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Algoritmos de Agrupamento -
Aprendizado N˜ao Supervisionado
Fabr´ıcio Jailson Barth
P´os Gradua¸c˜ao - BandTec
Maio de 2015
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Sum´ario
• Introdu¸c˜ao e Defini¸c˜oes
• Aplica¸c˜oes
• Algoritmos de Agrupamento
Agrupamento Plano
Agrupamento Hier´arquico
• Considera¸c˜oes Finais
Algoritmos de Agrupamento - Aprendizado N˜ao Supervisionado — Sum´ario 2
Introduc¸˜ao
3
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Introdu¸c˜ao e Defini¸c˜oes
• Os algoritmos de agrupamento particionam um
conjunto de objetos em agrupamentos.
• Normalmente, objetos s˜ao descritos e agrupados
usando um conjunto de atributos e valores.
• N˜ao existe nenhuma informa¸c˜ao sobre a classe ou
categoria dos objetos.
Introduc¸˜ao — Introdu¸c˜ao e Defini¸c˜oes 4
http://fbarth.net.br/cursoBigData
• Os algoritmos de agrupamento manipulam um
conjunto de objetos. Este conjunto de objetos ´e
chamado de bags.
• As bags permitem o aparecimento de m´ultiplos
objetos com a mesma representa¸c˜ao.
• O objetivo dos algoritmos de agrupamento ´e
colocar os objetos similares em um mesmo grupo
e objetos n˜ao similares em grupos diferentes.
Introduc¸˜ao — Introdu¸c˜ao e Defini¸c˜oes 5
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Exemplo de dataset
Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
1 5.10 3.50 1.40 0.20
2 4.90 3.00 1.40 0.20
3 4.70 3.20 1.30 0.20
4 4.60 3.10 1.50 0.20
5 5.00 3.60 1.40 0.20
6 5.40 3.90 1.70 0.40
Introduc¸˜ao — Exemplo de dataset 6
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Aplica¸c˜oes
• Agrupamento de objetos similares, onde “objetos”
podem ser:
agrupamento de documentos (textos) similares
identifica¸c˜ao de grupos em redes sociais
segmenta¸c˜ao de clientes
pessoas - sistemas de recomenda¸c˜ao
palavras - processamento de linguagem natural
identifica¸c˜ao de plantas com caracter´ısticas comuns
entre outras coisas · · ·
Introduc¸˜ao — Aplica¸c˜oes 7
Algoritmos
8
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Algoritmos de Agrupamento
Existem dois tipos de estruturas produzidas por algoritmos
de agrupamento:
• n˜ao hier´arquicos ou planos
• agrupamentos hier´arquicos
Algoritmos — Algoritmos de Agrupamento 9
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Agrupamento Plano
• Agrupamentos planos simplesmente contˆem um certo
n´umero de agrupamentos e a rela¸c˜ao entre os
agrupamentos e geralmente n˜ao-determinada.
• A maioria dos algoritmos que produzem agrupamentos
planos s˜ao iterativos.
• Eles iniciam com um conjunto inicial de agrupamentos
e realocam os objetos em cada agrupamento de
maneira iterativa.
• At´e uma determinada condi¸c˜ao de parada.
Algoritmos — Agrupamento Plano 10
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Agrupamentos soft e hard
Al´em da divis˜ao entre os algoritmos hier´arquicos e planos,
tem-se a divis˜ao entre os algoritmos soft e hard.
• Na abordagem hard cada objeto ´e inserido em um e
somente um agrupamento.
• Na abordagem soft um objeto pode ser inserido em
v´arios agrupamentos com diferentes n´ıveis de
pertinˆencia.
Em agrupamentos hier´arquicos, geralmente a abordagem ´e
hard. Em agrupamentos planos, ambos os tipos de
abordagens s˜ao comuns.
Algoritmos — Agrupamentos soft e hard 11
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Agrupamento Plano hard (Exemplo)
Algoritmos — Agrupamento Plano hard (Exemplo) 12
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Agrupamento Hier´arquico
• Um agrupamento hier´arquico ´e representado por uma
´arvore.
• Os n´os folhas s˜ao os objetos.
• Cada n´o intermedi´ario representa o agrupamento que
contˆem todos os objetos de seus descendentes.
Algoritmos — Agrupamento Hier´arquico 13
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Agrupamento Hier´arquico (Exemplo)
Algoritmos — Agrupamento Hier´arquico (Exemplo) 14
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Agrupamento Hier´arquico (Exemplo)
Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
108 7.30 2.90 6.30 1.80
131 7.40 2.80 6.10 1.90
42 4.50 2.30 1.30 0.30
Algoritmos — Agrupamento Hier´arquico (Exemplo) 15
Algoritmos para
Agrupamento
Plano
16
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Algoritmos para agrupamento plano
• Utiliza diversas itera¸c˜oes para realocar os objetos nos
melhores agrupamentos.
• Crit´erio de parada ´e baseado na qualidade dos
agrupamentos (similaridade m´edia e c´alculo para
informa¸c˜ao comum entre agrupamentos).
• ´E necess´ario determinar o n´umero de agrupamentos:
usando conhecimento `a priori
k, k − 1 aumento significativo da qualidade, k + 1
aumento reduzido da qualidade. Procurar por um
k com este comportamento.
Algoritmos para Agrupamento Plano — Algoritmos para agrupamento plano 17
http://fbarth.net.br/cursoBigData
K-means
• Algoritmo de agrupamento hard
• Define o agrupamento pelo centro de massa dos seus
membros.
• ´E necess´ario um conjunto inicial de agrupamentos.
• Seq¨uˆencia de a¸c˜oes iterativas.
• Usualmente, diversas itera¸c˜oes s˜ao necess´arias para o
algoritmo convergir.
Algoritmos para Agrupamento Plano — K-means 18
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Itera¸c˜ao do algoritmo K-means
1
2
3
4
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
(1) Atribuição dos objetos aos agrupamentos
1
2
3
4
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
(2) Definição do centro do agrupamento
Algoritmos para Agrupamento Plano — Itera¸c˜ao do algoritmo K-means 19
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Algoritmos para Agrupamento Plano — Itera¸c˜ao do algoritmo K-means 20
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Algoritmo K-means
entrada: um conjunto X = {−→x1, · · · , −→xn} ⊂ m
{conjunto inicial de agrupamentos}
uma medida de distˆancia: d: m
× m
→
uma fun¸c˜ao para computar o ponto central:
µ: P( ) → m
selecionar k centros iniciais
−→
f1, · · · ,
−→
fk
Algoritmos para Agrupamento Plano — Algoritmo K-means 21
http://fbarth.net.br/cursoBigData
while o crit´erio de parada n˜ao for verdadeiro do
for todos os agrupamentos cj do
cj = {−→xi | ∀
−→
fl d(−→xi,
−→
fj ) ≤ d(−→xi,
−→
fl )} {os
agrupamentos cj recebem objetos levando-se em
considera¸c˜ao o seu centro fj}
end for
for todos os pontos centrais
−→
fj do
−→
fj = µ(cj)
end for
end while
Algoritmos para Agrupamento Plano — Algoritmo K-means 22
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Algoritmo K-means
• A medida de distˆancia pode ser a distˆancia Euclidiana:
| −→x − −→y |=
n
i=1
(xi − yi)2 (1)
• a fun¸c˜ao para computar o ponto central pode ser:
−→µ =
1
M −→x ∈C
−→x (2)
onde M ´e igual ao n´umero de pontos no agrupamento
C.
Algoritmos para Agrupamento Plano — Algoritmo K-means 23
Problema...
24
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Iris Problem
• Considere uma base de dados sobre flores do gˆenero
Iris.
• Esta base de dados possui informa¸c˜oes sobre o
comprimento e largura das s´epalas e das p´etalas
das flores.
Problema... — Iris Problem 25
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Blue Flag Iris - Dados
Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
1 5.10 3.50 1.40 0.20
2 4.90 3.00 1.40 0.20
3 4.70 3.20 1.30 0.20
4 4.60 3.10 1.50 0.20
5 5.00 3.60 1.40 0.20
6 5.40 3.90 1.70 0.40
Todas as medidas s˜ao em cm.
Problema... — Blue Flag Iris - Dados 26
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Pergunta
Ser´a que as plantas deste gˆenero podem ser dividas em
esp´ecies?
Problema... — Pergunta 27
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Aplicando o algoritmo K-means
> model <- kmeans(iris, centers = 3)
> model
K-means clustering with 3 clusters of sizes 50, 62, 38
Cluster means:
Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
1 5.006000 3.428000 1.462000 0.246000
2 5.901613 2.748387 4.393548 1.433871
3 6.850000 3.073684 5.742105 2.071053
> model$withinss
[1] 15.15100 39.82097 23.87947
Problema... — Aplicando o algoritmo K-means 28
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Problema... — Aplicando o algoritmo K-means 29
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Problema... — Aplicando o algoritmo K-means 30
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Problema... — Aplicando o algoritmo K-means 31
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Heatmap
set.seed(143)
dataMatrix <- as.matrix(iris)
heatmap(dataMatrix)
Problema... — Heatmap 32
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Problema... — Heatmap 33
http://fbarth.net.br/cursoBigData
D´uvida...
Qual ´e o melhor n´umero de clusters (k)?
Problema... — D´uvida... 34
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Problema... — D´uvida... 35
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Como determinar o melhor k?
A medida de distribui¸c˜ao dos pontos normalmente empregada ´e sum of squared errors.
Problema... — Como determinar o melhor k? 36
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Exerc´ıcios
• Usando o dataset survey da biblioteca UsingR,
identifique clusters de pessoas com base apenas nos
atributos Wr.Hnd e NW.Hnd.
• Fazendo uso dos dados coletados em a
, agrupe os
abalos s´ısmicos levando-se em considera¸c˜ao a
magnitude e profundidade do abalo.
ahttp://earthquake.usgs.gov/earthquakes/feed/v1.0/summary/all month.csv
Problema... — Exerc´ıcios 37
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Clusters com dados em escalas diferentes
Problema... — Clusters com dados em escalas diferentes 38
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Problema... — Clusters com dados em escalas diferentes 39
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Rescaling data
Feature scaling:
xnew =
x − xmin
xmax − xmin
(3)
Standardization:
xnew =
x − mean(x)
xmax − xmin
(4)
xnew =
x − µ
σ
=
x − mean(x)
sd(x)
(5)
Problema... — Rescaling data 40
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Cluster com dados normalizados
standardization <- function(x){
return ((x - mean(x)) / sd(x))
}
filtrados$depthR <- standardization(filtrados$depth)
filtrados$magR <- standardization(filtrados$mag)
elbow(filtrados[,c(’depthR’,’magR’)])
model <- kmeans(filtrados[,c(’depthR’,’magR’)], centers = 6)
plot(filtrados$depthR, filtrados$magR,
col=model$cluster,
pch=11, main="Cluster de abalos s´ısmicos",
xlab="Profundidade (rescaled)", ylab="Magnitude (rescaled)")
points(model$centers, col = "yellow", pch=19,cex=2,lwd=3)
Problema... — Cluster com dados normalizados 41
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Cluster com dados normalizados
Problema... — Cluster com dados normalizados 42
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Diagn´ostico
• Os clusters est˜ao bem separados uns dos outros?
• Os centroides dos clusters est˜ao bem separados uns
dos outros?
• Existe algum cluster com poucos pontos?
• Os pontos de cada cluster est˜ao bem agrupados?
Problema... — Diagn´ostico 43
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Diagn´ostico
Problema... — Diagn´ostico 44
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Trabalhando com dados qualitativos
• O algoritmo k-means trabalha apenas com dados
num´ericos, pois utiliza a distˆancia euclidiana como
fun¸c˜ao para calcular a distˆancia entre objetos.
• Para trabalhar com dados qualitativos ´e necess´ario
fazer uso de outra fun¸c˜ao de distˆancia, por exemplo a
distˆancia de Hamming.
Problema... — Trabalhando com dados qualitativos 45
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Distˆancia de Hamming
d(xi, xj) =
d
q=1
α(xq
i , xq
j ) (6)
α(xq
i , xq
j ) =



1 if xq
i = xq
j
0 otherwise
(7)
Problema... — Distˆancia de Hamming 46
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Cluster de valores categ´oricos no R
• Fun¸c˜ao kmodes do pacote klaR
• Exemplo na conta https://github.com/fbarth, projeto
posGraducao, c´odigo ExemplosCluster-
ing/script/clusteringValoresCategoricos.R
Problema... — Cluster de valores categ´oricos no R 47
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Alguns cuidados
• Que atributos devem ser inclu´ıdos na an´alise?
• Que unidades de medida (por exemplo, milhas,
kilˆometros, metros) devem ser utilizados em cada
atributo?
• Os atributos precisam ser normalizados?
• Que outras considera¸c˜oes devem ser aplicadas?
Problema... — Alguns cuidados 48
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Considera¸c˜oes adicionais
• O algoritmo k-means ´e sens´ıvel com rela¸c˜ao aos
pontos iniciais escolhidos para os centroides.
• Por isso, ´e importante executar v´arias vezes o
algoritmo k-means para o mesmo K e escolher o
resultado de cluster com menor WSS (Within sum of
squares).
• No R isto ´e feito com o parˆametro nstart da fun¸c˜ao
k-means.
Problema... — Considera¸c˜oes adicionais 49
Algoritmos para
Agrupamento
Hier´arquico
50
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Algoritmos para agrupamento hier´arquico
Os algoritmos que utilizam a abordagem de agrupamento
hier´arquico podem implementar abordagens:
• bottom-up (agglomerative clustering)
• top-down (divisive clustering)
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Algoritmos para agrupamento hier´arquico 51
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Agrupamento hier´arquico
• Uma abordagem bottom-up:
Escolhe os dois pontos mais pr´oximos;
Coloca eles juntos;
Encontra o pr´oximo ponto mais pr´oximo.
• Requer:
Uma equa¸c˜ao para calcular a distˆancia entre os pontos;
Uma aborgadem de uni˜ao (single link, complete link,
group-average).
• Gera: uma ´arvore que mostra o quanto os itens est˜ao
pr´oximos uns dos outros.
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Agrupamento hier´arquico 52
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Agrupamento hier´arquico bottom-up
Entrada: um conjunto x = {x1, · · · , xn} de objetos
e uma fun¸c˜ao sim: P(X) × P(X) →
for i:=1 at´e n do
ci := {xi} {Inicia com um agrupamento para cada
objeto}
end for
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Agrupamento hier´arquico bottom-up 53
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j := n + 1
while |C| > 1 do
(cn1, cn2) := arg maxcu,cv∈C×C sim(cu, cv) {Em
cada passo, os dois agrupamentos mais similares s˜ao
determinados}
cj := cn1 ∪ cn2 {Unidos em um novo agrupamento}
C := C  {cn1, cn2} ∪ {cj} {Elimina-se os dois
agrupamentos mais similares e adiciona-se o novo
agrupamento ao conjunto de agrupamentos}
j := j + 1
end while
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Agrupamento hier´arquico bottom-up 54
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Agrupamento hier´arquico bottom-up -
Fun¸c˜ao de similaridade
• A fun¸c˜ao de similaridade pode ser a distˆancia
Euclidiana:
| −→x − −→y |=
n
i=1
(xi − yi)2 (8)
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Agrupamento hier´arquico bottom-up - Fun¸c˜ao de similaridade 55
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Funcionamento do algoritmo
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Funcionamento do algoritmo 56
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.00 0.31 0.46 0.25 1.85 1.72 1.50 1.45 2.13 2.14
2 0.31 0.00 0.17 0.57 1.73 1.57 1.38 1.32 1.83 1.89
3 0.46 0.17 0.00 0.71 1.60 1.44 1.25 1.18 1.67 1.73
4 0.25 0.57 0.71 0.00 1.95 1.84 1.62 1.58 2.36 2.34
5 1.85 1.73 1.60 1.95 0.00 0.21 0.36 0.42 1.58 1.02
6 1.72 1.57 1.44 1.84 0.21 0.00 0.23 0.26 1.39 0.87
7 1.50 1.38 1.25 1.62 0.36 0.23 0.00 0.08 1.46 1.02
8 1.45 1.32 1.18 1.58 0.42 0.26 0.08 0.00 1.40 0.99
9 2.13 1.83 1.67 2.36 1.58 1.39 1.46 1.40 0.00 0.65
10 2.14 1.89 1.73 2.34 1.02 0.87 1.02 0.99 0.65 0.00
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Funcionamento do algoritmo 57
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Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Funcionamento do algoritmo 58
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Tipos de fun¸c˜oes de similaridade
• liga¸c˜ao simples (single link): a similaridade entre dois
agrupamentos ´e o melhor resultado retornado da
similaridade entre os seus membros mais similares.
• liga¸c˜ao completa (complete link): a similaridade entre
dois agrupamentos ´e o melhor resultado retornado da
similaridade entre os seus membros menos similares.
• m´edia do grupo (group-average): a similaridade entre
dois agrupamentos ´e a m´edia da similaridade entre os
membros dos agrupamentos.
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Tipos de fun¸c˜oes de similaridade 59
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1
2
3
4
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
a
e f g h
cb d
1
2
3
4
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
a
e f g h
cb d
(2) Agrupamentos intermediários dos pontos da figura 1
1
2
3
4
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
a
e f g h
cb d
(4) Agrupamentos de ligação completa para os pontos da figura 1
1
2
3
4
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
a
e f g h
cb d
(3) Agrupamentos de ligação simples para os pontos da figura 1(1) Pontos em um plano
d
3/2 d
2d
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Tipos de fun¸c˜oes de similaridade 60
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Exemplos
• Vamos utilizar um dataset sobre carros com medidas
de velocidades e distˆancia de parada. Este dataset foi
gerado em 1920. As velocidades foram medidas em
mph e a distˆancia em ft.
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Exemplos 61
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Exemplos 62
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Exemplos 63
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Exemplos 64
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Exemplos 65
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Exemplos 66
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Agrupamento hier´arquico top-down
Entrada: um conjunto x = {x1, · · · , xn} de objetos,
uma funcao de coesao coh: P(X) →
e uma funcao de divisao split: P(X) → P(X) × P(X)
C := {X}(= {c1}) {Inicia com um agrupamento com todos os
objetos}
j := 1
while {∃ci ∈ C | |ci| > 1} do
cu := arg mincv∈C coh(cv) {Determina que agrupamento eh o
menos coerente}
(cj+1, cj+2) := split(cu) {Divide o agrupamento}
C := C  {cu} ∪ {cj+1, cj+2}
j := j + 2
end while
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Agrupamento hier´arquico top-down 67
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Restri¸c˜ao sobre os agrupamentos
hier´arquicos
Agrupamento hier´arquico s´o faz sentido se a fun¸c˜ao de
similaridade ´e monotˆonica decrescente das folhas para a
raiz da ´arvore:
∀c, c , c ⊆ S : min(sim(c, c ), sim(c, c )) ≥ sim(c, c ∪c )
(9)
Algoritmos para Agrupamento Hier´arquico — Restri¸c˜ao sobre os agrupamentos hier´arquicos 68
Considerac¸˜oes
Finais
69
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Algumas considera¸c˜oes sobre
agrupamentos
• Um agrupamento ´e um grupo de objetos centrados em
torno de um ponto central.
• Os agrupamentos mais compactos s˜ao os preferidos.
Considerac¸˜oes Finais — Algumas considera¸c˜oes sobre agrupamentos 70
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Sum´ario dos atributos dos algoritmos
Agrupamento hier´arquico:
• ´E a melhor abordagem para an´alise explorat´oria de
dados.
• Fornece mais informa¸c˜ao que agrupamento plano.
• Menos eficiente que agrupamento plano (tempo e
mem´oria gastos).
Considerac¸˜oes Finais — Sum´ario dos atributos dos algoritmos 71
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Sum´ario dos atributos dos algoritmos
Agrupamento plano:
• ´E prefer´ıvel se a eficiˆencia ´e um atributo importante e
se o conjunto de dados ´e muito grande.
• O algoritmo K-means ´e o m´etodo mais simples e deve
ser usado sobre novos conjuntos de dados porque os
resultados s˜ao geralmente suficientes.
• K-means assume um espa¸co de representa¸c˜ao
Euclidiano, e n˜ao pode ser usado para muitos
conjuntos de dados, por exemplo, dados nominais.
Considerac¸˜oes Finais — Sum´ario dos atributos dos algoritmos 72
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Referˆencias
• Cap´ıtulo 4 do livro EMC Education Services, editor.
Data Science and Big Data Analytics: Discovering,
Analysing, Visualizing and Presenting Data. John
Wiley & Sons, 2015.
• Cap´ıtulo 10 do livro Gareth James, Daniela Witten,
Trevor Hastie, and Robert Tibshirani. An Introduction
to Statistical Learning with Applications in R.
Springer, 4th edition, 2014.
Considerac¸˜oes Finais — Referˆencias 73
http://fbarth.net.br/cursoBigData
Pr´oximas etapas
• Exerc´ıcios, e;
• Projeto!
Considerac¸˜oes Finais — Pr´oximas etapas 74

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