solución 2 parcial matemática 1

1. SEGUNDO PARCIAL DE MATEMATICA I 10-12am
Profesor: Fabio Valencia M
1)Haciendo todo el procedimiento, calcular, cada uno de los siguientes límites
i)
6x 4
lim
√x 2x x
6x 4 6x 4
6x 4 |x| x
lim lim lim
√x 2x x √x 2x x √x 2x x
|x| √x |x|
6x 4 4 4 4
6 6 6
lim x x lim x lim x lim x
√x 2x x x 2x x x 2x 2
|x| 1 1 1
√x x x x x x
=
4 1
6 6 4 lim 6 4 0 6
x x
lim 3
2 1 1 2 0 1 2
1 1 2 lim 1
x 1 x
Recuerden que lim 0
___________________________________________________________________________
ii)
x 4x 2x 3 x 4x 5 x 5 x 1
lim lim lim
x 3x 2 x 3x 2 x 1 x 2
x 5 x 1 x 5
lim lim ∞
x 1 x 2 x 1 x 2
Recuerde que lim 2x 3 5 y la factorización x 3x 2 aplicando división sintética
1 0 -3 2 L1 x 3x 2 =(x-1) ( x x 2 )= x 2 x 1
_1_ 1_ -2____
1 1 -2 0 reemplazando x x 2 x 2 x 1

2. Aplicamos el teorema que afirma que si lim se tiene que lim f x c c>0 y
=0 tal que x g(x) 0 por valores positivos entonces ∞
____________________________________________________________________________
iii)
1 cos x
lim
x
Es un límite de la forma debemos buscar la manera de aplicar algebra y de utilizar identidades
trigonométricas que nos lleven al lim 1
Multipliquemos numerador y denominador por 1 cos x
1 cos x 1 cos x 1 cos x
lim lim
x 1 cos x x 1 cos x
1 cos x
lim
x 1 cos x
Continua la indeterminación nuevamente multiplicamos numerador y denominador por
1 cos x
1 cos x 1 cos x 1 cos x
lim lim
x 1 cos x x 1 cos x 1 cos x
1 cos x
lim
x 1 cos x 1 cos x
sen x sen x sen x
lim lim
x 1 cos x 1 cos x x x 1 cos x 1 cos x
sen x sen x 1 1 1
lim lim lim 1 . 1
x x 1 cos x 1 cos x 4 4

3. 2)Considere la función f cuya gráfica se ilustra.
Utilizando la gráfica de f hallar si existen cada uno de los siguientes límites. Justifique
claramente cada respuesta, en el caso de que no exista el límite
i)lim f x)= 1 ii)lim f x)=3 iii) lim f x)= -∞ iv) lim f x) = 5
v) lim f x) = no existe
porque los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser iguales
vi) i)lim f x)= 2
vii) lim f x) no existe
porque los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser iguales
viii) lim f x)= porque f x) es la recta y=mx+b que pasa por los puntos 2,5) y 4,2)
calculamos y-5= x-2) se tiene y=f x)=-3/2 x-2)+5 lim 3/2 x 2) + 5=7/2
ix) lim f x)=2
x)lim f x) = +∞
xi)lim f x) no existe los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser iguales
xii) lim f x)=2

4. x 2ax a si x 1
3)Sea )=
si 1 x
√
i)Escriba las condiciones que debe cumplir la función f para que se continua en x=1
a).Debe existir f(1) b) debe existir el límite lim f(x) c) lim f(x) = f(1)
ii)Halle los valores de la constante a tales que la función f dada es continua en x=1
Como la función es continua en uno(1) por hipótesis, se cumple a) b) y si el límite
existe debe ser igual por la derecha y por al izquierda
lim x 2ax a =1 2a a
x 1 (x 1) (√x 3 2) (x 1)(√x 3 2)
lim f(x) = lim = lim = lim
√x 3 2 (√x 3 2) (√x 3 2) (√x 3) 2
(x 1)(√x 3 2) (x 1)(√x 3 2) (x 1)(√x 3 2)
lim = lim = lim
(√x 3) 2 x 3 4 x 1
(√x 3 2)
lim =4
1
Igualamos los dos limítes
1 2a a =4
a 2a 3=0
Factorizando tenemos a 2a 3 = (a 3)(a 1) = 0
De donde a=3 y a = -1 para que la función f sea continua en x=1

5. 4) Sea
f x)=x 4x + 7
i) Utilizar la definición para hallar en el punto a,f a))
f(x h) f(x) (x h) 4(x h) 7 (x2 4x 7)
lim = lim
h h
x 2xh h 4x 4h 7 x2 4x 7) 2xh h 4h
lim = lim
h h
h(2x h 4) (2x h 4)
lim = lim = 2x 4
h 1
Esta es la derivada en cualquier punto, la calculamos en el punto (a,f(a))
calculada en a, f(a) es 2a 4

6. ii)La ecuación de la recta tangente a la curva f(x)=x 4x 7 tiene pendiente 2a 4
pero también podemos calcular su pendiente con los dos puntos (a,f(a)) y (1,0)
y y 0 f(a) f(a)
= =
x x 1 a 1 a
( )
Igualamos las dos pendientes 2a 4 y calculamos f(a)=a 4a 7
a 4a 7
2a 4=
1 a
(2a 4)(1 a) = a 4a 7
2a 4 2a 4a = a 4a 7
2a 4 2a 4a a 4a 7= 0
a 2a 3= 0
a 2a 3=0
(a 3)(a 1) = 0
Luego a=3 y a=-1 para a=3 se tiene f(3)=4 el punto es (3,4)
Para a=-1 se tiene f(-1)=12 el punto es (-1,12) se tienen dos rectas tangentes a la curva
y=x 4x 7 que pasan por el punto (1,0) que esta fuera de la curva

7. 5)Haciendo todo el procedimiento verificar que
sen(x) 2sen(x)
D =
1 cos(x) (1 cos(x))
sen(x) sen(x) cos(x) (1 cos(x)) sen(x)( sen(x)
D =2
1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x))
sen(x) sen(x) cos(x) cos (x) sen (x)
D =2 =
1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x))
sen(x) sen(x) (cos(x) 1)
D =2
1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x))
sen(x) sen(x) 1 2sen(x)
D =2 =
1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x)) (1 cos(x))
B)Calcule la siguiente derivada
D x 1 x 5
4 1
D x 1 x 5 x 1 x 5 1 x x 1 x ) ) 2x)
3 2
4 1
D x 1 x 5 x 1 x 5 1 x x ) 2x)
3
2 1 x )
4 x
D x 1 x 5 x 1 x 5 1 x )
3 √1 x
4 √1 x x
D x 1 x 5 x 1 x 5 )
3 √1 x

8. 4 1 x x
D x 1 x 5 = x 1 x 5 )
3 √1 x
4 1 2x
D x 1 x 5 = x 1 x 5 )
3 √1 x
4 1 2x
D x 1 x 5 = x 1 x 5 )
3 √1 x