi realizado tem 200 alunos.Pretende-se escolher, ao acaso, três alunos para representarem a escola num concurso.Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz. Apresente oresultado com arredondamento às centésimas.14. Num saco estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato,cada uma delas numerada com um número diferente: -2,-1, 0, 1 e 2. Extraem-se, ao acaso e em simultâneo,quatro bolas do saco. Seja X a variável aleatória«produto dos números inscritos nas bolas extraídas». Atabela de distribuição de probabilidades da variável X éa tabela ao lado.Elabore uma composição na qual: • Explique os valores da variável X • Justifique cada uma das probabilidades.15. 15.1.Nove jovens decidem ir a Berlim e escolhem essa companhia aérea. Cadajovem paga o bilhete com cartão multibanco, ou não, independentemente da forma depagamento utilizado pelos outros jovens. Considere que a probabilidade de um jovemutilizar cartão multibanco, para pagar o seu bilhete, é igual a 0,6. Determine aprobabilidade de exactamente 6 desses jovens utilizarem cartão multibanco parapagarem o seu bilhete. Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.15.2.A companhia aérea constatou que, quando o destino é Berlim, 5% dos seuspassageiros perdem o voo e que, quando o destino é Paris, 92% dos passageiros seguemviagem. Sabe-se que 30% dos bilhetes a baixo custo que a companhia vende têm pordestino Berlim. Determine a probabilidade de um passageiro, que comprou bilhete abaixo custo nessa companhia aérea, perder o voo. Apresente o resultado na forma dedízima.16. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam e dois acontecimentos , com . Prove que:6
  7. 7. 17. A MatFinance é uma empresa de consultoria financeira.17.1.Dos funcionários da MatFinance, sabe-se que: 60% são licenciados; dos que são licenciados, 80% têm idade inferior a 40 anos; dos que não são licenciados, 10% têm idade inferior a 40 anos.Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, serlicenciado, sabendo que tem idade não inferior a 40 anos. Apresente o resultado naforma de fracção irredutível.17.2.Considere o problema seguinte: «Foi pedido a 15 funcionários da MatFinance quese pronunciassem sobre um novo horário de trabalho.Desses 15 funcionários, 9 estão afavor do novo horário, 4 estão contra, e os restantes estão indecisos.Escolhe-se, aoacaso, 3 funcionários de entre os 15 funcionários considerados. De quantas maneirasdiferentes podem ser escolhidas os 3 funcionários, de forma que pelo menos 2 dosfuncionários escolhidos estejam a favor do novo horário de trabalho?»Apresentam-se, em seguida, duas respostas. Resposta I: Resposta II:Apenas uma das respostas está correta.Elabore uma composição na qual: Identifique a resposta correta; Explique um raciocínio que conduza à resposta correta; Proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorrecta, de modo a torná-la correta; Explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.7
  8. 8. 18.19.8
  9. 9. 20. Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10, sendo as 4 primeiras azuis e asseis últimas vermelhas. Retiram-se, sucessivamente e sem reposição duas bolas dacaixa.20.1. Determine a probabilidade de saírem duas bolas azuis.20.2. Determine a probabilidade de saírem duas bolas de cor diferente.21.De um baralhos de 40 cartas retiram-se simultaneamente duas cartas. Determine, soba forma de fracção irredutível, a probabilidade de que as duas cartas sejam:21.1. Um valete e um ás. 21.2. Dois ases. 21.3. Duas cartas do mesmo naipe.22.9
  10. 10. 23.24.10
  11. 11. 11
  12. 12. 12
  13. 13. Soluções Combinatória-Anexo I13
  14. 14. (Continuação-Tema I)25.Numa amostra constituída por 100 indivíduos obtiveram-se os seguintes resultadosapresentados no quadro seguinte: Com Bronquite Sem Bronquite Fumadores 40 20 Não-Fumadores 10 3025.1.Diga, justificando, se os acontecimentos «Ser Fumador» e «Ter bronquite» sãoindependentes.25.2.Calcule a probabilidade de um indivíduo que é fumador ter bronquite.26.Num conjunto de 100 moedas uma moeda possui 2 faces euro. Uma moeda escolhidaaleatoriamente desse conjunto é lançada 2 vezes.26.1. Qual é a probabilidade de saírem duas faces euro?14

×