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Ano Letivo 2011/2012




Inês Simões, 8º1
Ângulos verticalmente opostos
Dois ângulos dizem-se verticalmente opostos se têm o
vértice comum e os lados de cada um estão no
prolongamento dos lados do outro.

Dois ângulos verticalmente opostos são congruentes, ou
seja, têm a mesma amplitude.
Exemplo:




    Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos.
    Os ângulos DOB e COA são verticalmente opostos.
    AÔB = CÔD
    DÔB = CÔA
Ângulos de lados paralelos
  Dois ângulos de lados paralelos são geometricamente iguais, ou
   suplementares.

  Vão ser geometricamente iguais se forem ambos agudos ou ambos obtusos.

  Vão ser suplementares se um for agudo e o outro obtuso.
Exemplo:




 Os ângulos BGE e DHG são ângulos de lados paralelos, logo, são
  congruentes (BEG= DHG)

 O ângulo DHG e AGH são ângulos alternos internos, logo , são congruentes.
Ângulos num triângulo
 A soma das amplitudes dos ângulos internos de um
  triângulo é 180º.

 A amplitude de um ângulo externo de um triângulo é
  igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não
  adjacentes.

 A soma das amplitudes dos ângulos externos de um
  triângulo é 360º.

                                                         60+60+60= 180º
                                                         (Ângulos internos)
Relação entre lados e ângulos
num triângulo
 A ângulos congruentes opõem-se lados congruentes e a lados congruentes opõem-se
  ângulos congruentes.

 Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao maior ângulo opõe-se o maior lado.

 Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.
Construção de um triângulo
  Dois lados de um triângulo medem 2,5cm e 5,6 cm.
  Qual é o comprimento do terceiro lado?

  2,5 + 5,6 = 8,1
  5,6 – 2,5 = 3,1

  O terceiro lado pode ter qualquer comprimento desde que
  seja maior que 3,1cm e menor que 8,1cm.
Desigualdade triangular
  Num triângulo, a soma dos comprimentos de dois dos lados é
  sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

                     a+c>b
                      ou
  Num triângulo, qualquer lado tem um comprimento maior que a
  diferença dos comprimentos dos outros dois.

                           a>b-c
Critério de congruência de
 triângulos
Critério LLL

Dois triângulos são congruentes se os seus lados tiverem o mesmos comprimento.
Critério LAL

Dois triângulos são congruentes se tiverem dois dos seus lados
e o ângulo por eles formado, respectivamente, conguentes.
Critério ALA

Dois triângulos são congruentes se dois dos seus ângulos tiverem a mesma
amplitude e o lado comum a eles tiver o mesmo comprimento.
ÂNGULOS EM POLÍGONOS
 A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono com n lados é
  dada pela fórmula (n-2) x 180º.
 A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono é 360º.




Soma das amplitudes dos ângulos           Soma das amplitudes dos ângulos
internos: (4 – 2) x 180º= 360º            internos: (5 – 2) x 180º= 540º
Quadriláteros
Área de um paralelograma

A= b x a , onde:
b é a medida da base;
a é a medida da altura;




Exemplo:
           A= 4 x 1,5= 6 cm

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Ângulos e triângulos

  • 2. Ângulos verticalmente opostos Dois ângulos dizem-se verticalmente opostos se têm o vértice comum e os lados de cada um estão no prolongamento dos lados do outro. Dois ângulos verticalmente opostos são congruentes, ou seja, têm a mesma amplitude.
  • 3. Exemplo:  Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos.  Os ângulos DOB e COA são verticalmente opostos.  AÔB = CÔD  DÔB = CÔA
  • 4. Ângulos de lados paralelos  Dois ângulos de lados paralelos são geometricamente iguais, ou suplementares.  Vão ser geometricamente iguais se forem ambos agudos ou ambos obtusos.  Vão ser suplementares se um for agudo e o outro obtuso.
  • 5. Exemplo:  Os ângulos BGE e DHG são ângulos de lados paralelos, logo, são congruentes (BEG= DHG)  O ângulo DHG e AGH são ângulos alternos internos, logo , são congruentes.
  • 6. Ângulos num triângulo  A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º.  A amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.  A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo é 360º. 60+60+60= 180º (Ângulos internos)
  • 7. Relação entre lados e ângulos num triângulo  A ângulos congruentes opõem-se lados congruentes e a lados congruentes opõem-se ângulos congruentes.  Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao maior ângulo opõe-se o maior lado.  Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.
  • 8. Construção de um triângulo Dois lados de um triângulo medem 2,5cm e 5,6 cm. Qual é o comprimento do terceiro lado? 2,5 + 5,6 = 8,1 5,6 – 2,5 = 3,1 O terceiro lado pode ter qualquer comprimento desde que seja maior que 3,1cm e menor que 8,1cm.
  • 9. Desigualdade triangular Num triângulo, a soma dos comprimentos de dois dos lados é sempre maior que o comprimento do terceiro lado. a+c>b ou Num triângulo, qualquer lado tem um comprimento maior que a diferença dos comprimentos dos outros dois. a>b-c
  • 10. Critério de congruência de triângulos Critério LLL Dois triângulos são congruentes se os seus lados tiverem o mesmos comprimento.
  • 11. Critério LAL Dois triângulos são congruentes se tiverem dois dos seus lados e o ângulo por eles formado, respectivamente, conguentes.
  • 12. Critério ALA Dois triângulos são congruentes se dois dos seus ângulos tiverem a mesma amplitude e o lado comum a eles tiver o mesmo comprimento.
  • 13. ÂNGULOS EM POLÍGONOS  A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono com n lados é dada pela fórmula (n-2) x 180º.  A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono é 360º. Soma das amplitudes dos ângulos Soma das amplitudes dos ângulos internos: (4 – 2) x 180º= 360º internos: (5 – 2) x 180º= 540º
  • 15. Área de um paralelograma A= b x a , onde: b é a medida da base; a é a medida da altura; Exemplo: A= 4 x 1,5= 6 cm