Guía 7 6º Ingeniería L3 nocturno
1
Funciones lineales y Rectas
Se sabe que la representación gráfica de la función lineal 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑛 es una recta.
Consideremos esta función lineal y los puntos 𝐴𝐴(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) y 𝐵(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) pertenecientes a la
recta. Tenemos entonces que:
𝑦𝑦0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 𝑚𝑚𝑥𝑥0 + 𝑛
𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 𝑚𝑚𝑥𝑥1 + 𝑛
Observemos lo siguiente:
𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦0
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
=
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
==
𝑚𝑚𝑥𝑥1 + 𝑛 − (𝑚𝑚𝑥𝑥0 + 𝑛)
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
=
𝑚𝑚𝑥𝑥1 − 𝑚𝑚𝑥𝑥0
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
=
𝑚𝑚(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
= 𝒎𝒎
De lo que se concluye que el cociente considerado
(entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de
abscisas) es constante. Este número se llama pendiente (coeficiente angular) de la recta
Ecuación explícita de la recta:
𝒓𝒓) 𝒚𝒚 = 𝒎𝒎𝒙𝒙 + 𝒏𝒏
𝒎𝒎: pendiente (o coeficiente angular)
𝒏𝒏: término independiente (ordenada del
punto de corte de la recta con 𝑂𝑦𝑦)
Ejercicio 1: Se consideran los puntos 𝐴𝐴(1, 2)𝑦𝑦 𝐵(4, 5)
a) Ubicar ambos puntos en un sistema de ejes y trazar la recta 𝐴𝐴𝐵
b) Hallar la pendiente (𝑚𝑚) de la recta 𝐴𝐴𝐵
c) Hallar la ecuación de la recta 𝐴𝐴𝐵
Ejercicio 2: Ídem para 𝐴𝐴(−2, 3)𝑦𝑦 𝐵(2, 1)
PARA INVESTIGAR: ¿Qué pasará si la recta tiene pendiente cero?
𝒓𝒓) 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 = 𝒎𝒎𝟎𝟎(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎)
Ecuación de la recta determinada por un punto y su pendiente
Se tienen los siguientes datos de una recta r: su pendiente 𝑚𝑚0 y un
punto 𝐴𝐴(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0).
Sabemos que la ecuación de r será: 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚0 𝑥𝑥 + 𝒏𝒏 (siendo 𝒏𝒏 la
incógnita)
Como 𝐴𝐴 ∈ 𝑟𝑟 ⇒ 𝑦𝑦0 = 𝑚𝑚𝑥𝑥0 + 𝒏𝒏 por lo que 𝒏𝒏 = 𝑦𝑦0 − 𝑚𝑚𝑥𝑥0
La recta tendrá entonces la ecuación 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚0 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦0 − 𝑚𝑚0 𝑥𝑥0
Que se puede reescribir como
Ejercicio:
Se considera la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 − 1 y la recta t
tangente a su gráfico por el punto A de abscisa 1 según figura.
Se sabe que la recta t tiene pendiente 2, hallar su ecuación
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Guía 7 6º Ingeniería L3 nocturno
2
Introducción
Se considera el gráfico de la función f de la figura y sobre el mismo un punto
𝑃(𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)). Se pretende hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico por dicho
punto (recta t).
Para obtener la ecuación buscada basta con saber las coordenadas del punto y la
pendiente. Como las coordenadas del punto ya las tenemos procederemos a buscar la
pendiente
Para esto utilizaremos la siguiente estrategia:
consideramos otro punto sobre el gráfico
(punto Q) con el cual queda determinada la
recta PQ. La recta PQ no es la recta que
estamos buscando pero podemos observar lo
siguiente:
Si 𝑄 → 𝑃 entonces 𝑃𝑄 → 𝑡
Dicha observación nos permite hacer el
siguiente planteo:
Si 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 entonces 𝑄 → 𝑃 por lo que 𝑃𝑄 → 𝑡 y también 𝑚𝑚 𝑃𝑄 → 𝑚𝑚𝑡𝑡
Obsérvese que 𝑚𝑚 𝑃𝑄 =
∆𝑦
∆𝑥𝑥
=
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
De lo anterior se puede deducir que, si 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 entonces
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
→ 𝑚𝑚𝑡𝑡
Por lo que:
Con lo que obtenemos la ecuación de la recta t como se pretendía
Nota:
El cociente
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
recibe el nombre de
cociente incremental
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= 𝑚𝑚𝑡𝑡
𝒕𝒕) 𝒚𝒚 − 𝒇𝒇(𝒂𝒂) = 𝒎𝒎𝒕𝒕(𝒙𝒙 − 𝒂𝒂)
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3
Ejemplo
Se considera la función 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2
+ 1 y se pretende
obtener la ecuación de la tangente a su gráfico por el punto
𝑃(1, 𝑓𝑓(1)).
Primero hallamos las coordenadas del punto:
𝑓𝑓(1) = 12
+ 1 = 2, por lo que 𝑃(1, 2)
Después buscamos la pendiente de la tangente a través del
límite del cociente incremental:
lim
𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2
+ 1 − 2
𝑥𝑥 − 1
= lim
𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2
− 1
𝑥𝑥 − 1
= lim
𝑥𝑥→1
(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1)
𝑥𝑥 − 1
= 2
La ecuación de la tangente será, entonces 𝑦𝑦 − 2 = 2(𝑥𝑥 − 1)
𝑡) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥
Para practicar: Obtener la ecuación de la recta tangente por el punto K(−2, 𝑓𝑓(−2))
Ejercicio
Se considera la función 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒 𝑥𝑥
, hallar la
ecuación de la recta tangente al gráfico por el punto
𝐴𝐴(0, 𝑓𝑓(0))
Definición
f es derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ⇔ �
𝑎𝑎 ∈ 𝐷(𝑓𝑓)
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
𝑒𝑥𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦𝑦 𝑒𝑠 𝑓𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 (𝑓𝑓′(𝑎𝑎))
Observación
Por lo visto anteriormente, se puede concluir que si una función f es derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎,
entonces 𝑓𝑓′
(𝑎𝑎) será el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico por el punto
de coordenadas (𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎))
Ejercicio 1
1- 𝑎𝑎(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2
+ 𝑥𝑥 + 3. Hallar 𝑎𝑎′
(−1). Obtener la ecuación de la tangente por el
punto 𝐴𝐴(−1, 𝑎𝑎(−1)). Graficar la situación
2- 𝑏(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3
+ 3𝑥𝑥 − 1. Hallar 𝑏′
(0). Obtener la ecuación de la tangente por el
punto 𝐵(0, 𝑏(0)). Graficar la situación
3- 𝑐(𝑥𝑥) = 𝑒 𝑥𝑥
. Hallar 𝑐′(2). Obtener la ecuación de la tangente por el punto
C(2, 𝑐(2)). Graficar la situación
4- 𝑑(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿(𝑥𝑥). Hallar 𝑑′
(1). Obtener la ecuación de la tangente por el punto
D(1, 𝑑(1)). Graficar la situación
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Ejercicio 2
Sea 𝒇𝒇: 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒆𝒙𝒙
+ 𝒙𝒙 𝟐
a) Calcular, aplicando la definición de derivada, 𝒇𝒇′(𝟎𝟎)
b) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 𝒇𝒇 por el punto 𝑷(𝟎𝟎, 𝒇𝒇(𝟎𝟎)).
Verificar en GeoGebra los resultados obtenidos
Actividad
Completar, indicando si los valores buscados son positivos negativos o cero
(para los casos en que existan)
Propiedades
Se considera f derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
• Si 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) > 0 entonces f es estrictamente creciente en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
• Si 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
• Si 𝑓𝑓`(𝑎𝑎) = 0 entonces f presenta tangente horizontal en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
Observación
Si f presenta tangente horizontal en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 puede suceder que:
f presenta un máximo relativo en 𝑥𝑥 = 𝛼 f presenta un mínimo relativo en 𝑥𝑥 = 𝛼 f presenta un punto de inflexión en 𝑥𝑥 = 𝛼
𝑓𝑓′(−3) …
𝑓𝑓′(4) …
𝑓𝑓′(0) …
𝑓𝑓′(−1) …
𝑓𝑓′(−2) …
𝑓𝑓′(2) …
𝑓𝑓′(1) …
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5
𝑓𝑓′(6) …. 𝑓𝑓′(3) … 𝑓𝑓′(5) …
𝑓𝑓′(0) … 𝑓𝑓′(2) … 𝑓𝑓′(−4) …
𝑓𝑓′(1.99) … 𝑓𝑓′(−12) … 𝑓𝑓′(43) …
𝑓𝑓′(6) … 𝑓𝑓′(8)
𝑓𝑓′(3) … 𝑓𝑓′(4)
𝑓𝑓′(−4) … 𝑓𝑓′(−2)
Puntos singulares
Existen funciones cuyos gráficos presentan
“quiebres” en algunos puntos, tomaremos como
ejemplo el gráfico que se encuentra a la derecha.
Se puede observar que el mismo, en el punto P,
presenta una recta semitangente al gráfico por la
derecha y otra semitangente diferente por la
izquierda, por lo que la función no será derivable
en a
En general diremos que los puntos singulares son
aquellos en los que la función es continua pero no
derivable
Nota
La presencia de puntos singulares ya se había visto en algunos gráficos de funciones
con valor absoluto
Ejercicios 3
Dado el gráfico de una función 𝑓𝑓
a) Analizar en el gráfico si existen las
siguientes derivadas de 𝑓𝑓 y, en caso
afirmativo, indicar si son positivas o
negativas
b) Completar con (> ó <)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥2
− 4| 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = |𝐿𝐿(𝑥𝑥)|
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6
Definición: función derivada
Sea 𝑓𝑓 una función derivable en un intervalo 𝐼. Se llama función derivada de 𝑓𝑓 (𝑓𝑓`), a la
función que a todo 𝑥𝑥 ∈ 𝐼 le hace corresponder su derivada en 𝑥𝑥
Ejercicios
4) Se considera la siguiente función 𝑓𝑓 dada por su gráfico
5) Se consideran las siguientes funciones dadas por sus gráficas. Indicar en función de
éstas para que valores de x es derivable cada una de ellas, determinar el signo de la
función derivada de cada caso
6) Realizar el estudio analítico de la función
dada por su gráfico
Completar el esquema de signo de la función 𝒇𝒇′
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7
Teorema: Derivabilidad implica continuidad
Si f es derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 entonces es continua en a
Demostración
𝑓𝑓 derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ⇒ lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
= 𝑓𝑓′(𝑎𝑎)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑎𝑎) ⟹ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
. (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥⟶𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
. (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
Observación
El recíproco de este teorema no se cumple. Que una función
sea continua en a no implica que sea derivable en a.
Como contraejemplo podemos referirnos a la función
𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥2
− 4|, dicha función es continua en 𝑥𝑥 = 2 y en
𝑥𝑥 = −2 sin embargo no es derivable en ninguno de dichos
valores
a) 𝑫(𝒇𝒇) = Ρ – {2} , 𝒇𝒇 continua en su
dominio
𝒔𝒈 𝒇𝒇
+∞=+
→
)(lim
2
xf
x
−∞=−
→
)(lim
2
xf
x
3)(lim =
∞+→
xf
x
0)(lim =
∞−→
xf
x
𝒔𝒈 𝒇𝒇 ’
𝒃) 𝑫(𝒈) = Ρ - [ )1,3 −− , 𝒈 continua en 𝑫
𝒔𝒈 𝒈
3
lim ( )
x
g x−
→ −
= +∞ lim ( )
x
g x
→ +∞
= +∞
lim ( )
x
g x
→ −∞
= −∞
𝒔𝒈 𝒈’
𝑓𝑓′
(𝑎𝑎) 0
7) Dado el siguiente gráfico de una función 𝑓𝑓,
indicar verdadero o falso, justificando
i) 𝑓𝑓′(−2) = 0
ii) 𝑓𝑓′(1) < 0
iii) 𝑓𝑓′(3) = 0
iv) 𝑓𝑓 es derivable en 𝑥𝑥 = −1
v) 𝑓𝑓′(−4) < 0
vi) lim𝑥𝑥→−∞ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0
vii) lim𝑥𝑥→2− 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −2
𝑓𝑓(−1) = 3 𝑔𝑔(2) = −2
8) Dados los siguientes Estudios Analíticos de
funciones, realizar su Representación Gráfica
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8
Derivadas de funciones elementales
1 – Derivada de la potencia
Se considera la función 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2
1- Hallar: 𝑓𝑓′(1), 𝑓𝑓′(3), 𝑓𝑓′
(−1) ¿Qué se observa?
2- Conjeturar acerca de los resultados de 𝑓𝑓′(5)𝑦𝑦 𝑓𝑓′
(−10)
Intentaremos generalizar los resultados obtenidos a partir de la siguiente estrategia:
Consideraremos un valor real 𝑎𝑎 cualquiera y calcularemos 𝑓𝑓′
(𝑎𝑎) a partir de la definición
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2
⇒ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎2
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑥𝑥2
− 𝑎𝑎2
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎). (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) = 2𝑎𝑎
De esto se deduce que 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) = 2𝑎𝑎 ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ.
Por lo que 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥, siendo 𝑓𝑓’ la función derivada de 𝑓𝑓
2 – Derivada de la función constante
Se considera 𝑓𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑘
Para determinar la derivada de dicha función en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (siendo a un número real
cualquiera) se calcula:
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑘 − 𝑘
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= 0
De esto se deduce que 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) = 0 ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ
Por lo que 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0
Se anota generalmente como (𝑘)′
= 0
3 – Derivada de la función exponencial de base e
Se considera 𝑓𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒 𝑥𝑥
Para determinar la derivada de dicha función en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (siendo a un número real
cualquiera) se calcula:
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑒 𝑥𝑥
− 𝑒 𝑎𝑎
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑒 𝑎𝑎 (𝑒 𝑥𝑥−𝑎𝑎
− 1)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑒 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= 𝑒 𝑎𝑎
De esto se deduce que 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) = 𝑒 𝑎𝑎
∀𝑎𝑎 ∈ ℝ
Por lo que 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑒 𝑥𝑥
Se anota generalmente como (𝑒 𝑥𝑥)′
= 𝑒 𝑥𝑥
𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝒇𝒇′(𝒙𝒙)
𝒙𝒙 𝟐 𝟐𝒙𝒙
𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝒇𝒇′(𝒙𝒙)
𝒌 𝟎𝟎
𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝒇𝒇′(𝒙𝒙)
𝒆𝒙𝒙
𝒆𝒙𝒙
~ (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) (L.T.)
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9
4 – Derivada de la función logaritmo neperiano
Se considera 𝑓𝑓: ℝ+
→ ℝ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿(𝑥𝑥)
Para determinar la derivada de dicha función en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (siendo a un número real
positivo) se calcula:
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝐿𝐿(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝐿𝐿 �
𝑥𝑥
𝑎𝑎
�
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
�
𝑥𝑥
𝑎𝑎
− 1�
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
=
1
𝑎𝑎
De esto se deduce que 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) =
1
𝑎𝑎
∀𝑎𝑎 ∈ ℝ+
Por lo que 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
1
𝑥𝑥
Se anota generalmente como �𝐿𝐿(𝑥𝑥)�
′
=
1
𝑥𝑥
Operatoria con funciones derivables
Sean 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑔𝑔 dos funciones derivables en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, entonces se cumplirá que:
1) 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 es derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔)′(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) + 𝑔𝑔′(𝑎𝑎)
2) 𝑓𝑓. 𝑔𝑔 es derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y (𝑓𝑓. 𝑔𝑔)′(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓′(𝑎𝑎). 𝑔𝑔(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 𝑔𝑔′(𝑎𝑎)
3) Si 𝑔𝑔(𝑎𝑎) ≠ 0 entonces
𝑓𝑓
𝑔
es derivable en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y �
𝑓𝑓
𝑔
�
′
(𝑎𝑎) =
𝑓𝑓′(𝑎𝑎).𝑔(𝑎𝑎)−𝑓𝑓(𝑎𝑎).𝑔′(𝑎𝑎)
�𝑔(𝑎𝑎)�
2
Demostración (2)
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
(𝑓𝑓. 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) − (𝑓𝑓. 𝑔𝑔)(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥). 𝑔𝑔(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 𝑔𝑔(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
=
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥). 𝑔𝑔(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 𝑔𝑔(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 𝑔𝑔(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔(𝑥𝑥).
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
+ 𝑓𝑓(𝑎𝑎).
𝑔𝑔(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= 𝑓𝑓′(𝑎𝑎). 𝑔𝑔(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 𝑔𝑔′(𝑎𝑎)
Derivada de la función compuesta (regla de la cadena)
𝑔𝑔 𝑑𝑒𝑟𝑟𝑖𝑣𝑣𝑎𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑑𝑒𝑟𝑟𝑖𝑣𝑣𝑎𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔(𝑎𝑎)
� ⟹ (𝑓𝑓𝑜𝑔𝑔) 𝑑𝑒𝑟𝑟𝑖𝑣𝑣𝑎𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑦𝑦 (𝑓𝑓𝑜𝑔𝑔)′(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓′
�𝑔𝑔(𝑎𝑎)�. 𝑔𝑔′(𝑎𝑎)
Aplicación
Sea 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿|−𝑥𝑥2
+ 4𝑥𝑥|
a) Hallar dominio de f
b) Hallar 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)
c) Estudiar signo de 𝑓𝑓′. Deducir variación de crecimiento
d) Graficar con GeoGebra y verificar los resultados obtenidos
𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝒇𝒇′(𝒙𝒙)
𝑳(𝒙𝒙) 𝟏/𝒙𝒙
~ �
𝑥𝑥
𝑎𝑎
− 1� (L.T.)
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Guía 7 6º Ingeniería L3 nocturno
10
Ejercicios
9) Hallar la función derivada de cada caso. Investigar variación de crecimiento e
indicar extremos relativos
𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3
− 6𝑥𝑥 + 12 𝑏) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥 + 3
2𝑥𝑥 − 1
𝑐) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2
− 3)𝑒 𝑥𝑥
𝑑) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (−2𝑥𝑥 + 5)𝑒 𝑥𝑥2−1
𝑒) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (3𝑥𝑥 − 1)𝑒
1
𝑥𝑥
𝑓𝑓) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
3𝑥𝑥 − 7
𝑒2𝑥𝑥
𝑔𝑔) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿|3𝑥𝑥2
+ 5𝑥𝑥 − 2| ℎ) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿(3𝑥𝑥2
+ 5) 𝑖) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 �
2𝑥𝑥2−2
3𝑥𝑥−2
�
13) Se consideran 𝐴𝐴: 𝐴𝐴(𝑥𝑥) = �
𝑒 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) 𝑠𝑖 𝑥𝑥 ≤ 0
𝑥𝑥2
+ 3𝑥𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥𝑥 > 0
y 𝐵: 𝐵(𝑥𝑥) = �
2𝑥𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥𝑥 < 2
𝐿𝐿|𝑥𝑥 − 1| − 3𝑥𝑥 𝑠𝑖 𝑥𝑥 ≥ 2
Investigar continuidad y derivabilidad de 𝐴𝐴 en 𝑥𝑥 = 0 y de 𝐵 en 𝑥𝑥 = 2
14) Sea 𝐶𝐶: 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = �
𝐿𝐿(𝑥𝑥2) − 2𝑥𝑥 𝑠𝑖 𝑥𝑥 < −1
𝑎𝑎𝑥𝑥2
− 3 𝑠𝑖 𝑥𝑥 ≥ −1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)
𝐾𝐾. 𝑢𝑢(𝑥𝑥)
𝐿𝐿 �
𝑢𝑢(𝑥𝑥)
𝑣𝑣(𝑥𝑥)
�
10) El gráfico de la izquierda corresponde a la función 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
2𝑥𝑥+3
𝑥𝑥−3
Hallar la ecuación de la recta tangente que aparece en el dibujo
11) Completar
12) Se consideran las funciones 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥2−4
𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑦𝑦 𝑔𝑔: 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2
+ 4𝑥𝑥
cuyos gráficos son los que aparecen en la imagen.
a) Demostrar que 𝑓𝑓′(0) = 𝑔𝑔′(0).
b) Darle una interpretación gráfica a dicho resultado
a) Hallar 𝑎𝑎 sabiendo que 𝐶𝐶′(4) = 40
b) Para el valor de 𝑎𝑎 hallado, investigar continuidad y
derivabilidad de 𝐶𝐶 en 𝑥𝑥 = −1
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Guía 7 6º Ingeniería L3 nocturno
11
15) Establecer la relación que hace corresponder cada una de las funciones de la fila de
arriba con sus funciones derivadas. Justificar las respuestas.
TEOREMA DE ROLLE
Hipótesis: 𝑓𝑓 continua en [𝑎𝑎, 𝑏] Tesis:
𝑓𝑓 derivable en (𝑎𝑎, 𝑏) ∃𝑐 ∈ (𝑎𝑎, 𝑏) / 𝑓𝑓′(𝑐) = 0
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏)
TEOREMA DE LAGRANGE
Hipótesis: 𝑓𝑓 continua en [𝑎𝑎, 𝑏] Tesis:
𝑓𝑓 derivable en (𝑎𝑎, 𝑏) ∃𝑐 ∈ (𝑎𝑎, 𝑏) / 𝑓𝑓′(𝑐) =
𝑓𝑓(𝑏)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑏−𝑎𝑎
Estudio analítico y representación gráfica de una función (E.A. y R.G.)
Se convendrá que el estudio analítico de una función, para este curso, consistirá en la
obtención de la siguiente información de la misma:
• Dominio
• Raíces y signo (para aquellos casos en los que se pueda)
• Límites laterales para los puntos de no existencia
• Límites para 𝑥𝑥 → ±∞
• Función derivada (a partir del signo de la misma determinar intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓𝑓, así como sus extremos relativos)
Luego, en función de los resultados obtenidos se realiza su representación gráfica
I II III IV
a b c
d
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Guía 7 6º Ingeniería L3 nocturno
12
Ejercicios
16) Realizar E.A. y R.G. de las siguientes funciones continuas en su dominio:
𝑎𝑎: 𝑎𝑎(𝑥𝑥) =
−2𝑥𝑥 − 4
2𝑥𝑥2 − 18
𝑏: 𝑏(𝑥𝑥) =
2𝑥𝑥2
+ 2
𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥
𝑐: 𝑐(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥2
+ 3𝑥𝑥
4 − 𝑥𝑥
𝑑: 𝑑(𝑥𝑥) =
−𝑥𝑥2
+ 2𝑥𝑥
𝑒 𝑥𝑥
𝑒: 𝑒(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 𝐿𝐿(3𝑥𝑥2
− 12) 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 �
𝑥𝑥2
− 2
𝑥𝑥2 + 4
�
𝑔𝑔: 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 �
3𝑥𝑥 − 3
𝑥𝑥2 + 2
� ℎ: ℎ(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 �
𝑥𝑥
𝑥𝑥 + 2
� 𝑖: 𝑖(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿|2𝑥𝑥2
− 6𝑥𝑥| − 4𝑥𝑥
𝑗: 𝑗(𝑥𝑥) =
𝑳|𝟐𝒙𝒙 + 𝟐|
−𝟑𝒙𝒙 + 𝟔
𝑘: 𝑘(𝑥𝑥) =
2𝑒 𝑥𝑥
1 − 𝑥𝑥2
𝑙: 𝑙(𝑥𝑥) = (−2𝑥𝑥 + 6)𝑒
1
𝑥𝑥
17) Se considera 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
2𝑥𝑥
𝑥𝑥−2
𝑒
1
𝑥𝑥−2 continua en su dominio
Realizar su estudio analítico y representación gráfica
18) Se considera 𝑓𝑓: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 𝐿𝐿|𝑥𝑥2
− 3|
a) Realizar su estudio analítico y representación gráfica b) Demostrar que la ecuación de la
tangente al gráfico por 𝑃(−2, 𝑓𝑓(−2)) es paralela a 𝑟𝑟)𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥. Graficarlas
19) Se considera 𝐹: 𝐹(𝑥𝑥) = �
|𝑒 𝑥𝑥
− 1| 𝑠𝑖 𝑥𝑥 < 1
−𝑥𝑥2
+ 4𝑥𝑥 𝑠𝑖 𝑥𝑥 ≥ 1
El gráfico de la función 𝐹 es el que aparece a la izquierda
a) Hallar la ecuación de la recta 𝑡 (roja) tangente al gráfico
que aparece en el dibujo
b) Indicar V o F justificando
• F es continua en 𝑥𝑥 = 1
• F es derivable en 𝑥𝑥 = 1
• 𝐹′(2) = 0
• 𝐹′(0) = 0
• 𝐹′(4) < 0
lim
𝑥𝑥→2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −∞ lim
𝑥𝑥→+∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4
𝑓𝑓(−3) = −3 𝑓𝑓(−1) = −1
20) El gráfico que aparece a la derecha corresponde a la
función 𝑓𝑓’. Bosuqejar un posible gráfico de la función 𝑓𝑓
sabiendo que, además se cumple que:
21) Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 𝐿𝐿|𝑥𝑥2
− 3|
Hallar para que valor (valores) de 𝑥𝑥 el gráfico de la función
𝑓𝑓 presentará tangentes paralelas a la recta 𝑟𝑟)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 6
Prof. Facundo González (fgh.mate@gmail.com) sites.google.com/view/matematicafgh