Espacios vectoriales-1

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1
Tema 5.-Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALESESPACIOS VECTORIALES
ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIAL
SUBESPACIO VECTORIALSUBESPACIO VECTORIAL
BASE Y DIMENSIÓN DE UNBASE Y DIMENSIÓN DE UN
ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIAL

Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió enAunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió en
resolver sistemas deresolver sistemas de mm ecuaciones lineales conecuaciones lineales con nn incógnitas,incógnitas,
comenzaremos este curso estudiando la estructura decomenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorialespacio vectorial..
Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otrosLos vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros
(por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real:(por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real:
Pero,Pero, ¿qué es un vector libre del plano?¿qué es un vector libre del plano?
Definimos como el conjunto de vectores con .Definimos como el conjunto de vectores con .
Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es unEs evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un
vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo,vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo,
para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza,para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza,
velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vectorvelocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector
no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” yno como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y
“dirección”.“dirección”.

Tanto en Física como en IngenieríaTanto en Física como en Ingeniería
un vector se caracteriza por dosun vector se caracteriza por dos
magnitudes (longitud y dirección) ymagnitudes (longitud y dirección) y
se representa por un segmento rectose representa por un segmento recto
dirigido. Un vector en el plano puededirigido. Un vector en el plano puede
ubicarse en diferentes lugares. Sinubicarse en diferentes lugares. Sin
embargo, con independencia deembargo, con independencia de
dónde esté situado, si la longitud ydónde esté situado, si la longitud y
dirección no varían se trata deldirección no varían se trata del
mismo vector.mismo vector.
El conjunto de los vectores libres del planoEl conjunto de los vectores libres del plano (( )) es sólo un ejemploes sólo un ejemplo
entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos que pueden sumarseentre los muchos ejemplos de objetos matemáticos que pueden sumarse
entre sí y multiplicarse por números reales, y que además satisfacenentre sí y multiplicarse por números reales, y que además satisfacen
unas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del planounas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano
(o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su(o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su
representación geométrica ayuda a entender la definición general derepresentación geométrica ayuda a entender la definición general de
vector.vector.

Algunos ejemplos que podemos mencionar son:Algunos ejemplos que podemos mencionar son:
 los propios números reales,los propios números reales,
 los números complejos,los números complejos,
 los vectores en el plano,los vectores en el plano,
 los vectores en el espacio,los vectores en el espacio,
 los polinomios de grado menor o igual quelos polinomios de grado menor o igual que nn,,
 las funciones reales de variable real con dominiolas funciones reales de variable real con dominio DD,,
 las funciones continuas en un intervalo,las funciones continuas en un intervalo,
 las funciones derivables en un punto,las funciones derivables en un punto,
 las funciones integrables en un intervalo,las funciones integrables en un intervalo,
 ..........................................................................
Un vector puede ser un número, unaUn vector puede ser un número, una nn-tupla, un polinomio, una función-tupla, un polinomio, una función
continua, etc.continua, etc.

También hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las mismasTambién hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las mismas
propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....
Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, esCuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, es
conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunqueconveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunque
este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstractoeste primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto
de los espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran ventaja.de los espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran ventaja.
La abstracción resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de queLa abstracción resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de que
ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta aahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta a
todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen lostodos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los
hechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estoshechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estos
hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habría que probarhechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habría que probar
cada hecho una y otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que noscada hecho una y otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos
encontráramos (y existen un sin fin de ellos).encontráramos (y existen un sin fin de ellos).

En este curso, básicamente trabajaremos con cuatro espaciosEn este curso, básicamente trabajaremos con cuatro espacios
vectoriales.vectoriales.
En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremosEn el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos
con los espacios vectoriales siguientes:con los espacios vectoriales siguientes:
En el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales deEn el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales de mm
filas yfilas y nn columnas, que denotamos:columnas, que denotamos:
Por último, en el tema 6 trabajaremos también con espacios vectorialesPor último, en el tema 6 trabajaremos también con espacios vectoriales
de funciones reales de variable real y continuas sobre un intervalo.de funciones reales de variable real y continuas sobre un intervalo.
A continuación, presentamos un ejemplo introductorio que proporcionaA continuación, presentamos un ejemplo introductorio que proporciona
una motivación para desarrollar las matemáticas subsecuentes.una motivación para desarrollar las matemáticas subsecuentes.
 , normalmente, normalmente n=3n=3 oo n=4n=4..
 , normalmente, normalmente n=2n=2 oo n=3n=3..

Un poco de historiaUn poco de historia
El matemático alemán Grassmann es reconocido como el primero que
introdujo la idea de un espacio vectorial (aunque no lo llamó de esta manera,
sino sistema de números hipercomplejos) y de independencia lineal en 1844.
Desafortunadamente su trabajo era muy difícil de leer y no recibió la atención
que merecía.
Peano en su libro Calcolo geometrico (1898) acalaró el trabajo de Grassmann y
estableció los axiomas de espacio vectorial como los conocemos en la
actualidad. En este mismo libro introdujo las operaciones de conjuntos. Sus
notaciones ∪, ∩ y ∈ son las que todavía utilizamos, aunque no fueron
aceptadas de inmediato. La definición axiomática de Peano de un espacio
vectorial también tuvo muy poca influencia durante muchos años. Su aceptación
se produjo en 1918, después de que Hermann Weyl la repitiera en su libro
Space, time, matter, una introducción a la teoría de la relatividad general de
Einstein.
También podemos mencionar a William R. Hamilton, que durante los veinte
últimos años de su vida, dedicó la mayor parte de su creación matemática a
desarrollar la tería de un tipo especial de números, los cuaterniones. Con estos
trabajos cimentó la moderna noción de vector. Todavía hoy se utiliza la notación
i, j, k de Hamilton para los vectores de la base canónica en el espacio
tridimensional.

ESTRUCTURA DE ESPACIOESTRUCTURA DE ESPACIO
VECTORIAL REALVECTORIAL REAL
Sean (cjto. números reales) ySean (cjto. números reales) y

operación interna enoperación interna en V
 operación externa enoperación externa en
V con dominio decon dominio de
operadoresoperadores
Definiremos cuandoDefiniremos cuando V es un espacio vectorial reales un espacio vectorial real

Como hemos visto, partimos de un conjuntoComo hemos visto, partimos de un conjunto no vacíono vacío VV , cuyos, cuyos
elementos se denotan ..., y se denominanelementos se denotan ..., y se denominan vectoresvectores y del cuerpoy del cuerpo
conmutativo (estructura algebraica) de los números reales. Enconmutativo (estructura algebraica) de los números reales. En
general se puede trabajar con cualquier cuerpo conmutativogeneral se puede trabajar con cualquier cuerpo conmutativo KK y eny en
este curso surgirán algunos ejercicios con espacios vectorialeseste curso surgirán algunos ejercicios con espacios vectoriales
complejos (complejos ( KK= ).= ).
La ley de composición interna se suele denotar con el símbolo de laLa ley de composición interna se suele denotar con el símbolo de la
sumasuma ((  )) y se suele denominary se suele denominar sumasuma de vectores. Es unade vectores. Es una
aplicación que a cada par de elementos deaplicación que a cada par de elementos de VV les haceles hace
corresponder el elemento,corresponder el elemento, también detambién de VV, , denominado suma, , denominado suma
de e .de e .
La ley de composición externa con dominio de operadoresLa ley de composición externa con dominio de operadores ((enen
general, con dominio de operadoresgeneral, con dominio de operadores K)K) es una aplicación quees una aplicación que
denominamos producto por un escalar y denotamos con el símbolodenominamos producto por un escalar y denotamos con el símbolo
del productodel producto ((  )) que a todo elemento deque a todo elemento de VV y a todo elementoy a todo elemento 
dede ((oo K)K) hace corresponder el elemento .hace corresponder el elemento .
OBSERVACIÓNOBSERVACIÓN.-.- ¿Es la suma de polinomios una ley de¿Es la suma de polinomios una ley de
composición interna sobre el conjunto de los polinomios de gradocomposición interna sobre el conjunto de los polinomios de grado
exactamenteexactamente 2?2?

ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIALESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
1.-.- Para ( + ) (operación interna) se cumple:Para ( + ) (operación interna) se cumple:
2.-.- Para (Para ( •• ) (op. externa con dominio ) se cumple:) (op. externa con dominio ) se cumple:

Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre genérico de
vectores y en general se utiliza la notación vectorial ( ,...) para
denotarlos. Esto no es obstáculo para que en algunos casos particulares
(polinomios, matrices, funciones,...) se utilice la notación propia en cada
caso.
Los axiomas 1.- de la definición de espacio vectorial real se refieren a la
suma de vectores, los axiomas 2.- c.- y 2.- d.- se refieren exclusivamente a
la multiplicación por escalares (números reales) y las propiedades 2.- a.- y
2.- b.- son las propiedades distributivas de una operación con respecto a
otra.
A continuación presentamos varios ejemplos de espacios vectoriales. Para
comprobar que tienen estructura de espacio vectorial deberíamos ver que
se satisfacen los 8 axiomas de la definición con las operaciones suma y
producto por un escalar definidas. Este trabajo es muy sencillo y se basa
exclusivamente en propiedades de los números reales (no olvidar que
estamos trabajando, en principio, con espacios vectoriales reales). Dado
que también es una labor muy tediosa omitiremos las comprobaciones,
pero hay que insistir en que es absolutamente necesario comprobar los 8
axiomas.

EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALESEJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
--EJEMPLO 1.EJEMPLO 1.--
conjunto de los vectores libres del espacio
 ¿Cómo se suman dos vectores libres?¿Cómo se suman dos vectores libres?
 ¿Cómo se multiplica un vector por un número real?¿Cómo se multiplica un vector por un número real?
 ¿Cuál es el vector nulo?¿Cuál es el vector nulo?

 ¿Cómo se suman dos vectores libres?¿Cómo se suman dos vectores libres?
 ¿Cómo se multiplica un vector por un número real?¿Cómo se multiplica un vector por un número real?
 ¿Cuál es el vector nulo?¿Cuál es el vector nulo?

--EJEMPLO 3.EJEMPLO 3.-- Conjunto de los polinomios de grado menor oConjunto de los polinomios de grado menor o
igual queigual que nn..
 ¿Cómo se suman dos polinomios?¿Cómo se suman dos polinomios?
 ¿Cómo se multiplica un polinomio por un número real?¿Cómo se multiplica un polinomio por un número real?
 ¿Cuál es el polinomio nulo?¿Cuál es el polinomio nulo?
(coeficiente a coeficiente)(coeficiente a coeficiente)
(se multiplica cada coeficiente por el número real)(se multiplica cada coeficiente por el número real)

--EJEMPLO 4.EJEMPLO 4.-- Conjunto de las matrices reales deConjunto de las matrices reales de mm filas yfilas y nn
columnas.columnas.
 ¿Cómo se suman dos matrices?¿Cómo se suman dos matrices?
 ¿Cómo se multiplica una matriz por un número real?¿Cómo se multiplica una matriz por un número real?
elemento a elementoelemento a elemento
se multiplica cada elemento de la matriz por else multiplica cada elemento de la matriz por el
número realnúmero real

--EJEMPLO 5.EJEMPLO 5.-- Conjunto de las funciones reales de variableConjunto de las funciones reales de variable
real con dominioreal con dominio .
 ¿Cómo se suman dos funciones?¿Cómo se suman dos funciones?
 ¿Cómo se multiplica una función por un número real?¿Cómo se multiplica una función por un número real?
 ¿Cuál es la función nula?¿Cuál es la función nula?

EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALESEJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
suma:suma:
producto por un escalar:producto por un escalar:
vector nulo:vector nulo: vectorvector
opuesto:opuesto:
suma:suma:
vector nulo:vector nulo:
vectorvector
opuesto:opuesto:
suma:suma:
suma:suma:
vector nulo:vector nulo:
vector nulo:vector nulo: vectorvector
opuesto:opuesto:
vectorvector
opuesto:opuesto:

Propiedades.-Propiedades.- Sea V un e. v. real:Sea V un e. v. real:
1.-1.-
2.-2.-
3.-3.-
4.-4.-
5.-5.-
6.-6.-
7.-7.-
8.-8.-
Al multiplicar cualquier escalar por elAl multiplicar cualquier escalar por el
vector nulo obtenemos el vector nulo.vector nulo obtenemos el vector nulo.
Al multiplicar cualquier vector por el escalarAl multiplicar cualquier vector por el escalar
0 obtenemos el vector nulo.0 obtenemos el vector nulo.
Esta propiedadEsta propiedad
no es tan obviano es tan obvia
como puede parecer.como puede parecer.

COMBINACIONES LINEALESCOMBINACIONES LINEALES
SeaSea V un espacio vectorial real:un espacio vectorial real:
COMBINACIÓN LINEAL.-COMBINACIÓN LINEAL.-
eses combinación linealcombinación lineal dede
cuando tales que:cuando tales que:

COMENTARIOS.-COMENTARIOS.-
Dados los vectores y los escalaresDados los vectores y los escalares αα11 ,, αα22 ,...,,..., ααnn
(números(números reales), el vector definido por:reales), el vector definido por:
se llamase llama combinacióncombinación lineallineal de los vectores :de los vectores :
Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo:Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo:
El vectorEl vector (2,1,1)(2,1,1) de no es combinación lineal de los vectoresde no es combinación lineal de los vectores (1,0,0)(1,0,0) yy
(1,1,0)(1,1,0) de .de .
El polinomioEl polinomio xx22
+1+1 de no es combinación lineal de los polinomiosde no es combinación lineal de los polinomios xx33
+x+x––
11 ,, x+2x+2 yy 11 de .de .

Para comprobar si un vector es combinación lineal dePara comprobar si un vector es combinación lineal de mm
vectores de se plantea la ecuación vectorial siguiente:vectores de se plantea la ecuación vectorial siguiente:
Utilizando las definiciones de las operaciones suma de vectores de yUtilizando las definiciones de las operaciones suma de vectores de y
producto de un vector de por un escalar realizamos la operación:producto de un vector de por un escalar realizamos la operación:
Teniendo en cuenta que dos vectores de son iguales siTeniendo en cuenta que dos vectores de son iguales si todastodas sussus
componentes son iguales dos a dos, tenemos el siguiente sistema decomponentes son iguales dos a dos, tenemos el siguiente sistema de nn
ecuaciones lineales conecuaciones lineales con mm incógnitas :incógnitas :
Si el sistema es compatible determinado, entonces es combinaciónSi el sistema es compatible determinado, entonces es combinación
lineal de los vectoreslineal de los vectores
Si el sistema es incompatible, entoncesSi el sistema es incompatible, entonces NONO es combinación lineales combinación lineal
de los vectoresde los vectores
El sistema nunca puede ser compatible indeterminado.El sistema nunca puede ser compatible indeterminado.

En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menorEn el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor
o igual queo igual que nn se procede del mismo modo que en el espacio vectorialse procede del mismo modo que en el espacio vectorial
real . Tenemos que tener en cuenta que dos polinomios de gradoreal . Tenemos que tener en cuenta que dos polinomios de grado
menor o igual que n son iguales si coinciden todos y cada uno de susmenor o igual que n son iguales si coinciden todos y cada uno de sus
coeficientes, incluido el término independiente. De este modocoeficientes, incluido el término independiente. De este modo
tendremos un sistema detendremos un sistema de n+1n+1 ((ATENCIÓN!!!ATENCIÓN!!!)) ecuaciones lineales conecuaciones lineales con
mm incógnitas.incógnitas.
A continuación resolvemos un par de ejercicios en los que trabajamosA continuación resolvemos un par de ejercicios en los que trabajamos
con el concepto de combinación lineal de vectores en los espacioscon el concepto de combinación lineal de vectores en los espacios
vectoriales introducidos en los ejemplos 2 y 3 de este capítulo: yvectoriales introducidos en los ejemplos 2 y 3 de este capítulo: y
..
Destacar que es necesario conocer las definiciones de suma deDestacar que es necesario conocer las definiciones de suma de
vectores (o polinomios) y producto de un vector (o polinomio) por unvectores (o polinomios) y producto de un vector (o polinomio) por un
escalar. Además tenemos que tener claro qué significa que dosescalar. Además tenemos que tener claro qué significa que dos
vectores de sean iguales (o que dos polinomios de seanvectores de sean iguales (o que dos polinomios de sean
iguales).iguales).
SUGERENCIASUGERENCIA.-.- Utilizar las técnicas de resolución de sistemas deUtilizar las técnicas de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales conocidas (método de Gauss), que explicaremosecuaciones lineales conocidas (método de Gauss), que explicaremos
con detalle en el Tema 5 de este curso.con detalle en el Tema 5 de este curso.

SUBESPACIOS VECTORIALESSUBESPACIOS VECTORIALES
Algunos subconjuntos de un espacio vectorialAlgunos subconjuntos de un espacio vectorial VV son a su vez espaciosson a su vez espacios
vectoriales con las operaciones definidas envectoriales con las operaciones definidas en VV..
Estos subconjuntos se denominanEstos subconjuntos se denominan subespacios vectoriales.subespacios vectoriales.
SUBESPACIO VECTORIAL.-SUBESPACIO VECTORIAL.-
 Subespacios vectoriales impropiosSubespacios vectoriales impropios
 Subespacios vectoriales propiosSubespacios vectoriales propios: cualquier subespacio vectorial: cualquier subespacio vectorial
dede VV distinto de ydistinto de y VV..
Antes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultadosAntes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultados
que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjuntoque hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto SS dede VV eses
subespacio vectorial desubespacio vectorial de VV..
es unes un subespacio vectorialsubespacio vectorial dede VV, si es espacio vectorial con, si es espacio vectorial con
las operaciones definidas enlas operaciones definidas en VV..

Para demostrar quePara demostrar que   SS  VV es subespacio vectorial dees subespacio vectorial de VV, NO, NO
ES NECESARIO comprobar los 8 axiomas de la definición deES NECESARIO comprobar los 8 axiomas de la definición de
espacio vectorial.espacio vectorial.
Para demostrar quePara demostrar que SS  VV es subespacio vectorial dees subespacio vectorial de VV, basta con, basta con
comprobar que es uncomprobar que es un subconjunto no vacíosubconjunto no vacío (pues todo espacio vectorial(pues todo espacio vectorial
ha de contener al menos el vector nulo, luego es conveniente comprobarha de contener al menos el vector nulo, luego es conveniente comprobar
que el vector nulo es un vector deque el vector nulo es un vector de SS) y que) y que SS es cerrado bajo lases cerrado bajo las
operaciones suma de vectores y producto por un escalaroperaciones suma de vectores y producto por un escalar. El resto de las. El resto de las
propiedades son “heredadas” porpropiedades son “heredadas” por SS.. Esto es lo que significan las dosEsto es lo que significan las dos
caracterizaciones de subespacio vectorial que acabamos de enunciar.caracterizaciones de subespacio vectorial que acabamos de enunciar.
• Un subconjuntoUn subconjunto SS no vacío deno vacío de VV es s.v. dees s.v. de VV si y sólo sisi y sólo si
cumple:cumple:
• Un subconjuntoUn subconjunto SS no vacío deno vacío de VV es s.v. dees s.v. de VV si y sólo sisi y sólo si
cumple:cumple:

En la práctica, para demostrar queEn la práctica, para demostrar que
SS NO es s. v. deNO es s. v. de VV
En la práctica, para demostrar queEn la práctica, para demostrar que
SS NO es s. v. deNO es s. v. de VV
oo
oo
Basta con comprobarBasta con comprobar
una de estas tres cosasuna de estas tres cosas
Basta con comprobarBasta con comprobar
una de estas tres cosasuna de estas tres cosas
Presentaremos a continuación algunos ejemplos de conjuntos con dos
operaciones (suma y producto por un escalar) que no tienen estructura de
espacio vectorial. Para demostrar que un conjunto no es espacio vectorial es
suficiente comprobar que no satisface alguno de los ocho axiomas de la
definición, pero basta con comprobar una de las tres condicionesbasta con comprobar una de las tres condiciones arriba
mencionadas.

--EJEMPLO 1.EJEMPLO 1.-- El conjunto de los números enteros no tieneEl conjunto de los números enteros no tiene
estructura de espacio vectorial con las operaciones habitualesestructura de espacio vectorial con las operaciones habituales
de suma y producto por un escalar real.de suma y producto por un escalar real.
El conjunto de todos los números enteros con las operaciones normales de
suma y producto por un escalar no tiene estructura de espacio vectorial, ya
que el producto no es una operación cerrada.
0.5⋅1 = 0.5
escalarescalar enteroentero no enterono entero
--EJEMPLO 2.EJEMPLO 2.-- El conjunto de los polinomios de gradoEl conjunto de los polinomios de grado
exactamenteexactamente 22 no tiene estructura de espacio vectorial.no tiene estructura de espacio vectorial.
El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura
de espacio vectorial, ya que la suma no es una operación cerrada.
p(x) = x2
q(x) = -x2
+x+1
son polinomios de gradoson polinomios de grado 22, pero, pero su suma es unsu suma es un
polinomio de primer gradopolinomio de primer grado
p(x) + q(x) = x+1

INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES.-INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES.-
SiSi S , TS , T son subespacios vectoriales deson subespacios vectoriales de VV, entonces:, entonces:
1.1. SS ∩∩ TT es subespacio vectorial dees subespacio vectorial de VV..
2.2. SS ∩∩ TT es el mayor de todos los subespacios vectorialeses el mayor de todos los subespacios vectoriales
dede VV incluidos enincluidos en SS yy TT..
La unión de subespacios vectoriales deLa unión de subespacios vectoriales de VV
no es necesariamente un subespacio vectorial deno es necesariamente un subespacio vectorial de VV..
En el siguiente apartado veremos una manera de encontrar y construirEn el siguiente apartado veremos una manera de encontrar y construir
subespacios de un espacio vectorialsubespacios de un espacio vectorial VV. Este método nos será de gran. Este método nos será de gran
utilidad para demostrar, sin emplear las caracterizaciones de subespacioutilidad para demostrar, sin emplear las caracterizaciones de subespacio
vectorial del apartado anterior, que un subconjunto no vacío de unvectorial del apartado anterior, que un subconjunto no vacío de un
espacio vectorialespacio vectorial VV es un subespacio vectorial dees un subespacio vectorial de VV..

SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADOSUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO
POR UNA PARTE FINITA DE UN E. V.POR UNA PARTE FINITA DE UN E. V.
SeaSea VV un espacio vectorial real.un espacio vectorial real.
SeaSea GG un conjunto (no vacío) de vectores deun conjunto (no vacío) de vectores de VV::
Definimos como el conjunto formado porDefinimos como el conjunto formado por todastodas laslas
combinaciones lineales de los vectores:combinaciones lineales de los vectores:

--Ejemplos.Ejemplos.--

En un mismo subespacio vectorial es posible encontrarEn un mismo subespacio vectorial es posible encontrar
distintos sistemas de generadoresdistintos sistemas de generadores



SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO PORSUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR
UNA COLECCIÓN FINITA DE VECTORES DEUNA COLECCIÓN FINITA DE VECTORES DE V.-.-

¿Cómo encontrar distintos sistemas de generadores¿Cómo encontrar distintos sistemas de generadores
de un subespacio vectorial?de un subespacio vectorial?
¿Cómo demostrar que¿Cómo demostrar que S es s.v. dees s.v. de V??

--EJEMPLOEJEMPLO-- Demostrar queDemostrar que

Algoritmo para hallar una base delAlgoritmo para hallar una base del
subespacio vectorial engendrado por unasubespacio vectorial engendrado por una
familiafamilia GG de vectoresde vectores
Algoritmo para hallar una base delAlgoritmo para hallar una base del
subespacio vectorial engendrado por unasubespacio vectorial engendrado por una
familiafamilia GG de vectoresde vectores
Sea . Para hallar una base del subespacioSea . Para hallar una base del subespacio
vectorial podemos proceder del modo siguiente:vectorial podemos proceder del modo siguiente:
1.-1.- Formar la matrizFormar la matriz AA dede rr filas yfilas y nn columnas con los vectorescolumnas con los vectores
dede GG como filas.como filas.
2.-2.- Realizar operaciones elementales de fila hasta llegar a unaRealizar operaciones elementales de fila hasta llegar a una
matrizmatriz BB escalonada y equivalente a la matrizescalonada y equivalente a la matriz AA..
3.-3.- Las filas no nulas deLas filas no nulas de BB constituyen una base del subespacioconstituyen una base del subespacio
engendrado porengendrado por GG..

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALDEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del Álgebra Lineal, una de las ideas centrales es laEn el estudio del Álgebra Lineal, una de las ideas centrales es la
de dependencia o independencia lineal entre vectores.de dependencia o independencia lineal entre vectores.
Podemos plantearnos la siguiente pregunta. ¿Existe unaPodemos plantearnos la siguiente pregunta. ¿Existe una
relación especial entre los vectores y ?relación especial entre los vectores y ?
Es decir, el vector nulo se puede escribir como unaEs decir, el vector nulo se puede escribir como una
combinación no trivial de y . En este caso se dice quecombinación no trivial de y . En este caso se dice que
los vectores sonlos vectores son linealmente dependienteslinealmente dependientes. En general, se. En general, se
tienen las siguientes definiciones:tienen las siguientes definiciones:
, o escrito de otro modo:, o escrito de otro modo:

es unes un sistema libresistema libre (o son(o son
vectoresvectores linealmente independienteslinealmente independientes) si:) si:
SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.-SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.-
es unes un sistema ligadosistema ligado (o son(o son
vectoresvectores linealmente dependienteslinealmente dependientes) si:) si:
A continuación enunciamos algunas propiedades de losA continuación enunciamos algunas propiedades de los
sistemas libres y ligados que nos pueden resultar útiles mássistemas libres y ligados que nos pueden resultar útiles más
adelante.adelante.

PROPIEDADES.-PROPIEDADES.-

Las propiedades siguientes son resultados que se demuestran de formaLas propiedades siguientes son resultados que se demuestran de forma
inmediata a partir de los conceptos de sistema libre de vectores y sistemainmediata a partir de los conceptos de sistema libre de vectores y sistema
ligado de vectores.ligado de vectores.
1.1. Todos los vectores de un sistema libre son no nulos.Todos los vectores de un sistema libre son no nulos.
2.2. Si un sistema de vectores contiene al vector nulo, entoncesSi un sistema de vectores contiene al vector nulo, entonces
es un sistema ligado.es un sistema ligado.
3.3. sistema libre siisistema libre sii
4.4. Un sistema de dos vectores es un sistema ligado si y sólo siUn sistema de dos vectores es un sistema ligado si y sólo si
uno de los vectores es “múltiplo” del otro.uno de los vectores es “múltiplo” del otro.
5.5. Si a un sistema ligado se le añaden nuevos vectores, resultaSi a un sistema ligado se le añaden nuevos vectores, resulta
otro sistema ligado.otro sistema ligado.
6.6. Todo subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.Todo subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.

PRUEBAS PARA LA DEPENDENCIA LINEALPRUEBAS PARA LA DEPENDENCIA LINEAL
La consecuencia 3.- nos permite decir cuando un conjuntoLa consecuencia 3.- nos permite decir cuando un conjunto
formado por un único vector de un espacio vectorialformado por un único vector de un espacio vectorial VV es unes un
sistema libre y cuando es un sistema ligado.sistema libre y cuando es un sistema ligado.
Del mismo modo, la consecuencia 4.- es una condiciónDel mismo modo, la consecuencia 4.- es una condición
necesaria y suficiente para que una familia formada por dosnecesaria y suficiente para que una familia formada por dos
vectores de un espacio vectorialvectores de un espacio vectorial VV sea linealmente dependiente.sea linealmente dependiente.
Cuando disponemos de una colección de más de dos vectoresCuando disponemos de una colección de más de dos vectores
tendremos que recurrir necesariamente, en principio, a latendremos que recurrir necesariamente, en principio, a la
definición para demostrar que se trata de un sistema libre o undefinición para demostrar que se trata de un sistema libre o un
sistema ligado.sistema ligado.

Para comprobar si una familia de vectores es linealmentePara comprobar si una familia de vectores es linealmente
dependiente o linealmente independiente vamos a utilizar, endependiente o linealmente independiente vamos a utilizar, en
muchos casos, el concepto de rango de una matriz.muchos casos, el concepto de rango de una matriz.
Hablaremos de rango de una matriz en un tema posterior, peroHablaremos de rango de una matriz en un tema posterior, pero
como es un concepto que muchos alumnos ya conocen,como es un concepto que muchos alumnos ya conocen,
conviene decir que, en general, resulta más cómodo y másconviene decir que, en general, resulta más cómodo y más
sencillo estudiar la dependencia o independencia lineal desencillo estudiar la dependencia o independencia lineal de
una familia de vectores utilizando el concepto de rango de unauna familia de vectores utilizando el concepto de rango de una
matriz.matriz.
A partir del momento en el que definimos el concepto deA partir del momento en el que definimos el concepto de
rango de una matriz resolveremos ejercicios de sistemasrango de una matriz resolveremos ejercicios de sistemas
libres y ligados utilizando la idea del rango de una matriz.libres y ligados utilizando la idea del rango de una matriz.

BASES Y DIMENSIÓN DE UNBASES Y DIMENSIÓN DE UN
ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIAL
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.-BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.-
En este apartado presentaremos el concepto fundamental de una base de un
espacio vectorial. Como veremos, una base es un conjunto generador
“eficiente” que no contiene vectores innecesarios. De hecho, se puede
construir una base a partir de un conjunto generador desechando algunos
vectores innecesarios. Además, conocer una base de un espacio vectorial es
muy útil para comprender el espacio y sus propiedades.
es unaes una basebase del e.v. realdel e.v. real V si:si:
B s. libres. libre
B s. generador des. generador de V

--EJEMPLOS DE BASES.EJEMPLOS DE BASES.--
base canónicabase canónica
base canónicabase canónica

EXISTENCIA DE BASES.-EXISTENCIA DE BASES.-
Todo e.v.Todo e.v. V engendrado por un sistema de generadores finitoengendrado por un sistema de generadores finito
tiene al menos una base.tiene al menos una base.
Todas las bases del e.v.Todas las bases del e.v. V poseen el mismo número deposeen el mismo número de
elementos.elementos. Entonces:Entonces:
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.-DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.-
El número de elementos que posee una base cualquiera de unEl número de elementos que posee una base cualquiera de un
e.v. V , recibe el nombre dee.v. V , recibe el nombre de dimensión del e.v.dimensión del e.v. V ((dim V))..
Esta información resulta muy útilEsta información resulta muy útil
como se verá posteriormentecomo se verá posteriormente

--CONSECUENCIASCONSECUENCIAS.-.-
SiSi VV es un e.v. cones un e.v. con dim V = n, entonces:, entonces:
En un espacio vectorial de dimensiónEn un espacio vectorial de dimensión nn no puede haber más deno puede haber más de nn vectores linealmente independientesvectores linealmente independientes
n vectores l.i. de un e.v.n vectores l.i. de un e.v. VV de dimensiónde dimensión nn constituyen una base deconstituyen una base de VV
Un s.g. deUn s.g. de nn vectores de un e.v.vectores de un e.v. VV de dimensiónde dimensión nn constituye una base deconstituye una base de VV

Dos perspectivas de una baseDos perspectivas de una base
Cuando se usa el teorema de la reducción de un conjunto generador, laCuando se usa el teorema de la reducción de un conjunto generador, la
eliminación de vectores de un conjunto generador debe terminar cuando eleliminación de vectores de un conjunto generador debe terminar cuando el
conjunto generador resulta linealmente independiente. Si se elimina otro vector,conjunto generador resulta linealmente independiente. Si se elimina otro vector,
no será combinación lineal de los vectores restantes y por lo tanto el conjuntono será combinación lineal de los vectores restantes y por lo tanto el conjunto
resultante ya no generará el mismo espacio vectorial V.resultante ya no generará el mismo espacio vectorial V.
Una base también es un conjunto linealmente independiente que es lo másUna base también es un conjunto linealmente independiente que es lo más
grande posible. Si B es una base de V y si B se agranda con un vector,grande posible. Si B es una base de V y si B se agranda con un vector,
digamos , de V, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmentedigamos , de V, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente
independiente, porque B genera V y es por lo tanto una combinaciónindependiente, porque B genera V y es por lo tanto una combinación
lineal de los vectores de B.lineal de los vectores de B.
Ejemplo.- Los siguientes tres conjuntos de muestran cómo un conjuntoLos siguientes tres conjuntos de muestran cómo un conjunto
linealmente independiente de dos vectores de puede agrandarse paralinealmente independiente de dos vectores de puede agrandarse para
formar una base de y cómo un agrandamiento adicional destruye laformar una base de y cómo un agrandamiento adicional destruye la
independencia lineal del conjunto. Este mismo ejemplo lo podemos ver desdeindependencia lineal del conjunto. Este mismo ejemplo lo podemos ver desde
otra perspectiva: Un conjunto generador de formado por 4 vectores puedeotra perspectiva: Un conjunto generador de formado por 4 vectores puede
encogerse para dar una base, pero una contracción adicional destruye laencogerse para dar una base, pero una contracción adicional destruye la
propiedad de ser generador.propiedad de ser generador.

Cuando se conoce la dimensión de un espacio oCuando se conoce la dimensión de un espacio o
subespacio vectorial, la búsqueda de una base sesubespacio vectorial, la búsqueda de una base se
simplifica con el resultado que damos a continuación,simplifica con el resultado que damos a continuación,
que dice que si un conjunto tiene el número correcto deque dice que si un conjunto tiene el número correcto de
elementos, entonces basta con demostrar que el conjuntoelementos, entonces basta con demostrar que el conjunto
es linealmente independiente o bien que genera eles linealmente independiente o bien que genera el
espacio. El teorema es de importancia crítica enespacio. El teorema es de importancia crítica en
numerosos problemas de aplicaciones (que tienen quenumerosos problemas de aplicaciones (que tienen que
ver con ecuaciones diferenciales o en diferencias, porver con ecuaciones diferenciales o en diferencias, por
ejemplo) donde la independencia lineal es mucho másejemplo) donde la independencia lineal es mucho más
fácil de comprobar que la propiedad de generar.fácil de comprobar que la propiedad de generar.
Según la consecuencia 3.-,Según la consecuencia 3.-, conocida la dimensión de un e.v.conocida la dimensión de un e.v.
VV ( , )( , ),, ¿cómo encontrar una¿cómo encontrar una
basebase BB dede VV?:?:

COORDENADAS DE UN VECTORCOORDENADAS DE UN VECTOR
Sea V e.v. real con base de V.Sea V e.v. real con base de V.
únicos tales que:únicos tales que:
A los escalares (A los escalares (únicosúnicos) se les) se les
llamallama coordenadas del vector en la basecoordenadas del vector en la base B..
Hallar las coordenadas del vectorHallar las coordenadas del vector
• en la base canónica deen la base canónica de
• en la base deen la base de

DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIODIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO
VECTORIALVECTORIAL
Sea S s.v. de V ySea S s.v. de V y
B base debase de S sisi
: número de elementos de una base denúmero de elementos de una base de S
Si dim V = n, y S es un s.v. de V, entonces:Si dim V = n, y S es un s.v. de V, entonces:

¿Cómo encontrar una base¿Cómo encontrar una base BB de un subespacio vectorialde un subespacio vectorial SS??
¿Cómo encontrar una base¿Cómo encontrar una base BB de un espacio vectorialde un espacio vectorial VV??
B = G es s.g. dees s.g. de S
Hay que demostrarHay que demostrar queque B = G es s. librees s. libre
Para encontrar una base de , basta con hallarPara encontrar una base de , basta con hallar nn
vectores l.i. de , puesvectores l.i. de , pues
Para hallar una base de , basta con hallarPara hallar una base de , basta con hallar n + 1n + 1
polinomios l.i. de , puespolinomios l.i. de , pues

RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORESRANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES
SeaSea VV espacio vectorial real yespacio vectorial real y FF una colección de vectores deuna colección de vectores de VV..
Se llamaSe llama rangorango dede F (( r ( F ) )) alal número máximo denúmero máximo de
vectores linealmente independientes devectores linealmente independientes de F..
Volveremos a estudiar el concepto de rango de una familia de vectores dentro delVolveremos a estudiar el concepto de rango de una familia de vectores dentro del
marco de la teoría de matrices. Esto nos permitirá desarrollar métodos másmarco de la teoría de matrices. Esto nos permitirá desarrollar métodos más
eficientes para calcular el rango de una familia de vectores y también para hallareficientes para calcular el rango de una familia de vectores y también para hallar
una base de un subespacio vectorial generado por una familia de vectores.una base de un subespacio vectorial generado por una familia de vectores.
SiSi FF es un subconjunto del e.v.es un subconjunto del e.v. VV que consta de m vectores yque consta de m vectores y dim V = ndim V = n

ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIALConceptos
preliminares
Concepto
Ejemplos básicos
Condiciones
PropiedadesESCALAR
VECTOR
SUBESPACIO VECTORIALSUBESPACIO VECTORIAL
DEPENDENCIA LINEAL
INDEPENDENCIA LINEAL
BASEBASE
Coordenadas
COMBINACIÓN LINEAL
SISTEMA GENERADOR
Resultados interesantes
Relación
COORDENADAS
Concepto
Condiciones
Dimensión de un
espacio vectorial
Dimensión de un
subespacio vectorial Rango de un sistema
de vectores
S. V. PROPIO
S. V. IMPROPIO

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