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Valor Presente Líquido (Parte II)
grggggggggggggggggggg
ggggggggg
Disciplina: Finanças Aplicadas I
Objetivo da aula: analisar e tomar decisões
com base no valor do dinheiro no tempo
Conteúdo:
If you would know the value of money, go and try to borrow some
Benjamin Franklin
Felipe Pontes
www.contabilidademq.blogspot.com
FC DE VÁRIOS PERÍODOS
• Financial mathematics: a review (future value)
• Benjamin Franklin left his money and assets to
various family members and friends. Interestingly,
he also left 1000 pounds (just under 5000 Canadian
dollars) each to Boston and Philadelphia. There were
some restrictions, however. Both cities were to
invest the money, at an interest rate of 5%
(compounded yearly) and leave it untouched for 100
years. At the end of the 100 years, the city was
allowed to spend three quarters of it on a city
improvement project and the rest was to be
reinvested for another 100 hundred years at the
same interest rate.
2
Question’s source:
http://mathcentral.uregina.ca/beyond/articles/Compou
ndInterest/Money.html
Para relembrar a aula passada
Felipe Pontes
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O poder da composição: uma digressão
• Júlio César emprestou $ 0,01 a alguém no século 20.
À taxa de 6% ao ano, se um descendente de Júlio
César fosse cobrar um descendente do tomador do
empréstimo, essa pessoa receberia mais do que toda
a riqueza da terra.
3
Felipe Pontes
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O poder da composição: uma digressão
4
Felipe Pontes
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Questões conceituais
• Qual é a diferença entre juros simples e juros
compostos?
• Qual é a fórmula do valor presente líquido de um
projeto?
5
Felipe Pontes
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Conceitos iniciais
• O que é o par value (valor nominal)?
6
Felipe Pontes
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Conceitos iniciais
• A coupon rate é a taxa de “juros” (cupom) que os títulos
pagam. No Tesouro Nacional, por exemplo, temos títulos que
pagam juros semestrais (e também temos os que só pagam no
final do período – junto com a “devolução” do valor nominal).
Podemos ter uma taxa semestral de 3%.
• O preço descontado do título é o preço que ele está sendo
negociado. Ele depende da taxa de juros praticada no
mercado. No Tesouro Nacional, quanto maior for a taxa de
juros, menor será o preço descontado do título (obviamente).
Quanto mais próximo do vencimento do título, mais sensível o
valor de mercado dele será às variações na taxa de juros.
Exemplo: R$ 700,00, ao par de R$ 1.000,00.
• A taxa de rentabilidade do título é dada pela razão entre o
cupom e o valor que o investidor pagou pelo título. Cuidado:
use a taxa efetiva, para efeitos de comparação. Nesse caso,
4,29% a.s. e efetivamente 8,76% a.a.
7
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Conceitos iniciais - Exercício
• Um título que tem par value (nominal, ou de face) de
R$ 1.000,00, paga cupons semestrais de 3% e foi
comprado por R$ 800,00, gera uma rentabilidade
efetiva anual de quanto?
8
𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
3%𝑎.𝑠.∗𝑅$ 1.000
𝑅$ 800
= 3,75% a.s.
Taxa efetiva anual = (1+3,75%)² - 1= 7,64% a.a.
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Simplificações
• Perpetuidade
• Exemplos:
– British Consols;
– Perpetual bonds for Panama Canal;
– Innovative Perpetual Debt Instrument bond series II.
• Isso lembra a soma de uma PG: a1/(1 – q)
• Deduzindo a fórmula do valor presente de uma
perpetuidade (Consol, ou bonds perpétuos)…
9
Consol (consolidated annuities) é o cupom de títulos perpétuos emitidos
originalmente no Reino Unido, para financiar a Guerra Napoleônica
(http://www.investopedia.com/terms/p/perpetualbond.asp)
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Simplificações
• Perpetuidade
• Exemplos:
– British Consols;
– Perpetual bonds for Panama Canal;
– Innovative Perpetual Debt Instrument bond series II.
• Aplicando a ideia acima na soma de uma PG infinita:
𝑃𝑉 =
𝐶
1 + 𝑟
1 −
1
1 + 𝑟
=
𝐶
1 + 𝑟
1 + 𝑟 − 1
1 + 𝑟
=
𝑪
𝒓
10
P.s.: lembrem-se de que
estamos falando de valor
esperado para o futuro. C
está no futuro!!
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Simplificações
• O Governo Chinês emitiu perpetual bonds ao par
value ($ 1.000,00), pagando cupons de 30% ao ano.
O título foi negociado descontado, a $ 900,00.
1. Considerando o seu custo de oportunidade, você aceita
investir em ativos que gerem retornos superiores a 32%.
Esse é um deles?
11
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Simplificações
• O Governo Chinês emitiu perpetual bonds ao par
value ($ 1.000,00), pagando cupons de 5% ao ano. O
título foi negociado descontado, a $ 900,00.
1. Qual é a rentabilidade desse título?
2. Suponha que as demais variáveis permanecem válidas e a
sua taxa de desconto seja de 10% a.a., a custo de
oportunidade. Qual seria o valor de mercado do título
para você? Dica: use a fórmula simplificada do VP de uma
perpetuidade = C/r.
12
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Simplificações
• Perpetuidade
• Qual é o valor de um consol que gera $ 100 por ano
de cupons (fluxo de caixa), à taxa de juros de 8% a.a?
• Se a taxa cair para 6%, qual será o valor desse título?
• Compare, pense e escreva comparando os dois
resultados.
13
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Simplificações
• Perpetuidade crescente
• Se colocarmos o VP do primeiro ano [C/(1+ r)] em
evidência (esse é o a1 da PG), veremos que a razão
(q) desta PG é [(1+g)/(1+r)], então teremos:
PV = a1*(1 + q + q² + q³ + ...)
• Aplicando na fórmula da soma da PG....
14
Exemplo: a cada ano a taxa pode ser
reajustada, para compensar a inflação.
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• Perpetuidade crescente
• Se colocarmos o VP do primeiro ano [C/(1+ r)] em
evidência (esse é o a1 da PG), veremos que a razão
(q) desta PG é [(1+g)/(1+r)], então teremos:
𝑃𝑉 =
𝐶
1 + 𝑟
1 −
1 + 𝑔
1 + 𝑟
=
𝐶
1 + 𝑟
1 + 𝑟 − 1 − 𝑔
1 + 𝑟
=
𝑪
𝒓 − 𝒈
15
Exemplo: a cada ano a taxa pode ser
reajustada, para compensar a inflação.
P.s.: lembrem-se de que
estamos falando de valor
esperado para o futuro. C
está no futuro!!
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Simplificações
• Você tem um investimento e espera receber R$
24.000,00 por ano com ele (livre), a partir do ano
que vem. O fluxo de caixa recebido é ajustado todos
os anos pela inflação, à uma taxa média de 5%. Se
você vendesse o ativo, teria a opção de aplicar o
dinheiro à uma taxa de 10% ao ano. Qual é o valor
presente dos seus fluxos de caixa futuros?
16
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Simplificações
• Rothstein Corporation is just about to pay a dividend
of $3.00 per share. Investors anticipate that the
annual dividend will rise by 6 percent a year forever.
The applicable interest rate is 11 percent. What is the
price of the stock today?
• Observação: se a taxa esperada de crescimento (g)
fosse maior ou igual à taxa de desconto (r), o que
aconteceria?
17
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Simplificações
• Você tem um investimento e espera receber R$
24.000,00 por ano com ele (fluxo de caixa livre), a
partir do ano que vem. O fluxo de caixa recebido é
ajustado todos os anos pela inflação, à uma taxa de
5%, durante os anos 2 e 3 – a partir do 4º ano, a taxa
de inflação será de 6%. Se você vendesse o ativo,
teria a opção de aplicar o dinheiro à uma taxa de
10% ao ano. Qual é o valor presente dos seus fluxos
de caixa futuros?
18
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Simplificações
• Resumo das fórmulas de perpetuidade:
• Leia mais sobre perpetual bonds:
http://www.investopedia.com/articles/investing/082
313/perpetual-bonds-overview.asp
19
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Simplificações
• Anuidade
– Tem prazo, diferente da perpetuidade: e.g. alguns planos de
pensão.
• Como ele é finita, nós temos que: C + C + C ...+ C.
• O primeiro recebimento, a VP é dado por C/(1+r).
• Aplicando na fórmula da P.G. finita: a1*[1-(q^n)] /(1-q).
• Chega-se à seguinte fórmula (simplificando):
• Algum voluntário para demonstrar isso no quadro,
seguindo a linha das demonstrações anteriores?
20
r
r
C
VP
n
anuidade

















1
1
1
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Simplificações
• Anuidade
– Tem prazo, diferente da perpetuidade: e.g. alguns planos de
pensão.
• Como ele é finita, nós temos que: C + C + C ...+ C.
• O primeiro recebimento, a VP é dado por C/(1+r).
• Aplicando na fórmula da P.G. finita: a1*[1-(q^n)] /(1-q).
• Chega-se à seguinte fórmula (simplificando):
𝑉𝑃 =
𝐶
1 + 𝑟
∗
1 −
1
1 + 𝑟
𝑛
1 −
1
1 + 𝑟
=
𝐶 ∗ 1 −
1
1 + 𝑟
𝑛
1 + 𝑟 ∗
1 + 𝑟 − 1
1 + 𝑟
=
𝑪 ∗ 𝟏 −
𝟏
𝟏 + 𝒓
𝒏
𝒓
21
P.s.: lembrem-se de que
estamos falando de valor
esperado para o futuro. C
está no futuro!!
Felipe Pontes
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Simplificações
• Anuidade
• A loteria de $ 1 milhão paga ao vencedor $ 50.000
durante 20 anos. Considerando uma taxa de juros de
8% a.a., este nome é correto?
• Casos específicos das anuidades: o livro traz 4 casos.
Vocês devem estudá-los, mas a lógica é a mesma.
22
Felipe Pontes
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Simplificações
• Anuidade crescente
• Suart recebeu uma proposta de salário de $ 80.000
por ano. Ele espera que o seu salário cresça à taxa de
9% a.a., durante os próximos 40 anos, até a sua
aposentadoria. Considerando uma taxa de desconto
de 20% a.a., qual é o VP dos salários futuros de
Stuart?
23
Felipe Pontes
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Desafio de Warren Buffet
• O Desafio que fiz em 2014, faremos agora sem valer
pontos na prova:
http://financasaplicadasbrasil.blogspot.com.br/2014
/01/desafio-qual-e-melhor-opcao-buffett.html
• Alguns comentários:
http://financasaplicadasbrasil.blogspot.com.br/2014
/01/comentario-sobre-o-desafio-de-warren.html
24
Felipe Pontes
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Quanto vale uma empresa?
• Exemplo da página 92 – para casa.
25
Felipe Pontes
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Finalizando...
• Tragam a cópia do capítulo para a próxima aula.
• Há um caso de estudo no blog, sobre valor do
dinheiro no tempo
[http://financasaplicadasbrasil.blogspot.com.br/201
3/11/valor-do-dinheiro-no-tempo-caso-1.html].
• Se tiverem dúvidas, vocês devem postar nos
comentários do blog.
• Fiquem atentos às dúvidas das turmas anteriores que
já estão lá com as soluções.
• Só poste uma dúvida se realmente ela ainda não
tiver sido respondida lá no Blog.
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Valor Presente Líquido (Parte II)

  • 1. Valor Presente Líquido (Parte II) grggggggggggggggggggg ggggggggg Disciplina: Finanças Aplicadas I Objetivo da aula: analisar e tomar decisões com base no valor do dinheiro no tempo Conteúdo: If you would know the value of money, go and try to borrow some Benjamin Franklin
  • 2. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com FC DE VÁRIOS PERÍODOS • Financial mathematics: a review (future value) • Benjamin Franklin left his money and assets to various family members and friends. Interestingly, he also left 1000 pounds (just under 5000 Canadian dollars) each to Boston and Philadelphia. There were some restrictions, however. Both cities were to invest the money, at an interest rate of 5% (compounded yearly) and leave it untouched for 100 years. At the end of the 100 years, the city was allowed to spend three quarters of it on a city improvement project and the rest was to be reinvested for another 100 hundred years at the same interest rate. 2 Question’s source: http://mathcentral.uregina.ca/beyond/articles/Compou ndInterest/Money.html Para relembrar a aula passada
  • 3. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com O poder da composição: uma digressão • Júlio César emprestou $ 0,01 a alguém no século 20. À taxa de 6% ao ano, se um descendente de Júlio César fosse cobrar um descendente do tomador do empréstimo, essa pessoa receberia mais do que toda a riqueza da terra. 3
  • 4. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com O poder da composição: uma digressão 4
  • 5. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Questões conceituais • Qual é a diferença entre juros simples e juros compostos? • Qual é a fórmula do valor presente líquido de um projeto? 5
  • 7. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Conceitos iniciais • A coupon rate é a taxa de “juros” (cupom) que os títulos pagam. No Tesouro Nacional, por exemplo, temos títulos que pagam juros semestrais (e também temos os que só pagam no final do período – junto com a “devolução” do valor nominal). Podemos ter uma taxa semestral de 3%. • O preço descontado do título é o preço que ele está sendo negociado. Ele depende da taxa de juros praticada no mercado. No Tesouro Nacional, quanto maior for a taxa de juros, menor será o preço descontado do título (obviamente). Quanto mais próximo do vencimento do título, mais sensível o valor de mercado dele será às variações na taxa de juros. Exemplo: R$ 700,00, ao par de R$ 1.000,00. • A taxa de rentabilidade do título é dada pela razão entre o cupom e o valor que o investidor pagou pelo título. Cuidado: use a taxa efetiva, para efeitos de comparação. Nesse caso, 4,29% a.s. e efetivamente 8,76% a.a. 7
  • 8. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Conceitos iniciais - Exercício • Um título que tem par value (nominal, ou de face) de R$ 1.000,00, paga cupons semestrais de 3% e foi comprado por R$ 800,00, gera uma rentabilidade efetiva anual de quanto? 8 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 3%𝑎.𝑠.∗𝑅$ 1.000 𝑅$ 800 = 3,75% a.s. Taxa efetiva anual = (1+3,75%)² - 1= 7,64% a.a.
  • 9. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Perpetuidade • Exemplos: – British Consols; – Perpetual bonds for Panama Canal; – Innovative Perpetual Debt Instrument bond series II. • Isso lembra a soma de uma PG: a1/(1 – q) • Deduzindo a fórmula do valor presente de uma perpetuidade (Consol, ou bonds perpétuos)… 9 Consol (consolidated annuities) é o cupom de títulos perpétuos emitidos originalmente no Reino Unido, para financiar a Guerra Napoleônica (http://www.investopedia.com/terms/p/perpetualbond.asp)
  • 10. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Perpetuidade • Exemplos: – British Consols; – Perpetual bonds for Panama Canal; – Innovative Perpetual Debt Instrument bond series II. • Aplicando a ideia acima na soma de uma PG infinita: 𝑃𝑉 = 𝐶 1 + 𝑟 1 − 1 1 + 𝑟 = 𝐶 1 + 𝑟 1 + 𝑟 − 1 1 + 𝑟 = 𝑪 𝒓 10 P.s.: lembrem-se de que estamos falando de valor esperado para o futuro. C está no futuro!!
  • 11. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • O Governo Chinês emitiu perpetual bonds ao par value ($ 1.000,00), pagando cupons de 30% ao ano. O título foi negociado descontado, a $ 900,00. 1. Considerando o seu custo de oportunidade, você aceita investir em ativos que gerem retornos superiores a 32%. Esse é um deles? 11
  • 12. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • O Governo Chinês emitiu perpetual bonds ao par value ($ 1.000,00), pagando cupons de 5% ao ano. O título foi negociado descontado, a $ 900,00. 1. Qual é a rentabilidade desse título? 2. Suponha que as demais variáveis permanecem válidas e a sua taxa de desconto seja de 10% a.a., a custo de oportunidade. Qual seria o valor de mercado do título para você? Dica: use a fórmula simplificada do VP de uma perpetuidade = C/r. 12
  • 13. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Perpetuidade • Qual é o valor de um consol que gera $ 100 por ano de cupons (fluxo de caixa), à taxa de juros de 8% a.a? • Se a taxa cair para 6%, qual será o valor desse título? • Compare, pense e escreva comparando os dois resultados. 13
  • 14. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Perpetuidade crescente • Se colocarmos o VP do primeiro ano [C/(1+ r)] em evidência (esse é o a1 da PG), veremos que a razão (q) desta PG é [(1+g)/(1+r)], então teremos: PV = a1*(1 + q + q² + q³ + ...) • Aplicando na fórmula da soma da PG.... 14 Exemplo: a cada ano a taxa pode ser reajustada, para compensar a inflação.
  • 15. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Perpetuidade crescente • Se colocarmos o VP do primeiro ano [C/(1+ r)] em evidência (esse é o a1 da PG), veremos que a razão (q) desta PG é [(1+g)/(1+r)], então teremos: 𝑃𝑉 = 𝐶 1 + 𝑟 1 − 1 + 𝑔 1 + 𝑟 = 𝐶 1 + 𝑟 1 + 𝑟 − 1 − 𝑔 1 + 𝑟 = 𝑪 𝒓 − 𝒈 15 Exemplo: a cada ano a taxa pode ser reajustada, para compensar a inflação. P.s.: lembrem-se de que estamos falando de valor esperado para o futuro. C está no futuro!!
  • 16. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Você tem um investimento e espera receber R$ 24.000,00 por ano com ele (livre), a partir do ano que vem. O fluxo de caixa recebido é ajustado todos os anos pela inflação, à uma taxa média de 5%. Se você vendesse o ativo, teria a opção de aplicar o dinheiro à uma taxa de 10% ao ano. Qual é o valor presente dos seus fluxos de caixa futuros? 16
  • 17. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Rothstein Corporation is just about to pay a dividend of $3.00 per share. Investors anticipate that the annual dividend will rise by 6 percent a year forever. The applicable interest rate is 11 percent. What is the price of the stock today? • Observação: se a taxa esperada de crescimento (g) fosse maior ou igual à taxa de desconto (r), o que aconteceria? 17
  • 18. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Você tem um investimento e espera receber R$ 24.000,00 por ano com ele (fluxo de caixa livre), a partir do ano que vem. O fluxo de caixa recebido é ajustado todos os anos pela inflação, à uma taxa de 5%, durante os anos 2 e 3 – a partir do 4º ano, a taxa de inflação será de 6%. Se você vendesse o ativo, teria a opção de aplicar o dinheiro à uma taxa de 10% ao ano. Qual é o valor presente dos seus fluxos de caixa futuros? 18
  • 19. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Resumo das fórmulas de perpetuidade: • Leia mais sobre perpetual bonds: http://www.investopedia.com/articles/investing/082 313/perpetual-bonds-overview.asp 19
  • 20. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Anuidade – Tem prazo, diferente da perpetuidade: e.g. alguns planos de pensão. • Como ele é finita, nós temos que: C + C + C ...+ C. • O primeiro recebimento, a VP é dado por C/(1+r). • Aplicando na fórmula da P.G. finita: a1*[1-(q^n)] /(1-q). • Chega-se à seguinte fórmula (simplificando): • Algum voluntário para demonstrar isso no quadro, seguindo a linha das demonstrações anteriores? 20 r r C VP n anuidade                  1 1 1
  • 21. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Anuidade – Tem prazo, diferente da perpetuidade: e.g. alguns planos de pensão. • Como ele é finita, nós temos que: C + C + C ...+ C. • O primeiro recebimento, a VP é dado por C/(1+r). • Aplicando na fórmula da P.G. finita: a1*[1-(q^n)] /(1-q). • Chega-se à seguinte fórmula (simplificando): 𝑉𝑃 = 𝐶 1 + 𝑟 ∗ 1 − 1 1 + 𝑟 𝑛 1 − 1 1 + 𝑟 = 𝐶 ∗ 1 − 1 1 + 𝑟 𝑛 1 + 𝑟 ∗ 1 + 𝑟 − 1 1 + 𝑟 = 𝑪 ∗ 𝟏 − 𝟏 𝟏 + 𝒓 𝒏 𝒓 21 P.s.: lembrem-se de que estamos falando de valor esperado para o futuro. C está no futuro!!
  • 22. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Anuidade • A loteria de $ 1 milhão paga ao vencedor $ 50.000 durante 20 anos. Considerando uma taxa de juros de 8% a.a., este nome é correto? • Casos específicos das anuidades: o livro traz 4 casos. Vocês devem estudá-los, mas a lógica é a mesma. 22
  • 23. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Simplificações • Anuidade crescente • Suart recebeu uma proposta de salário de $ 80.000 por ano. Ele espera que o seu salário cresça à taxa de 9% a.a., durante os próximos 40 anos, até a sua aposentadoria. Considerando uma taxa de desconto de 20% a.a., qual é o VP dos salários futuros de Stuart? 23
  • 24. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Desafio de Warren Buffet • O Desafio que fiz em 2014, faremos agora sem valer pontos na prova: http://financasaplicadasbrasil.blogspot.com.br/2014 /01/desafio-qual-e-melhor-opcao-buffett.html • Alguns comentários: http://financasaplicadasbrasil.blogspot.com.br/2014 /01/comentario-sobre-o-desafio-de-warren.html 24
  • 25. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Quanto vale uma empresa? • Exemplo da página 92 – para casa. 25
  • 26. Felipe Pontes www.contabilidademq.blogspot.com Finalizando... • Tragam a cópia do capítulo para a próxima aula. • Há um caso de estudo no blog, sobre valor do dinheiro no tempo [http://financasaplicadasbrasil.blogspot.com.br/201 3/11/valor-do-dinheiro-no-tempo-caso-1.html]. • Se tiverem dúvidas, vocês devem postar nos comentários do blog. • Fiquem atentos às dúvidas das turmas anteriores que já estão lá com as soluções. • Só poste uma dúvida se realmente ela ainda não tiver sido respondida lá no Blog. 26

Notas do Editor

  1. PV = [c/(1+r)]/{1-[1/(1+r)]} = c/r
  2. Sim. A rentabilidade anual é de (30%*1000)/900 = 33,33%.
  3. Rentabilidade = 5,56% Valor = 50/10% = 500
  4. [c/(1+r)]/[1-(1+g)/(1+r)] = c/(r-g)
  5. [c/(1+r)]/[1-(1+g)/(1+r)] = c/(r-g)
  6. Vp = 480 mil
  7. Vocês têm que lembrar que o numerador é o valor esperado. Se eu espero que cresça a 6%, eu somarei os $ 3 desse ano, com o valor presente de 3*(1,06)/(11%-6%)
  8. Dividir em duas partes, pois são dois g diferentes. A segunda parte vai ser trazida para o tempo 3. após isso eu trago para o tempo zero como se fosse um fluxo de caixa só. Deixar isso bem claro para eles, pois esse tipo de fluxo de caixa é muito comum.
  9. Aplicando na fórmula: {c/(1+r) – [c/(1+r) * 1/(1+r)^T}/{1-[1/(1+r)]} ....
  10. Aplicando na fórmula: {c/(1+r) – [c/(1+r) * 1/(1+r)^T}/{1-[1/(1+r)]} ....