O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.
TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUKABUMI2009
Satuan Acara PerkuliahanMata Kuliah Kalkulus 2Integrasi (Pengertian Integral, rumus – rumus dasar integral, integral takt...
Kesepatakan PerkuliahanProsentase NilaiAbsensi = 20%Tugas = 20 %Quiz = 20 %UTS = 20 %UAS = 20 %Nilai MutuNilai Mutu...
Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:Rumus – rumus dasar integrasi( ) ( )f x dx F x C= +∫1, 11n...
Nah…. ini contoh2 nya bu…. pa…..1.2.3.4.5.1 1 226 66 31 1 2x xxdx x+= = =+∫3 1 43 412 1212 33 1 4x xx dx x+= = =+∫1 311 32...
Silakan dicoba Tugas 1 nya,,,saya yakin ibu-ibu dan bapa-bapa pasti bisa…..Tentukanlah nilai integraldari:1. dx2. dx3.4.5...
Integral TertentuIntegral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luasdaerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, de...
Sifat – sifat integral tertentu (Lanjutan…)3.4.5.6.( ) ( ) ( ) ,b c ca b af x dx f x dx f x dx a b c+ = < <∫ ∫ ∫( ) ( )b a...
Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dansumbu xDengan batas x1=a dan x2=b( )baL f x dx= ∫( )baL f x dx= −∫
Luas Daerah Antara Dua KurvaUntuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:[ ]( ) ( )baL f x g x dx= −∫
Metode IntegrasiIntegral dengan Substitusicontoh:Diusahakan menjadi bentukSubstitusi u=2x-3Cari turunan dari u =Cari nila...
Maka:Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:12 3 .2x dx u du− =∫ ∫312 21 1 2.2 2 3u du u C= = +∫3212 3 ...
Integral ParsialBila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidakdapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu carapen...
Contoh:Jawab:Jadikan bentukPemisalan:u = dv =Cari du dan vdu = 2x dx v =v =Masukan ke bentuk23x x dx−∫udv∫2x 3x dx−3x dx−∫...
3 32 2 2 22 23 . ( 3) ( 3) .23 3x x dx x x x xdx− = − − −∫ ∫udv uv vdu= −∫ ∫3 32 2 22 4( 3) ( 3)3 3x x x x dx= − − −∫Integ...
VOLUME BENDA PUTARBenda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalahtabung dengan besar volume adalah hasilkali lu...
Lanjutan……Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karenasuatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan de...
Lanjutan………Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Makaluas cakram dinyatakan :Oleh karena itu, volume benda putar :Da...
Lanjutan……..Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y),x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka...
VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUAKURVAJika suatu daerah dibatasi oleh kurva y=f(x), y = g(x),x=a dan x=b diputar sekeliling su...
Contoh Soal:1. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika suatu daerahtersebut dibatasi oleh kurva , sumbu y,y=0 dan y=2!2...
INTEGRAL TAK WAJARBentuk integral disebut Integral Tak Wajar ,jika:a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingg...
Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, makaintegralnya disebut Konvergen ke nilai limit tersebut.Sedang bila...
Integran mempunyai titikdiskontinu pada [ a ,b ]
Kalkulus 2 integral
Kalkulus 2 integral
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Kalkulus 2 integral

  • Seja o primeiro a comentar

Kalkulus 2 integral

  1. 1. TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUKABUMI2009
  2. 2. Satuan Acara PerkuliahanMata Kuliah Kalkulus 2Integrasi (Pengertian Integral, rumus – rumus dasar integral, integral taktentu, integral tertentu)Metode Integrasi (Integral dengan substitusi, Integral Parsial, Integralfungsi trigonometri, integral fungsi rasional, substitusi khusus, rumus –rumus reduksi)Fungsi Transenden (Logaritma dan Eksponen, Invers fungsitrigonometri)Luas dan integral tertentu (luas, integral tertentu, sifat – sifat integraltertentu)Volume benda putarLuas permukaan benda putarIntegral tak wajar dan integral lipat duaDifferensial parsial orde tinggiKalkulus dan geometriUntuk sumbermateri silakangunakan buku2kalkulus yangmendukung/ dariinternet
  3. 3. Kesepatakan PerkuliahanProsentase NilaiAbsensi = 20%Tugas = 20 %Quiz = 20 %UTS = 20 %UAS = 20 %Nilai MutuNilai Mutu Range NilaiABCDESilakan disepakati…80-100 -> A…. oK?!
  4. 4. Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:Rumus – rumus dasar integrasi( ) ( )f x dx F x C= +∫1, 11nn axax dx C nn+= + ≠ −+∫
  5. 5. Nah…. ini contoh2 nya bu…. pa…..1.2.3.4.5.1 1 226 66 31 1 2x xxdx x+= = =+∫3 1 43 412 1212 33 1 4x xx dx x+= = =+∫1 311 32 22 26 66 6 41 312 2x xxdx x dx x+= = = =+∫ ∫1 1 0 122 3(2 3) 31 1 0 1x xx dx x x+ ++ = + = ++ +∫1 5 17 12 2 12 2 2 2 22 2( ) ( 2 ) 2 47x x dx x x x dx x x dx x xx−−− = − = − = −∫ ∫ ∫
  6. 6. Silakan dicoba Tugas 1 nya,,,saya yakin ibu-ibu dan bapa-bapa pasti bisa…..Tentukanlah nilai integraldari:1. dx2. dx3.4.5.29x∫2(3 4 )x x+∫1 12 2(3 2 )x x dx−−∫122( 3)x x dx−+∫2( 3)xdxx+∫6.7.2(1 2 )xdxx−∫21( 1)x dxx−∫Dikumpulkan hari Selasatanggal 12 Mei 2009 ya……… ^^
  7. 7. Integral TertentuIntegral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luasdaerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, denganbatas tertentuSifat – sifat integral tertentu1.2.[ ]( ) ( )b baaf x dx Fb FaF x= = −∫( ) ( )b ba akf x dx k f x dx=∫ ∫[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
  8. 8. Sifat – sifat integral tertentu (Lanjutan…)3.4.5.6.( ) ( ) ( ) ,b c ca b af x dx f x dx f x dx a b c+ = < <∫ ∫ ∫( ) ( )b aa bf x dx f x dx= −∫ ∫( ) 0aaf x dx =∫( ) ( )b ba af x dx f t dt=∫ ∫Kira – kiraperlucontoh2nyaga????
  9. 9. Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dansumbu xDengan batas x1=a dan x2=b( )baL f x dx= ∫( )baL f x dx= −∫
  10. 10. Luas Daerah Antara Dua KurvaUntuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:[ ]( ) ( )baL f x g x dx= −∫
  11. 11. Metode IntegrasiIntegral dengan Substitusicontoh:Diusahakan menjadi bentukSubstitusi u=2x-3Cari turunan dari u =Cari nilai dx:2 3 ?x dx− =∫ nu du∫2dudx=2dudx =
  12. 12. Maka:Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:12 3 .2x dx u du− =∫ ∫312 21 1 2.2 2 3u du u C= = +∫3212 3 (2 3)3x dx x C− = − +∫3213u C= +
  13. 13. Integral ParsialBila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidakdapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu carapenyelesaiannya dengan metode integral parsial.Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integralparsial memiliki bentuk:udv uv vdu= −∫ ∫Keterangan:u = f(x) - du = turunan dari uv = g(x) - dv = turunan v
  14. 14. Contoh:Jawab:Jadikan bentukPemisalan:u = dv =Cari du dan vdu = 2x dx v =v =Masukan ke bentuk23x x dx−∫udv∫2x 3x dx−3x dx−∫312 22( 3) ( 3)3x x− = −∫udv uv vdu= −∫ ∫
  15. 15. 3 32 2 2 22 23 . ( 3) ( 3) .23 3x x dx x x x xdx− = − − −∫ ∫udv uv vdu= −∫ ∫3 32 2 22 4( 3) ( 3)3 3x x x x dx= − − −∫Integral Parsial Tahap2:32( 3)x x −∫
  16. 16. VOLUME BENDA PUTARBenda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalahtabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luaslingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putarsecara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dantinggi.Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi bendaputar adalah panjang selang [ a,b ], maka volume bendaputar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagaiberikut :
  17. 17. Lanjutan……Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karenasuatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan denganmenggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dankulit tabung.Metode CakramMisal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = bdiputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume bendapejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandangbahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah takberhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang[a,b].
  18. 18. Lanjutan………Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Makaluas cakram dinyatakan :Oleh karena itu, volume benda putar :Dapat juga ditulisf(x) = y2baV y dxπ= ∫
  19. 19. Lanjutan……..Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y),x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y makavolume benda putar :Dapat juga ditulis:w(y) = x2dcV x dyπ= ∫
  20. 20. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUAKURVAJika suatu daerah dibatasi oleh kurva y=f(x), y = g(x),x=a dan x=b diputar sekeliling sumbu X sejauh 360derajat, maka isi benda putar yang terjadi adalah:2 2[( ( )) ( ( )) ]baV f x g x dxπ= −∫Dimana f(x)> g(x)
  21. 21. Contoh Soal:1. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika suatu daerahtersebut dibatasi oleh kurva , sumbu y,y=0 dan y=2!2. Daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x, diputarsekeliling sumbu x sejauh 360 derajat. Tentukan isi bendaputar yang terjadi!3. Daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, y=3 dan y=7diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 derajat.Tentukan isi benda putar yang terjadi!4. Buktikan bahwa isi kerucut:5. Buktikan bahwa isi bola:21y x= −22y x x= −213V r tπ=343V rπ=
  22. 22. INTEGRAL TAK WAJARBentuk integral disebut Integral Tak Wajar ,jika:a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga, ataub. Integran f(x) mempunyai titik tak kontinu pada [ a , b ]• Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga( )baf x dx∫
  23. 23. Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, makaintegralnya disebut Konvergen ke nilai limit tersebut.Sedang bila limit tidak ada atau nilainya menuju tak hinggamaka disebut Divergen
  24. 24. Integran mempunyai titikdiskontinu pada [ a ,b ]

×