1 6 Ecuaciones Exactas

Fernando Felix Solis Cortes
Fernando Felix Solis CortesMaestro en Tecnología Educativa em Universidad Autonoma de Baja California UABC/ Facultad de Pedagogía e Innovación Educativa

Metodo de ecuaciones exactas

Universidad Autónoma de Baja California UABC
                                                       Facultad de Ingeniería Mexicali

1.6 Ecuaciones Exactas

Ahora veremos la resolución de ecuaciones exactas a través de su método
correspondiente. Es importante señalar que este método se basa en el concepto del
diferencial total de una función así como en la forma diferencial exacta de una ecuación
diferencial, por lo que será importante definir primero dichos conceptos.

Recuerde que la ecuación diferencial de primer orden
                                            dy
                                               = f ( x, y )
                                            dx
También puede expresarse en la forma diferencial

                                 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

 Ejemplo:

  La Ec. Diferencial
                     dy 3x 2 – y
                     dx
                        =
                          x –1
                                                                      (       )
                                 puede expresarse así: y – 3 x 2 dx + ( x – 1)dy = 0



DEFINICION Diferencial total de una función
Recuerde que existe el concepto llamado diferencial total de una función expresado
como dF ( x, y ) , mismo que se define mediante:
                                            ∂F ( x, y )      ∂F ( x, y )
                           dF ( x, y ) :=               dx +             dy
                                               ∂x               ∂y
donde dx y dy son incrementos arbitrarios.


DEFINICION Forma diferencial exacta.
Se dice que la forma diferencial
                                      M ( x, y )dx + N ( x, y )dy
es exacta, si existe una función F ( x, y ) tal que
                    ∂F                                       ∂F
                       ( x , y ) = M ( x, y )                    ( x, y ) = N ( x, y )
                    ∂x                                       ∂y
Dicho de otra manera, la forma diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy es exacta si y solo si
proviene de aplicar el diferencial total a una función F ( x, y )


DEFINICION Ecuación diferencial exacta.
Si M ( x, y )dx + N ( x, y )dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuación
diferencial expresada como M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 se llama ecuación diferencial
exacta.




                                                                   Curso Ecuaciones Diferenciales
Universidad Autónoma de Baja California UABC
                                                            Facultad de Ingeniería Mexicali


  Ejemplo:
  La ecuación y ⋅ dx + x ⋅ dy = 0 es exacta, ya que:
                                         d ( xy ) = y ⋅ dx + x ⋅ dy
  es la diferencial total de F ( x, y ) = x ⋅ y

Ahora la pregunta debe ser, y cómo puedo verificar si una ecuación diferencial es
exacta? El criterio de exactitud nos puede ayudar.

Criterio de exactitud
Supóngase que las primeras derivadas parciales de M ( x, y ) y N ( x, y ) son continuas
en un rectángulo R.
Entonces M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es una ecuación exacta en R si y sólo si
                                          ∂M
                                              (x, y ) = ∂N (x, y )
                                           ∂y           ∂x
para todo ( x, y ) en R.


Método para resolver ecuaciones exactas
Paso 1. Si M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es una ecuación diferencial exacta, entonces
                                                (a)
                      ∂F ( x, y )                             ∂F ( x, y )
                 a)               = M ( x, y )           b)               = N ( x, y )
                         ∂x                                      ∂y
                                         (b)
Observe que ambos incisos son verdaderos desde el momento en que la ecuación es
exacta. Tomaremos como referencia solo uno, en este caso será el inciso a).

 Recuerde que en todo momento lo que queremos encontrar es la función F ( x, y ) , de
tal manera que procedemos a despejar dicho elemento a partir del inciso a). Observe
que F ( x, y ) esta afectado por un diferencial (derivada), así que integrando nos queda:

                                       F ( x, y ) = ∫ M ( x, y ) dx + C

Desde el momento en que estamos integrando con respecto a la variable independiente
x , la variable dependiente y se considera como constante (si estuviéramos integrando
con respecto a la variable dependiente y , entonces la variable independiente x sería
considerada como constante). De acuerdo a lo anterior la constante numérica C bien
podría ser una función que dependa de la variable dependiente y , por lo que podemos
escribir la siguiente ecuación:

                                     F ( x, y ) = ∫ M ( x, y ) dx + g ( y )




                                                                        Curso Ecuaciones Diferenciales
Universidad Autónoma de Baja California UABC
                                                                  Facultad de Ingeniería Mexicali
Hasta este punto prácticamente tenemos una parte de la solución, ya que conocemos el
valor de M ( x, y ) ; nos falta encontrar el valor de g ( y ) , procedimiento que veremos a
continuación.

Paso 2. Para determinar g ( y ) , se realiza lo siguiente: se toma la derivada parcial con
respecto a la variable dependiente y en ambos lados de la ecuación anterior.

De lo anterior resulta:


∂F ( x, y ) ∂
           =
                 ( ∫ M ( x, y ) dx + g ( y) )                       ∂F ( x, y ) ∂
                                                                               =
                                                                                    ( ∫ M ( x, y ) dx ) + g ′ ( y )
   ∂y                       ∂y                                         ∂y                  ∂y

Observe que gracias a que la ecuación es exacta podemos sustituir N ( x, y ) por ∂F ( x, y )
                                                                                                                 ∂y


lo que nos da:      N ( x, y ) =
                                   ∂   ( ∫ M ( x, y ) dx ) + g ′ ( y )
                                              ∂y

Paso 3. Despejamos g ′( y ) e integramos para obtener g ( y ) . Sustituyendo g ( y ) en
F ( x, y ) = ∫ M ( x, y ) dx + g ( y ) podemos tener el equivalente de F ( x, y )

Paso 4. Finalmente la solución de la ecuación diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
está dada implícitamente por F ( x, y ) = C


Ejemplos

 Resuelva:
                                                                         F ( x, y ) = x 2 y – tan x + y 2
  (2 xy – sec x )dx + (x
             2              2
                                + 2 y )dy = 0                Solución:
                                                                         x 2 y – tan x + y 2 = C



 Resuelva:
  (                  )      (
 1 + e x y + xe x y dx + xe x + 2 dy = 0 )                    Solución: xe x y + 2 y + x = C



Factores integrantes para ecuaciones exactas
       En ciertas ocasiones, una ecuación diferencial que no es exacta puede volverse
exacta a través de lo que se conoce como un factor integrante. Este factor integrante es
una función, que multiplicada por la ecuación diferencial en su forma diferencial, permite
a dicha ecuación cumplir con criterio de exactitud.



                                                                           Curso Ecuaciones Diferenciales
Universidad Autónoma de Baja California UABC
                                                       Facultad de Ingeniería Mexicali

       Para verificar si una ecuación diferencial posee un factor integrante se
consideran las siguientes dos condiciones:

       ⎛ M y − Nx ⎞
1) Si ⎜           ⎟ es una función que depende solamente de la variable independiente
       ⎝    N     ⎠
x , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial es:

                                                          M y −Nx
                                                      ∫             dx
                                        μ ( x) = e          N


       ⎛ Nx − M y ⎞
2) Si ⎜           ⎟ es una función que depende solamente de la variable independiente
       ⎝ M        ⎠
y , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial es:

                                                          Nx −M y

                                        μ ( y) = e∫
                                                                    dy
                                                            M



Notas importantes
   • La nomenclatura       N x representa la derivada parcial de la función N con respecto a la
          variable x
   •      Recuerde que N y M se obtienen de la ecuación diferencial original en su forma
          diferencial




Ejemplo

 Verifique que la siguiente ecuación diferencial no es exacta; encuentre un factor
 integrante y verifique nuevamente su criterio de exactitud.
  ( xy ) dx + ( 2 x 2 + 3 y 2 − 20 ) dy = 0




                                                                Curso Ecuaciones Diferenciales

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1 6 Ecuaciones Exactas

  • 1. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali 1.6 Ecuaciones Exactas Ahora veremos la resolución de ecuaciones exactas a través de su método correspondiente. Es importante señalar que este método se basa en el concepto del diferencial total de una función así como en la forma diferencial exacta de una ecuación diferencial, por lo que será importante definir primero dichos conceptos. Recuerde que la ecuación diferencial de primer orden dy = f ( x, y ) dx También puede expresarse en la forma diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 Ejemplo: La Ec. Diferencial dy 3x 2 – y dx = x –1 ( ) puede expresarse así: y – 3 x 2 dx + ( x – 1)dy = 0 DEFINICION Diferencial total de una función Recuerde que existe el concepto llamado diferencial total de una función expresado como dF ( x, y ) , mismo que se define mediante: ∂F ( x, y ) ∂F ( x, y ) dF ( x, y ) := dx + dy ∂x ∂y donde dx y dy son incrementos arbitrarios. DEFINICION Forma diferencial exacta. Se dice que la forma diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy es exacta, si existe una función F ( x, y ) tal que ∂F ∂F ( x , y ) = M ( x, y ) ( x, y ) = N ( x, y ) ∂x ∂y Dicho de otra manera, la forma diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy es exacta si y solo si proviene de aplicar el diferencial total a una función F ( x, y ) DEFINICION Ecuación diferencial exacta. Si M ( x, y )dx + N ( x, y )dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuación diferencial expresada como M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 se llama ecuación diferencial exacta. Curso Ecuaciones Diferenciales
  • 2. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali Ejemplo: La ecuación y ⋅ dx + x ⋅ dy = 0 es exacta, ya que: d ( xy ) = y ⋅ dx + x ⋅ dy es la diferencial total de F ( x, y ) = x ⋅ y Ahora la pregunta debe ser, y cómo puedo verificar si una ecuación diferencial es exacta? El criterio de exactitud nos puede ayudar. Criterio de exactitud Supóngase que las primeras derivadas parciales de M ( x, y ) y N ( x, y ) son continuas en un rectángulo R. Entonces M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es una ecuación exacta en R si y sólo si ∂M (x, y ) = ∂N (x, y ) ∂y ∂x para todo ( x, y ) en R. Método para resolver ecuaciones exactas Paso 1. Si M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es una ecuación diferencial exacta, entonces (a) ∂F ( x, y ) ∂F ( x, y ) a) = M ( x, y ) b) = N ( x, y ) ∂x ∂y (b) Observe que ambos incisos son verdaderos desde el momento en que la ecuación es exacta. Tomaremos como referencia solo uno, en este caso será el inciso a). Recuerde que en todo momento lo que queremos encontrar es la función F ( x, y ) , de tal manera que procedemos a despejar dicho elemento a partir del inciso a). Observe que F ( x, y ) esta afectado por un diferencial (derivada), así que integrando nos queda: F ( x, y ) = ∫ M ( x, y ) dx + C Desde el momento en que estamos integrando con respecto a la variable independiente x , la variable dependiente y se considera como constante (si estuviéramos integrando con respecto a la variable dependiente y , entonces la variable independiente x sería considerada como constante). De acuerdo a lo anterior la constante numérica C bien podría ser una función que dependa de la variable dependiente y , por lo que podemos escribir la siguiente ecuación: F ( x, y ) = ∫ M ( x, y ) dx + g ( y ) Curso Ecuaciones Diferenciales
  • 3. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali Hasta este punto prácticamente tenemos una parte de la solución, ya que conocemos el valor de M ( x, y ) ; nos falta encontrar el valor de g ( y ) , procedimiento que veremos a continuación. Paso 2. Para determinar g ( y ) , se realiza lo siguiente: se toma la derivada parcial con respecto a la variable dependiente y en ambos lados de la ecuación anterior. De lo anterior resulta: ∂F ( x, y ) ∂ = ( ∫ M ( x, y ) dx + g ( y) ) ∂F ( x, y ) ∂ = ( ∫ M ( x, y ) dx ) + g ′ ( y ) ∂y ∂y ∂y ∂y Observe que gracias a que la ecuación es exacta podemos sustituir N ( x, y ) por ∂F ( x, y ) ∂y lo que nos da: N ( x, y ) = ∂ ( ∫ M ( x, y ) dx ) + g ′ ( y ) ∂y Paso 3. Despejamos g ′( y ) e integramos para obtener g ( y ) . Sustituyendo g ( y ) en F ( x, y ) = ∫ M ( x, y ) dx + g ( y ) podemos tener el equivalente de F ( x, y ) Paso 4. Finalmente la solución de la ecuación diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 está dada implícitamente por F ( x, y ) = C Ejemplos Resuelva: F ( x, y ) = x 2 y – tan x + y 2 (2 xy – sec x )dx + (x 2 2 + 2 y )dy = 0 Solución: x 2 y – tan x + y 2 = C Resuelva: ( ) ( 1 + e x y + xe x y dx + xe x + 2 dy = 0 ) Solución: xe x y + 2 y + x = C Factores integrantes para ecuaciones exactas En ciertas ocasiones, una ecuación diferencial que no es exacta puede volverse exacta a través de lo que se conoce como un factor integrante. Este factor integrante es una función, que multiplicada por la ecuación diferencial en su forma diferencial, permite a dicha ecuación cumplir con criterio de exactitud. Curso Ecuaciones Diferenciales
  • 4. Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali Para verificar si una ecuación diferencial posee un factor integrante se consideran las siguientes dos condiciones: ⎛ M y − Nx ⎞ 1) Si ⎜ ⎟ es una función que depende solamente de la variable independiente ⎝ N ⎠ x , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial es: M y −Nx ∫ dx μ ( x) = e N ⎛ Nx − M y ⎞ 2) Si ⎜ ⎟ es una función que depende solamente de la variable independiente ⎝ M ⎠ y , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial es: Nx −M y μ ( y) = e∫ dy M Notas importantes • La nomenclatura N x representa la derivada parcial de la función N con respecto a la variable x • Recuerde que N y M se obtienen de la ecuación diferencial original en su forma diferencial Ejemplo Verifique que la siguiente ecuación diferencial no es exacta; encuentre un factor integrante y verifique nuevamente su criterio de exactitud. ( xy ) dx + ( 2 x 2 + 3 y 2 − 20 ) dy = 0 Curso Ecuaciones Diferenciales