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é um autovetor de A associado ao autovalor 01 =λ . Além disso,
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são autovalores de A. Para encontrar os autovetores de A associados a 21 =λ ,
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  1. 1. 82 Parte 5 – Autovetores e Autovalores
  2. 2. 83 Autovetores e Autovalores DEFINIÇÃO: Seja A uma matriz n×n. O número real λ é um autovalor de A se existe um vetor não-nulo x v em n R tal que xxA vv λ= Todo vetor não-nulo x v satisfazendo esta equação é chamado um autovetor de A associado ao autovalor λ. Autovalores são também chamados de valores próprios ou valores característicos. Nesses casos, os autovetores são chamados de vetores próprios ou vetores característicos, respectivamente. Note que 0x vv = sempre satisfaz a definição, mas 0 v não é um autovetor, pois um autovetor tem que ser um vetor não-nulo. Exemplo: Se A é a matriz identidade nI , seu único autovalor é 1; todos os vetores não-nulos em n R são autovetores de A associados ao autovalor 1=λ : x1xIn vv = Exemplo: Seja ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 021 210 A então ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 2 1 21 21 1 1 021 210 1 1 A de modo que ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 x1 v é um autovetor de A associado ao autovalor 211 =λ . Além disso, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 1 2 1 21 21 1 1 021 210 1 1 A de modo que ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 1 x2 v é um autovetor de A associado ao autovalor 212 −=λ .
  3. 3. 84 A figura a seguir mostra que 1x v e 1xA v são paralelos e que 2x v e 2xA v também são paralelos. Isto ilustra o fato de que, se x v é um autovetor de A, então x v e xA v são paralelos. Seja λ um autovalor de A com autovetor correspondente x v . A figura a seguir mostra x v e xA v para os casos em que λ>1, 0<λ<1 e λ<0. Um autovalor λ de A tem uma infinidade de autovetores diferentes associados. De fato, se x v é um autovetor de A associado ao autovalor λ (isto é, xxA vv λ= ) e se r é qualquer número real diferente de zero, então ( ) ( ) ( ) ( )xrxrxArxrA vvvv λ=λ== Logo, xr v também é um autovetor associado a λ. Exemplo: Seja ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 00 A então ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 0 0 0 0 1 10 00 0 1 A de modo que ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 x1 v ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = 21 21 xA 2 v ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 21 21 xA 1 v ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 x1 v ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 1 x2 v 0 y x λ > 1 xxA vv λ= x v 0 0 < λ < 1 xxA vv λ= x v 0 λ < 0xxA vv λ= x v 0
  4. 4. 85 é um autovetor de A associado ao autovalor 01 =λ . Além disso, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 x2 v é um autovetor de A associado ao autovalor 12 =λ . Este exemplo ilustra o fato de que, embora o vetor nulo, por definição, não possa ser um autovetor, o número zero pode ser um autovalor. Nos exemplos anteriores, encontramos autovalores e autovetores por simples inspeção. Vamos agora, no próximo exemplo, estabelecer um procedimento sistemático. Exemplo: Seja ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 42 11 A Queremos encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Queremos, então, encontrar todos os números reais λ e todos os vetores não-nulos ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 x x x v que satisfaçam ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 2 1 x x x x 42 11 Esta equação fica 221 121 xx4x2 xxx λ=+− λ=+ ou ( ) ( ) 0x4x2 0xx1 21 21 =−λ+ =−−λ Esta equação é um sistema homogêneo com duas equações e duas incógnitas. Este tipo de sistema tem solução não-trivial se e somente se o determinante de sua matriz de coeficientes é igual à zero, isto é, se e somente se 0 42 11 = −λ −−λ Isto significa que ( )( ) 0241 =+−λ−λ , ou ( )( )230652 −λ−λ==+λ−λ Portanto, 21 =λ e 32 =λ
  5. 5. 86 são autovalores de A. Para encontrar os autovetores de A associados a 21 =λ , formamos o sistema linear x2xA vv = ou ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 2 1 x x 2 x x 42 11 Isso nos dá 221 121 x2x4x2 x2xx =+− =+ ou 0x2x2 0xx 21 21 =− =− Todas as soluções desse último sistema são dadas por x1 = x2 x2 = um número real r arbitrário Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 21 =λ são dados por ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ r r , onde r é qualquer número real não-nulo. Em particular, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 x1 v é um autovetor associado a 21 =λ . Analogamente, para 32 =λ , obtemos, 0xx2 0xx2 21 21 =− =− Todas as soluções desse último sistema homogêneo são dadas por x1 = 1/2 x2 x2 = um número real r arbitrário Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 32 =λ são dados por ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ r r21 , onde r é qualquer número real não-nulo. Em particular, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 x2 v é um autovetor associado ao autovalor 32 =λ .
  6. 6. 87 DEFINIÇÃO: Seja [ ]ijaA uma matriz n×n. O determinante ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ−− −−λ− −−−λ =−λ=λ nn2n1n n22221 n11211 n aaa aaa aaa AIdetf L MMM L L é chamado de polinômio característico de A. A equação ( ) ( ) 0AIdetf n =−λ=λ é a equação característica de A. Exemplo: Seja ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 544 101 121 A O polinômio característico de A é ( ) ( ) 6116 544 101 121 AIdetf 23 3 −λ+λ−λ= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ− −−λ− −−λ =−λ=λ TEOREMA: A matriz A n×n é singular se e somente se 0 é um autovalor de A. TEOREMA: Os autovalores de A são as raízes reais do polinômio característico de A. A equação xxA vv λ= pode ser reescrita na forma ( )xIxA n vv λ= ou ( ) 0xAIn vv =−λ Esta expressão pode ser usada para encontrar os autovetores correspondentes aos autovalores de A.
  7. 7. 88 Exemplo: Considere a matriz ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 544 101 121 A cujo polinômio característico é ( ) 6116f 23 −λ+λ−λ=λ Então, os autovalores de A são 11 =λ , 22 =λ e 33 =λ Para encontrar um autovetor 1x v associado a 11 =λ , formamos o sistema ( ) 0xAI1 3 vv =− ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− 0 0 0 x x x 5144 111 1211 3 2 1 ou seja, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − 0 0 0 x x x 444 111 120 3 2 1 Uma solução é ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− r r21 r21 para qualquer número real r. Então, fazendo r = 2, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 2 1 1 x1 v é um autovetor de A associado a 11 =λ . Para encontrar um autovetor 2x v associado a 22 =λ , formamos o sistema ( ) 0xAI2 3 vv =− ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− 0 0 0 x x x 5244 121 1212 3 2 1 ou seja,
  8. 8. 89 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − 0 0 0 x x x 344 121 121 3 2 1 Uma solução é ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− r r41 r21 para qualquer número real r. Então, fazendo r = 4, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 4 1 2 x2 v é um autovetor de A associado a 22 =λ . Para encontrar um autovetor 3x v associado a 33 =λ , formamos o sistema ( ) 0xAI3 3 vv =− E encontramos uma solução ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− r r41 r41 para qualquer número real r. Então, fazendo r = 4, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 4 1 1 x3 v é um autovetor de A associado a 33 =λ .
  9. 9. 90 Podemos agora estender a nossa Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis. Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis As seguintes afirmações são equivalentes para uma matriz A n×n: 1. A é invertível. 2. Ax = 0 tem apenas a solução trivial. 3. A é equivalente por linhas a In. 4. O sistema linear Ax = b tem uma única solução qualquer que seja a matriz b n×1. 5. det(A) ≠ 0 6. A tem posto n. 7. A tem nulidade 0. 8. As linhas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em n R . 9. As colunas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em n R . 10. Zero não é um autovalor de A.

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